[高中数学课件]相互独立事件概率
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高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，
2025届高中数学一轮复习课件《事件的相互独立性与条件概率》ppt
高考一轮总复习•数学
第1页
第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第10页
3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
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第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
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3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
事件的相互独立性、条件概率与全概率公(课件)-2025年高考数学一轮复习
1
,
8
所以D正确．故选：D
=
1
,
8
=
1
,
64
= ，则, 相互独立，
题型突破·考法探究
题型二：相互独立事件的判断
【典例2-2】（2024·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第
一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色
胜者．
（1）若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
（2）求最终小金获胜的概率．
（3）若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）．
【解析】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
“{ = 0}与{ = 0}独立”是“{ = 1}与{ = 1}独立”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】{ = 0}与{ = 0}独立，则( = 0, = 0) = ( = 0)( = 0)，
即 = 1, = 1 = = 1 − = 0, = 1
，故C项错误；
=
C22 C22 +C22 C12 C12 +C12 C12 C22 +C12 C12 C12 C12
C24 C24
=
25
36
= ，故D项正确．
题型突破·考法探究
题型二：相互独立事件的判断
【变式2-1】考虑以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y定义Ω上，取值{0,1}的成对分类变量，则
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
高中数学必修二课件：事件的相互独立性
3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
高一数学(人教A版)-事件的相互独立性课件
(1,1)
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
事件的相互独立性(共21张PPT)
⑴ “两次都中靶” 是指 “事件A发生且事件B发生” 即A·B ∴ P( A·B）= P（A）·P（B）=
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
两个相互独立事件同时发生的概率PPT教学课件
在上面5 X 4种结果中,同时摸出白 球的结果有3 X 2种.因此,从两个坛子 里分别摸出1个球,都是白球的概率 P(A﹒B)= __________________
另一方面,从甲坛子里摸出1个球,得 到白球的概率P(A)= ________
从乙坛子里摸出1个球,得到白球的 概率P(B)= _________ 由 ______________ = ____ × ____ 我们看到P(A﹒B)=P(A)﹒P(B)
（2）海—气相互作用与热交换的过程 （3）海—气相互作用与水平衡
（4）海—气相互作用与热量平衡
（2009·北京西城模拟）“云气西行，云云
然，冬夏不辍；水泉东流，日夜不休，上不竭，下
不满……”（《吕氏春秋·圜道》）这段文字主要涉及
A.静态水资源的更新过程
（B ）
B.水循环的水汽输送和径流输送环节
合理规划， 综合开发
3.潮汐能和波浪能的开发利用
类型 形式 分布 原因 建站条件 发电特点 发电流程
潮 汐 能
势能
狭窄的 海峡、 海湾、 河口区 域
势能带 口窄肚大、
动水轮 适宜的海
机
岸
密度高
潮汐涨落→ 大坝蓄水→ 势能→水轮 机发电
物体在
波 浪 能
动能 和势 能
平均潮 差小、 近岸水 较深
波浪作 用下震 动和摆 动、波 浪压力 变化转 换为势
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”,
事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个 球,得到黑球”.很明显事件A与B ,
人教版数学必修第二册10.2事件的相互独立性课件
相互独立．
(2)性质
ҧ
ҧ 也都相互独立．
ത
如果事件A与B相互独立，那么A与ത ， 与B，
与
(3)公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于
每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．事件的相互独立性
(4)两个事件独立与互斥的区别
1
2
＝(1- × )× ＝
15
.
32
总结提升
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相
互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接
4
3
2
则P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ .
5
5
5
该选手被淘汰的概率为P(ҧ1)＋P(A1ҧ2)＋P(A1A2ҧ3)
＝P(ҧ1)＋P(A1)P(ҧ2)＋P(A1)P(A2)P(ҧ3)
＝
1
4
2
4
3
3
101
＋ × ＋ × × ＝
.
5
5
5
5
5
5
125
随堂检测
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸
两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( D )
A.
3
5
B．
4
5
7
乙中靶的概率为
10
3
4
C.
12
(2)性质
ҧ
ҧ 也都相互独立．
ത
如果事件A与B相互独立，那么A与ത ， 与B，
与
(3)公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于
每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．事件的相互独立性
(4)两个事件独立与互斥的区别
1
2
＝(1- × )× ＝
15
.
32
总结提升
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相
互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接
4
3
2
则P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ .
5
5
5
该选手被淘汰的概率为P(ҧ1)＋P(A1ҧ2)＋P(A1A2ҧ3)
＝P(ҧ1)＋P(A1)P(ҧ2)＋P(A1)P(A2)P(ҧ3)
＝
1
4
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3
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＋ × ＋ × × ＝
.
5
5
5
5
5
5
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随堂检测
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸
两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( D )
A.
3
5
B．
4
5
7
乙中靶的概率为
10
3
4
C.
12
高二数学课件人教新课标：选修2-32.2.2事件的相互独立性
③A={掷出偶数点}；B={掷出3的倍数点}
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。 若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例： 事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下 列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么 （1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出 白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。 若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例： 事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下 列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么 （1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出 白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))
相互独立事件概率一 ppt课件
相互独立事件同时 发生的概率 (一)
1.互斥事件与对立事件
(1)A与B是互斥事件: 事件A与事件B不可能同时发生；
(2)A与B是对立事件: 事件A与事件B不可能同时发生，且A 与B中必有一个发生 对立事件必是互斥事件，但互斥事 件不一定是对立事件。
2、互斥事件的概率关系
（1）若A，B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) （2）若A1,A2,…,An彼此互斥, 则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) （3）若A的对立事件记为Ā，
课堂练习
例题2
在一线路中并联着3个自动控制的常用开 关，只要其中有一个开关能够闭合，线路 就正常工作。假定某段时间内每个开关能 够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间 内线路正常工作的概率.
课堂练习
1.P.140-3 2.甲袋中有8个白球，4个红球； 乙袋中有6两个坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率 P(AB)32 54
另一方面：“从甲坛子里分别摸出1
个球，得到白球”的概率P：( A) 3 5
“从乙坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率：
P(B) 2
4
∴ P(A•B)= P(A)•P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
球是同色的概率是多少？
课堂小结
两个事件相互独立，是指它们其 中一个事件的发生与否对另一个 事件发生的概率没有影响
相互独立事件同时发生的概率等 于每个事件发生的概率的积
课堂小结
求解较复杂事件概率的一般思路 (1)正向思考：
通过“分类”或“分步”将较复杂事 件进行分解，转化为简单的互斥事 件的和事件或相互独立事件的积事 件； (2)逆向思考:转化为求它的对立事件 的概率
1.互斥事件与对立事件
(1)A与B是互斥事件: 事件A与事件B不可能同时发生；
(2)A与B是对立事件: 事件A与事件B不可能同时发生，且A 与B中必有一个发生 对立事件必是互斥事件，但互斥事 件不一定是对立事件。
2、互斥事件的概率关系
（1）若A，B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) （2）若A1,A2,…,An彼此互斥, 则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) （3）若A的对立事件记为Ā，
课堂练习
例题2
在一线路中并联着3个自动控制的常用开 关，只要其中有一个开关能够闭合，线路 就正常工作。假定某段时间内每个开关能 够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间 内线路正常工作的概率.
课堂练习
1.P.140-3 2.甲袋中有8个白球，4个红球； 乙袋中有6两个坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率 P(AB)32 54
另一方面：“从甲坛子里分别摸出1
个球，得到白球”的概率P：( A) 3 5
“从乙坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率：
P(B) 2
4
∴ P(A•B)= P(A)•P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
球是同色的概率是多少？
课堂小结
两个事件相互独立，是指它们其 中一个事件的发生与否对另一个 事件发生的概率没有影响
相互独立事件同时发生的概率等 于每个事件发生的概率的积
课堂小结
求解较复杂事件概率的一般思路 (1)正向思考：
通过“分类”或“分步”将较复杂事 件进行分解，转化为简单的互斥事 件的和事件或相互独立事件的积事 件； (2)逆向思考:转化为求它的对立事件 的概率
数学——相互独立事件概率课件
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立, 进而
= 0.8
20年后重登奥运之巅 中国女排雅典圆梦
2004年雅典奥运会女子排球决赛在中国和俄罗斯 之间展开，最终中国女排在先失两局的不利情况 下连扳三局，以总比分3-2击败俄罗斯女排获得冠 军，这也是中国女排继1984年洛杉矶奥运会夺冠 以来第二次在奥运会女排比赛中摘金，这是女排 姑娘的骄傲！也是全中国人民的骄傲！！！
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
是 n重伯努利试验.
一般地，对于贝努里概型，有如下公式：
3. 二项概率公式 定理 如果在贝努里试验中，事件A出现的
概率为p (0<p<1), 则在n次试验中，A 恰好出现 k 次的概率为：Leabharlann A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
3 P(B A) P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
2. 定义1.9 设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
也相互独立.
①
注 称此为二事件的独立性
②
关于逆运算封闭.
③
证①
又∵ A与B相互独立 ③
例1 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中 敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率.
解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 }
C={敌机被击中 } 依题设,
高中数学课件 1.相互独立事件及其同时发生的概率
2.独立事件同时发生的概率的计算公式 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时
发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
例2.生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是 97％,从它们生产的零件中各抽取1件，求两次都抽到合格品的概率。
解：分别记这段时间内开关JA、JB、JC能够闭合 JA 为事件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互 JB 之间没有影响。 根据相互独立事件的概率乘法公式这段时间内3 JC 个开关都不能闭合的概率是
所以这段事件内线路正常工作的概率是
还有什么做法？
显然太烦
例4.在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算 在这段时间内： (1)甲、乙两地都下雨的概率； P=0.2×0.3＝0.06 (2)甲、乙两地都不下雨的概率 P=(10.2)×(10.3)=0.56 (3)其中至少有1个地方下雨的概率
解法一：设P(乙答错）= x，则由题意，得 P(甲答错且乙答错）=0.2，
∴P(由乙答出）P(甲答错且乙答对）
解法二：P(由乙答出）=1-P(由甲答出）-P(两人都未答出） =1- 0.4- 0.2=0.4
两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是 不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提 的．
P(D)=1-P(A·B·C)
又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互 独立的，所以
P(D)=1-P(A)·P(B)·P(C) =1- 0.9×0.8×0.7=0.496
事件的相互独立性与条件概率、全概率公式课件-2025届高三数学一轮复习
3.全概率公式
一般地，设 ， ，⋯ ， 是一组两两互斥的事件，
∪ ∪ ⋯ ∪ = ,且 > , = ,2,⋯ ,,则对任意的事件 ⊆ ，
∑ ∣
有 =⑧_________________.
=
我们称上面的公式为全概率公式.
−
+ −
= −
+ − ,故C不正确;对于D，
发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或
0,1,0或1,0,0或0,0,0，则此方案的概率
= −
+ −
= −
相互独立事件不一定互斥.
2.条件概率
（1）概念：一般地，设，为两个随机事件，且 > ,我们称②
| =
_______________为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称
条件概率.
（2）两个公式
①利用古典概型： |
=③______.
|
=
=
,
=
=
，由条件概率
.
方法二（样本点数法）：不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有
× = 个样本点， = × = ， = × = ，
所以 | =
=
=
.
注意 | 和 | 的区别.
1.事件的关系与运算
（1），都发生的事件为；，都不发生的事件为.
高考数学《事件的相互独立性、条件概率与全概率公式》课件
的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一 人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜， 比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率；
解 甲连胜四场的概率为116.
索引
(2)求需要进行第五场比赛的概率； 解 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1－116－116－81＝34.
称条件概率.
(2)两个公式
n（AB）
①利用古典概型，P(B|A)＝___n_（__A_）___；
②概率的乘法公式：P(AB)＝_____P_(_A_)_P_(_B_|_A_)________.
索引
3.全概率公式
一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且
n
P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝_i∑＝_1_P_（__A_i）__P__（__B_|A__i），
否通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为
( C)
1
2
A.2
B.3
5
1
C.6
D.12
Байду номын сангаас
索引
解析 设Ai＝“第i次通过第一关”，Bi＝“第i次通过第二关”，其中i＝1，2；
由题意得，选手能进入第三关的事件为 A1B1＋A－1A2B1＋A1B－1B2＋A－1A2B－1B2，
所求概率为
件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构
解 甲连胜四场的概率为116.
索引
(2)求需要进行第五场比赛的概率； 解 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1－116－116－81＝34.
称条件概率.
(2)两个公式
n（AB）
①利用古典概型，P(B|A)＝___n_（__A_）___；
②概率的乘法公式：P(AB)＝_____P_(_A_)_P_(_B_|_A_)________.
索引
3.全概率公式
一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且
n
P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝_i∑＝_1_P_（__A_i）__P__（__B_|A__i），
否通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为
( C)
1
2
A.2
B.3
5
1
C.6
D.12
Байду номын сангаас
索引
解析 设Ai＝“第i次通过第一关”，Bi＝“第i次通过第二关”，其中i＝1，2；
由题意得，选手能进入第三关的事件为 A1B1＋A－1A2B1＋A1B－1B2＋A－1A2B－1B2，
所求概率为
件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构
事件的相互独立性(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
试验1: 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2: 一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，
采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
两个试验中, 事件A发生与否并不影响事件B发生的概率.
乙的中靶概率为0.9, 求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，
且A与B，A与B，A与B都相互独立.
巩固: 相互独立事件的概率计算
∴P(A) =P(J1Y2∪J2Y1)= P(J1Y2)＋P(J2Y1)
= P(J1)P(
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶
数”.
M＝{1,3,5}, N＝{2,4,6}, MN＝ϕ
∴P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
(3) “两人都脱靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2×0.1=0.02
巩固: 相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛, 甲的中靶概率为0.8,
采用不放回方式从中任意摸球两次。
记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，
A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2: 一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，
采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
两个试验中, 事件A发生与否并不影响事件B发生的概率.
乙的中靶概率为0.9, 求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，
且A与B，A与B，A与B都相互独立.
巩固: 相互独立事件的概率计算
∴P(A) =P(J1Y2∪J2Y1)= P(J1Y2)＋P(J2Y1)
= P(J1)P(
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶
数”.
M＝{1,3,5}, N＝{2,4,6}, MN＝ϕ
∴P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
(3) “两人都脱靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2×0.1=0.02
巩固: 相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛, 甲的中靶概率为0.8,
采用不放回方式从中任意摸球两次。
记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，
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由 题 意 ， 这 两各 种射 情击 况一 在次 时 不 可 能 同时发生，即 B与 事 A件 B互 A 斥.
故所求概率为P（ BAAB）
P （ B ） A P A （ B ） P （ PAB （ ） ） P A （ ） P （B） 0 .6 ( 1 0 . 6()1 0 . 60).60 . 204.2 04.4 8 .
(1) 2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
解：(1)记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射
击1次，击中目标”为事件B．由于甲(或乙)是否击中，对
乙(或甲)击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立
又“两人各射击1次事，件都．击中目标”就是事件
从甲坛子里摸出1个球，有 5 种等可能的结果；从乙坛子 里摸出1个球，有 4 种等可能的结果．于是从两个坛子 里各摸出1个球，共有 5 × 4种等可能的结果.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑)
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是 0.6，计算：(3)至少有1人击中目标的概率．
解 法 P （ B 1 P ） ： A （ B A B P A 0 ） .0 3 .0 6 4.
解法2:两人都未击中目标的概率是
P A （ B ） P A ） （ P B ） （ （ 0 ( .1 6 1 0 ).0 6 0 .) 4 0 . 4 . 16
即
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
如果A、B是两个相互独立的事 件，那么1-P（A）•P（B）表示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个不发生的概率
即 1P (A )P (B )P (AB )
三.例题分析：
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6， 计算：
Α与ΒΑ ，与Β是否也相互独立 ？
2.独立事件同时发生的概率
天马行空官方博客：
“从两h个ttp坛://子t.里qq.分com别/tm摸xk_出do1ci个n 球； ，都是白 球”是QQ一:13个182事411件89，；Q它Q群的：1发755生69，632就是事件
A，B同时发生，我们将它记作 A·B．想一想，上面两个相互独立事件 A，B同时发生的概率P(A·B)是多少？
同时摸出白球的 结果有3×2种．
P(AB)5342
甲
乙
又 P(A) 3 ， 5
P(B) 2 . 4
P (A B ) P (A )P (B )
这就是说，两个相互独立事件同时发 生的概率，等于每个事件发生的概率的 一般地，如果事件A积1，．A2，…，An相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
⑴P（A·B）=P（A）·P（B）=0．9×0．95=0．855
⑵P（A· B）+P（A· B)=P(A) ·P(B)+P(A) ·P(B) =0．9×(1- 0．95)+(ห้องสมุดไป่ตู้ - 0．9) ×0．95 =0．14
另解：1 - P（A·B） -P（A·B）=1 - 0．855 - （1 - 0．95）· （1 - 0．9）=0．14
答：两件都是正品的概率是0．855恰有一件是正品概率 是0．14
三.例题分析：
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中 至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其 中某2个开关闭合、恰好3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求 其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率， 从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率． 解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够 闭合为事件A，B，C(如图)．由题意，这段 时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有 影响．根据相互独立事件的概率乘法公式， 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得
到： P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36．
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6， 计算：(2)其中恰有1人击中目标的概率； （ 2 ） “ 两 人次各，射恰击有1 1 人” 击包 中括 目两 标种 情 况 一 种 是 甲 击 中中 、（ 乙事 未件 B击 发A生 ） ， 另 一 种 是 未 击 中 、 乙 击A中 B（ 发事 生件 ）
把“从甲坛子里摸出1个
球，得到白球”叫做事件
A
P( A)
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个
球，得到白球”叫做事件B
没有影响
P(B) 2 4
甲
乙
二.新课 1.独立事件的定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率
没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事 想一想件：．如果事件Α
与Β相互独立，那么与Α Β，
10.7相互独立 事件同时发 生的概率
天马行空官方博客： /tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632
一.新课引人
问题：
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，
从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
因此,至少有1人击中目标的概率
P1PA (B)10. 106. 84.
答：……
例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0．9， 乙机床的正品率是0．95，从它们制造的产品中 各任抽一件，（1）两件都是正品的概率是多少 ？（2）恰有一件是正品的概率是多少？ 解：设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件 是正品；B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件 是正品，则A与B是独立事件
故所求概率为P（ BAAB）
P （ B ） A P A （ B ） P （ PAB （ ） ） P A （ ） P （B） 0 .6 ( 1 0 . 6()1 0 . 60).60 . 204.2 04.4 8 .
(1) 2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
解：(1)记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射
击1次，击中目标”为事件B．由于甲(或乙)是否击中，对
乙(或甲)击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立
又“两人各射击1次事，件都．击中目标”就是事件
从甲坛子里摸出1个球，有 5 种等可能的结果；从乙坛子 里摸出1个球，有 4 种等可能的结果．于是从两个坛子 里各摸出1个球，共有 5 × 4种等可能的结果.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑)
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是 0.6，计算：(3)至少有1人击中目标的概率．
解 法 P （ B 1 P ） ： A （ B A B P A 0 ） .0 3 .0 6 4.
解法2:两人都未击中目标的概率是
P A （ B ） P A ） （ P B ） （ （ 0 ( .1 6 1 0 ).0 6 0 .) 4 0 . 4 . 16
即
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
如果A、B是两个相互独立的事 件，那么1-P（A）•P（B）表示什么？
想一想？
表示相互独立事件A、B中 至少有一个不发生的概率
即 1P (A )P (B )P (AB )
三.例题分析：
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6， 计算：
Α与ΒΑ ，与Β是否也相互独立 ？
2.独立事件同时发生的概率
天马行空官方博客：
“从两h个ttp坛://子t.里qq.分com别/tm摸xk_出do1ci个n 球； ，都是白 球”是QQ一:13个182事411件89，；Q它Q群的：1发755生69，632就是事件
A，B同时发生，我们将它记作 A·B．想一想，上面两个相互独立事件 A，B同时发生的概率P(A·B)是多少？
同时摸出白球的 结果有3×2种．
P(AB)5342
甲
乙
又 P(A) 3 ， 5
P(B) 2 . 4
P (A B ) P (A )P (B )
这就是说，两个相互独立事件同时发 生的概率，等于每个事件发生的概率的 一般地，如果事件A积1，．A2，…，An相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
⑴P（A·B）=P（A）·P（B）=0．9×0．95=0．855
⑵P（A· B）+P（A· B)=P(A) ·P(B)+P(A) ·P(B) =0．9×(1- 0．95)+(ห้องสมุดไป่ตู้ - 0．9) ×0．95 =0．14
另解：1 - P（A·B） -P（A·B）=1 - 0．855 - （1 - 0．95）· （1 - 0．9）=0．14
答：两件都是正品的概率是0．855恰有一件是正品概率 是0．14
三.例题分析：
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中 至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其 中某2个开关闭合、恰好3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求 其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率， 从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率． 解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够 闭合为事件A，B，C(如图)．由题意，这段 时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有 影响．根据相互独立事件的概率乘法公式， 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得
到： P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36．
答：……
例1 甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6， 计算：(2)其中恰有1人击中目标的概率； （ 2 ） “ 两 人次各，射恰击有1 1 人” 击包 中括 目两 标种 情 况 一 种 是 甲 击 中中 、（ 乙事 未件 B击 发A生 ） ， 另 一 种 是 未 击 中 、 乙 击A中 B（ 发事 生件 ）
把“从甲坛子里摸出1个
球，得到白球”叫做事件
A
P( A)
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个
球，得到白球”叫做事件B
没有影响
P(B) 2 4
甲
乙
二.新课 1.独立事件的定义
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率
没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事 想一想件：．如果事件Α
与Β相互独立，那么与Α Β，
10.7相互独立 事件同时发 生的概率
天马行空官方博客： /tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632
一.新课引人
问题：
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，
从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
因此,至少有1人击中目标的概率
P1PA (B)10. 106. 84.
答：……
例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0．9， 乙机床的正品率是0．95，从它们制造的产品中 各任抽一件，（1）两件都是正品的概率是多少 ？（2）恰有一件是正品的概率是多少？ 解：设A=从甲机床制造的产品中任意抽出一件 是正品；B=从乙机床制造的产品中任意抽出一件 是正品，则A与B是独立事件