太原理工大学-线性代数练习册
(完整版)线性代数习题集(带答案)(最新整理)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ().(A) 24315 (B) 14325(C) 41523(D)243512．如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是( ).n n j j j 21k 12j j j n (A)(B)(C)(D)k k n -k n -2!k n n --2)1(3. 阶行列式的展开式中含的项共有()项.n 1211a a (A) 0(B)(C) (D) 2-n )!2(-n )!1(-n 4．( ).=0001001001001000(A) 0 (B) (C) (D) 21-15.( ).=01100000100100(A) 0 (B) (C) (D) 21-16．在函数中项的系数是( ).1000323211112)(x x x x x f ----=3x (A) 0(B) (C)(D) 21-17. 若，则 ( ).21333231232221131211==a a a a a a a a a D =---=3231333122212321121113111222222a a a a a a a a a a a a D (A) 4 (B)(C) 2 (D) 4-2-8．若，则 ( ).a a a a a =22211211=21112212ka a ka a(A) (B) (C) (D)ka ka -a k 2ak 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为3,1,0,4-, 则().x ,1,5,2-=x (A) 0(B)(C)(D) 23-310. 若，则中第一行元的代数余子式的和为().5734111113263478----=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-011. 若，则中第四行元的余子式的和为( ).2235001011110403--=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-012. 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解.k ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x ( )(A) (B)(C)(D)1-2-3-0二、填空题1. 阶排列的逆序数是.n 2)12(13)2(24-n n 2．在六阶行列式中项所带的符号是.261365415432a a a a a a 3．四阶行列式中包含且带正号的项是.4322a a 4．若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于n 12+-n n 0.5. 行列式.=01001110101001116．行列式.=-0100002000010 nn 7．行列式.=--0001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a 8．如果，则.M a a a a a a a a a D ==333231232221131211=---=3232333122222321121213111333333a a a a a a a a a a a a D 9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式.=--+---+---1111111111111111x x x x 11．阶行列式.n =+++λλλ11111111112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式，为D 中第四行元的代数余子式，5678123487654321=D j A 4)4,3,2,1(=j 则.=+++44434241234A A A A 14．已知， D 中第四列元的代数余子式的和为.db c a c c a b b a b c a c b a D =15．设行列式，为的代数余子式，则62211765144334321-==D jA 4)4,3,2,1(4=j a j ，.=+4241A A =+4443A A16．已知行列式，D 中第一行元的代数余子式的和为nn D10301002112531-=.17．齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 18．若齐次线性方程组有非零解，则=.⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x k 三、计算题1.; 2．；cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222yx yx x y x y y x y x +++3．解方程； 4．；0011011101110=x x xx 111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x5. ()； na a a a111111111111210n j a j ,,1,0,1 =≠6. bn bb ----)1(1111211111311117. ； 8．; n a b b b a a b b a a a b 321222111111111xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 3212121219.;10.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++210001200000210001210001211．.aa a a a a a a aD ---------=111100011000110001四、证明题1．设，证明：.1=abcd 011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a 2．.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++3．.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=4．.∏∑≤<≤=----=nj i i j n i i nnn nn nn n nna a a a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(1115．设两两不等，证明的充要条件是.c b a ,,0111333=c b a c ba 0=++cb a参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.n ”“-43312214a a a a 00!)1(1n n --; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.;1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---M 3-160-4x 1)(-+n n λλ2-13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.009,12-)11(!1∑=-nk k n 3,2-≠k 7=k 三．计算题1．； 2. ；))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-)(233y x +-3. ;4.1,0,2-=x ∏-=-11)(n k kax 5.;6. ;)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ))2(()1)(2(b n b b ---+- 7. ;8. ;∏=--nk k kna b1)()1(∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(9. ;10. ;∑=+nk k x 111+n 11. .)1)(1(42a a a ++-四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数-作业册(2019.12)
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1．计算下列二阶、三阶行列式：
线性代数同步习题册 第 - 1 - 页
2）
2xx11+−xx22+−xx33
=1 =1
.
姓名
x1 − x2 + x3 = 2
2 −3
1)
=
15
cos − sin
；
=
sin cos
201 2) 1 − 4 −1 =
−1 8 3
a b a+b 3) b a + b a =
0
0
0 0 4
3 0 1 2) 设 A = 1 1 0 ，且 AX = A + 2X , 求 X .
0 1 4
上课教室 1. 填空题
习题四
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线性代数同步习题册 第 - 7 - 页
2.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵)：
2 2 3 2 2
姓名
（1）
1
−1
0
X
=
3
2
；
−1 2 1 0 −2
y0
0x
a0 1 1
1
1 a1 0
0
（5） Dn+1 =
10
an−1 0
10
0 an
（其中 ai 0, i = 1, 2,, n ）
3．已知齐次线性方程
(1 −
2
x1
) x1 + (3
− −
2x2 + 4x3 )x2 + x3
=0 =0
x1 + x2 + (1 − )x3 = 0
有非零解，求常数 的值.
( A + E)−1 =
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一. 判断题（正确打√，错误打×）1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答：反例：取01=α，02≠α，则2α不能由1α线性表示，但21,αα线性相关.2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答：向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ； 所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×)解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×) 解答：反例：取0,0==≠γβα，则向量组γβα,,只有一个极大无关 组α，但γβα,,线性相关.正确命题：若γβα,,线性无关，则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). （A ） 向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A ）（A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示; （C ）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A ）3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则(B ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;（C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B ）正确. 注意（D ），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312121αα，线性无关，但⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32132121αα，线性相关.4. 下列命题错误的是（ ）（A ）若n 维向量组m ααα,,,21 中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；（B ）若n 维向量组m ααα,,,21 的秩小于m ，则此向量组线性相关； （C ）若n 维向量组12,,,r ααα线性无关，12,,,s βββ也线性无关，则向量组12,,,r ααα，12,,,s βββ的秩为r s +；（D ）任何一组不全为零的数12,,,r k k k 使11220r r k k k ααα+++≠，则向量组12,,,r ααα线性无关.解答：选项（C ）错误. 反例：设1α线性无关，则11βα=线性无关，但11,αβ线性相关，它的秩=1≠1+1.5.已知向量组321,,ααα线性无关, 则下面线性无关的向量组是 (C).(A) 133221,,αααααα---; (B) 133221,,αααααα-++; (C) 133221,,αααααα+++; (D) 2132218-,53,2αααααα+++.解答：(A):0101-1-11-1=; (B) 0101-110011=；(C) ：2101110011=； (D) 0081-053021=.三. 填空题1. 设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα---的秩=r2 .解答：因为011-1-11-1=, 所以133221,,αααααα---线性相关, (或者因为0)()()(133221=-+-+-αααααα, 所以133221,,αααααα---线性相关) 但3221,αααα--线性无关, 所以2=r .(设0)()(322211=-+-ααααk k 则0)(3221211=--+αααk k k k , 因为321,,ααα线性无关, 所以021==k k , 所以3221,αααα-- 线性无关.)2. 已知),1,1,2(),2,0,1,1()0,1,2,1(321a ==-=ααα，, 若由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 则=a 6 .解答：因为由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 而21,αα线性无关, 所以3α可由21,αα唯一线性表示, 所以22113αααk k +=, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+=21212121212k a k k k k k , 解得6=a . 3. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组m ααα,,,21 ，β的秩=1m + .解答：因为m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，所以m ααα,,,21 ，β线性无关，所以秩=1m + .4. 若向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322121αα，与向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 14321ββ，不等价， 则常数=k 34. 解答：如果21ββ，线性无关，则两个向量组等价，所以应该是21ββ， 线性相关，所以34=k .5. 已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量 组γβα,,的极大无关组为γβ,.解答：因为,,γβδ线性无关，所以γβ,线性无关，而γβα,,线性相 关，所以向量组γβα,,的极大无关组为γβ,.四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由. 1． ),,(1z y x =α, ),,(2y z x =α,)2,2,2(3y z x =α； 解答：因为32αα，线性相关，所以321ααα，，线性相关. 2．),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β； 解答：三个四维向量一定线性相关. 3．)3,2,1(1=γ, )3,2,0(2=γ, )2,3,1(3=γ；解答：因为05231320321≠-=，所以线性无关.4．)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ.解答：因为)1,1,1(11=δ，)0,1,1(22=δ, )0,0,1(33=δ线性无关， 所以)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ线性无关. 五．计算题1. 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===，问：（1）t 为何值时，向量组123,,ααα线性无关；（2）t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关，当线性相关时，将3α表示为23,αα的线性组合.解答：（1）向量组123,,ααα线性无关当且仅当111123013t≠，所以5t ≠；（2）向量组123,,ααα线性相关当且仅当111123013t=，即5t =，设31122k k ααα=+，所以12121212335k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1212k k =-⎧⎨=⎩，即3122ααα=-+.2. 设123,,ααα线性无关，问常数,,a b c 满足什么条件时，12233,,a b c αααααα---线性相关.解答：设112223331()()()0k a k b k c αααααα-+-+-=，即131122233()()()0ak k k bk k ck ααα-+-++-+=，因为123,,ααα线性无关，所以131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，当01101001a babc c --=-≠-时，1030k k k ===，当1abc =时，由131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩知12321k bk k k c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以12233,,a b c αααααα---线性相关当且仅当1abc =.六．证明题1.设向量组m ααα,,,21 中任意向量i α都不能由121,,,i ααα-线性表示，且10α≠，证明m ααα,,,21 线性无关.证明 因为10α≠，2α不能由1α线性表示，所以1α也不能由2α线性表示（如果120k αα=≠，则0k ≠，所以2α能由1α线性表示，矛盾），所以12,αα线性无关，而3α不能由12,αα线性表示，所以123,,ααα线性无关，以此类推，由于m 有限，所以m ααα,,,21 线性无关.2.已知向量组（Ⅰ）123,,ααα，（Ⅱ）1234,,,αααα，（Ⅲ）1235,,,αααα 如果，()4r III =，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证明 因为()4r III =，所以1235,,,αααα线性无关，所以123,,ααα线性无关，且5α不能由123,,ααα线性表示，而()3r II =，所以4α可由123,,ααα线性表示，所以54αα-不能由123,,ααα线性表示，所以12354,,,ααααα-的秩为4.3．已知⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ,证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.证明： 因为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ，所以321,,βββ可由321,,ααα线性表示，又因为01321100111321211111≠-==，所以321,,ααα也可由321,,βββ线性表示（或者直接由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-+=2133212321122ββαβββαβββα）.4.已知向量组,21αα+,32αα+13αα+线性无关，证明向量组321ααα,, 也线性无关.证明：记⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=313322211ααβααβααβ，那么321,,βββ可由321,,ααα线性表示，又因为02101110011≠=，所以321,,ααα可由321,,βββ线性表示，所以两个向量组等价，从而秩相等，而321,,βββ线性无关，所以321,,ααα线性无关. （如果要解出321,,ααα的话，可以这样做：∑∑=iiαβ2，所以2211ββα-=∑j ，3212ββα-=∑j ，1213ββα-=∑j ）5. 设n 维向量组（1）:s ααα,,,21 的秩为1r ；（2）：s βββ,,,21 的秩为2r ；（3）：s s βαβαβα+++,,,2211 的秩为3r .证明321r r r ≥+.证明： 不妨设1,,,21r ααα 是s ααα,,,21 的一个无关组，2,,,21r βββ 是s βββ,,,21 的一个无关组，则s s βαβαβα+++,,,2211 可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示，所以s s βαβαβα+++,,,2211 的无关组可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示，所以321r r r ≥+.6．已知2≥s 且s ααα,,,21 线性无关, s αααβ+++= 21.证明向量组s αβαβαβ---,,,21 线性无关. 证明： 记s αααγ+++= 321， s αααγ+++= 312 131-+++=s s αααγ因为0)1)(1(011111101≠--=-s s，所以s γγγ,,,21 可由s ααα,,,21 线性表示，二者等价，秩相等，所以s γγγ,,,21 线性无关.7．若向量组s ααα,,,21 线性相关，证明对任意的实数s k k k ,,,21 ， 向量组s s k k k ααα,,,2211 也线性相关.证明 如果s k k k ,,,21 中至少有一个为零，则s s k k k ααα,,,2211 线性相关.下面假设s k k k ,,,21 全不为零. 因为s ααα,,,21 线性相关，所以存在不全为零的数s λλλ,,,21 使得02211=+++s s αλαλαλ ，所以0)()()(22221111=+++s s ssk k k k k k αλαλαλ ，由于sλλλ,,,21 不全为零，所以ss k k k λλλ，，， 2211不全为零，所以向量组s s k k k ααα,,,2211 线性相关.实用文档文案大全。
线性代数习题解答 [理工类] 第二版(主编：肖马成)
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习题一A 组1.计算下列二阶行列式 （1）521-12= （2）012896= （3）2222ba abbab a -= （4）11112322--=++-x x x x xx2.计算下列三阶行列式（1）132213321=1+8+27-6-6-6=18 （2）5598413111= （3）714053101-=- （4）00000=dc b a 3. 当k 取何值时，10143kk k-=0. 解：10143kk k-0)3(0)(02-----++=k k ， 得 0342=+-k k ， 所以 1=k 或 3=k 。
4.求下列排列的逆序数.解：(1) 512110)51324(=++++=τ.(2) 8142010)426315(=+++++=τ. (3) 21123456)7654321(=+++++=τ.(4) 1340423000)36715284(=+++++++=τ.5.下列各元素乘积是否是五阶行列式 ij a 中一项?如果是,该项应取什么符号? 解：(2) 不是. 因为 5145332211a a a a a 中有俩个元素在第一列. (3) 是. 对应项为534531*********)1(a a a a a ）（τ-1021)24153(+++=τ 所以该项应取负号。
6.选择i , j 使j i a a a a a 54234213成为五阶行列式 ij a 中带有负号的项解: 当 )5,1(),(=j i 时, 30102)31425(=+++=τ, 是奇排列.当 )1,5(),(=j i 时, 81232)35421(=+++=τ, 是偶排列. 所以 i = 1, j = 5.8.利用行列式性质计算下列行列式.解: (1) 111212321-2343032123121----+-+-r r r r 6243032132-=--+-r r (2) 6217213424435431014327427246-621721100044354320003274271000123c c c ++621721144354323274271103=. 62110014431002327100110323c c +-621114431232711105=31212r r r r +-+-2942111032711105--=294105⨯ (3)1111111111111111---820000200002011114,3,21-=---=+-i r r i(4)1502321353140422-----1523213531402112-----=11203840553002112234413121-----+++r r r r r r11205100046100211223424-----+-+-r r r r 7130051000461002112242------+-r r 7130120046100211)5(2-----=27120046100211)5(2743----+r r 272100641020111043---↔c c 270-=.（5）yy x x -+-+1111111111111111yyy x x x c c c c --+-+-11011010110123412yy x x r r r r --+-+-011000010124321yy x x--=00011000101012232001000010101y x yy xxr r =--+（6）dc b a c b a ba ad c b a c b a b a a dc b a c b a ba a dc b a++++++++++++++++++3610363234232cb a b a ac b a b a a c b a b a ad c b ai r r i 36103630234232004,3,21+++++++++=+-ba ab a ac b a b a ad c b ar r r r 37302000324232++++++-+-443020003a ab a ac b a b a ad c b ar r =+++++-9.用行列式性质证明:(1) 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++=333222111c b a c b a c b a 证明: 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++33332222111123c b kb a c b kb a c b kb a c c ++++-33322211112c b a c b a c b a c kc +-. (2) efcf bf de cd bdaeac ab---=abcdef 4证明: ef cfbf de cd bdae ac ab---d cbe c b e c b abf---的公因子提取各行111111111---abfbce 的公因子提取各列 022001113121-++a b c d e f r r r r 202011123--↔a b c d e f r r a b c d e f 4=.(3)y y x x ++++1111111111111111y x xyy x 222222++=证明:y y x x++++1111111111111111=y y x x+++++++1110111101111011111y y x +++=1111111111111111 yy x x++++111011*********y y x 0000000001111=yy x x +++++++110101101011101101y y x x y y xxy +++++++=1010011001010101000000011101112yy x x yx x xyxy+++++=101001001001100110011011022yy x x y x xxy+++=10100100100000110011011022=+++=)1(2222y y x y x xy222222y x y x xy++.10.解下列方程:(1)0913251323222321122=--xx解: 由 2243212240005132320321129132513232223211xx r r r r x x ----+-+---223140131********2xx r r ------+-222212401310332003211xx x r r x -------+22223403320013103211xx xr r ------↔)4)(32(22x x ---=得 0)4)(32(22=---x x 所以 2=x 或 2-=x .(2)0011101101110=x x x x解: 由=++++=+01110110122224,3,20111011011101xx x x x x x i r r xx x x i 0111011011111)2(xx x x +11111010101111)2(413121-------++-+-+-x x x x x x r r r xr r r x x x x x x x r r -------++10011010101111)2(43xxx x x x x xxx x x x x x r r x ------+=----+----++-10)1(0010101111)2(10)1)(1(10010101111)2()1(32xxx x x x ----⨯-+=1)1(111)2(=})1(){1)(2(22x x x x -+-+2)2)(2(x x x -+-=得 0)2)(2(2=-+x x x , 所以 021==x x ,23=x , 24-=x . 15. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1）⎩⎨⎧=+=+2731322121x x x x解：由系数行列式57332==D 172311==D 123122==D5111==DD x , 5122==DD x .(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-445222725 1243321321321x x x x x x x x x解: 由系数行列式 63871702112452181211245272524331212313=--+-+----+-+----=r r r r r r r r D=--+-+---=411437862200124454722224131211c c c c D 63 126002312545322442722521331212=---+-+-=r r r r D 18910717703112452148131124522225143312123133=--+-+---+-+----=r r r r r r r r D 得 111==DD x , 222==DD x ,333==DD x .16.判断下列齐次方程组是否有非零解: (1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=++--=+-+0320508307934321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式3211151118137931------=D 4728144022198079313413121------+-+-+r r r r r r 0472814422198=-----= (第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解. (2). ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=-++=+-0302430332022432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式315111104)1(231511122)1(31501131321022113121433132102212234232---+----=----+-+----=+r r r r r r D 0131114≠=---=此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 ⎩⎨⎧=-+=+-0)2(504)3(y x y x λλ 有非零解.则λ取何值?解:由系数行列式 )2)(7(14520)2)(3(25432+-=--=---=--=λλλλλλλλD其齐次线性方程组有非零解,则 7=λ 或 2-=λ.习题二A 组1.计算下列矩阵的乘积. (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131. 解： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯+-⨯=12111577251253)2(22)1(113)1()2(1231133)2(1. （2）()0111132=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214. 解： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316665350021161167923. （4）()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x =233322222111x a x a x a +++212112)(x x a a ++313113)(x x a a ++323223)(x x a a + 2. 计算下列各矩阵:(1) 52423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--. 解： 52423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=81267⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8423. （2）2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 解: 2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡433349447(3) n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011. 解： n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011n⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00101001 =nn n nn n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0010001010012)1(001010011001221+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101000n n , 其中 20010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30010⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000010n. (4) n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ001001解： n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ001001=n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001000100000λλλn⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010001010010001λ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---- 222110001000101000100012)1(000100010100010001100010001n n n n nnn n n λλλ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00002)1(000000000000002n nnn nnn n n n λλλλλλ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn nn nn n n n n λλλλλλ0002)1(1其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000001000001000102, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000000001000100001000103n. 5. 证明：对任意n m ⨯矩阵A ，A A T 与T AA 都是对称方阵；而当A 为n 阶对称方阵时，则对任意n 阶方阵C ，AC C T为对称方阵.证明： （1）A A T 为n 阶方阵， 又A A A A T T T =)( A A T ∴为n 阶对称方阵同理T AA 为m 阶对称方阵（2）AC C T 为n 阶方阵， A 为n 阶对称方阵 A A T =∴ 又 AC C AC C T T T =)(AC C T ∴为n 阶对称方阵6.设C B A ,,均为n 阶方阵.证明:如果CA A C AB E B +=+=, 则.E C B =-解: 由已知 E B A E E AB B =-=-)(, 则 B A E =--1)(.且 A CA C =-即 A A E C =-)(, 则 AB A E A C =-=-1)(. 得 E AB B C B =-=-.8.（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=122341213A 解：25=A 1011=A 521=A 531-=A712-=A 122-=A 1132=A 613-=A 823-=A 1333=A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-1386111755102511A9. 解下列矩阵方程: (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23123512X 解: 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251335121, 得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1161923122513231235121X . (3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02110234101100001100001010X 解: 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0110000102110234110000101001010000102110234110000101011X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101201100001021341102, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012X . 11. 设 B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,011002100, 求.B 解: 由已知 ,2)(,2A B E A A B AB =+=+因 01622)(3≠-===+=+A A B E A B E A1)(-+E A 存在, 则 A E A B 2)(1⋅+=-由 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+22240420001021010120220042001110121012,3121r r r r A E A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−→−+--31322211310010001216264042002210101321231332rr r r r r r所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅+=-31322211132)(1A E AB . 12.设B A ,均为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，证明： （1） 若,AB B A =+ 则E A -可逆；（2） 若O E A A =+-432 则E A -可逆，并求-1）（E A -.解: （1）由已知 E E B A AB =+--, 即E E B E A E E B E B A =--=---))((,)()(,所以 E A -可逆,且E B E A -=--1）（.（2）由已知 E E A E A A E E A AE AA 2)(2)(,222-=----=+--,,2))(2(E E A E A -=-- 所以 E A -可逆,且A E E A E A 21)2(211--=--=-）（.14.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=110210000230012A , 求 4,A A 及1-A. 解: 33111212312=⨯=---=A ,由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7-48-7-11-2197168-56-9723-1-244，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=740870000971680056974A . 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112-13111-21231223-1-2-1-1，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31310032-3100002300121-A . 15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形: (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02-112321-1A解: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02-112321-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛+-+-10010001)1(1001101012-1-05-5021-133********r r r r r r r r r 16.求下列各矩阵的秩： （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=61331311405133312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔3312311405136133141r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-+-+-152970275313018348061331243413121r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-152970275313035106133124r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-+-6601212003510613317134232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→121206600351061331⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→0006600351061331 所以3)(=A R 17.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110101011A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a B 111211，且矩阵AB 的秩为2，求a 解：因为2)(=AB R ，所以B A AB ==0 又因为0≠A ， 所以0=B 即01=+-a 1=⇒a习题三A 组2. 设1233()2()5()αααααα-++=+，其中TTT123(2513)(101510)(4111),,,,,,,,,,,ααα===-, 求向量α.解:由已知 123325325αααααα-+-=--+, 即12312311325)325)66ααααααα=---+=+-（（,所以 ().4,3,2,143215209510352152020661T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-+-+=α3. 设向量组123,,ααα线性无关,而向量组 1121233132.,βααβαααβαα=+=-+=-，，试判断向量组123,,βββ的线性相关性.解:设数 321,,k k k 使得 1122330k k k βββ++= 成立，即 1122123313()()(2)0k kk ααααααα++-++-=， 1231122233()()(2)0.k k k k k k k ααα+++-+-=得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=++02003221321k k k k k k k ，其系数行列式0.12-10011111≠= 线性方程组只有唯一解0321===k k k ，则向量组123,,βββ的线性无关.5.已知向量组 TTT123(123)(312)(23),,,,,,,,c ααα==-=问c 取何值时向量组123,,ααα线性无关或向量组123,,ααα线性相关.解:设数 321,,k k k 使得1122330k k k ααα++=成立，得线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++023032023321321321ck k k k k k k k k ， 其系数行列式)5(732213321T--=-c c.所以 ⇔=-05c 线性方程组有非零解 ⇔向量组123,,ααα线性相关; ⇔≠-05c 线性方程组只有零解 ⇔向量组123,,ααα线性无关.6.设向量组123,,ααα线性无关,证明向量组122331,,αααααα+++也线性无关. 解：设数 321,,k k k 使得112223331()()0k k k αααααα+++++=（）成立， 得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ， 其系数行列式02110011101T≠=线性方程组只有唯一解0321===k k k ，所以向量组122331,,αααααα+++线性无关.7. 设向量组123,,ααα线性无关,判断向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关性 并证明之.解：设数 4321,,,k k k k 使得 112223334441()()()0k k k k αααααααα+++++++=（） 成立 得线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+0043322141k k k k k k k k 其系数行列式0110011000111001=则线性方程组有非零解，所以向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关 .9.若向量组m ααα ，，21线性无关,而向量β不能由m ααα ，，21线性表示,证明向量组βααα，，，m 21线性无关.证明: 反证法.设βααα，，，m 21线性相关,由定理3.1向量β可由m ααα ，，21线性表示,这与已知条件矛盾.假设不成立.所以向量组βααα，，，m 21线性无关. 10.判断题(结论对的请在括号内打“√” ,错的打“×”)(1) 若当数021====m k k k 时,有02211=+++m m k k k ααα 则向量组m ααα ，，21线性无关. ( × ).(2) 若有m 个不全为零的数m k k k ,,,21 , 使得02211≠+++m m k k k ααα 则向量组m ααα ，，21线性无关 ( × ).(3) 若向量组m ααα ，，21线性相关,则1α可由其余向量线性表示. ( × ).(4) 设向量组r I ααα,,,)(21 ;m r r II ααααα,,,,,,)(121 +.若向量组r I ααα,,,)(21 线性无关,则向量组m r r II ααααα,,,,,,)(121 +也线性无关. ( × ). (5) 若向量组βααα,,,21m ，线性无关,则向量β不能由m ααα,,,21 线性表示. ( √ ). (6) 若向量组m ααα，,,21线性无关且向量1+m α不能由m ααα,,,21 线性表示,证明向量组121,,,,+m m αααα 线性无关. ( √ ).(7) 若向量β不能由m ααα,,,21 线性表示,则向量组βααα,,,21m ，线性无关. ( × ).提示: 利用向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0020,0010,03024321αααα 讨论(1)—(4),(7),利用定理3.1和3.2讨论(5),(6).12.求下列向量组的秩,并求它的一个极大无关组.(1) T T T )3,3,1(,)2,2,0(,)0,1,1(321===ααα. 解: 取矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==320321101),,(321αααA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1002201013202201013221r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是321,,ααα.(2) T T T T )0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321-===-=αααα. 解: 取矩阵),,,(4321αααα=A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0004000011013014000000011013014220011003301301420142427121031130143413121r r r r r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是421,,ααα.(3) TT T T )1,2,3,4(,)1,1,0,1(,)1,4,5,2(,)1,3,2,1(4321=--==-=αααα解: 取矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1111214330524121)),,,(4321αααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----++-+-00020800521041212080208005210412132523104205210412132433232413121r r r r r r r r r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是321,,ααα. 14.求解线性方程组.(1) .343326133053321321321321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=-+=-+x x x x x x x x x x x x解： 由增广阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝-+-⎪⎪⎭⎝⎛------+-++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+-↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=000110020101001201011000000100161351066006600320137835101529701834806133123351033120513613312311433126133105134232314342431214321r r r r r r r r r r r r r r r r r r r A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121321x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-+=++12321323321321321x x x x x x x x x解：由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3000241031115410241031111212321321311132321r r r r r r A 得 3)(2)(=<=A r A r , 所以此方程组无解.(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++-=++-=--+323153423221234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：由增广阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=000000000017410117501730747007470074701213132311231534123212121313212413121r r r r r r r r r r A得同解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=443343243174751x x x x x x x x x x ;取 ,,72413k x k x == 得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101107450001214321k k x x x x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x解：由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=59571018101402534123111124312325341253414312311112312131r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----007579751076717101得同解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-+-=++=4433432431797575717176x x xx x x x xx x取 ,7,72413k x k x == 得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛70910751007576214321k k x x x x . 15.求下列齐次线性方程组的基础解系及全部解. （1）⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+02302022432143214321x x x x x x x x x x x x解：由系数阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎛---+⎪⎫ ⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=001511005301525155150212132121311122121123121r r r r r r A 得同解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==4433432315153x x xx x x x x x , 取 ,,52413k x k x ==得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100013214321k k x x x x ， 基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010001321ηη，.(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解：由系数阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=0000100102104040011215351105316311213121r r r r A 得同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 取 ,,2412k x k x ==得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100012214321k k x x x x ，基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010001221ηη，. (4) ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++++=++++02202243022253215432154321x x x x x x x x x x x x x x解：由系数阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------+-+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=326532650224312102211221222431102212243112212312121r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+000053525610515452015312r r 得同解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===---=---=55443354325431535256515452x x x x x x x x x x x x x x , 取 3524135,5,5k x k x k x ===,得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=50031,0502400562321ηηη， , 通解 332211ηηηηk k k ++=.18.已知非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=+-+=++12)3(13)12(12321321321λλλλλλλλx x x x x x x x x 解: 由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=22100110121231312123121λλλλλλλλλλλλλr r r r A 知: 当1=λ时, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100101120000100121112r r A ,32)()(<==A r A r ,方程组有无穷多解, 通解为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110011321k x x x ;当0=λ时, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210020102120130002210011012002313r r r r A 则 3)(2)(=<=A r A r ,方程组无解;当1,0≠λ时, 有3)()(==A r A r ,方程组有唯一解. 19.问b a 、取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax 有唯一解，无解，无穷多解（无穷多解时并求其解）解：（1）系数行列式1211111bb aA ==)1(-a b 当1,0≠≠a b 时方程组有唯一解（克拉默法则）（2）当0=b 时，−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-324113101411rr aA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1003101411a)()(A R A R ≠ 所以线性方程组无解（3）当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012010104111412131141113121b b r r r r bb A 当012=-b 时，即21=b 时 32)()(<==A R A R ，方程组有无穷多解，同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++12142321x x x x令03=x 得方程组的特解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0220X 取13=x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101η此时全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101022k 其中k 为任意常数20. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,1111,1111111111214321ααααβ，， 将β表示成向量组4321,,,αααα的线性组合.解: 设数 4321,,,k k k k 使得 βαααα=+++44332211k k k k 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++11214321432143214321k k kk k k k k k k k k k k k k其增广阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=022122000202010101210022002020122001111111111111112111111111324313413121r r r r r r r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎛---4110210100410010450001411041010041001010101142111000101010101)21(132r r r 得41,41,41,454321-=-===k k k k , 即432141414145ααααβ--+=.21.设四元线性方程组β=AX 的系数矩阵的秩为3，321X X X ,,是其3个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=80021X ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132X X .求其全部解 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-123232321)(X X X 所以全部解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123238002k ξ 其中k 为任意常数B 组1. 判断题(结论对的请在括号内打“√” ,错的打“×”)(1) 若n m >,则n 维向量组m ααα,,,21 线性相关. ( √ ) 提示:定理3.3的推论2.(2)若向量组线性相关,则它的任意一个部分组都相关. ( × ) 提示:利用上面(10)题解中的4321,,,αααα讨论.(3) 若向量组m ααα,,,21 线性相关,则它的秩小于m ,反之也对. ( √ ) 提示: 若向量组m ααα,,,21 的秩为m ,则若.(4) 向量组T T T )1,2,0,0(,)5,1,2,4(,)0,3,0,1(321===ααα的极大无关组为21,αα. ( × ) 提示: 向量组321,,ααα的秩为3.(5) 若n 阶方阵A 的行列式不等于零,则A 的列向量组线性相关. ( × ) 提示: 由n 阶方阵A 的行列式不等于零, 方阵A 的秩n =,和A 的列向量组的秩=方阵A 的秩n =, 则A 的列向量组线性相关. 2. 填空题(1) 向量组T T T )6,0,0(,)5,4,2(,)3,2,1(321===ααα的秩= 2 .解: 由()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000100321600100321600542321,,21321r r A ααα. (2) 若21,αα都是齐次线性方程组0=AX 的解向量,则)43(21αα-A = 0 . 解: 043)43(2121=-=-ααααA A A .(3) 若向量组T T T t t )1,0,0(,)0,2,1(,)0,1,1(2321+=+==ααα线性相关,则1 . 解: 由321,,ααα线性相关,有 0,,321==αααA .即 0)1)(1()1)](1(2[1021011,,222321=+-=++-=++==t t t t t t A ααα.(4) 方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00111032321x x x 的基础解系所含向量的个数= 1 . 解:由系数阵的秩是2,.(5) 方程组⎩⎨⎧=-=-004321x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100,001121ηη .(6) 若线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-kkx x x x x x 2121213122的有解,则长数=k 15/4 .解: 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-kkx x x x x x 2121213122的有解,则其系数阵的秩=增广阵的秩,有0=A所以 0154)3)(1()6(363130211331212112121=-=+---=-+--+-+--=k k k k k r r r r kkA . 3. 单项选择题(1) 向量组(I)线性相关的充分必要条件是（ B ）. (A) (I)中每个向量都可由其余向量线性表示.(B) (I)中至少有一个向量都可由其余向量线性表示. (C) (I)中只有一个向量都可由其余向量线性表示. (D) (I)中不包含零向量. 提示:定理3.2.习题四A 组10.下列矩阵是否为正交矩阵？ （1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-61616221210313131 （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2102102131213121 解：（1）),,(321ααα=A ，其中),,(3211==i i α )(,),(j i j i ≠=0αα),,,(321=j i 所以A 为正交矩阵（2）),,(321ααα=A ，其中),,(3211=≠i i α )(,),(j i j i ≠≠0αα),,,(321=j i 所以A 不是正交矩阵11.设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶正交矩阵，证明AB B 1-也是对称矩阵证明： 由题意可知A A T =， 1-=B B T因为AB BAB BT11--=)( 所以AB B1-也是对称矩阵习题五A 组1. 设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111131111A , 试证向量T)1,1,1(-=α为矩阵A 的属于特征值1=λ的特征向量.解：由 αα⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111111111131111A所以向量T )1,1,1(-=α为矩阵A 的属于特征值1=λ的特征向量.3. 若0λ是矩阵A 的一个特征值, m 是正整数,试证m 0λ是矩阵m A 的一个特征值. 证明: 由0λ是矩阵A 的一个特征值,存在非零向量α,使得αλα0=A 成立,即α是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量.那么有αλαλαλαλαλαmm m m m m mAA AAAAm AA 02202010011)(=======-----所以m 0λ是矩阵m A 的一个特征值. 4. 若0λ是矩阵A 的一个特征值,试证（1）2020-+λλ是矩阵E A A 22-+的一个特征值; （2）若022=-+E A A ,矩阵A 的特征值只能等于-2或1.证明: 由0λ是矩阵A 的一个特征值,存在非零向量α,使得αλα0=A 成立,即α是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量.那么有(1) αλλααλαλαααα)2()2(02002022-+=-+=-+=-+E A A E A A 所以2020-+λλ是矩阵E A A 22-+的一个特征值. (2) 由022=-+E A A , 和 αλλα)2()2(0202-+=-+E A A , 00=α, 有02020=-+λλ, 得1200=-=λλ，,即矩阵A 的特征值只能等于-2或1. 7. 求下列矩阵的特征值与特征向量. (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2223A 解：由 0)2)(1(4)2)(3(2223=+-=+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=-λλλλλλλA E 得特征值.2,121-==λλ当11=λ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()0=-X A E ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00122421x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211α.所以矩阵A 的属于特征值11=λ的全部特征向量为11αk , 其中1k 是任意非零常数.当22-=λ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()02=--X A E ， 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00422121x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122α.所以矩阵A 的属于特征值22-=λ的全部特征向量为22αk , 其中2k 是任意非零常数. (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4112A 解：由 0)3(1)2)(4(41122=-=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-λλλλλλA E 得特征值.321==λλ当321==λλ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()03=-X A E , 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00111121x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11α.所以矩阵A 的属于特征值321==λλ的全部特征向量为αk , 其中k 是任意非零常数.(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311111002A 解：由 3)2(]1)3)(1)[(2(3111112-=+---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-λλλλλλλλA E 得特征值.2321===λλλ当.2321===λλλ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()02=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000111111000321x x x ,其基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121αα.所以矩阵A 的属于特征值.2321===λλλ的全部特征向量为2211ααk k +,其中21,k k 是任意不同时为零常数.8. 设A 为3阶矩阵,满足023,0,0=-=+=-A E A E A E , 求 (1)A 的特征值; (2)A 的行列式A .解: (1) 因,0=-A E 得;11=λ因(),0)1(3=---=---=+A E A E A E 即,0=--A E 得;12-=λ因,0232232233=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-A E A E A E 即,023=-A E 得.233=λ (2)由,23,1,1321=-==λλλ和321λλλ=A ,有23-=A .9. 已知矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=x A 44174147的特征值,12,3321===λλλ求x 的值，并求矩阵A 特征向量。
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵：(1)⎩⎨⎧==011y x x ； (2)⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A T B .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O，则A= O.(2) 若A2= A，则A= O或A= E..7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,利用初等行变换求A -1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（ ）. (A) A -1P 1P 2； (B)P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆.5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A T B ，求.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1. 第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4.证明：3232a cb a b a ac b a ba acb a=++++++.. .5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------(2)yx y x x y x y yx y x +++(3) 0111101111011110(4)1222123312111x x x x x x（5）nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明： |A *|=|A |n-1，(n ≥2)．..8. 设A ,B 都是三阶矩阵，A *为A 的伴随矩阵，且|A |=2，|B |=1，计算 |-2A *B -1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1. 复习题二1．设A ,B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*=B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3⨯1矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．..4．设A ,B 都是n 阶方阵，试证：AB E E A BE -=．第3章 向量空间习 题1.设α1=(1,-1,1)T , α2=(0,1,2)T , α3=(2,1,3)T ，计算3α1-2α2+α3．2.设α1=(2,5,1,3)T , α2=(10,1,5,10)T , α3=(4,1,-1,1)T ,且3(α1- x )+2(α2+x )=5(α3+x ) ,求向量x .3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T , α2=(2,-6,-2)T , α3=(5,4,1)T ；(2) β1=(2,3,0)T , β2=(-1,4,0)T ,β3=(0,0,2)T .4.设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5.设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6.求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示...7.设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8.设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．9.设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(A T B).10.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值...12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14.已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β， 求由基α1, α2, α3到基β1, β2,β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.2．设向量组A : α1, …,αs 与B :β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s ⨯矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r ...3．设有三个n 维向量组A ：α1, α2, α3；B ：α1, α2, α3, α4；C ：α1, α2, α3, α5．若A 组和C 组都线性无关，而B 组线性相关，证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关．4．设向量组A : α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,1)T ,α3=(0,1,1)T 和B : β1=(-1,1,0)T ,β2=(1,1,1)T ,β3=(0,1,-1)T(1) 证明：A 组和B 组都是三维向量空间3R 的基；(2) 求由A 组基到B 组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B 组基下的坐标为(1,2,-1)T ,求α在A 组基下的坐标．第4章 线性方程组习 题 1.写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 4 3212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-0 26 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系...6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T ，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8.设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 问向量β能否由向量组A 线性表示？. .9. 设η*是非齐次线性方程组AX =b 的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn -r 是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn -r 线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn -r 线性无关．复习题四 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a =.2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ，问a , b 为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x 求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3, α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax=β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量α1=(1,-1,1)T ，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A , B 都是n 阶正交矩阵，证明AB 也是正交矩阵．..3. 设A 是n 阶正交矩阵，且|A |=-1，证明：-1是A 的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022..（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1)λA是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p 1=(1,1,1)T ，求矩阵A ．复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是．2.已知3阶矩阵A , A -E ,E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |=．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足． 4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+, α2，则A 的非零特征值为.5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2．7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量． (1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9． 第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．3.已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值X 围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A T A ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n .2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3．3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式*2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式E B 22-． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值． 二、解答题： 6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由．7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵． 测试题二一、填空题:１、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为；２、已知A 为三阶正交矩阵，且A ＜０，则*AA =；３、设方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24523121x ，若A 不可逆，则=x ； ４、设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1001，则6A =； ５、“若向量组321,,ααα线性无关，向量组432,,ααα线性相关，则4α一定能由32,αα线性表示”．该命题正确吗？ 。
线性代数练习册第一章部分答案(本)
1 .AAT E; 3 . A2 E 2. AT A
AAT E A1 AT ; A2 E A1 A AT A1 A
或 或
AAT E AAAT AE AT A
AAT E, A2 E A( AT A) 0, A可逆 A1 A( AT A) A1 0 AT A
2 −3 1 r2 − 2 r1 0 0 1 3 0 2r2 0 −1 −3 r − 2r 0 4 1
2 0 0
−3 1 10
2 −3 1 r1 + 3r2 0 1 0 1 3 0 r1 0 0 0 0 2 −4 −4 −2 −2 3 5 3 4 3 1 0 −1 −4 3 −4 1 −2 0 −2 −1
而 B11 所以，
(1)11 0 1 0 1 0 ， 11 211 0 2 0 2 0
11
1 4 1 0 1 1 4 A11 PB11 P 1 11 1 1 0 2 3 1 1 4 213 1 1 213 1 4 1 1 213 3 1 211 1 1 3 1 211 4 211 2731 2732 683 684
1 0 0
0 5 1 3 0 0
1 （2）B = 3 2 3 解：
−1 −3 −2 −3
3 5 3 4 −1 −3 −2 −3
1 B= 3 2 3 r2 − 3r1 r3 − 2r1 r4 − 3r1
1 0 0 0
3 −1 3 − 4 −8 0 −4 8 0 −3 6 −6 0 −5 10 −10 3 1 0 0 0 1 0 0 −4 −2 0 0 2 −2 0 0 3 2 0 0 −3 2 0 0
太原理工大学 高等代数第七章10第七章课堂练习题
x
2. 设A, B是线性空间 的线性变换，且 是线性空间V的线性变换 是线性空间 的线性变换， AB-BA=E， ， ). 则 ( A) (A) A2B-BA2=2A ; (B) A3B-BA3=3A3 ; (C) A2B-BA2=0 ; (D) A4B-BA4=2AB . 返回 上页 下页
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五.
中求线性变换 线性变换T(x) 在R2中求线性变换
1 2 = 值域及 2 4 x 的值域及核.
解 设x=(x1, x2)T，则有
x1 + 2 x 2 1 T ( x) = 2 x + 4 x = ( x1 + 2 x 2 ) 2 , 2 1
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二. 填空题 中线性变换T把基 把基A:(1,0,1)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T 1. R3中线性变换 把基 变为基B: 在基A 变为基 (1,0,2)T, (-1,2, -1)T, (1,0,0)T，则T在基 在基
1 − 1 1 0 2 0 1 0 − 1
令k1=x1+2x2，则T的值域为 的值域为 T(R2)=
1 k1 k1 ∈ R 2 2 2 − 1 k2 ∈ R
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由x1+2x2=0，得x = (2,-1)T，则T的核为 ， , 的 T-1(0)= k
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4. 设A, B是n维线性空间 的线性变换，它们适合条 维线性空间V的线性变换 是 维线性空间 的线性变换， )时 必有A=B. 件( B )时，必有 ( 它们的值域 值域与 分别相等； (A) 它们的值域与核分别相等； 如k1≠k2≠0 . ) 个线性无关的向量a (B) V 中有 n 个线性无关的向量 1,a2,L,an ，使 L A(ai)=B(ai)，i=1,2,L,n ； )， L 的秩相等； (C) A, B的秩相等；同(A) ，秩r(k1)=r(k2)=n . ) 的秩相等 ( 有相同的特征值. (D) A, B有相同的特征值 有相同的特征值
线性代数期末考试 及答案
线性代数期末考试一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√) 解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T 的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T 为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型. 二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值.2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆；(C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ). (A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221.解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T =,那么B C A 2=)，所以选(D) . 方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T-+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221, 所以选(D) . 方法3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ， 即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a . 5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2. 7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题 1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量. 解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(210420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量. 解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n n nn n n n nE A00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n, 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x x x x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件. 解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00000101-1010101y x y xE A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A .解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则 ()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,， 即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-AP P ， 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为 2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(33335111)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++,所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似. 证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A 与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TTTTTB A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+， 而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A . 4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x T T T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x T T +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T ， 0≥)()(Ax Ax T ， 从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x TTTλ，即矩阵B 为正定矩阵.。
太原理工大学高等数学习题册下册答案
sin t dt t
sin z 2 sin z 2sin z 2 − sin z 2 z ⋅ − = z2 z z x2 Fy F ∂z − ze ∂z −2 zy 5 , 那么 = − x = = − = ∂x Fz 2sin z 2 − sin z ∂y Fz 2sin z 2 − sin z 而Fx = e x , Fy = 2 y 5 , Fz =
⎧3x − y − 2 z − 9 = 0 从而投影直线为 ⎨ ⎩x + y + z −1 = 0 9． 解 要证四点共面， 只需证过四点的三向量共面， 即证三向量混合积为 0，
而这里 AB = {1, −1, 0} , AC = {0, −2,1} , AD = {1,1, −1} ,
1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0
a 的模 | a |= 132 + 7 2 + 152 = 443 ，方向余弦为：
cos α = 13 7 15 ， cos β = ， cos γ = 443 443 443 13 7 15 , , } 443 443 443
a 0 = ±{
| AC |= (1 − 0) 2 + (0 − 3) 2 + (2 − 1) 2 = 11
成的旋转曲面的方程为 x 2 + y 2 = (1 − z ) 2 + z 2 ，截面 Dz 为一圆域，半 径为 R = (1 − z ) 2 + z 2 ， Dz 的面积 A( z ) = π R 2 = π [(1 − z ) 2 + z 2 ] ，那么 所求立体的体积为
V = π ∫ [(1 − z ) 2 + z 2 ]dz = π (−
[ AB, AC , AD] = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 ,故四点共面， 1 1 −1 0 2 −1 0 0 0
高等代数第六章9第六章课堂练习题太原理工大学
2) L(1 , 2 ) L( 1 , 2 ) L(1 , 2 , 1 , 2 )
对以 1 , 2 , 1 , 2 为列向量的矩阵A作初等行变换
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1 2 A 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 1 0
2 1 0 1 2 2 1 2
从而
V1=V2.
证毕.
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五.在R2×2中证明向量组
1 2 3 1 4 3 2 4 3 4 , 4 2 , 2 1 , 1 3 线性相关. 证明 由 1 2 3 1 4 3 2 k1 3 4 k2 4 2 k3 2 1 k4 1 k1 3 k 2 4 k 3 2 k 4 0 即有 2 k1 k 2 3 k 3 4 k 4 0 3 k1 4 k 2 2 k 3 k 4 0 4k1 2k 2 1k 3 3k 4 0
即
x1 x1 x1 x 2 x1 2 x 2
解得x2=-2x1，令x1 =k，得所求向量为
x= k(1, -2)T.
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1 1 2 2 ， 七.已知 A ， W X AX XA , X R 0 1 证明W是R2×2的子空间；求W的基与维数；写出W 中矩阵的一般形式.
第六章 课堂练习题
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一.单项选择题
1. 下列各向量集合不构成线性空间的是（ D ）.
V x x1 , x2 , , xn x1 x2 xn 0, xi R
2 2 2
(A)
线代练习册参考答案
第一章 行列式练习一一、填空题 1.()1!n - 2.()()12121n n n λλλ-- 3. 26,2x -4. (8,3)5.12213344a a a a -6. 2- 二、选择题1.(D)2.(B)3.(C)更正：1112n nq p q p p qa a a 改为1122n n q p q p q p a a a三、解答题1.1x =2.4-3. x a x b ==或4. 2014！5.112ln 3sin 4cos 2525C θθθ+++ 练习二一、填空题1.16-2.()()33x a x a +- 3. 1204. 27 二、选择题 1.(B)2.(D) 三、解答题1.（1）500-（2）160（3）02. （1）9-（2）3-（3）1练习三一、填空题1.62.0,0a b ==3. 124. 2 二、选择题1.(D)2. (D)更正： (D)222--改为3.(B)4. (A)5. (D) 三、解答题1.270-2.1n +3. 64. 12341,2,3,1x x x x ====-第一章复习自测题一、选择题1.(C)2. (D)3.(C)4. (B) (D)5. (A)6. (D)7.(B) 二、填空题1.122460002.53. 1a =更正：去掉b =4. 245. 2014-！ 三、解答题1.（1）7-（2）()()()()a b c b a c a c b ++---2.()221n a a --3.略第二章 矩阵及其运算练习一一、填空题1.24210;121363-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.8212⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭3.112233122221321231212333222x x x x x a a a a x x x a a x +++++4. 72- 二、选择题1.(B)2.(D)3.(A)4.(C)5.(A)三、解答题1.1602.86,1441810310⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3. 146561717173,5139181651122-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 112125224336-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭5.略 练习二一、填空题1.8,6a b ==2.33140416513-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，更正：222()4AB A B A ==改为 3. 04. 1 5. cos sin sin cos θθθθ⎛⎫⎪-⎝⎭6. 100122010345⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、选择题1.(D)更正：最后一选项改为(D)2.(A)3.(B)4.(C) 三、解答题1.3476814234-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭2. 1122212221n n n n ++⎛⎫-- ⎪--⎝⎭ 3.102427-4.略5.()()1111;(2)324A A E A E A E --=-+=-- 练习三一、填空题1.4更正：*A A B =+=改为2.03. 64.100-5.(1)3mn mab - 6. 100010003100051007⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，10007100051003100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、计算题1.020024001320013320057-⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭，，2.4411644643400252550430005252510,120000222001122O A A A O -⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭， 第二章复习自测题一、填空题1.36924612310,⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2.3412⎛⎫⎪⎝⎭3. 1005011023A ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭4. 10010110553211052⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5.26. 22350035a a b b ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭7. 68.21(3)2A A E -+ 二、选择题1.(C)2. (D)3.(A)4. (C)5. (B)6. (B)7.(C)8.(B) 三、解答题1.1123212331236312491016x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩2.123503x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 3.321⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4.27312732683684⎛⎫ ⎪--⎝⎭5.201030102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6.100020011223400252543002525⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭第三章矩阵的初等变换与线性方程组练习一 一、填空题1.123123123c c c b b b a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2.212322111312313332b b b b b b b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、选择题1.(B)2.(A)3.(B)4.(D)1.（1）100001000012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(2)10202011030001400000-⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭2.当||0A k =≠时，A 可逆且1100010111A k k -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3. 11111444411111444411114444411114444A A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦4. 033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭5.001010100-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎝⎭ 练习二 一、填空题1.02.33. 14. 25. 3二、选择题1.(D)2.(B)3.(A)4.(B)三、解答题1.秩是2,32721=--是一个最高阶非零子式2. (1)当1k =时,()1R A =;(2)当2k =-且1k ≠时,()2R A =; (3)当1k ≠且2k ≠-时,()3R A =.练习三1.(B)2.(C)3.(D)4.(B)二、填空题1.1-2.n3. 1238315x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩三、计算题1.12123421100001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(k 1,k 2为任意常数).2.211210x y k z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(k 为任意常数). 3.提示：在第二个方程组中求一组特解. 令34211,1,1,0x x x x ==-==解得. 将该组特解代入第一个方程组中得: 1,4,4a b c ===.更正：第一个方程组中12342x ax x x +++=改为12341x ax x x +++=4.(1)当1m ≠-时, 方程组有惟一解; (2)当1,1,m k =-≠时方程组无解; (3)当1,1,m k =-=时方程组有无穷多解.通解为: 37110710x k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭第三章复习自测题一、填空题1.32.3-3. 2314113-⎛⎫⎪-⎝⎭4. 11n -- 5.1 二、选择题1.(D)2. (D)3.(B)4. (C)5. (B)三、解答题1.3862962129--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭2.秩为3,0755********-=≠是一个最高阶非零子式.3.720335203322233⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭4.2t ≠-无解2t =-且8p =-时， 121234411221100010x x c c x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （12,c c 为常数）2t =-且8p ≠-时，123411210010x x c x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（c 为常数）5.（1）方程组()I 通解为: 21415201x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）将2450-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭代入方程组()II 得2,4,6m n t ===第四章 向量组的线性相关性练 习 一一、C D A B A二、1、3≠t 2、无关 三、线性相关 练 习 二一、D A D C B 二、1、 3 ，531,,ααα2、 6=k ， 21,αα3、21r r = 三、12,a a 四、123,,ααα 422αα=练 习 三 一、C C B二、1、)(,)0,0,1()1,1,1(31R k k TT ∈+2、13、(2,1,0,1)Tk -- 4、n r -三、 基础解系 133(,,1,0)22T ξ=，237(,,0,1)44T ξ-= 四、 基础解系 ξ1=(-9, 1, 7, 0)T ， ξ2=(1, -1, 0, 2)T特解 η=(1, -2, 0, 0)T复 习 自 测 题一、B B D D D 二、1、22、 相关3、(1111)T4、1三、1012101212100111210013a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当1-=a 且3≠b 时，方程组无解 当1-≠a 时，方程组有唯一解当1-=a 且3=b 时，方程组有无穷多解.四、向量组的秩为3，124,,ααα是一个最大线性无关组，并且312ααα=-+，51242αααα=-++． 五、基础解系为: 4534,121001ξξ--==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，六、方程组的通解为: 2111011191212011311040150--=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x c c x x (12,c c 为任意常数) 七、略第五章相似矩阵及二次型练 习 一 一、D C C二、1、 1或-12、12n λλλ ，12n λλλ+++3、 －15 ，94、()T1,0,12-=α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α5、 －1 三、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11111a b ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 四、25五、（1）10λ=，22λ=，33λ=，112121p -⎛⎫⎪⎪-⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，2110p -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，3111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （2）1232λλλ===，1120p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2001p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭六、02321a ,b ,c ,λ==-== 练 习 二 一、A AB二、555555156656650112001102212111102011122121110001011222A P P -⎛⎫⎛⎫--+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ=--=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、01000P ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪，且1100010005P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、11/1/,1/p ⎛ = ⎝211,0p ⎛⎫ =- ⎪⎝⎭311,2p ⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝ 令123(,,)P p p p =，则1800020002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭五、1(2)01(2)102021(2)01(2)nn n n ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎪--+-⎝⎭练 习 三一、 C C C C D 二、1、可逆2、大于零3、 1，0三、1232/32/31/32/3,1/3,2/31/32/32/3p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令123(,,)P p p p =，则所用线性变换的矩阵为P ，且令x Py =，则22212325f y y y =-++。
一本线性代数练习一参考答案
一本《线性代数》练习一答案（共4页）一、单项选择题（4×5=20分）1. 行列式1026341953-的元素6的代数余子式等于( A )(A) 10 (B) －10 (C) 11 (D) －11 2. 设B A ,是n 阶方阵, 则下列结论正确的是( C )(A) T T T B A AB =)( (B) 222)(A B AB = (C) T T T A B AB =)((D) 111)(---=B A AB3. 设A 为n 阶非奇异矩阵, 则下列说法错误的是( B )(A) 0≠A (B) 0=Ax 有非零解 (C) n A R =)((D) A 的特征值均非零4. A 是n 阶正交矩阵, 则下列结论不正确的是( A )(A) A A =2(B) 1-A 也是正交矩阵(C) 1±=A (D) A 的列向量组是n R 的一个标准正交基 5. 设A 为3×4维矩阵, 且3)(=A R , 则A 的标准形为( B )(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010********* (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030000300003 (D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000003二、 填空题(4×5=20分)6. 向量(2,3)-在2R 中的一组基12(1,1),(2,0)αα=-=下的坐标是 3, 1/27. 设321,,λλλ为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=640151243A 的全部特征值, 则=++321λλλ 28. 已知A 为3阶方阵, 且2=A , 则23A = 1089. 已知B A ,均为3阶方阵, 且2)(=A R ,B 可逆, 则)(AB R = 210. A 是n m ⨯维矩阵, 且r A R =)(, 则方程组0=Ax 的解空间的维数是r n - 三、 计算题(8×3=24分)11. 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=121201111A 的逆矩阵. 解：,1-=A (3分) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1121232341A (5分)12. 计算行列式4321343223431234的值解：4321343223431234=4321521010620151050---------（3分）521021000)1(521106215105)1(14-----=----------=+（3分）2002100=-=（2分） 13. 求向量组)1,1,1(),2,1,0(,)3,2,1(321===ααα的秩和一个最大无关组.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==000110101220110101123112101,321），（TT T A ααα（5分），→→=21,,2)(ααA R 或（→→→→3231,;,αααα）是一个最大无关组（3分）。
线性代数习题集(带答案)
______________________________________________________________________________________________________________第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若22351011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).______________________________________________________________________________________________________________(A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111 .12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .______________________________________________________________________________________________________________14．已知db c a cc a b b a b c a c b a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a dcbad c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;______________________________________________________________________________________________________________9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题______________________________________________________________________________________________________________1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数同步习题及答案
c21 c c2源自1 d d2 d4a4
b4
c4
= (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d )(a + b + c + d )
5.试求一个 2 次多项式 f ( x ) ,满足 f (1) = 0, f ( −1) = 1, f ( 2) = −1 .
a 0 0 b
b a 0 0
0 ⋯ b ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯
0 0 a 0
0 0 b a
a a
（6） ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
习 题 1.3
1． 解下列方程组
x1 + x 2 + x3 + x 4 = 5 5 x1 + 2 x 2 + 3x3 = −2 x + 2 x − x + 4 x = −2 1 2 3 4 （1） 2 x1 − 2 x 2 + 5 x3 = 0 （2） 2 x − 3 x − x − 5 x 2 3 4 = −2 3x + 4 x + 2 x = −10 1 2 3 1 3 x1 + x 2 + 2 x3 + 11x 4 = 0 2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：
3 2 − 1 − 3 − 2 (2) 2 − 1 3 1 − 3 7 0 5 − 1 8
1 1 (4) 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
2.问能否适当选取矩阵
1 − 2 − 1 3 A= 3 − 6 − 3 9 4 2 k − 2
线性代数练习册一解答
一. 判断题（正确打√，错误打×）1. 如果n 阶行列式中等于零的元素个数大于n n -2，那么此行列式的值等于零(√ )解答：因为n 阶行列式的元素总数O n n O O n +->+=22，所以n O <，而n 阶行列式的每一项是n 个元素的乘积，所以每一项至少含有一个零因子，所以此行列式的值等于零。
2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( √ )解答：将nnn n nna a a a a a a a a212222111211中的n 、、、32列都加到第一列，则行 列式中有一列元素全为零，所以ij a 等于零.3.3322441144332211000000a b b a a b b a a b a b b a b a =.( √ ) 解答：方法1按第一列展开332244114411414133224133224144332211)(0000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=.方法2 交换2，4列，再交换2，4行223344114433221144332211000000000000000000000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =-==33224411a b b a a b b a .方法3 Laplace 展开定理：设在n 行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。
所以按2，3行展开323244332211)1(00000+++-=a b a b b a b a 33224411a b b a a b b a =33224411a b b a a b b a .4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ，， ,2,1=,则0≥ij a .(√) 解答：由行列式展开定理nnn n nn a a a a a a a a a212222111211n n A a A a A a 1121211111+++=021212211≥+++=n a a a .5. 若n 阶行列式ij a 的展开式中每一项都不为零,则0≠ij a .( × ) 解答：反例如04221=. 二. 单项选择题1. 方程0881441221111132=--x x x的根为（B ）. （A ）3,2,1； （B ）2,2,1-； （C ）2,1,0； （D ）2,1,1-.解答：（范德蒙行列式）0)2)(2)(1)(22)(12)(12(881441221111132=-+-+---=--x x x x x x， 所以根为2,2,1-.2.已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么131211332332223121332331323232a a a a a a a a a a a a ---（D ）. （A ）a ； （B ）a -； (C)a 2； （D ）a 2-.解答：131211332332223121332331323232a a a a a a a a a a a a ---a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 20232131211333231332331131211232221332331-=+-=-=或者131211332332223121332331323232a a a a a a a a a a a a ---a a a a a a a a a a 22131211232221332331-==（C ）解答：因为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x 有唯一解， 所以2)1)(2(100110111)2(1111111)2(1212112111111-+=--+=+=+++=λλλλλλλλλλλλλλλλ，当1=λ时，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111z y x z y x z y x ，有解，但不唯一；当2-=λ时，⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-=++-422212z y x z y x z y x 推出30=，无解。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式2a abbb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1，； B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-∙。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
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一. 判断题（正确打√，错误打×）1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示，则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答：反例：取01=α，02≠α，则2α不能由1α线性表示，但21,αα线性相关.2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答：向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ； 所以3),,(321=αααR ，所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×)解答：正确结论：向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组，则γβα,,线性无关. (×) 解答：反例：取0,0==≠γβα，则向量组γβα,,只有一个极大无关 组α，但γβα,,线性相关.正确命题：若γβα,,线性无关，则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). （A ） 向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以32),(),,(21321<≤=ββαααR R ，所以向量组（1）线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，则向量组中（A ）（A ）每一个向量都能由其余三个向量线性表示; （B ）只有一个向量能由其余三个向量线性表示; （C ）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; （D ）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答：因为4个3维向量线性相关，所以1234,,,αααα线性相关，而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选（A ）3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则(B ). （A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;（C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（B ）正确. 注意（D ），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关.例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312121αα，线性无关，但⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32132121αα，线性相关.4. 下列命题错误的是（ ）（A ）若n 维向量组m ααα,,,21 中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；（B ）若n 维向量组m ααα,,,21 的秩小于m ，则此向量组线性相关； （C ）若n 维向量组12,,,r ααα线性无关，12,,,s βββ也线性无关，则向量组12,,,r ααα，12,,,s βββ的秩为r s +；（D ）任何一组不全为零的数12,,,r k k k 使11220r r k k k ααα+++≠，则向量组12,,,r ααα线性无关.解答：选项（C ）错误. 反例：设1α线性无关，则11βα=线性无关，但11,αβ线性相关，它的秩=1≠1+1.5.已知向量组321,,ααα线性无关, 则下面线性无关的向量组是 (C).(A) 133221,,αααααα---; (B) 133221,,αααααα-++; (C) 133221,,αααααα+++; (D) 2132218-,53,2αααααα+++.解答：(A):0101-1-11-1=; (B) 0101-110011=；(C) ：2101110011=； (D) 0081-053021=.三. 填空题1. 设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα---的秩=r2 .解答：因为011-1-11-1=, 所以133221,,αααααα---线性相关, (或者因为0)()()(133221=-+-+-αααααα, 所以133221,,αααααα---线性相关) 但3221,αααα--线性无关, 所以2=r .(设0)()(322211=-+-ααααk k 则0)(3221211=--+αααk k k k , 因为321,,ααα线性无关, 所以021==k k , 所以3221,αααα-- 线性无关.)2. 已知),1,1,2(),2,0,1,1()0,1,2,1(321a ==-=ααα，, 若由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 则=a 6 .解答：因为由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 而21,αα线性无关, 所以3α可由21,αα唯一线性表示, 所以22113αααk k +=, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+=21212121212k a k k k k k , 解得6=a . 3. 设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组m ααα,,,21 ，β的秩=1m + .解答：因为m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，所以m ααα,,,21 ，β线性无关，所以秩=1m + .4. 若向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322121αα，与向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 14321ββ，不等价， 则常数=k 34. 解答：如果21ββ，线性无关，则两个向量组等价，所以应该是21ββ， 线性相关，所以34=k .5. 已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量 组γβα,,的极大无关组为γβ,.解答：因为,,γβδ线性无关，所以γβ,线性无关，而γβα,,线性相 关，所以向量组γβα,,的极大无关组为γβ,.四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由. 1． ),,(1z y x =α, ),,(2y z x =α,)2,2,2(3y z x =α； 解答：因为32αα，线性相关，所以321ααα，，线性相关. 2．),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β； 解答：三个四维向量一定线性相关. 3．)3,2,1(1=γ, )3,2,0(2=γ, )2,3,1(3=γ；解答：因为05231320321≠-=，所以线性无关.4．)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ.解答：因为)1,1,1(11=δ，)0,1,1(22=δ, )0,0,1(33=δ线性无关， 所以)1,1,,1(1a =δ，)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ线性无关. 五．计算题1. 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===，问：（1）t 为何值时，向量组123,,ααα线性无关；（2）t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关，当线性相关时，将3α表示为23,αα的线性组合.解答：（1）向量组123,,ααα线性无关当且仅当111123013t≠，所以5t ≠；（2）向量组123,,ααα线性相关当且仅当111123013t=，即5t =，设31122k k ααα=+，所以12121212335k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1212k k =-⎧⎨=⎩，即3122ααα=-+.2. 设123,,ααα线性无关，问常数,,a b c 满足什么条件时，122331,,a b c αααααα---线性相关.解答：设112223331()()()0k a k b k c αααααα-+-+-=，即131122233()()()0ak k k bk k ck ααα-+-++-+=，因为123,,ααα线性无关，所以131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，当01101001a babc c --=-≠-时，1030k k k ===，当1abc =时，由131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩知12321k bk k k c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以122331,,a b c αααααα---线性相关当且仅当1abc =.六．证明题1.设向量组m ααα,,,21 中任意向量i α都不能由121,,,i ααα-线性表示，且10α≠，证明m ααα,,,21 线性无关.证明 因为10α≠，2α不能由1α线性表示，所以1α也不能由2α线性表示（如果120k αα=≠，则0k ≠，所以2α能由1α线性表示，矛盾），所以12,αα线性无关，而3α不能由12,αα线性表示，所以123,,ααα线性无关，以此类推，由于m 有限，所以m ααα,,,21 线性无关.2.已知向量组（Ⅰ）123,,ααα，（Ⅱ）1234,,,αααα，（Ⅲ）1235,,,αααα 如果，()4r III =，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证明 因为()4r III =，所以1235,,,αααα线性无关，所以123,,ααα线性无关，且5α不能由123,,ααα线性表示，而()3r II =，所以4α可由123,,ααα线性表示，所以54αα-不能由123,,ααα线性表示，所以12354,,,ααααα-的秩为4.3．已知⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ,证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.证明： 因为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ，所以321,,βββ可由321,,ααα线性表示，又因为01321100111321211111≠-==，所以321,,ααα也可由321,,βββ线性表示（或者直接由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-+=2133212321122ββαβββαβββα）.4.已知向量组,21αα+,32αα+13αα+线性无关，证明向量组321ααα,, 也线性无关.证明：记⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=313322211ααβααβααβ，那么321,,βββ可由321,,ααα线性表示，又因为02101110011≠=，所以321,,ααα可由321,,βββ线性表示，所以两个向量组等价，从而秩相等，而321,,βββ线性无关，所以321,,ααα线性无关. （如果要解出321,,ααα的话，可以这样做：∑∑=iiαβ2，所以2211ββα-=∑j ，3212ββα-=∑j ，1213ββα-=∑j ）5. 设n 维向量组（1）:s ααα,,,21 的秩为1r ；（2）：s βββ,,,21 的秩为2r ；（3）：s s βαβαβα+++,,,2211 的秩为3r .证明321r r r ≥+.证明： 不妨设1,,,21r ααα 是s ααα,,,21 的一个无关组，2,,,21r βββ 是s βββ,,,21 的一个无关组，则s s βαβαβα+++,,,2211 可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示，所以s s βαβαβα+++,,,2211 的无关组可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示，所以321r r r ≥+.6．已知2≥s 且s ααα,,,21 线性无关, s αααβ+++= 21.证明向量组s αβαβαβ---,,,21 线性无关. 证明： 记s αααγ+++= 321， s αααγ+++= 312 131-+++=s s αααγ因为0)1)(1(011111101≠--=-s s，所以s γγγ,,,21 可由s ααα,,,21 线性表示，二者等价，秩相等，所以s γγγ,,,21 线性无关.7．若向量组s ααα,,,21 线性相关，证明对任意的实数s k k k ,,,21 ， 向量组s s k k k ααα,,,2211 也线性相关.证明 如果s k k k ,,,21 中至少有一个为零，则s s k k k ααα,,,2211 线性相关.下面假设s k k k ,,,21 全不为零. 因为s ααα,,,21 线性相关，所以存在不全为零的数s λλλ,,,21 使得02211=+++s s αλαλαλ ，所以0)()()(22221111=+++s s ssk k k k k k αλαλαλ ，由于sλλλ,,,21 不全为零，所以ss k k k λλλ，，， 2211不全为零，所以向量组s s k k k ααα,,,2211 线性相关.。