测试课后答案

1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。

a)符号函数的频谱

10

()sgn()10

t x t t t +>⎧==⎨

-<⎩

t =0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变

换存在。

可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满

足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x 1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x (t )的频谱。

10()sgn()0

at

at

at

e t x t e

t e

t --⎧>==⎨-<⎩

10

()sgn()lim ()a x t t x t →==

2221122

4()()(2)j f t

at j f t

at j f t f X f x t e

dt e e

dt e e dt j

a f ∞

∞

-----∞

-∞

==-+=-+⎰⎰⎰πππππ

[]10

1()sgn()lim ()a X f t X f j

f

→===-πF

1()X f f

π=

t

sgn(t )

1 -1

t

u (t ) 0

1 图1-25 题1-4图

a)符号函数

b)阶跃函数

02

()0

2

f f f πϕπ⎧<⎪⎪

=⎨⎪->⎪⎩

b)阶跃函数频谱

10

()00t u t t >⎧=⎨

<⎩

在跳变点t =0处函数值未定义，或规定u (0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。

解法1：利用符号函数

11

()sgn()22

u t t =

+ [][]11

11111()()sgn()()()22

222U f u t t f j f j f f ⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+=+-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦δδππF F F ()

2211

()()2U f f f δπ=

+

结果表明，单位阶跃信号u (t )的频谱在f =0处存在一个冲激分量，这是因为u (t )含有直流分量，在预料之中。同时，

1()sgn()at x t e t -=符号函数

t

x 1(t ) 0 1

-1

符号函数频谱

f

φ(f )

π/2

f

|X (f )|

-π/2

由于u (t )不是纯直流信号，在t =0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。

解法2：利用冲激函数

10()()d 00t t u t t δττ-∞

>⎧==⎨

<⎩⎰时

时

根据傅里叶变换的积分特性 1111()()d ()(0)()()222t U f f f f j j f f δττδδππ-∞⎡⎤

⎡⎤==∆+∆=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎰F

1-6 求指数衰减信号0()sin at x t e ωt -=的频谱

解答：

()0001sin()2j t j t

t e e j

-=

-ωωω 所以(

)001()2j t j t

at

x t e e e j

--=-ωω

单位阶跃信号频谱

f

|U (f )|

(1/2) f

φ(f )

0 π/2 -π/2

指数衰减信号

x (t )

单边指数衰减信号1()(0,0)at x t e a t -=>≥的频谱密度函数为

112

2

1()()j t

at j t a j X f x t e

dt e e dt a j a ∞

∞

----∞-===

=++⎰⎰ωωω

ωω

根据频移特性和叠加性得：

[]001010222200222

000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]

a j a j X X X j j a a a a j a a a a ⎡⎤---+=

--+=-⎢⎥+-++⎣⎦

--=-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωω

1-7 设有一时间函数f (t )及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡00cos ()m ωt ωω>。在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦振荡0cos ωt 叫做载波。试求调幅信号0()cos f t ωt 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0m ωω<时将会出现什么情况？

X (ω)

-π

π

φ(ω)

ω

ω

指数衰减信号的频谱图

解：0()()cos()x t f t t =ω

()[()]F f t =ωF

()

0001cos()2

j t

j t t e e -=

+ωωω 所以0011()()()22

j t j t x t f t e f t e -=+ωω

根据频移特性和叠加性得： 0011

()()()22

X f F F =

-++ωωωω

可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各

向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。

若0m ωω<将发生混叠。

f

X (f )

ω0

-ω0

矩形调幅信号频谱

图1-27 题1-7图

ω

F (ω)

f (t )

0 t

-ωm

ωm