5年中考3年模拟(相似三角形)

A 组 2009-2013河北中考题组
1、（2011年河北，9,2分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）
A 、错误！未找到引用源。

B 、2
C 、3
D 、4
2、如图13-1，点E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．
（1）AE 和ED 的数量关系为 ，AE 和ED 的位置关系为 ；
（2）在图13-1中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别得到图13-2和图13-3．
①在图13-2中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1︰2，H 是EC 的中点． 求证：GH =HD ，GH ⊥HD ．
②在图13-3中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k ︰1，若BC =2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH =HD 且GH ⊥HD （用含k 的代数式表示）．
3、（2011河北，20, 8分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O 为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 位似，且位似比为 1：
C 图13-1 D
E
B
A
C 图13-2
D E B A
G H C 图13-3
D E B A G H
图15-2
A
D O B
C 2
1
M
N
图15-1
A D
B M N
1
2
图15-3
A
D O
B
C 2
1
M
N
O
2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．（结果保留根号）
4、（2010年河北，24,10分）在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD
的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到
图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到
图15-3，求
AC
BD
的值．
B 组 2009-2013全国中考题组
5、（2013年北京，5,4分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近
岸取点B 、C 、D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A 、E 、D 在同一条直线上.若测得BE=20m ，CE=10m ，CD=20m ，则河的宽度AB 等于（ ）
A 、60m
B 、40m
C 、30m
D 、20m 6、（2013年辽宁沈阳，8,3分）如图，△ABC 中，A
E 交BC 于点D ，，∠C=∠E ，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3,则DE 的长等于（ ） A 、
320 B 、415 C 、3
16
D 、417
7、（2011年江苏无锡，7,3分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ：OC-=OB ：OD ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．①与②相似
B ．①与③相似
C ．①与④相似
D ．②与④相似
8、（2010年山东潍坊，12,3分）如图
所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么
AD
AB
等于（ ）
9、（2009年安徽芜湖，6）在平面直角坐标系中有两点A （6,2）、B （6,0），以原点为位似中心，相似比为1:3，把线段AB 缩小，则过A 点对应点的反比例函数的解析式为（ ）
4
3
21
O
A
B
D
C
A 、x y 4=
B 、x y 34=
C 、x y 34-=
D 、x
y 18= 10、（2013年天津，17,3分）如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，
则AE 的长为 .
11、（2012年上海，16,4分）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠AED=∠B ，
如果AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，那么边AB 的长为 . 12、(2011年广东广州，14,3分）如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形'''''E D C B A ，已知OA=10cm ，cm OA 20'=，则五边形ABCDE 的周长与五边形'''''E D C B A 的周长的比值是 .
13、（2011年江苏苏州，17,3分）如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形.△ABC ∽△ADE ，AB=2AD,∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F.则△AEF 的面积等于 （结果保留根号）. 14、(2010年陕西，13,3分）如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD.要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可）
15、如图，△ABC 与△AEF 中，AB=AE ，BC=EF ，∠B=∠E ，AB 交EF 于D.给出下列结论：①∠AFC=∠C ；②DF=CF ；③△ADE ∽△FDB ；④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是 （填
写所有正确的序号）
16、（2013年广东，22,8分）如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.
（1）设Rt △CBD 的面积为1S ，Rt △BFC 的面积为2S ，Rt △DCE 的面积为3S ，则1S 2S +3S （用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
17、（2012湖北武汉，24,10分）已知△ABC 中，AB=52，AC=54，BC=6.
（1）如图1，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长；
（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设 顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．
①请你在所给的网格中画出格点△A 1B 1C 1与△ABC 全等（画出一个即可，不需证明）；
②试直接写出所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）.
18、（2011年甘肃兰州，27,12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD
)AB AD >（,将纸
片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
19、（2010年云南昆明，24,9分）已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD：BC=2：3，请探究：
①当四边形ABPE是平行四边形时，k= ；
②当四边形ABPE是直角梯形时，k= ；
③当四边形ABPE是等腰梯形时，k= ；给出③的求解过程．
知识方法
易混点清单
1、在比例尺是1:8000的南京市地图上，太平南路的长度约为25m ，它的实际长度约为（ ）
A 、3.2m
B 、320m
C 、20m
D 、20000m 注意：（1）比例尺定义；（2）单位统一.
2、两个相似三角形的一对对应边的长分别为35cm 和14cm ，它们的面积相差588cm ²，求这两个三角形的面积. 注意：（1）找对对应边的比；（2）面积比与相似比关系.
3、已知△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果以A 、D 、E 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，且相似比为4
1
，试求AD 和AE 的长. 注意：对应点未指明，需分类讨论.
方法技巧
一、利用相似三角形的性质进行计算的方法：
利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长；在中考题目中常常运用相似三角形面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.
例1、如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为 .
二、位似性质的识别和应用：
识别维斯图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的，就是维斯图形，交点就是位似中心.
例2、（2012年湖北咸宁，6,3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1：2，点A 的坐标为（1,0），则点E 的坐标为（ )
A 、)0,2(
B 、)2
3,23( C 、)2,2( D 、)2,2(
三、相似图形在动态几何问题中的应用：
求几何图形中的函数关系，已经成为很多地区中考试卷的“常客”.解决这类问题，往往要用到几何图形和相似的性质，尤其是利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来.
例3、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x 的值．
三年模拟
A 组 2011-2013年模拟专项基础测试
时间：50分钟 分值：60分
一、选择题（每小题3分，共21分）
1、（2013廊坊广阳一模，6）如图，O 是△ABC 与△DEF 的位似中心，OA=AD ，则△ABC 与△DEF 的位似比是（ ）
A 、
21 B 、3
1
C 、2
D 、3 2、（2013衡水二模，10）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，O ABC O D EF S S 正方形正方形2=，点A 的坐标为（1,0），则
E 点的坐标为（ ） A 、
A 、)0,2(
B 、)2
3
,23( C 、)2,2( D 、)2,2(
3、（2013唐山滦县二模，7）如图，已知△ABC ，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）
A B C D
4、（2012广东增城一模，7）如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，且812：四边形△==D BCE AD E S S ，那么AE ：AC 等于（ ）
A 、1:9
B 、1：3
C 、1:8
D 、1:2 5、（2012年衡水三模，8）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
A B C D
6、（2011安徽，7）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值为（ ）
A 、只有1个
B 、可以有2个
C 、有2个以上，但有限
D 、有无数个
7、（2011唐山，7）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A B C D
二、填空题（每题3分，共15分）
8、（2013广东增城一模，12）如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB 的长为 .
9、（2013沧州三模，17）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M 处的运动员林丹把球从N 点击到了对方内的B 点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM= 米.
10、（2012唐山路北一模，15）两个相似三角形的周长之比为4:9，那么它们的相似比为 .
11、(2012四川乐山一模，10）如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是米．
12、（2011承德，14）如图，要使△ADB∽△ABC，还需增添的条件是（写一个即可）.
三、解答题（共24分）
13、（2013邯郸一模，22）如图，在菱形ABCD中，E、F为边BC、CD上的点，且CE=CF，连结AE、AF，∠ABC的平分线交AE于点G，连结CG.（8分）
（1）求证：AG=CG；
（2）求证：CG∥AF；
（3）若BG=CG，则△ABE与△BGE是否相似？若相似，写出证明过程；若不相似，请说明理由．
14、（2012邢台二模，23）如图，△ABC ∽△DEC ，CA=CB ，且点E 在AB 的延长线上.(8分） 求证：（1）AE=BD ；
（2）△BOE ∽△COD.
15、（2012石家庄新华一模，23）已知，图1是一个边长为8cm 的正方形ABCD ，线段AG 、EF 将其分为三部分：Rt △ADG 、Rt △AEF 和五边形BEFGC ，且AE=CG=1cm.
小明将正方形纸片ABCD 按上述分割方式剪开后进行重新拼合，得到了如图2所示的长方形''''D C B A .(8分）
（1）△'MNC ≌ ；△''D HC ≌ .
（2）小明将长方形''''D C B A 和正方形ABCD 比较后发现：长方形''''D C B A 的长为9cm ，宽为7cm ，所以长方形的面积为632
cm .
你认为小明的结论正确吗？如果不正确，请说出你的正确结论（长方形和正方形面积之间的关系），并加以证明.
B 组 2011-2013年模拟专项提升测试
时间：65分钟 分值：80分
一、选择题（每题3分，共24分）
1、（2013石家庄裕华一模，11）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF ,CG
CD 的值为（ ）
A 、2:1
B 、4:3
C 、3:2
D 、3:1
2、（2013衡水三模，11）如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN//AB ，MC=6，NC=32，则四边形MABN 的面积是（ ）
A 、36
B 、312
C 、318
D 、324
3、（2013湖北孝感一模，5）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE:EC=2：3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则=ABF EBF DEF S S S △△△：：( )
A 、2:5:25
B 、4:9:25
C 、2:3:5
D 、4:10:25
4、（2013石家庄新华二模，12）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若
AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下结论：（1）AC ⊥BD ；（2）BC=DE ；（3）
DAB DBC ∠2
1∠=； （4）△ABD 是正三角形；（5）△ABE ∽△DCE.其中正确的结论有（ ）
5、（2012石家庄十八县一模，8）如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a:b 等于（ ）
A 、1:3
B 、3:1
C 、1:2
D 、2:1
6、（2012唐山路北二模，12）如图，等腰直角△ABC 的直角边长为3，P 为斜边BC 上一点，且BP=1，D 为AC 上一点，且∠APD=45°，则CD 的长为（ ）
A 、35
B 、31-32
C 、3
1-23 D 、53 7、（2011邢台，7）如图，在Rt △ABC 中，∠A CP=90°，∠A=30°，CD ⊥AB 于点D.则△BCD 与△ABC 的周长之比为（ ）
A 、1:2
B 、1:3
C 、1:4
D 、1:5
8、（2011浙江嘉兴，7）如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE//AB 交AC 于E ，如果32=EC AE ,那么=AC
AB ( )
A 、31
B 、32
C 、52
D 、5
3 二、填空题（每题3分，共15分）
9、（2013保定一模，17）如图，一张简易的活动小餐桌，现测得OA=OB=30cm ，OC=OD=50cm ，桌子下表面AB 离地面CD 的高度为40cm ，则两条桌腿的张角∠COD 的度数为 .
10、（2012秦皇岛海港一模，18）如图，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，且B 点坐标为（8,6）.若矩形111C B OA 与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形
111C B OA 的面积等于矩形OABC 面积的4
1，则点1B 的坐标是 .
11、（2012邯郸二模，18）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF.已知AB=AC=3，BC=4，若以点'B 、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 .
12、（2011山西，12）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE:EC=2：1，AE 与BD 交于点F ，则△AFD 与四边形DFEC 的面积之比是 .
13、（2011石家庄，18）如图，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H.请观察下列结论：①BE=DF ；②AG=GH=HC ；③EG:BG=1:2；④AGE AHD S S △△2=；⑤AG:AC=1：3.其中结论正确的有（填序号) .
二、解答题（共41分） 14、（2013廊坊广阳一模，25）已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连结AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点'B 处.(10分）
（1）当1=CE
BE 时，=CF cm ； （2）当2=CE
BE 时，求'sin DAB ∠的值； （3）当
x CE BE =时（点E 与点C 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式（只要写出结论，不要解题过程）.
15、（2013邯郸一模，26）（12分）尝试探究：小张在数学实践活动中，画了一个Rt △ABC ，使∠ABC=90°，BC=1，AC=2，再以B 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，然后以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AC 于点E ，如图1，则AE= ；此时，小张发现EC AC AE •=2
,请同学们验证小张的发现是否正确.
拓展延伸：
小张利用图中的线段AC 及点E ，接着构造AE=EF=CF ，连接AF ，得到图2，试完成以下问题： ①求证：△ACF ∽△FCE ；
②求∠A 的度数；
③求A cos .（结果保留根号）
应用迁移：
利用上面的结论，直接写出：
①半径为2的圆内接正十边形的边长为 ；
②边长为2的正五边形的对角线的长为 .
16、（2012邯郸一模，23）如图，矩形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=3，BC=4.点E在CB 的延长线上，且CE=AC，连结AE.（8分）
（1）求AE的长；
（2）用尺规作出AE的中点F，连结BF，DF；（保留作图痕迹）
（3）求证：BF⊥DF；
（4）△ABE与△DFB是否相似？若相似，直接写出△ABE与△DFB的面积比；若不相似，直接写出△ABE与△DFB的面积.
17、（2011唐山，24）已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点.(11分）
（1）如图甲，P为线段BC上一点，连结PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；
（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OR的长．。