应变花计算公式

1. 概述

（1）平面应变状态：即受力构件表面一点处的应变情况。

（2）测试原理：

一般最大应变往往发生在受力构件的表面。通常用应变仪测出受力构件表面一点处三个方向的线应变值，然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。

2. 公式推导：

（1）选定坐标系为xoy，如图示

（2）设0点处，为已知。规定伸长为正，切应变以xoy直角增大为正。

（3）求任意方向，方向（规定逆时针方向为正）的线应变和切应变（即直角的改变量）。

（4）叠加法：求方向的线应变和切应变

①由于而引起ds的长度改变 ,

② 方向（即方向）的线应变

③求的切应变即方向的直角改坐标轴偏转的角度

以代替式（c）中的，求得坐标轴偏转角度：

3. 结论

（1）已知可求得任意方向的

（2）已知 ,求得

（3）主应变和主应变方向

比较上述公式，可见

故: 4. 应变圆

5. 应变的实际测量

①用解析法或图解法求一点处的主应变时，首先必须已知，然而用应变仪直接测量时，可以测试，但不易测量。所以，一般是先测出任选三个方向

的线应变。

②然后利用一般公式，将代入

得出：

联解三式，求出,于是再求出主应变的方向与数值

④由③ 式求出，当时与二、四相限的角度相对应。

6. 直角应变花（45°应变花）测量

为了简化计算，三个应变选定三个特殊方向

测得：，代入一般公式

求得：

故

讨论：

若与二、四相限的角度相对应。见P257、7.21题6. 等角应变花测量

一般公式：

测定值：代入式（a）得：

主应变方向:

故:

于是由主应变公式：

,穿过二,四相限.见P258，7.22题Example 1. 用直角应变花测得一点的三个方向的线应变

Find：主应变及其方向Solution：

故过二、四相限。

Example2. 若已测得等角应变花三个方向的线

试求主应变及其方向

Solution：

即:

应力测量 (measurement of stress)

测量物体由于外因或内在缺陷而变形时，在它内部任一单位截面积上内外两方的相互作用力。应力是不能直接测量的，只能是先测出应变，然后按应力与应变的关系式计算出应力。若主应力方向已知，只要沿着主应力方向测出主应变，就可算出主应力。各种受力情况下的应变值的测量方法见表1。

轴向拉伸(或压缩)时，沿轴向力方向粘贴应变片(表l之1～4)，测出应变ε，按单向虎克定律算出测点的拉(压)应力σ=εE。式中ε为应变，E为弹性模量。

弯曲时在受弯件的上下表面上粘贴应变片(见表1之5～6)，测出应变e，可计算弯曲应力。

扭转时沿与圆轴母线成±45。角的方向贴片(表1之7～9)，测出主应变em，再代入虎克定律公式算出主应力σ45o，即得最大剪应力r max：

式中μ为泊松比。

拉(压)、弯曲、扭转，其中两种或三种力的联合作用下，不同测量要求的应变值测量方法分别见表1的10～14。

主应力方向未知时的应力测量如图1所示。在该测点沿与某坐标轴X夹角分别为α1、α2和α3的3个方向，各粘贴一枚应变片，分别测出3个方向的应变εα1

εα2和εα3根据下式

可解出εx，εy和εz再代入下式求出主应变ε1、ε2和主方向与x轴夹角a：

最后，再根据广义虎克定律公式

求出主应力σ1、σ2和T max。

实际上为了简化计算，3枚应变片与z轴的夹角a1、a2和a3总是选取特殊角，如0o、45o、60o、90o和120o并将3枚应变片的敏感栅制在同一基底上，形成应变花。常用的应变花有直角应变花(00’一45。一90。)和等角应变花(O。一60。一120o )。不同形式的应变花的计算公式见表2。

用应变片测量的应变值一般是很小的，因而电阻值的变化同样是很小的。为此，有必要把应变计连接到一定的测量系统中，以精确测定应变片电阻值的变化。用应变片测量应变的测量系统框图见图2。

电阻应变测量法是实验应力分析中应用最广的一种方法。电阻应变测量方法测出的是构件上某一点处的应变，还需通过换算才能得到应力。根据不同的应力状态确定应变片贴片方位，有不同的换算公式。

8.7.1 单向应力状态

在杆件受到拉伸(或压缩)情况下，如图8-31所示。此时只有一个主应力s1，它的方向是平行于外加载荷F 的方向，所以这个主应力s1的方向是已知的，该方向的应变为e l。而垂直于主应力s1方向上的应力虽然为零，但该方向的应变e2≠0，而是e2=-μe l。由此可知:在单向应力状态下，只要知道应力s1的方向，

虽然s1的大小是未知的，可在沿主应力s1的方向上贴一个应变片，通过测得e l，就可利用s1=Ee1公式求得s1。

8.7.2 主应力方向巳知平面应力状态

平面应力是指构件内的一个点在两个互相垂直的方向上受到拉伸(或压缩)作用而产生的应力状态，如图

8-31所示。

图中单元体受已知方向的平面应力s1和s2作用，在X和Y方向的应变分别为

s1作用：X方向的应变e l为s1/E

Y方向的应变e2为-μs1/E

s2作用：Y方向的应变e2为e2/E

X方向的应变e l为-μe2/E

由此可得X方向的应变和Y方向的应变分别为

（8-72）

上式变换形式后可得

（8-73）

由此可知：在平面应力状态下，若已知主应力s1或s2的方向(s1与s2相互垂直)，则只要沿s1和s2方向各贴一片应变片，测得εl和ε2后代入式（8-73），即可求得s1和s2值。

8.7.3 主应力方向未知平面应力状态

当平面应力的主应力s1和σ2的大小及方向都未知时，需对一个测点贴三个不同方向的应变片，测出三个方向的应变，才能确定主应力s1和s2及主方向角q三个未知量。

图8-33表示边长为x和y、对角线长为l的矩形单元体。设在平面应力状态下，与主应力方向成q角的任

一方向的应变为，即图中对角线长度l的相对变化量。

由于主应力sx、sy的作用，该单元体在X、Y方向的伸长量为Δx、Δy，如图8-33(a)、(b)所示，该方向的应变为ex=Δx/x、ey=Δy/y；在切应力τxy作用下，使原直角∠XOY减小gxy，如图8-33(c)所示，即