8.2非齐次振动方程和输运方程
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n 1
n x l
n 2 2 a 2 n x 代入(1)式得： [ T ''( t ) T ( t )]sin f ( x, t ) n n 2 l l n 1
将f ( x, t )展为傅氏级数：f ( x, t )
n 1
n x 2 l n x f n (t ) sin , f n (t ) f ( x, t ) sin dx 0 l l l
对于y '' P 1 ( x) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1
下面求特解Tn* (t ), 令T1n (t ) cos
y2 y1 q( x)dx y2 q( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )
n at n at , T2 n (t ) sin l l t T ( ) t T ( ) * 2n Tn (t ) T1n (t ) f n ( )d T2 n (t ) 1n f ( ) d 0 w( ) 0 w( ) n n a n a sin T1n ( ) T2 n ( ) n a l l w( ) T1n '( ) T2 n '( ) n a n a n a n a l sin cos l l l l n a n a sin cos n at t l f ( )d sin n at t l f ( ) d Tn* (t ) cos n n l 0 n a l 0 n a l l l t n a sin[ (t )] f n ( ) d 0 n a l cos
n 0,1, Tn (t ) An cos
(4)
n a n a n a t Bn sin t , 且Tn (0) An , Tn '(0) Bn l l l
由初始条件(3)可得： u ( x, 0) ( x) Tn (0) cos
n 0
n x 1 l T0 (0) 0 ( )d A0 l l 0 2 l n Tn (0) n ( ) cos d An (n 0) 0 l l
n x 1 l T0 '(0) 0 ( )d B0 l l 0 2 l n n a Tn '(0) n ( ) cos d Bn (n 0) 0 l l l
ut ( x, 0) ( x) Tn '(0) cos
(二)介绍用两种方法求解非齐次振动方程：傅里叶级数法、冲量定理法 A.首先讨论弦在外力作用下的强迫振动问题 utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0) (1) (2) u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) ( x), u ( x, t ) ( x) (0 x l ) (3) t t 0 t 0 1.傅里叶级数法 根据边界条件(2)可设u ( x, t )的试探解为：u ( x, t ) Tn (t ) sin
n 0
T0 (t ) 0 0t Tn (t ) n cos n a l n a t n sin t l n a l
l 非齐次方程通解为：T1 (t ) T10 (t ) T1* (t ) l T1 , T2是对应齐次方程两个线性无关的特解。 A1 1 , B1 l 1 a 对应齐次方程通解为：T10 (t ) A1 cos
1.冲量定理法的基本物理思想：把持续作用力看成许许多多前后相继 的“瞬时力”，把持续作用引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动 的叠加。 根据P107，持续作用力F ( x, t )可表为： F ( x, t ) F ( x, ) (t )d
0 t
f ( x, t ) f ( x, ) (t )d
见P207分析，由于瞬时力F ( x, ) (t )d 作用在时间区间[ , d ]上， 从0～时刻－0，瞬时力尚未起作用，弦是静止的，即： u ( )
Tn (t ) Tn (0) cos
n at l n at l t n a Tn '(0) sin sin[ (t )] f n ( )d 0 l n a l n a l
( B)书P204例1
x 2 解：根据(2)式，可设 u a u A cos sin t (1) xx tt l n x u ( x , t ) T ( t ) cos (2) n u x x 0 0, u x x l 0 l n 0 u ( x), u (3) t t 0 ( x) t 0 代入(1)式得： n2 2 a 2 n x x [ T ''( t ) T ( t )]cos A cos sin t (5) n n 2 l l l n 0 2a2 比较法：T1 ''(t ) 2 T1 (t ) A sin t (6) l n 2 2 a 2 Tn ''(t ) Tn (t ) 0 (n 1)(7) 2 l 对(7)式：n 0, T0 (t ) A0 B0t , 且T0 (0) A0，T0 '(0) B0
对第一组定解问题可按齐次方程的求解办法进行， 而第二组定解问题初始条件已经化为零值，可用冲量定理法来求解。 非齐次泛定方程表明：作用在每单位长弦上的外力F ( x, t ) f ( x, t )， 从t=0时刻持续作用到t时刻，要求解的是F ( x, t )作用下，在时刻t的 各处位移u ( x, t )。
n 2 2 a 2 比较系数：Tn ''(t ) Tn (t ) f n (t ) ~ 二阶线性常系数非齐次微分方程 2 l 该非齐次方程的通解为对应齐次方程的通解与本身一特解之和构成。 n at n at Tn (t ) Tn 0 (t ) Tn *(t ), Tn 0 (t ) An cos Bn sin l l
其中y1、y2是齐次方程y '' P 1 ( x ) y ' P 2 ( x ) y 0的两个线性无关的特解。 线性无关：指C1 y1 C2 y2 0, 当且仅当C1 C2 0 w( y1 , y2 ) y1 y1 ' y2 y2 ' （朗斯基行列式） 0 ,w 0则y1、y2线性无关。
sin
a
l
a
l
cos
a
l
a
l
at
l
t
sin
a a
l l
A sin ,sin
0
w(cos
a
l
d sin )
at
l
l d 0 a a w(cos ,sin ) l l
t
cos
a
A sin
lA t a(t ) [ sin sin d ] 0 a l
T1 (t ) 1 cos
a
l
t
l a lA 1 at a 1 sin t [ sin sin t ] 2 2 2 2 a l a a / l l l
(二)冲量定理法 前提：初始条件取零值。若初始条件为非零值，可先用叠加原理 把一个定解问题分成两个定解问题 utt a 2u xx f ( x, t ) (1) (2) u x 0 0, u x l 0 可设u ( x, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) u ( x), u t t 0 ( x) t 0 (1) 2 (1) u a u xx 0 tt (1) (1) u x 0 0, u x l 0 (1) (1) u t 0 ( x), ut t 0 ( x) u (2 ) a 2u (2) f ( x, t ) xx tt (2) (2) u x 0 0, u x l 0 (2) u 0, ut (2) 0 t 0 t 0
n at n at l t n a Tn (t ) Tn (t ) Tn *(t ) An cos Bn sin sin[ (t )] f n ( )d 0 l l n a l 确定系数An , Bn . n a l 令t 0, 得Tn (0) An , Tn '(0) Bn Bn Tn '(0) l n a
T1*(t )
lA t a(t ) [ sin sin d ] 0 a l lA 1 t a(t ) a(t ) ( ) {cos[ ] cos[ ]}d 0 a 2 l l lA 1 at a [ sin sin t ] 2 2 2 2 a a / l l l
0
Tn (0)和Tn '(0)由初始条件定： n x 2 l n x u ( x, t ) t 0 ( x) Tn (0)sin Tn (0) ( x)sin dx n 0 l l l n 1 n x 2 l n x ut ( x, t ) t 0 ( x) Tn '(0)sin Tn '(0) ( x)sin dx n 0 l l l n 1
0
t
其中：F ( x, ) (t )d 为作用在很短的时间区间[ , d ]上 冲量为F ( x, )d 的“瞬时”力，设该瞬时力引起的振动为u ( ) ( x, t ) 则u ( ) ( x, t )的定解问题为： F ( x, t ) ( ) 2 ( ) u a u (t )d f ( x, ) (t )d xx tt （A） u ( ) 0, u ( ) 0 持续力用瞬时力代替 x 0 x l u ( ) 0, ut ( ) 0 t 0 t 0
对(6)式：T1 ''(t )
2a2
2
T1 (t ) A sin t
a
t B1 sin
a
lຫໍສະໝຸດ Baidu
t , 令T1 cos
a
l
t , T2 sin
a
l
t
w(cos
a
l
,sin
a
l
cos )
a
l
sin
a
l
a
l
则非齐次方程特解为： T2 T1 T1*(t ) T1 f ( )d T2 f ( )d w(T1 , T2 ) w(T1 , T2 ) cos
8.2 非齐次振动方程和输运方程
教学重点：介绍用傅里叶级数法和冲量定理法求解非齐次振动方程 和输运方程。
(一)关于线性非齐次方程的解的定理（高数3：237） 定理1：线性非齐次方程的通解等于它的任何一个特解与对应齐次 方程的通解之和。y Ay1 +By2 Y ( x) 定理2：线性非齐次方程的特解可由对应齐次方程的基本解组的线性组合 通过求积得到。 对于y '' P 1 ( x ) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1 y2 y1 q ( x)dx y2 q ( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )
n x l
n 2 2 a 2 n x 代入(1)式得： [ T ''( t ) T ( t )]sin f ( x, t ) n n 2 l l n 1
将f ( x, t )展为傅氏级数：f ( x, t )
n 1
n x 2 l n x f n (t ) sin , f n (t ) f ( x, t ) sin dx 0 l l l
对于y '' P 1 ( x) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1
下面求特解Tn* (t ), 令T1n (t ) cos
y2 y1 q( x)dx y2 q( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )
n at n at , T2 n (t ) sin l l t T ( ) t T ( ) * 2n Tn (t ) T1n (t ) f n ( )d T2 n (t ) 1n f ( ) d 0 w( ) 0 w( ) n n a n a sin T1n ( ) T2 n ( ) n a l l w( ) T1n '( ) T2 n '( ) n a n a n a n a l sin cos l l l l n a n a sin cos n at t l f ( )d sin n at t l f ( ) d Tn* (t ) cos n n l 0 n a l 0 n a l l l t n a sin[ (t )] f n ( ) d 0 n a l cos
n 0,1, Tn (t ) An cos
(4)
n a n a n a t Bn sin t , 且Tn (0) An , Tn '(0) Bn l l l
由初始条件(3)可得： u ( x, 0) ( x) Tn (0) cos
n 0
n x 1 l T0 (0) 0 ( )d A0 l l 0 2 l n Tn (0) n ( ) cos d An (n 0) 0 l l
n x 1 l T0 '(0) 0 ( )d B0 l l 0 2 l n n a Tn '(0) n ( ) cos d Bn (n 0) 0 l l l
ut ( x, 0) ( x) Tn '(0) cos
(二)介绍用两种方法求解非齐次振动方程：傅里叶级数法、冲量定理法 A.首先讨论弦在外力作用下的强迫振动问题 utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0) (1) (2) u ( x, t ) x 0 0, u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) ( x), u ( x, t ) ( x) (0 x l ) (3) t t 0 t 0 1.傅里叶级数法 根据边界条件(2)可设u ( x, t )的试探解为：u ( x, t ) Tn (t ) sin
n 0
T0 (t ) 0 0t Tn (t ) n cos n a l n a t n sin t l n a l
l 非齐次方程通解为：T1 (t ) T10 (t ) T1* (t ) l T1 , T2是对应齐次方程两个线性无关的特解。 A1 1 , B1 l 1 a 对应齐次方程通解为：T10 (t ) A1 cos
1.冲量定理法的基本物理思想：把持续作用力看成许许多多前后相继 的“瞬时力”，把持续作用引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动 的叠加。 根据P107，持续作用力F ( x, t )可表为： F ( x, t ) F ( x, ) (t )d
0 t
f ( x, t ) f ( x, ) (t )d
见P207分析，由于瞬时力F ( x, ) (t )d 作用在时间区间[ , d ]上， 从0～时刻－0，瞬时力尚未起作用，弦是静止的，即： u ( )
Tn (t ) Tn (0) cos
n at l n at l t n a Tn '(0) sin sin[ (t )] f n ( )d 0 l n a l n a l
( B)书P204例1
x 2 解：根据(2)式，可设 u a u A cos sin t (1) xx tt l n x u ( x , t ) T ( t ) cos (2) n u x x 0 0, u x x l 0 l n 0 u ( x), u (3) t t 0 ( x) t 0 代入(1)式得： n2 2 a 2 n x x [ T ''( t ) T ( t )]cos A cos sin t (5) n n 2 l l l n 0 2a2 比较法：T1 ''(t ) 2 T1 (t ) A sin t (6) l n 2 2 a 2 Tn ''(t ) Tn (t ) 0 (n 1)(7) 2 l 对(7)式：n 0, T0 (t ) A0 B0t , 且T0 (0) A0，T0 '(0) B0
对第一组定解问题可按齐次方程的求解办法进行， 而第二组定解问题初始条件已经化为零值，可用冲量定理法来求解。 非齐次泛定方程表明：作用在每单位长弦上的外力F ( x, t ) f ( x, t )， 从t=0时刻持续作用到t时刻，要求解的是F ( x, t )作用下，在时刻t的 各处位移u ( x, t )。
n 2 2 a 2 比较系数：Tn ''(t ) Tn (t ) f n (t ) ~ 二阶线性常系数非齐次微分方程 2 l 该非齐次方程的通解为对应齐次方程的通解与本身一特解之和构成。 n at n at Tn (t ) Tn 0 (t ) Tn *(t ), Tn 0 (t ) An cos Bn sin l l
其中y1、y2是齐次方程y '' P 1 ( x ) y ' P 2 ( x ) y 0的两个线性无关的特解。 线性无关：指C1 y1 C2 y2 0, 当且仅当C1 C2 0 w( y1 , y2 ) y1 y1 ' y2 y2 ' （朗斯基行列式） 0 ,w 0则y1、y2线性无关。
sin
a
l
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cos
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l l
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0
w(cos
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d sin )
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l d 0 a a w(cos ,sin ) l l
t
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A sin
lA t a(t ) [ sin sin d ] 0 a l
T1 (t ) 1 cos
a
l
t
l a lA 1 at a 1 sin t [ sin sin t ] 2 2 2 2 a l a a / l l l
(二)冲量定理法 前提：初始条件取零值。若初始条件为非零值，可先用叠加原理 把一个定解问题分成两个定解问题 utt a 2u xx f ( x, t ) (1) (2) u x 0 0, u x l 0 可设u ( x, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) u ( x), u t t 0 ( x) t 0 (1) 2 (1) u a u xx 0 tt (1) (1) u x 0 0, u x l 0 (1) (1) u t 0 ( x), ut t 0 ( x) u (2 ) a 2u (2) f ( x, t ) xx tt (2) (2) u x 0 0, u x l 0 (2) u 0, ut (2) 0 t 0 t 0
n at n at l t n a Tn (t ) Tn (t ) Tn *(t ) An cos Bn sin sin[ (t )] f n ( )d 0 l l n a l 确定系数An , Bn . n a l 令t 0, 得Tn (0) An , Tn '(0) Bn Bn Tn '(0) l n a
T1*(t )
lA t a(t ) [ sin sin d ] 0 a l lA 1 t a(t ) a(t ) ( ) {cos[ ] cos[ ]}d 0 a 2 l l lA 1 at a [ sin sin t ] 2 2 2 2 a a / l l l
0
Tn (0)和Tn '(0)由初始条件定： n x 2 l n x u ( x, t ) t 0 ( x) Tn (0)sin Tn (0) ( x)sin dx n 0 l l l n 1 n x 2 l n x ut ( x, t ) t 0 ( x) Tn '(0)sin Tn '(0) ( x)sin dx n 0 l l l n 1
0
t
其中：F ( x, ) (t )d 为作用在很短的时间区间[ , d ]上 冲量为F ( x, )d 的“瞬时”力，设该瞬时力引起的振动为u ( ) ( x, t ) 则u ( ) ( x, t )的定解问题为： F ( x, t ) ( ) 2 ( ) u a u (t )d f ( x, ) (t )d xx tt （A） u ( ) 0, u ( ) 0 持续力用瞬时力代替 x 0 x l u ( ) 0, ut ( ) 0 t 0 t 0
对(6)式：T1 ''(t )
2a2
2
T1 (t ) A sin t
a
t B1 sin
a
lຫໍສະໝຸດ Baidu
t , 令T1 cos
a
l
t , T2 sin
a
l
t
w(cos
a
l
,sin
a
l
cos )
a
l
sin
a
l
a
l
则非齐次方程特解为： T2 T1 T1*(t ) T1 f ( )d T2 f ( )d w(T1 , T2 ) w(T1 , T2 ) cos
8.2 非齐次振动方程和输运方程
教学重点：介绍用傅里叶级数法和冲量定理法求解非齐次振动方程 和输运方程。
(一)关于线性非齐次方程的解的定理（高数3：237） 定理1：线性非齐次方程的通解等于它的任何一个特解与对应齐次 方程的通解之和。y Ay1 +By2 Y ( x) 定理2：线性非齐次方程的特解可由对应齐次方程的基本解组的线性组合 通过求积得到。 对于y '' P 1 ( x ) y ' P 2 ( x) y q ( x) 特解为：Y(x) y1 y2 y1 q ( x)dx y2 q ( x)dx w( y1 , y2 ) w( y1 , y2 )