第八章 扩散
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第八章 扩散
C / Cm e
2 2
在给定条件下Cm，D, l 皆为定值。只有当 t 时 C / C m 0 才完全均匀化，可见所谓均匀化只有相 对意义。一般来说，只有偏析衰减到一定程度（如
1 1 0 ），即可认为均匀化了。凝固过程细化晶粒，及通
过锻造、轧制、热处理使组织充分细化都可以大大缩短 均匀化退火时间
a.同素异晶转变的金属中，D随晶体结构改变， 910℃，Dα-Fe/Dγ-Fe=280， α-Fe致密度低， 且易形成空位。 b.晶体各向异性使D有各向异性。 铋扩散的各向异性，菱方系Bi沿C轴的自扩 散为垂直C轴方向的1/106 六方系的Zn：平行底面的自扩散系数大于 垂直底面的，因底面原子排列紧密，穿过底面 困难。
Cs C0 2 Dt
C0为原始浓度；Cs为渗碳气氛浓度Cx为距表 x erf 面x处的浓度； ( 2 D t ) erf ( z ) 为误差函数
Fick第二定律的解无限大物体中扩散应用
2.扩散方程在扩散退火过程的应用
显微偏析是合金在结晶过程中形成的，在铸件，锻件中 普遍存在。扩散退火时将零件在高温下长时间保温可促 使成分的均匀化。 具有显微偏析的合金其组元分布大多呈周期性变化。 在研究扩散退火过程时，可以近似为 Dt /t
8.3.3．晶体结构 晶体结构对扩散有影响，有些金属存在同 素异构转变，当它们的晶体结构改变后， 扩散系数也随之发生较大的变化。例如铁 在912℃时发生-Fe-Fe转变，-Fe的自 扩散系数大约是-Fe的240倍。所有元素在 -Fe中的扩散系数都比在-Fe中大，其原 因是体心立方结构的致密度比面心立方结 构的致密度小，原子较易迁移。
空位扩散机制--- 3．交换机制 相邻两原子交换位臵而实现 F10-14：扩散的交换机 制
2 2
在给定条件下Cm，D, l 皆为定值。只有当 t 时 C / C m 0 才完全均匀化，可见所谓均匀化只有相 对意义。一般来说，只有偏析衰减到一定程度（如
1 1 0 ），即可认为均匀化了。凝固过程细化晶粒，及通
过锻造、轧制、热处理使组织充分细化都可以大大缩短 均匀化退火时间
a.同素异晶转变的金属中，D随晶体结构改变， 910℃，Dα-Fe/Dγ-Fe=280， α-Fe致密度低， 且易形成空位。 b.晶体各向异性使D有各向异性。 铋扩散的各向异性，菱方系Bi沿C轴的自扩 散为垂直C轴方向的1/106 六方系的Zn：平行底面的自扩散系数大于 垂直底面的，因底面原子排列紧密，穿过底面 困难。
Cs C0 2 Dt
C0为原始浓度；Cs为渗碳气氛浓度Cx为距表 x erf 面x处的浓度； ( 2 D t ) erf ( z ) 为误差函数
Fick第二定律的解无限大物体中扩散应用
2.扩散方程在扩散退火过程的应用
显微偏析是合金在结晶过程中形成的，在铸件，锻件中 普遍存在。扩散退火时将零件在高温下长时间保温可促 使成分的均匀化。 具有显微偏析的合金其组元分布大多呈周期性变化。 在研究扩散退火过程时，可以近似为 Dt /t
8.3.3．晶体结构 晶体结构对扩散有影响，有些金属存在同 素异构转变，当它们的晶体结构改变后， 扩散系数也随之发生较大的变化。例如铁 在912℃时发生-Fe-Fe转变，-Fe的自 扩散系数大约是-Fe的240倍。所有元素在 -Fe中的扩散系数都比在-Fe中大，其原 因是体心立方结构的致密度比面心立方结 构的致密度小，原子较易迁移。
空位扩散机制--- 3．交换机制 相邻两原子交换位臵而实现 F10-14：扩散的交换机 制
8-第八章扩散详解
向一致
注意： （1）关系式并不涉及扩散系统内部原子 运动的微观过程。 （2）适用于扩散系统的任何位置和扩散 过程的任一时刻。
4、扩散第二定律
通常的扩散过程大都是非稳态扩散
1）一维扩散 A x, J x 和 J xx 分 在扩散方向上取体积元 Ax, J ， x 别表示流入体积元及从体积元流出的扩散通量， 则在Δt时间内，体积元中扩散物质的积累量为
C C (D ) t x x
C C D 2 t x
2
5、扩散方程的应用
（一）一维稳态扩散
（二）不稳态扩散
5、扩散方程的应用
对于扩散的实际问题，一般要求出穿过某一
曲面（如平面、柱面、球面等）的通量J，单位
时间通过该面的物质量dm/dt=AJ，以及浓度分
布c(x,t)，为此需要分别求解菲克第一定律及菲
存在着热起伏iiuixfx????组分的质点沿方向扩散受到的应力iibbiiufx????i相应的质点运动平均速率vii组分质点的平均速率或淌度iijcii组分的扩散通量viiiiiicjcbcbcxiiuux????????iicjdx???iiiiiicbcblnciiiudu??????iiiibblnclnniiiuud?????iicnlncidn?idlnc00iilnlnlnln1lnnlnln1lniiiiiiiiiiiitprtrtnurtndrtbn??????????????????????扩散系数的热力学因子判断扩散类型的特征项ln100lniiidn??????ln100lniiidn??????由低浓度区向高浓度区的扩散逆扩散上坡扩散偏聚由高浓度区向低浓度区的扩散顺扩散下坡扩散均匀化22扩散系数扩散的动力学方程将宏观的扩散系数与质点的微观运动联系起来
第八章扩散
右跳动的几率将大于向左跳动的几率，在同一时间内， 向右跳过去的原子数大于反向跳回来的原子数，大量 原子无序跃迁的统计结果，就造成物质的定向传输， 即发生扩散。所以，扩散不是原子的定向跃迁过程， 扩散原子的这种随机跃迁过程，被称为原子的随机行 走。
扩散现象和本质
图8-3 对称和倾斜的势能曲线
扩散现象和本质
呈正弦波形变化（图8-12b）。
扩散应用举例
（一）铸锭（件）的均匀化退火
图8-12 铸锭中的枝晶偏析a）及溶质 原子在枝晶二次轴之间的浓度分布b）
扩散应用举例
（二）金属的粘接
1.
钎焊是连接金属的一
种方法。钎焊时，先将零
件（母材）搭接好，将钎
料安放在母材的间隙内或
间隙旁（图8-13），然后
将它们一起加热到稍高于
三、固态金属扩散的条件
扩散过程都是在扩散驱动力作用下进行的，如 果没有扩散驱动力，也就不可能发生扩散。墨水向 周围水中的扩散，锡向钢表面层中的扩散，其扩散 过程都是沿着浓度降低的方向进行，使浓度趋于均 匀化。相反，有些杂质原子向晶界的偏聚，使晶界 上的杂质浓度要比晶内高几倍至几十倍，又如共析 转变和过饱和固溶体的分解，扩散过程却是沿着浓 度升高的方向进行。可见，浓度梯度并不是导致扩 散的本质原因。
扩散现象和本质
应当指出，固态扩散是大量原子无序跃迁的统计 结果。在晶体的周期势场中，原子向各个方向跃迁的 几率相等，这就引不起物质传输的宏观扩散效果。如 果晶体周期场的势能曲线是倾斜的（图8-3），那么
原子自左向右跃迁的激活能为Q，而自右向左的激活 能在数值上为Q+ΔG（图8-3c）。这样一来，原子向
固态金属扩散的条件
（一）扩散要有驱动力
从热力学来看，在等温等压条件下，不管浓度 梯度如何，组元原子总是从化学位高的地方自发地 迁移到化学位低的地方，以降低系统的自由能。只 有当每种组元的化学位在系统中各点都相等时，才 达到动态平衡，宏观上再看不到物质的转移。当浓 度梯度与化学位梯度方向一致时，溶质原子就会从 高浓度地区向低浓度地区迁移；相反，当浓度梯度 与化学位梯度不一致时，溶质原子就会朝浓度梯度 相反的方向迁移。可见，扩散的驱动力不是浓度梯 度，而是化学位梯度。
扩散现象和本质
图8-3 对称和倾斜的势能曲线
扩散现象和本质
呈正弦波形变化（图8-12b）。
扩散应用举例
（一）铸锭（件）的均匀化退火
图8-12 铸锭中的枝晶偏析a）及溶质 原子在枝晶二次轴之间的浓度分布b）
扩散应用举例
（二）金属的粘接
1.
钎焊是连接金属的一
种方法。钎焊时，先将零
件（母材）搭接好，将钎
料安放在母材的间隙内或
间隙旁（图8-13），然后
将它们一起加热到稍高于
三、固态金属扩散的条件
扩散过程都是在扩散驱动力作用下进行的，如 果没有扩散驱动力，也就不可能发生扩散。墨水向 周围水中的扩散，锡向钢表面层中的扩散，其扩散 过程都是沿着浓度降低的方向进行，使浓度趋于均 匀化。相反，有些杂质原子向晶界的偏聚，使晶界 上的杂质浓度要比晶内高几倍至几十倍，又如共析 转变和过饱和固溶体的分解，扩散过程却是沿着浓 度升高的方向进行。可见，浓度梯度并不是导致扩 散的本质原因。
扩散现象和本质
应当指出，固态扩散是大量原子无序跃迁的统计 结果。在晶体的周期势场中，原子向各个方向跃迁的 几率相等，这就引不起物质传输的宏观扩散效果。如 果晶体周期场的势能曲线是倾斜的（图8-3），那么
原子自左向右跃迁的激活能为Q，而自右向左的激活 能在数值上为Q+ΔG（图8-3c）。这样一来，原子向
固态金属扩散的条件
（一）扩散要有驱动力
从热力学来看，在等温等压条件下，不管浓度 梯度如何，组元原子总是从化学位高的地方自发地 迁移到化学位低的地方，以降低系统的自由能。只 有当每种组元的化学位在系统中各点都相等时，才 达到动态平衡，宏观上再看不到物质的转移。当浓 度梯度与化学位梯度方向一致时，溶质原子就会从 高浓度地区向低浓度地区迁移；相反，当浓度梯度 与化学位梯度不一致时，溶质原子就会朝浓度梯度 相反的方向迁移。可见，扩散的驱动力不是浓度梯 度，而是化学位梯度。
第八章-扩散
合金中的扩散也是一样，原子总是从化学位高的地方向化 学位低的地方扩散，当各相中同一组元的化学位相等（多 相合金），则达到平衡状态，宏观扩散停止。原子扩散的 真正驱动力是化学位梯度。
F ui x
当化学位降低的方向与浓度降低的方向相反，如溶质原子 的偏聚、调幅分解等，扩散表现为向浓度高的方向进行， 称为上坡扩散。
1.弹性应力作用下的扩散 金属晶体中存在弹性应力梯度时，将造成原子的扩散。 2.晶界的内吸附 如果溶质原子位于晶界上可使体系总能量降低，它们就会
扩散而聚集在晶界上，使得晶界上浓度比晶内高。 3.电场作用下的扩散
第二节 扩散机制
§8.2.1 间隙扩散（Interstitial diffusion）
间隙扩散是小的间隙原子， 扩散时由一个间隙位置跃 迁到另一个间隙位置。间 隙原子换位时，必须从基 体原子之间挤过去，这就 要求间隙原子具有足够的 激活能来克服基体原子造
成的势垒。
图 间隙扩散机制示意图
图 面心立方结构的八面体间隙及（100）间隙
§8.2.2 置换扩散
1.柯肯达尔效应 柯肯达尔（Kirkendall）于1947年首先用实验验证了置换
将伴随有相变过程的扩散，或者有新相产生的扩散称为反 应扩散或者相变扩散。
图 反应扩散时的相图（a）与对应的浓度分布（b）和相分布（c）
图 纯铁的表面氮化 （a）Fe-N相图 （b）相分布 （c）氮浓度分布
第三节 影响扩散的因素
§8.3.1温度
由扩散系数的表达式 D=D0exp(-Q/RT) ，可以看 出，温度对扩散的影响是 很大的。
D0和Q是随成分和晶体结 构变化而变化的，与温度 基本无关，常看作常数。 扩散系数与温度的变化就 是指数关系。
图 Na＋在NaCl中的扩散系数
F ui x
当化学位降低的方向与浓度降低的方向相反，如溶质原子 的偏聚、调幅分解等，扩散表现为向浓度高的方向进行， 称为上坡扩散。
1.弹性应力作用下的扩散 金属晶体中存在弹性应力梯度时，将造成原子的扩散。 2.晶界的内吸附 如果溶质原子位于晶界上可使体系总能量降低，它们就会
扩散而聚集在晶界上，使得晶界上浓度比晶内高。 3.电场作用下的扩散
第二节 扩散机制
§8.2.1 间隙扩散（Interstitial diffusion）
间隙扩散是小的间隙原子， 扩散时由一个间隙位置跃 迁到另一个间隙位置。间 隙原子换位时，必须从基 体原子之间挤过去，这就 要求间隙原子具有足够的 激活能来克服基体原子造
成的势垒。
图 间隙扩散机制示意图
图 面心立方结构的八面体间隙及（100）间隙
§8.2.2 置换扩散
1.柯肯达尔效应 柯肯达尔（Kirkendall）于1947年首先用实验验证了置换
将伴随有相变过程的扩散，或者有新相产生的扩散称为反 应扩散或者相变扩散。
图 反应扩散时的相图（a）与对应的浓度分布（b）和相分布（c）
图 纯铁的表面氮化 （a）Fe-N相图 （b）相分布 （c）氮浓度分布
第三节 影响扩散的因素
§8.3.1温度
由扩散系数的表达式 D=D0exp(-Q/RT) ，可以看 出，温度对扩散的影响是 很大的。
D0和Q是随成分和晶体结 构变化而变化的，与温度 基本无关，常看作常数。 扩散系数与温度的变化就 是指数关系。
图 Na＋在NaCl中的扩散系数
第八章扩散.doc
第八章扩散(一）填空1.扩散系数D的物理意义是_____________________________。
2.菲克第一定律的数学表达式为___________________________。
3.菲克第二定律的数学表达式为_______________。
4.扩散系数与温度之间关系的表达式是_______________。
5.上坡扩散是指_______________。
下坡扩散是指______________________________。
反应扩散是____________________________ 原子扩散是_____________________________6.扩散通量为____________________________________（）判断题(二)选择题1．菲克第一定律描述了稳态扩散的特征，即浓度不随( )变化A 距离B 时间C 温度2.原子扩散的驱动力是( )A 组元的浓度梯度B 组元的化学势梯度C 温度梯度（三）问答题1 何谓扩散，固态扩散有哪些种类?2 何谓上坡扩散和下坡扩散?试举几个实例说明之。
3 扩散系数的物理意义是什么?影响因素有哪些？4 固态金属中要发生扩散必须满足哪些条件。
5 铸造合金均匀化退火前的冷塑性变形对均匀化过程有何影响?是加速还是减缓? 为什么。
6 巳知铜在铝中的扩散常数D0＝0.84×10-5m2／s，Q＝136×103J／mol，试计算在477℃和497℃时铜在铝中的扩散系数。
7 有一铝—铜合金铸锭，内部存在枝晶偏析，二次枝晶轴间距为0．01cm，试计算该铸锭在477℃和497℃均匀化退火时使成分偏析振幅降低到1％所需的保温时间。
8 可否用铅代替铅锡合金作对铁进行钎焊的材料，试分析说明之。
9 铜的熔点为1083℃，银的熔点为962℃，若将质量相同的一块纯铜板和一块纯银板紧密地压合在一起，置于900℃炉中长期加热，问将出现什么样的变化，冷至室温后会得到什么样的组织(图8-37为Cu-Ag相图)。
第八章扩散答案
第八章扩散答案A.本征扩散B.非本征扩散第八章扩散—、是非题1. （错）扩散一定从高浓度到低浓度。
2. （对）原子扩散的驱动力是化学位梯度。
3. （对）菲克第一定律适用于稳定扩散过程。
4. （对）菲克第二定律描述的是在扩散过程中某点的浓度随时间的变化率与浓度分布曲线在该点的二阶导数成正比。
5. （错）对扩散常数D o 的影响因素主要是扩散激活能。
（应是形成商与生成商）D0为与晶格结构和扩散方向有关的 常 数6. （错）菲克第二定律适用于稳定扩散过程。
7. （对）对扩散系数D 的影响因素主要是温度及扩散激活能。
8. （错）菲克第一定律适用于不稳定扩散。
9. （对）晶体结构对扩散有一定的影响，在致密度较小的晶体结构中。
原子的 扩算系数较大。
二、选择题1. 在扩散系数的热力学关系中,非理想混合体系中：当扩散系数的热力学因子〉0时，扩散结果使溶质 （ ）A .发生偏聚B .浓度不改变C .浓度趋于均匀非理想混合体系中:当扩散系数的热力学因子v 0时，扩散结果使溶质 （）A .发生偏聚B .浓度不改变C .浓度趋于均匀3. 原子扩散的驱动力是 ____________ 。
A .组元的浓度梯度 B .组元的化学位梯度C .扩散的温度D .扩散的时间4. 受固溶引入的杂质离子的电价和浓度等外界因素所控制的扩散是 __________ o B.非本征扩散C.正扩散 (1ln N i称为扩散系数的热力学因子。
在A .发生偏聚 B浓度不改变 C .浓度趋于均匀2. 在扩散系数的热力学关系中，°-^）lnN i称为扩散系数的热力学因子。
在A.本征扩散 D.逆扩散5. _____________________________ 由热缺陷所引起的扩散是A.本征扩散B.非本征扩散三、名词解释1. 稳定扩散稳定扩散是指在垂直扩散方向的任一平面上，单位时间内通过该平面单位面积的粒子数一定，即任一点的浓度不随时间而变化，2. 不稳定扩散不稳定扩散是指扩散物质在扩散介质中浓度随时间发生变化。
第八章： 扩散(Diffusion)
Cu-Ni合金偏析 合金偏析
第八章： 扩散（Diffusion） 第八章： 扩散（Diffusion）
8.3 扩散分类
2.根据扩散方向与浓度梯度方向是否相同分 2.根据扩散方向与浓度梯度方向是否相同分
（1）下坡扩散：扩散沿浓度降低方向进行。 下坡扩散：扩散沿浓度降低方向进行。
（2）上坡扩散：扩散向浓度升高方向进行。 上坡扩散：扩散向浓度升高方向进行。
如果在扩散过程中，各处浓度只随距离X变化，与时间无关， 如果在扩散过程中，各处浓度只随距离X变化，与时间无关，则扩散称为稳态扩 散。
扩散第一定律：在扩散过程中， 与浓度梯度（dc/dx）成正比。 扩散第一定律：在扩散过程中，在单位时间内通过单位面积上的扩散通量 （J）与浓度梯度（dc/dx）成正比。
8.3 扩散分类
1.根据扩散过程是否发生浓度变化分 1.根据扩散过程是否发生浓度变化分 自扩散：不伴有浓度变化。 （1）自扩散：不伴有浓度变化。
（2）互扩散：伴随浓度变化。 互扩散：伴随浓度变化。 多数扩散都属于互扩散。 多数扩散都属于互扩散。 如：渗碳、消除偏析退火（均匀化退火）等。 渗碳、消除偏析退火（均匀化退火）
实际情况下，满足第一定律的情况少见（ dc/dx不随时间改变）。 实际情况下，满足第一定律的情况少见（J与dc/dx不随时间改变）。 不随时间改变 实际材料中的扩散（如渗碳、均匀化退火等） dc/dx均随时间变化。 实际材料中的扩散（如渗碳、均匀化退火等）J、dc/dx均随时间变化。 均随时间变化
第八章： 扩散（Diffusion） 第八章： 扩散（Diffusion）
扩散速度快
固态扩散（速度慢） 固态扩散（速度慢）
第八章： 扩散（Diffusion） 第八章： 扩散（Diffusion）
第八章 扩散与固相反应
0 0
= ui + RT ( LnN i + Lnγ i )
0
∂ui ∂Lnγ i ) ⇒ = RT (1 + ∂LnN i ∂LnN i
⇒ Di = Bi RT (1 + ∂Lnγ i ) ∂LnN i
Nerst-Einstein方程 方程 或扩散系数的一般热力学方程
理解：
∂ Ln γ 1+ ∂ LnN
∂ ln N i
情况下物质流将由高浓度处流向低浓度处， 情况下物质流将由高浓度处流向低浓度处，扩散的 结果使溶质趋于均匀化。 结果使溶质趋于均匀化。
∂ ln γ i ) < 0 时，Di＜0，称为反常扩散或逆扩散。 ②当 (1 + ，称为反常扩散或逆扩散。 ∂ ln N i
与上述情况相反，扩散结果使溶质偏聚或分相。 与上述情况相反，扩散结果使溶质偏聚或分相。
∆c ∆m ∝ A∆t ∆x
dm ∂c = −D Adt ∂x
∂c J = −D ∂x
→
J = −D ∇ C
→
J 扩散通量，单位时间通过单位截面的质点数(质点数 扩散通量，单位时间通过单位截面的质点数 质点数/s·cm2) 质点数 D 扩散系数，单位浓度梯度的扩散通量 (m2/s 或 cm2/s) 扩散系数， C 质点数/cm3 质点数 “－” 表示粒子从高浓度向低浓度扩散，即逆浓度梯度方向扩散 － 表示粒子从高浓度向低浓度扩散，
2 0 0
讨论： 讨论：
′ ′ （1）高T时，晶体结构中 NV >> N i NV ≈ NV ） 时 扩散为本征缺陷所控制，扩散系数为本征扩散系数 扩散为本征缺陷所控制，扩散系数为本征扩散系数
Q D = D 0 exp( − ) RT
= ui + RT ( LnN i + Lnγ i )
0
∂ui ∂Lnγ i ) ⇒ = RT (1 + ∂LnN i ∂LnN i
⇒ Di = Bi RT (1 + ∂Lnγ i ) ∂LnN i
Nerst-Einstein方程 方程 或扩散系数的一般热力学方程
理解：
∂ Ln γ 1+ ∂ LnN
∂ ln N i
情况下物质流将由高浓度处流向低浓度处， 情况下物质流将由高浓度处流向低浓度处，扩散的 结果使溶质趋于均匀化。 结果使溶质趋于均匀化。
∂ ln γ i ) < 0 时，Di＜0，称为反常扩散或逆扩散。 ②当 (1 + ，称为反常扩散或逆扩散。 ∂ ln N i
与上述情况相反，扩散结果使溶质偏聚或分相。 与上述情况相反，扩散结果使溶质偏聚或分相。
∆c ∆m ∝ A∆t ∆x
dm ∂c = −D Adt ∂x
∂c J = −D ∂x
→
J = −D ∇ C
→
J 扩散通量，单位时间通过单位截面的质点数(质点数 扩散通量，单位时间通过单位截面的质点数 质点数/s·cm2) 质点数 D 扩散系数，单位浓度梯度的扩散通量 (m2/s 或 cm2/s) 扩散系数， C 质点数/cm3 质点数 “－” 表示粒子从高浓度向低浓度扩散，即逆浓度梯度方向扩散 － 表示粒子从高浓度向低浓度扩散，
2 0 0
讨论： 讨论：
′ ′ （1）高T时，晶体结构中 NV >> N i NV ≈ NV ） 时 扩散为本征缺陷所控制，扩散系数为本征扩散系数 扩散为本征缺陷所控制，扩散系数为本征扩散系数
Q D = D 0 exp( − ) RT
无机材料科学基础第八章扩散
第7章扩散一、名词解释1．扩散：2．扩散系数与扩散通量：3．本征扩散与非本征扩散：4．自扩散与互扩散：5．稳定扩散与不稳定扩散：名词解释答案：一、扩散是指在梯度的作用下，由于热运动而使粒子定向移动的过程二、扩散通量：单位时间内通过单位面积粒子的数目扩散系数：单位浓度梯度下的扩散同俩个三、本征扩散：由热缺陷所引起的扩散非本征扩散：由于杂质粒子的电引入而引起的扩散四、自扩散：原子或粒子在本身结构中的扩散互扩散：两种的扩散通量大小相等，方向相反的扩散五、稳定扩散：单位时间内通过单位面积的粒子数一定不稳定扩散：单位面积内通过单位面积的粒子数不一定二、填空与选择1.晶体中质点的扩散迁移方式有：、、、和。
2．当扩散系数的热力学因子为时，称为逆扩散。
此类扩散的特征为，其扩散结果为使或。
3．扩散推动力是。
晶体中原子或离子的迁移机制主要分为两种：和。
4．恒定源条件下，820℃时钢经1小时的渗碳，可得到一定厚度的表面碳层，同样条件下，要得到两倍厚度的渗碳层需小时.5．本征扩散是由而引起的质点迁移，本征扩散的活化能由和两部分组成，扩散系数与温度的关系式为。
6．菲克第一定律适用于，其数学表达式为；菲克第二定律适用于，其数学表达式为。
7．在离子型材料中，影响扩散的缺陷来自两个方面：（1）肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷（热缺陷），（2）掺杂点缺陷。
由热缺陷所引起的扩散称，而掺杂点缺陷引起的扩散称为。
（自扩散、互扩散、无序扩散、非本征扩散）8．在通过玻璃转变区域时，急冷的玻璃中网络变体的扩散系数，一般相同组成但充分退火的玻璃中的扩散系数。
（高于、低于、等于）9．在UO 2晶体中，O 2－的扩散是按 机制进行的。
（空位、间隙、掺杂点缺陷）填空题答案：1、易位扩散、环形扩散、空位扩散、间隙扩散、准间隙扩散2、1+（δln γi ）/（δlnNi ）＜0、由低浓度向高浓度扩散、偏聚、分相3、化学位梯度、空位机制、间隙机制4、45、热缺陷、空位形成能、空位迁移能、）（RT Q D D -=e0 6、稳定扩散 、 x C D J ∂∂-= 、不稳定扩散、22x C D tC ∂∂=∂∂ 7、本征扩散、非本征扩散8、高于9、间隙四、试分析离子晶体中，阴离子扩散系数－般都小于阳离子扩散系数的原因。
材料科学基础课件：第八章 扩散
� 1.无限长扩散偶的扩散
图 无限长扩散偶中的溶质原子分布
� 将两根溶质原子浓度分别是C1和C2、横截面积和浓度均匀 的金属棒沿着长度方向焊接在一起，形成无限长扩散偶， 然后将扩散偶加热到一定温度保温，考察浓度沿长度方向 随时间的变化。 � 将焊接面作为坐标原点，扩散沿x轴方向，列出扩散问题 的初始条件和边界条件分别为 �t＝0时： x �t≥0时： x
� 2.半无限长物体的扩散 � 由于渗碳时，活性碳原子附在零件表面上，然后向零件内 部扩散，这就相当于无限长扩散偶中的一根金属棒，因此 叫做半无限长。
Cs C0 2 Dt
� Co为原始浓度； � Cs为渗碳气氛浓度； � Cx为距表面x处的浓度。
Cs − C x x = erf ( ) C s − C0 2 Dt
πx C = Cm sin l πx −π 2 Dt / l 2 C = Cm sin e l C = Cm e
−π 2 Dt / l 2
nl ( x = , n = 1,3,5,......) 2
� 提高扩散温度，增加D，可以加快扩散速率； � 减小偏析波长l也是提高均匀化速率的有效手段（细化晶 粒）。
第一节 扩散定理
§8.1.1 菲克第一定律
�菲克（A. Fick）于1855年参考导热方程，通过实验确立 了扩散物质量与其浓度梯度之间的宏观规律，即单位时间 内通过垂直于扩散方向的单位截面积的物质量（扩散通量） 与该物质在该面积处的浓度梯度成正比 。
J = −D dC dx
�J为扩散通量，表示扩散物质通过单位截面的流量， dC/dx为沿x方向的浓度梯度；D为原子的扩散系数。负号 表示扩散由高浓度向低浓度方向进行。
� 扩散第一方程是被大量实验所证实的公理，是扩散理论的 基础。 � 浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描 述原子扩散能力的基本物理量。 � 在浓度均匀的系统中，尽管原子的微观运动仍在进行，但 是不会产生宏观的扩散现象。 � 扩散第一定律只适合于描述的稳态扩散，即在扩散过程中 系统各处的浓度不随时间变化。 � 扩散第一定律不仅适合于固体，也适合于液体和气体中原 子的扩散。
图 无限长扩散偶中的溶质原子分布
� 将两根溶质原子浓度分别是C1和C2、横截面积和浓度均匀 的金属棒沿着长度方向焊接在一起，形成无限长扩散偶， 然后将扩散偶加热到一定温度保温，考察浓度沿长度方向 随时间的变化。 � 将焊接面作为坐标原点，扩散沿x轴方向，列出扩散问题 的初始条件和边界条件分别为 �t＝0时： x �t≥0时： x
� 2.半无限长物体的扩散 � 由于渗碳时，活性碳原子附在零件表面上，然后向零件内 部扩散，这就相当于无限长扩散偶中的一根金属棒，因此 叫做半无限长。
Cs C0 2 Dt
� Co为原始浓度； � Cs为渗碳气氛浓度； � Cx为距表面x处的浓度。
Cs − C x x = erf ( ) C s − C0 2 Dt
πx C = Cm sin l πx −π 2 Dt / l 2 C = Cm sin e l C = Cm e
−π 2 Dt / l 2
nl ( x = , n = 1,3,5,......) 2
� 提高扩散温度，增加D，可以加快扩散速率； � 减小偏析波长l也是提高均匀化速率的有效手段（细化晶 粒）。
第一节 扩散定理
§8.1.1 菲克第一定律
�菲克（A. Fick）于1855年参考导热方程，通过实验确立 了扩散物质量与其浓度梯度之间的宏观规律，即单位时间 内通过垂直于扩散方向的单位截面积的物质量（扩散通量） 与该物质在该面积处的浓度梯度成正比 。
J = −D dC dx
�J为扩散通量，表示扩散物质通过单位截面的流量， dC/dx为沿x方向的浓度梯度；D为原子的扩散系数。负号 表示扩散由高浓度向低浓度方向进行。
� 扩散第一方程是被大量实验所证实的公理，是扩散理论的 基础。 � 浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描 述原子扩散能力的基本物理量。 � 在浓度均匀的系统中，尽管原子的微观运动仍在进行，但 是不会产生宏观的扩散现象。 � 扩散第一定律只适合于描述的稳态扩散，即在扩散过程中 系统各处的浓度不随时间变化。 � 扩散第一定律不仅适合于固体，也适合于液体和气体中原 子的扩散。
金属学与热处理第八章扩散ppt课件.ppt
场和磁场等。 (二)温度足够高。
固态扩散是依靠原子热激活能进行的过程，必须在足 够高的温度才能进行。当温度低于某一温度时，原子被激 活的几率很低，扩散几乎不能进行即被“冻结”。C被冻 结的温度为100℃ ，Fe被冻结的温度为500℃。
(三)时间足够长。 扩散原子在晶体中每跃迁一次最多也只能移动0.3～
不同的金属或合金，其扩散机制是不同的。目前，被 大家所公认的扩散机制由如下几种：间隙扩散机制；换位 扩散机制；空位扩散机制等。
(一)间隙扩散 1）在间隙固溶体中，溶质原子由一个间隙位置跳到其
相邻的另一间隙位置，即为间隙扩散。
这种方式进行扩散的可能性很大，因为在间隙固溶体 中，溶质原子只占据少量间隙位置，即每个间隙原子周围 都有较多的间隙位置是空着的，故供其跃迁的位置很多。
在微小体积Adx内的物资积存速率为：
(CAdx) C Adx (2)
t
t
式（1）与式（2）相等，则可得
C Adx J Adx
t
x
即： C J （3）
t
x
将扩散第一定律代入（3）有：
C C
(D ) t x x
（4）
式（4）即为菲克第二定律，如果扩散系数 是 D与浓度无 关的常数，则式(4)可写为：
0.5nm的距离，经过相当长的时间才能造成物质的宏观定 向迁移。
由这一原理人们设计了固溶处理，如：铝合 金的固溶处理，不锈钢的固溶处理等。
此外，在热加工刚完成时迅速将金属材料冷却到室温， 抑制扩散过程，避免发生静态再结晶，可把动态回复或动 态再结晶的组织保留下来，以达到提高金属材料性能的目 的。
(四)扩散原子要有固溶。 扩散原子在基体金属中必须有一定的固溶度，能够溶入
C t
固态扩散是依靠原子热激活能进行的过程，必须在足 够高的温度才能进行。当温度低于某一温度时，原子被激 活的几率很低，扩散几乎不能进行即被“冻结”。C被冻 结的温度为100℃ ，Fe被冻结的温度为500℃。
(三)时间足够长。 扩散原子在晶体中每跃迁一次最多也只能移动0.3～
不同的金属或合金，其扩散机制是不同的。目前，被 大家所公认的扩散机制由如下几种：间隙扩散机制；换位 扩散机制；空位扩散机制等。
(一)间隙扩散 1）在间隙固溶体中，溶质原子由一个间隙位置跳到其
相邻的另一间隙位置，即为间隙扩散。
这种方式进行扩散的可能性很大，因为在间隙固溶体 中，溶质原子只占据少量间隙位置，即每个间隙原子周围 都有较多的间隙位置是空着的，故供其跃迁的位置很多。
在微小体积Adx内的物资积存速率为：
(CAdx) C Adx (2)
t
t
式（1）与式（2）相等，则可得
C Adx J Adx
t
x
即： C J （3）
t
x
将扩散第一定律代入（3）有：
C C
(D ) t x x
（4）
式（4）即为菲克第二定律，如果扩散系数 是 D与浓度无 关的常数，则式(4)可写为：
0.5nm的距离，经过相当长的时间才能造成物质的宏观定 向迁移。
由这一原理人们设计了固溶处理，如：铝合 金的固溶处理，不锈钢的固溶处理等。
此外，在热加工刚完成时迅速将金属材料冷却到室温， 抑制扩散过程，避免发生静态再结晶，可把动态回复或动 态再结晶的组织保留下来，以达到提高金属材料性能的目 的。
(四)扩散原子要有固溶。 扩散原子在基体金属中必须有一定的固溶度，能够溶入
C t
扩散
侧空位浓度增加（高于平衡浓度）。当两侧空位都恢复平衡浓
度时， Cu一侧伸长，Ni侧缩短，相当于钨丝向Ni一侧移动了一 个△x。
扩散系数公式
8.3 影响扩散的因素
（1）温度
（2）固溶体的类型
间隙固溶体中的扩散机制是间隙式扩散，Q低，扩散速度快。 置换固溶体中的扩散机制是空位式，Q高，扩散速度慢。 （3）晶体结构 ① T一定时，密排结构的晶体中扩散速度小于非密排晶体。
解：可以用半无限长棒的扩散来解
例二：上例中处理条件不变，把碳含量达到0.4％C处到表面 的距离作为渗层深度，推出渗层深度与处理时间之间的关系， 渗层深达到1.0mm则需多少时间?
解：因为处理条件不变
在温度相同时，扩散系数也相同，因此渗层深度与 处理时间之间的关系： 因为x2/x1= 2，所以t2/t1= 4，这时的时间为 34268s = 9.52hr
C
C1
溶质原子流向
C2
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
距离x
在实际中经常遇到的是非稳态扩散。这时材料中任何一 点的扩散物质的浓度在扩散过程中随时间而变化 (即 dc/dt≠0) 。就是说物质分布浓度随时间变化。由于不同时 间在不同位置的浓度不相同，浓度是时间和位置的函数 C(x,t) ，扩散发生时不同位置的浓度梯度也不一样，扩散 物质的通量也不一样。在某一 dt的时间段，扩散通量是位 置和时间的函数J(x,t)。 钢的渗碳就属于这种情况。
8.1 扩散定律
菲克第一定律
表达式： J为单位时间通过垂直于扩散方向的单位面积的扩散物质 的通量，单位是 为溶质原子的浓度梯度； 负号表示物质总是从浓度高处向浓度低的方向迁移； 比例常数D称为扩散系数，单位为
适用条件：稳态扩散 - dc/dt=0，浓度及浓度梯度不随时间 改变。
金属学与热处理第八章扩散
2.3 1011 m2 / s 2.11017 m2 / s
Ni D1200
1 106
间隙原子碳的扩散系数比置换 原子镍大的多
(CAdx ) C Adx t t
(2)
式（1）与式（2）相等，则可得
C J Adx Adx t x
即：
C J t x
（3）
将扩散第一定律代入（3）有：
C C (D ) t x x
（4）
式（4）即为菲克第二定律，如果扩散系数 是 D与浓度无 关的常数，则式(4)可写为：
和均匀固溶体中，例如晶粒长大，驱动力是表面能的降
低；
2)互扩散,伴随有浓度变化的扩散，与浓度梯度有关， 这类扩散又称为“化学扩散”或者“异扩散”。 (二)按扩散方向与浓度梯度的方向的关系分为： 1)下坡扩散:下坡扩散是沿着浓度降低的方向扩散， 如渗碳、均匀化退火； 2)上坡扩散:沿着浓度升高的方向进行的扩散，如珠
光体形成时，碳原子由浓度低的A向碳浓度高的Fe3C的扩
散。
又如图所示，Si提 高了C的化学位，使碳 向着无硅一侧扩散。
此外，弹性应力梯度如图所
示的电位梯度。此外，温度梯度
等作用下也可发生上坡扩散。
(三)按扩散过程是否出现新相分为： 1）原子扩散：在扩散过程中基体晶格始终不变，无
新相产生；
2）反应扩散：通过扩 散使固溶体的溶质组元浓 度超过固溶极限后形成新 相的扩散称为反应扩散，
第八章
扩散
§8-1概 述
一. 扩散的现象和本质
人们对气体和液体中的 扩散现象并不陌生，虽然扩 散现象在固态物质中不易察
觉，但确实存在的...
(一) 柯肯达尔效应
扩散前：Zn-Cu
第八章_扩散
c c c J x Dxx Dxy Dxz x y z c c c J y Dyx Dyy Dyz x y z
（8.2a） （8.2b） （8.2c）
c c c J z Dzx Dzy Dzz x y z
9
扩散第一方程是质点扩散定量描述的基本方程。它可以直接 用于求解浓度分布不随时间变化的稳定扩散问题，同时又是浓度 随时间变化的不稳定扩散动力学方程建立的基础。 在这里给出了两个概念，稳定扩散和不稳定扩散。 稳定扩散:扩散过程中各处的浓度及浓度梯度不随时间变化。 不稳定扩散：扩散过程中各处的浓度及浓度梯度随时间变化。 现考察不稳定扩散体系中任一由界面S围成的体积V，在单位 时间内流入体积V中净扩散质的量应为 Q=－ 根据高斯定理则有 Q=－ divJsdV
20
现在用一对半无限大扩散偶为例，用扩散第二方程讨论扩 散系数随浓度变化的关系。
此时扩散方程和对应的边界条件为
c c ( D ) ；c(x＜0,t=0)=c0；c(x＞0,t=0)=0 (8-18) = t x x
在上式中引入变换u=xt-1/2，于是有 u c ] (8-19) － du=d[D u 2 考虑[dc/dx]c=0=0，将上式作0～ξ的积分得
5
原子或离子的扩散是众多工程材料如金属材料、无机非金属材 料、有机高分子等的材料的制备、使用中很多重要的物理、化 学以及物理化学过程得以实现的基础。
例如半导体掺杂、固溶体的形成、离子晶体的导电、固相反应、 相变、烧结、材料表面处理等等都与材料内部质点的迁移扩散 有着密切的关系。 因此研究并掌握扩散的基本规律对于材料性质的认识与开发、 材料的制备、生产和使用都有十分重要的意义。
19
3. 扩散系数随浓度的变化
第八章 - 第三讲-单向扩散与扩散系数
P
1
A 3 +
1+ MA
B
1
MB 1 2 3
2
一般：
D
=
D0
P0 P
T T0
1.75
气体： D =10-5~10-4 m2/s
MA，MB－A,B分子的分子量。 vA，vB－ A,B分子扩散体积，m3/mole T,P－气体温度（K）和压力，pa。
Fuller关联式，适用于常温、高温，不适用于低温。
由于目前分子理论尚不成熟，分子扩散系数也不能理论预测，只能采 用经验和半经验的模型进行关联。
一组分在另一组分中的分子扩散系数可以实验测定，因此也有相应的 关联模型。
目前获取分子扩散系数的方法：实验测定、手册查取、公式计算。
一、组分在气体中的扩散系数
1
( ) ( ) Fuller’s
公式：
D
=
1.00 10−7T 1.75
瞬间完成？不是！ 存在阻力！异种分子的碰撞！
分子扩散的速率：Fick定律！
回顾
费克定律（Fick’s Law）
双组分物系、稳态传质：
JA
=
−DAB
dCA dz
DAB——A在B中 的扩散系数，
m2/s
浓度梯度
气体：
CA
=
nA V
=
PA RT
J
A
=
−
DAB RT
dPA dz
回顾
一、等分子反向扩散
1、等分子反向扩散 通过某截面的两方向相反的物质扩散通量相等。
CM CB
CA CM
=
JA
+
J
A
CA CB
=
第八章 气体吸收-第三节-扩散和单相传质
西北大学化工原理
P JA 主体流 动 气 夜 界 面 N(净物流）
NM JB Q
扩散方向Z
图 8-10 主体流动与扩散流
西北大学化工原理
③ 扩散流与主体流动的区别 扩散流：分子微观运动的宏观结果，传递的是纯组分A或纯组 分B。 主体流动：指宏观运动，同时携带组分A与B流向界面。主体 流动所带组分B的量必定恰好等于组分B的反向扩散，这样CBi 保持定态。 主体流动的特点： 1）因分子本身扩散引起的宏观流动。 2）A、B在总体流动中方向相同，流动速度正比于摩 cA 尔分率。 cB N MA = N M N MB = N M c c
西北大学化工原理
3、分子扩散的速率方程 对平面PQ做总物料衡算，可的通过平面PQ的净物流
N = NM + J A + J B
∵JA=-JB
∴N=NM
结论：主体流动的速率等于净物流速率，等分子反向扩 散时，无净物流，也无主体流动。 对组分A做物料衡算得
NA = JA + NM A ......... ( N = J + N ⋅ x ) A A x1 A C M C
西北大学化工原理 式中 CA——A组分的浓度kmol/m3 JA——组分A的扩散通量。亦叫扩散速率kmol/s·m2 DAB——组分A在组分B中的扩散系数m2/s 负号：表示扩散方向与浓度梯度方向相反；扩散沿着浓度降 低的方向进行
理想气体
pA cA = RT dc A 1 dp A = dz RT dz DAB dp A JA = − RT dz
西北大学化工原理
动量传递： τ = − μ ⎫ ⎪ ⎬物性参数， dT 热量传递： q = −λ dn ........λ ⎪ ........ ⎭ D AB也是物性参数， D AB要有实验测定。
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C1 C2 C1 C2 x C erf ( ) 2 2 2 Dt
半无限长棒
Cs C x x erf ( ) Cs C0 2 Dt
菲克第二定律的应用
例：一块0.1％C的钢在930℃渗碳，渗到0.5mm的地方 碳浓度达到0.45％，在t >0的全部时间内，渗碳气 氛始终保持在表面成分为1％，假设D＝1.4×10－7 cm2/s。 a）计算渗碳时间。 b）若将渗层增加一倍所需时间。 c）设D＝0.25exp（－34500/RT）cm2/s。若在 某温度渗碳在0.1cm处为0.45%C与930℃在0.05c m处达同样浓度所需时间相同，渗碳温度为多少？
8.2.3 菲克第二定律的解
1. 高斯解 适用条件： 1. 扩散过程中扩散元素质量保持不变，其值为M；
2. 扩散开始时扩散元素集中在表面，好像一层薄膜。
初始条件： t=0, C=0
边界条件：
x=∞,C=0
Adx M
0
菲克第二定律的解
高斯解
x M C exp 4Dt πDt
( JA) dx x
C J t x
dC J D dx
C C (D ) t x x
菲克第二定律
若D与浓度无关，则：
C C D 2 t x
2
对三维各向同性的情况：
C C C C D( 2 2 2 ) t x y z
2 2 2
设在温度T时渗层为0.1cm，在温度930oC时 渗层为0.05cm，则DT/D930=4
0.25exp 34500/ 8.315 T
菲克第二定律的解
3. 正弦解 适用条件：
A B a）
铸造合金中显微偏析 的均匀化退火问题。
2l
溶质浓度
x C Cm sin l
-Cm
0 位置 X
C0
8.2 扩散定律
8.2.1 菲克第一定律 菲克（ Adolf Fick ）1855年指出，在单 位时间内通过垂直扩散方向的某一单位 面积截面的物质流量（扩散通量J）与此 时的浓度梯度成正比。
dC J D dx
J——扩散通量，原子数目/m2· s或kg/m2· s x——沿扩散方向的距离，m C——体积浓度，原子数目/m3或kg/m3
J=-（1/2）（dx）2（dC/dx）= -D（dC/dx）
注意
1. 扩散第一方程与经典力学的方程一样，是被大量实验所证 实的公理，是扩散理论的基础。 2. 浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描 述原子扩散能力的基本物理量。扩散系数并非常数，而与 很多因素有关，但是与浓度梯度无关。 3. 当dC/dx=0时，J=0，表面在浓度均匀的系统中，尽管原子 的微观运动仍在进行，但是不会产生宏观的扩散现象，这 一结论仅适合于下坡扩散的情况。
3. 置换扩散/换位机制
直接换位机制
回旋式换位机制
扩散的微观机制
只有那些自由能等于或高于G2 的间隙原子才能克 服这一能垒而实现跃迁。 间隙原子跃迁之前在它的周围必须存在可供其跃迁 且未被其他原子占据的间隙位置。
G2
G1
扩散的微观机制
1、易位：两个质点直接换位 2、环形扩散：同种质点的环状迁移
3、准间隙扩散：从间隙位到正常位，正常位 质点到间隙
d
已知：扩散系数D
C1＝0.2％C
dx：0.1cm
求：dC＝C2－C1
C 2 ＝0
菲克第一定律的应用
WC BCCFe密度 C 阿佛加德罗常数 碳的摩尔质量
0.002 7.9 23 20 3 C1 6.02 10 7.92 10 原子数 / cm 12.101
dC C2 C1 J D D dx 试样厚度 20 0－7.92 10 －7 ＝－8.7 10 ＝6.9 1015 原子 / cm2 s 0.1
8.2.2 菲克第二定律
C C (D ) t x x
4、间隙扩散：质点从一个间隙到另一个间隙 5、空位扩散：质点从正常位置移到空位 6、间隙原子的挤列机制
扩散的微观机制
空位扩散是固态金属最可能采取的扩散机制
原因：
相互调位所需能量较大，难以实现。 环形换位必然使通过界面流入和流出的原 子数目相等，无法解释柯肯达尔效应。 基于柯肯达尔效应，以及实际晶体结构中 存在着一定数量点阵空位的事实，空位扩散 可能是置换固溶体的互扩散和纯金属的自扩 散唯一采取的方式。
C1 C2
绝大多数扩散过程是非稳态扩散，各处浓度梯度随扩散时 间不断发生变化，这种情况下第一定律就不能应用了。
菲克第一定律的应用
2r1 2r1
l
1000C [C]
l>>r
2r2
平视方向
2r2
俯视方向
菲克第一定律的应用
碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡时，则为稳态扩散 单位面积单位时间的碳流量：
1 1019 原子 / m3
菲克第二定律的解
2. 误差函数解
适用条件： 无限长棒或半无限长棒的扩散问题。
C=C2 对焊接面 C=C1
A
－x 浓 度 C 0 C2 原始状态 t0 t2 0
扩散方向 B
＋x
t1
C1 距离x
菲克第二定律的解
渗碳 C0
Cs
（ ％ ） C0 t1<t2<t3 t3 t1 x1 x2 Cc
菲克第二定律的应用
c)设D＝0.25exp（－34500/RT）cm2/s。若在某温 度渗碳在0.1cm处为0.45%C与930℃在0.05cm处 达同样浓度所需时间相同，渗碳温度为多少？
1 0.45 x erf 1 0.1 2 Dt
DT 4 0.25exp 34500/ 8.315 930 273
4. 在扩散第一定律中没有用给出扩散与时间的关系，故此定 了适合于描述dC/dt=0的稳态扩散，即在扩散过程中系统各 处的浓度不随时间变化。 5. 扩散第一定律不仅适合于固体，也适合于液体和气体中原 子的扩散。
菲克第一定律的局限
第一定律只能解决稳态扩散——扩散过程中合金内部 各处的浓度和浓度梯度不随时间改变（dC/dt＝0）
2 2
则
溶质浓度
2l
l t 0.467 D
2
Cmax C0 0 Cmin A0 位置 X
菲克第二定律的应用
例：两个原始成分半波长分别为C1和C2=C1/10的试
样，半波长为C2的试样成分波幅衰减为原来的1/e（0.
368倍）时，半波长为C1的试样波幅衰减情况如何？
对于半波长为C2的试样，衰减因子等于1/e时
菲克第一定律的应用
例: 设BCC Fe薄板加热到1000K，板的一侧与CO/C O2混合气体接触使表面碳的浓度保持在0.2％（质量 分数）。另一侧与氧化气氛接触，使碳的浓度维持在 0％C。计算每秒钟每平方厘米面积传输到后表面的 碳的原子数。板厚为0.1cm，BCC Fe的密度约为7.9 g/cm3，在1000K时的扩散系数为8.7×10-7cm2/s。
菲克第一定律的推导
沿一个方向只有1/2的几率
则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量
J=（1/2）f（n1-n2） =（1/2）f C1dx-（1/2）f C2dx = f（C1-C2）dx/2 = -f dC dx/2 C= f(x)
dC C2 C1 dx dx
令D=（1/2）（dx）2f，则
x
l
exp 2 Dt / l 2
C / Cm exp( Dt / l )
2 2
只有当t 时，C / Cm 0，才能完全均匀化。
因此，使D增大，l 减小的因素都可以缩短均匀化 退火时间。
菲克第二定律的应用
例：若规定退火后浓度波动为原来的1％ 即：
exp 4 Dt / l 0.01
菲克第二定律的应用
对于半波长为C1的试样，在同样时间内的波幅衰减为
即是说，半波长为C2的波幅衰减了（1-0.368） =63.2%时，半波长为C1的波幅只衰减了1%。可见， 波长对衰减速度的影响是非常大的。
J=q/（At）=q/（2πrLt）
A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：时间t内通过 圆筒的碳量
则 J=q/（At）=q/（2πrLt）=-D（dC/dx）
= -D（ dC/dr） 即 -D= [q/（2πrLt）]×1/ （ dC/dr） = [q（dlnr）]/[（ 2πLt ） dC] q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同 r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
A0
b）
t=0时
Cm
菲克第二定律的解
正弦解
C Cm sin
x
l
exp Dt / l C0
2 2
C0——平均浓度C平均，l——晶粒的平均直径
Cm exp Dt / l
2
2
菲克第二定律的解
正弦解 适用条件：
A B a）
铸造合金中显微偏析 的均匀化退火问题。
2l 溶质浓度 A0 -Cm 位置 X C0 b）
C
t2
x3
x
菲克第二定律的解
无限长棒
初始条件： 边界条件： x=＋∞,C=C1 x=－∞,C=C2 t>0 C=C2, x<0 C=C1,x>0
t=0
半无限长棒
初始条件： t=0， C=C0, x>=0 边界条件：
x=＋∞,C=C0
x=0, C=Cs
t>0
菲克第二定律的解
误差函数解： 无限长棒
C 2C D 2 t x