§10 怎样计算电场强度

§10 怎样计算电场强度？

静电场的电场强度计算，一般有三种方法： 1、 从点电荷场强公式出发进行叠加； 2、 用高斯定理求解；

3、 从电场强度和电势的微分关系求解。 这三种方法各有优点：

从点电荷的场强公式出发，通过叠加原理来计算，在原则上，是没有不可应用的。但是，叠加是矢量的叠加，因此计算往往十分麻烦。

用高斯定理求电场强度，方法简单，演算方便，它有较大的局限性，只适宜于某些电荷对称分布的场强的计算，或者场强不是对称的，但为几种能用高斯定理求解折场的合成。 用场电势的微分关系求场强也有普遍性，而且叠加是代数叠加。这一种方法也简便，不过还比不上高斯定理。

所以求场强时，一般首先考虑是琐能用高斯定理，其次考虑是否能用场强与电势的微分关系去求。下面分别加以讨论。

一、从点电荷的场强公式出发通过叠加原理进行计算 点电荷的场强公式：

301

(1)4i

i

i q E r r πε=

∑

当电荷连续分布时：

()()

3

03

03

1(2)

4134144r

E dl r

r

E ds r r

E d r

λπεσπερτ

πε===

⎰⎰⎰ 式中

λ－电荷的线密度；

σ－电荷的面密度；

ρ－电荷的体密度。

式（2）、（3）、（4）中，积分应普遍一切有电荷分布的地方。计算时，还必须注意这是矢量和。

1、 善于积分变量的统一问题

如果积分上包含有几个相关的变量，只有将它们用同一变量来表示，积分才能积得结果。这在应用点电荷的场强公式求带电体的场强时，或者应用毕－沙－拉定律求B 时，常常遇到。因此，要积分必须先解决积分变量的统一问题。

积分上包含有几个变量，相互之间存在一定的关系。因此，任一变量都可选作自变量，而将其他变量用该变量来统一表示。必须指出，不但可以将积分号中包含的变量选作自变量，而且也可选择不包含在积分号中但与积分号中的变量都有关的量作为自变量，要根据具体情况而定。

现以图2－10－1所示均匀带电直线的场强计算为例来讨论积分变量的统一问题。 由图可知：

2

0cos 4x dl

dE r λθπε=

2

0sin 4y dl

dE r λθπε=

202

0cos (5)

4sin (6)

4x x y y dl

E dE r dl

E dE r

λθπελθπε∴====⎰⎰

⎰⎰

上述三个变量中，共有三个相关变量：θ、l 、r 。为了把积分计算出来，必须把三个变量统一用某一个变量，可以θ、l 、r 中的任一个，或者用它的相关变量来表示。究竟选哪 一个好呢？

如果选择θ为自变量，则应把l 、r 都化作θ的函数来表示。由图示几何关系可得：

2222cot l a dl acse d r a cse θθθθ

=-== 于是得：

()()2

12

1

21002100cos sin sin 44sin cos cos 44x y E a a

E a a

θθθθλλ

θθθπεπελλ

θθθπεπε==-==-⎰

⎰

x

图2－10－1

好可把l 或r 作为自变量，把其他变量用l 或r 统一来表示。实用中，一般用θ作为自变量是比较方便的。 2、 基本例题

对于已知电荷线分布而求场强的习题，应该掌握其基本题。 单位圆弧的弧元dl ，电荷线密度λ，在圆心产生的场强为：

22000444dl rd dE r r r

λλθλ

πεπεπε=

==

当0λ>。dE 指向圆心；当0λ<，背离圆心。如均匀带电圆弧所张的圆心角为θ，则在圆心处所产生的场强为：

/2

/20

000sin

22cos cos (7)22E dE d r r

θθθ

λλθθθπεπε==

=⎰

⎰

E 的方向，沿着

2

θ

径向，当0λ>时指向圆心，反之，背离圆心。

一段电荷的线密度为λ，长为l 的直线，求其延长线上离开直线近端的距离为a 的P 点之场强（图2－10－2）。 该点的场强为：

()2200

(8)444a l

a l

a

a

dx dx l

E dE x x a a l λλ

λπεπεπε++⎡⎤===

=-⎢⎥+⎣⎦

⎰⎰

⎰

负号表示E 的方向与x 的方轴的正方向相反。

电荷的线密度为λ，长为l 的直线，线外有一点P ，它与直线的距离为a 。P 点的场强可由式（5）、（6）求得。

掌握了上述三个基本例题后，遇到以它们为基础的组合题，应用叠加原理就可以方便地算出结果。 3、 组合题例

［例1］一细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿着其上半部均匀地分布着电荷有＋Q ，沿其下半均匀地分布着电荷－Q （图2－10－3）。求半圆中心O 处的电场强度。 ［解法一］上半部圆弧电荷在O 处产生的场强如应用式（7）得：

122

00090sin

222242Q E R R R λλπεπεπε===

方向如图。

下半部圆弧电荷在O 点产生的场强2E ，应用式（7）得：

0222

00090sin

222242Q E R R R λλπεπεπε=-=-=-

1E 与2E 的合矢量指向x 的正方向，其值为：

22220022452Q Q E cos R R πεπε⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭

［解法二］在上半部圆弧上取一弧元dl Rd θ=，其上电荷为2Qd dl θ

λπ

=

，故有：

12

012

02cos 42sin ()

42

x y Q

dE d R Q

dE d R θθ

ππεπ

θθ

θππε=⨯=

<

⨯

积分后得：

/2

122

22

00/2

122

22

00cos 22sin 22x y Q Q E d R R Q Q E d R R ππθθπεπεθθπεπε===

=

⎰

⎰

对下半部圆弧而言有：

222

0222

0cos 2sin 2x y Q dE R Q dE R θ

πεθ

πε=-=-

积分以后得：

2222

02222

022x x y y Q E dE R Q E dE R πεπε==

==-

⎰⎰

因此有：