北师大版高三数学选修4-6初等数论初步全册课件【完整版】
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数论初步PPT课件
04 素数与合数
素数的定义与性质
素数的定义
素数是大于1的自然数，且只能被 1和它自身整除的数。
素数的性质
素数是无穷多的，最小的素数是2， 所有偶数（除了2）都不是素数， 任何素数的因数都只有两个。
合数的定义与性质
合数的定义
合数是除了1和它自身以外，还有其 他整数能够整除的整数。
合数的性质
合数一定是大于2的偶数或大于3的奇数， 最小的合数是4，合数的因数除了1和它 自身外，至少还有一个其他的因数。
素数的分布与猜想
素数的分布
素数在自然数中的分布比较稀疏，它们的出现似乎有一定的规律性，但尚未被完全证明。
素数的猜想
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是关于素数的两个著名数学猜想，至今仍未被解决。哥德巴赫猜想是猜想任何一个 大于2的偶数都可以写成两个素数之和；孪生素数猜想是猜想存在无穷多对相邻素数，它们之间的距离不超过一 个给定的常数。
代数数域的构建
代数数域的定义
代数数域是具有某种代数结构的域，通常是由有理数域通 过添加代数数得到的。
代数数域的构建方法
通过添加代数数，可以得到不同的代数数域，如添加二次 方程的根可以得到二次数域，添加更高级的方程的根可以 得到更高级的代数数域。
代数数域的性质
代数数域具有一些重要的性质，如封闭性、完备性等，这 些性质对于研究代数数论和数学其他分支都有重要的意义。
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05 代数数论基础
代数数论简介
代数数论的定义
代数数论是数学的一个重要分支，主 要研究代数数域和代数整数环的理论。
代数数论的发展历程
代数数论的基本概念
代数数论涉及到许多基本概念，如代 数数域、代数整数环、素数、分解整 环等。
人教B版高中数学选修4-6课件 1最小公倍数课件1
8
4和 7
8和 1
28
根据课后练习讲习求两类特殊数的最小公倍数
一、两个数只有公因数1，那么这两个数的 最 小公倍数是（ ） 二、两个整数，其中一个是另外一个的倍数， 那么他们的最小公倍数是（ ）
想想我们本章讲了什么？
1.5 最小公倍数
人教B版数学选修4-6《初等数论初步》
先考虑两个实际问题
(1)金星和地在某一时刻相对于太阳处于某一确定位置.已知金星绕太阳一周为
225天、地球绕太阳一周为365天，问这两个行星至少要经过多少天才同时回到原 来位置？
不难想到所要天数就是225与365的公有倍数中的最小数.
(2)排练团体操时，要使队伍排成10行，15行，18行，24行，队形都成矩形，问 最少需要多少人参加排练？ 易知所需人数就是10,15,18,24这四个数的公有倍数中的最小者. 定义设 的倍数，则称d为 ，是都不为零的整数，如果整数d是每一个 的公倍数、 . 的公倍数中的最小正
还可以用集合图表示6和9的公倍数。
6的倍数 9的倍数
6 12 18 36 24 30 42 …… 54
9 27 45 63 ……
6和9的公倍数
短除法求12和28的最小公倍数： 12
2 6
3
2
28
14
7
12和28的最小公倍数是：2×2×3×7≡84
找出每组数的最小公倍数。 2和 4 6和10
4
30
2和3的公倍数有多少个呢？ 两个数的公倍数的个数是无 限的，可以用省略号表示。
6和9的公倍数有哪些？其中最 小公倍数是几？
6的倍数：6、12、18、24、30、 36、42、48、54…… 9的倍数：9、18、27、36、45、 54、63……
4和 7
8和 1
28
根据课后练习讲习求两类特殊数的最小公倍数
一、两个数只有公因数1，那么这两个数的 最 小公倍数是（ ） 二、两个整数，其中一个是另外一个的倍数， 那么他们的最小公倍数是（ ）
想想我们本章讲了什么？
1.5 最小公倍数
人教B版数学选修4-6《初等数论初步》
先考虑两个实际问题
(1)金星和地在某一时刻相对于太阳处于某一确定位置.已知金星绕太阳一周为
225天、地球绕太阳一周为365天，问这两个行星至少要经过多少天才同时回到原 来位置？
不难想到所要天数就是225与365的公有倍数中的最小数.
(2)排练团体操时，要使队伍排成10行，15行，18行，24行，队形都成矩形，问 最少需要多少人参加排练？ 易知所需人数就是10,15,18,24这四个数的公有倍数中的最小者. 定义设 的倍数，则称d为 ，是都不为零的整数，如果整数d是每一个 的公倍数、 . 的公倍数中的最小正
还可以用集合图表示6和9的公倍数。
6的倍数 9的倍数
6 12 18 36 24 30 42 …… 54
9 27 45 63 ……
6和9的公倍数
短除法求12和28的最小公倍数： 12
2 6
3
2
28
14
7
12和28的最小公倍数是：2×2×3×7≡84
找出每组数的最小公倍数。 2和 4 6和10
4
30
2和3的公倍数有多少个呢？ 两个数的公倍数的个数是无 限的，可以用省略号表示。
6和9的公倍数有哪些？其中最 小公倍数是几？
6的倍数：6、12、18、24、30、 36、42、48、54…… 9的倍数：9、18、27、36、45、 54、63……
北师大版高中数学选修4-6初等数论初步：二进制
为了形象的表示上述过程，我们可以表示如图：
2 13 26 23
21 0
余数
… … … 1=a0
… … … 0=a1
… … … 1=a2 … … … 1=a3
低位 高位
新知练习
将十进制数25转化为二进制数。
解：
2 25 2 12 26
23 21
0
余数
… … … 1=a0
… … … 0=a1
… … … 0=a2 … … … 1=a3 … … … 1=a4
a n.2n-1+a n-1 .2 n-1 +…+a 1=6
2（ a n.2n-2+a n-1 .2 n-3 +…+a 2）+a1=6
分析可知，a 1就等于6除以2所得的余数0. 则 a n.2n-2+a n-1 .2 n-3 +…+a 2 表示6除以2所得 的商3.则有：
新知学习
a n.2n-2+a n-1 .2 n-3 +…+a 2=3
新知学习
（3）（1000） = 1×2 3＋0×2 2＋0×2 1＋0×2 0 =8+0+0+0 =8
（4）（1110） = 1×2 3＋1×2 2＋1×2 1＋0×2 0 =8+4+2+0 =14
新知学习
我们如何将十进制表示的数转化为二进制表示的 数呢？ 以13为例，我们将13表示成二进制的形式：
（a na n-1 …a 0）2= a n.2n +a n-1 .2n-1+…+a 1.2+a 0 .
新知学习
解： （1）（1011） = 1×2 3＋0×2 2＋1×2 1＋1×2 0 =8+0+2+1 =11
2 13 26 23
21 0
余数
… … … 1=a0
… … … 0=a1
… … … 1=a2 … … … 1=a3
低位 高位
新知练习
将十进制数25转化为二进制数。
解：
2 25 2 12 26
23 21
0
余数
… … … 1=a0
… … … 0=a1
… … … 0=a2 … … … 1=a3 … … … 1=a4
a n.2n-1+a n-1 .2 n-1 +…+a 1=6
2（ a n.2n-2+a n-1 .2 n-3 +…+a 2）+a1=6
分析可知，a 1就等于6除以2所得的余数0. 则 a n.2n-2+a n-1 .2 n-3 +…+a 2 表示6除以2所得 的商3.则有：
新知学习
a n.2n-2+a n-1 .2 n-3 +…+a 2=3
新知学习
（3）（1000） = 1×2 3＋0×2 2＋0×2 1＋0×2 0 =8+0+0+0 =8
（4）（1110） = 1×2 3＋1×2 2＋1×2 1＋0×2 0 =8+4+2+0 =14
新知学习
我们如何将十进制表示的数转化为二进制表示的 数呢？ 以13为例，我们将13表示成二进制的形式：
（a na n-1 …a 0）2= a n.2n +a n-1 .2n-1+…+a 1.2+a 0 .
新知学习
解： （1）（1011） = 1×2 3＋0×2 2＋1×2 1＋1×2 0 =8+0+2+1 =11
打包下载：高中数学全一册ppt课件(共12套)北师大版选修4_4
探究一探究二Fra bibliotek探究三
思维辨析
证法二(向量法)
在 ▱ABCD 中 ,������������ = ������������ + ������������ , 两边平方得������������ 2 =|������������ |2=|������������ |2+|������������ |2+2������������ ·������������ , 同理得������������ 2 =|������������ |2=| ������������|2+|������������ |2+2������������ ·������������ , 以上两式相加,得 |������������ |2+|������������ |2=2(| ������������ |2+| ������������ |2)+2������������ · (������������ + ������������)=2(|������������|2+| ������������ |2), 即 |AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
反思感悟建立平面直角坐标系的原则 1.如果图形有对称中心,那么可以选对称中心为原点. 2.如果图形有对称轴,那么可以选对称轴为坐标轴. 3.使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
答案：B
一
二
做一做2 已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限,则m的取值范围 是 .
解析：因为第三象限内点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于 0,
1 -1 + 2������ < 0, 所以 即 ������ < 2 , -3-������ < 0, ������ > -3. 1 所以 -3<m< .
思维辨析
证法二(向量法)
在 ▱ABCD 中 ,������������ = ������������ + ������������ , 两边平方得������������ 2 =|������������ |2=|������������ |2+|������������ |2+2������������ ·������������ , 同理得������������ 2 =|������������ |2=| ������������|2+|������������ |2+2������������ ·������������ , 以上两式相加,得 |������������ |2+|������������ |2=2(| ������������ |2+| ������������ |2)+2������������ · (������������ + ������������)=2(|������������|2+| ������������ |2), 即 |AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
反思感悟建立平面直角坐标系的原则 1.如果图形有对称中心,那么可以选对称中心为原点. 2.如果图形有对称轴,那么可以选对称轴为坐标轴. 3.使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
答案：B
一
二
做一做2 已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限,则m的取值范围 是 .
解析：因为第三象限内点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于 0,
1 -1 + 2������ < 0, 所以 即 ������ < 2 , -3-������ < 0, ������ > -3. 1 所以 -3<m< .
北师大版高中数学选修4-6初等数论初步：最大公因数与辗转相除法
（1965,1287）=（1287,678）. 继续运用定理可知：1287=678×1+609.故：
（1287,678）=（678,609）. 678=609×1+69.故：
新知练习
（678,609）=（609,69）. 609=69×8+57.故：
（609,69）=（69,57）. 69=57×1+12.故：
新知学习
证明 设d是a，b的任一公因数，由定义知，d 丨a，d丨b.根据整除的性质可知：
d丨（a-bq）；
即d丨c，因为d也是b，c的一个公因数。
同理可证，b，c的任一公因数也是a，b的公因 数。所以a，b与b，c有相同的公因数,故（a，b） =（b，c）成立。
新知学习
根据这个定理，利用带余除法a=bq+r（0≤r＜ b），我们可以将最大公因数问题转化为b与r 的最大公因数问题。
新知学习
在特殊情况下，当（m，n）=1时，m，n互素。
素数的一个数的性质，互素是指两个数之间的 数学关系，并不代表两个数都是素数。例如 （20,21）=1,20与21互素，但是20和21本身都 是合数。
对于特殊的整数0，我们知道：任何整数（不 为零）都是0的因数。因此对于任何整数m＞0， 则（0，m）=m
新知学习
根据上述定义可知，求两个正整数的最大公数， 可以先求出它们所有的公因数，然后确定最大 的公因数。
然而当两个数非常庞大的时候，我们该如何求 解呢？我们可以证明以下定理：
定理1 对于三个不全为零的正整数a，b，c来 说，若a=bq+c，其中q是非零正整数，则a，b与 b，c有相同的公因数，且（a，b）=（b，c）.
以上方法我们称为辗转相除法，用这种方法 可以巧妙地求出两个数的最大公因数。
（1287,678）=（678,609）. 678=609×1+69.故：
新知练习
（678,609）=（609,69）. 609=69×8+57.故：
（609,69）=（69,57）. 69=57×1+12.故：
新知学习
证明 设d是a，b的任一公因数，由定义知，d 丨a，d丨b.根据整除的性质可知：
d丨（a-bq）；
即d丨c，因为d也是b，c的一个公因数。
同理可证，b，c的任一公因数也是a，b的公因 数。所以a，b与b，c有相同的公因数,故（a，b） =（b，c）成立。
新知学习
根据这个定理，利用带余除法a=bq+r（0≤r＜ b），我们可以将最大公因数问题转化为b与r 的最大公因数问题。
新知学习
在特殊情况下，当（m，n）=1时，m，n互素。
素数的一个数的性质，互素是指两个数之间的 数学关系，并不代表两个数都是素数。例如 （20,21）=1,20与21互素，但是20和21本身都 是合数。
对于特殊的整数0，我们知道：任何整数（不 为零）都是0的因数。因此对于任何整数m＞0， 则（0，m）=m
新知学习
根据上述定义可知，求两个正整数的最大公数， 可以先求出它们所有的公因数，然后确定最大 的公因数。
然而当两个数非常庞大的时候，我们该如何求 解呢？我们可以证明以下定理：
定理1 对于三个不全为零的正整数a，b，c来 说，若a=bq+c，其中q是非零正整数，则a，b与 b，c有相同的公因数，且（a，b）=（b，c）.
以上方法我们称为辗转相除法，用这种方法 可以巧妙地求出两个数的最大公因数。
人教A版高中数学选修4-6初等数论初步第一讲1.1.整除的概念和性质教学课件 (共17张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环
北师大版高中数学选修4-6初等数论初步：整除的判断与弃九法
分析与解： 利用弃九法，将和为9的数依次划掉。 只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下 可知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉， 只剩下1。所以这个多位数除以9余1。 这个大数和1对于9同余。
谢谢欣赏！
30被9除余3，所以3645732这个数不 能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种 计算麻烦且易错。有没有更简便的方 法呢？
新知学习
因为我们只是判断这个式子被9 除的余数，所以凡是若干个数的和 是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝ 9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划 掉后，最多只剩下一个3（如下图）， 所以这个数除以9的余数是3。
我们尝试用同余的性质对整除的判断作出 解释：
以3 |237为例： 我们知道：237=2×100+3×10+7. 因为10≡1（mod3），所以30≡3（mod3）. 因为100≡1（mod3），所以200≡2（mod3）. 根据同余性质，可知200+30+7≡2+3+7（mod3）. 因此我们知道，如果2+3+7能够被3整除，那么 200+30+7就能被3整除，而2+3+7恰好是237的 各位数字之和。
新位上的数字之和 能被9整除，那么这个数能被9整除； 如果一个数各个数位上的数字之和被 9除余数是几，那么这个数被9除的余 数也一定是几。利用这个性质可以迅 速地判断一个数能否被9整除或者求 出被9除的余数是几。
新知学习
例如，3645732这个数，各个数位上 的数字之和为： 3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，
整除的判断与弃九法
课前练习
将下面数字填入相应的位置：
2、1、-6、0、3、45、20、-9、-15、108、 -98、17、43 能被2整除的：2、-6、0、20、108、-98
谢谢欣赏！
30被9除余3，所以3645732这个数不 能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种 计算麻烦且易错。有没有更简便的方 法呢？
新知学习
因为我们只是判断这个式子被9 除的余数，所以凡是若干个数的和 是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝ 9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划 掉后，最多只剩下一个3（如下图）， 所以这个数除以9的余数是3。
我们尝试用同余的性质对整除的判断作出 解释：
以3 |237为例： 我们知道：237=2×100+3×10+7. 因为10≡1（mod3），所以30≡3（mod3）. 因为100≡1（mod3），所以200≡2（mod3）. 根据同余性质，可知200+30+7≡2+3+7（mod3）. 因此我们知道，如果2+3+7能够被3整除，那么 200+30+7就能被3整除，而2+3+7恰好是237的 各位数字之和。
新位上的数字之和 能被9整除，那么这个数能被9整除； 如果一个数各个数位上的数字之和被 9除余数是几，那么这个数被9除的余 数也一定是几。利用这个性质可以迅 速地判断一个数能否被9整除或者求 出被9除的余数是几。
新知学习
例如，3645732这个数，各个数位上 的数字之和为： 3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，
整除的判断与弃九法
课前练习
将下面数字填入相应的位置：
2、1、-6、0、3、45、20、-9、-15、108、 -98、17、43 能被2整除的：2、-6、0、20、108、-98
人教版高三数学选修4-6全册课件【完整版】
引言
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
第一讲 整数的整除
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一 整除
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
1.整除的概念和性质
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
2.带余除法
人教版高三数学选修4－6全册课 件【完整版】目录
0002页 0078页 0197页 0225页 0257页 0271页 0289页 0307页 0358页 0376页 0408页 0442页 0444页 0512页 0529页
引言 一 整除 2.带余除法 二 最大公因数与最小公倍数 2.最小公倍数 第二讲 同余与同余方程 1.同余的概念 二 剩余类及其运算 四 一次同余方程 六 弃九验算法 一 二元一次不定方程 三 多元一次不定方程 一 信息的加密与去密 学习总结报告 附录二 多项式的整除性
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
3.素数及其判别法
人教版高三数学选修4－6全册课件 【
高中数学北师大版选修4-5课件：1.4.3几何法、反证法2
合作学习
当堂检测
思维辨析
因利用反证法证明问题时否定不全面而致误
【典例】如图,已知在△ABC 中,∠CAB>90°,D 是 BC 的中点.求
1
证:AD<2BC.
-17-
第3课时
探究一
几何法、反证法
探究二
首页
自主预习
合作学习
当堂检测
思维辨析
1
2
错解证明:假设 AD> BC.
1
1
因为 AD>2BC,BD=DC=2BC,
1
由(1),(2)可知 AD<2BC.
纠错心得 利用反证法证明问题时,否定要全面彻底,对否定的
1
2
每一种情况都要推出矛盾,才算证明完毕.本题中,“AD< BC”的否定
1
2
1
2
应是“AD≥ BC”而不是“AD> BC”.
-20-
第3课时
1
2
几何法、反证法
3
4
3
3
当堂检测
3
”的假设内容应是 (
)
3
A. =
a2+b2+c2>0,所以(a+b+c)2>0,这与a+b+c=0矛盾,所以原命题成立.
-24-
第3课时
1
2
几何法、反证法
3
4
首页
自主预习
合作学习
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5.已知 a,b,c>0,a+b>c,求证:+1 + +1 > +1.
研究所证不等式两边的结构特点,再把其中的字母当作图形的边长,
北师大版高中数学选修4-6初等数论初步：欧拉定理·费马小定理
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如果a1，a2，…，aψ （m）是模m的一个简化剩 余系，并且（a，m）=1，那么aa1，aa2，…， aaψ （m）是也是模m的一个简化剩余系。
例1 求值：ψ （3），ψ （6），ψ （9）， ψ （12），ψ （15），ψ （18），ψ （21）.
解 ψ （3）=2，ψ （6）=3，ψ （9）=4， ψ （12）=5，ψ （15）=6，ψ （18）=7， ψ （21）=8.
a ψ （m） ≡1（mod m）.
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证明 设a1=1＜a2＜…＜aψ （m）是不大于m且和 m互素的全部正整数。
由于｛a1,a2,…，aψ （m）｝是模m的一个简化 剩余系，且由（a，m）=1，aa1，aa2，…， aaψ （m）是两两对模m不同余。因此｛a1,a2,…， aψ （m）｝也是模m的一个简化剩余系。从而aa1， aa2，…，aaψ （m）中的每一个aaj不同时对应 的ak也不同。所以有：
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又∵费马小定理有：(3，P)=1，(5，P)=1， ∴3丨P²-1 5丨P 4 -1，
又∵16,3与5两两互素，则16·3·5丨P 4 -1， ∴240丨P 4 -1.
谢 谢！
aaa2ammoda2ammod家庭幼儿园社区是孩子发展的三大环境但长期以来在狭隘的教育思想观念影响下大多数人认为孩子的教育即幼儿园教育忽视了家庭社区两大环境的存在陷入了幼儿教育的误区
欧拉定理·费马小定理
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我们知道模6的剩余类为：
0 mod 6,1 mod 6,2 mod 6, 3 mod 6,4 mod 6,5 mod 6.
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a（aa2）…（aaψ ） （m） ≡ a2…aψ （m）（mod m），
进而得到：
1.1素数的判别-北师大版选修4-6初等数论初步教案
1.1 素数的判别-北师大版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1.了解素数的定义和特征。
2.掌握素数的判定方法。
二、教学重点1.素数的定义。
2.素数的判别方法。
三、教学难点素数的判别方法。
四、教学过程1.引入1.1 活动1出示一些数字，让学生判断哪些数是素数。
1.2 活动2出示不同位数的数字，让学生讨论有哪些方法可以判断一个数字是否为素数。
2.概念讲解1.什么是素数？2.素数的特征。
3.判断数字是否为素数需要满足哪些条件？3.素数的判别方法3.1 分解质因数法把一个数分解成质因数，如果质因数只有1和这个数本身，那么这个数就是素数。
3.2 暴力枚举法从2开始，分别用这个数去除待判断数，如果都无法整除，则为素数。
3.3 埃式筛法从2开始，把所有能整除2的数都筛掉，再把所有能整除3的数都筛掉，以此类推，直到剩余的数都是素数。
4.练习让学生分别用分解质因数法、暴力枚举法和埃式筛法判断一些数字是否为素数。
5.整合总结三种素数判别方法的优缺点。
五、教学反思本节课的难点在于素数的判别方法，需要通过具体的例子和练习来加深学生的理解和记忆。
本节课上可以通过活动的方式来引入，让学生积极思考和讨论，提高学生的参与度和学习效果。
在素数判别方法的讲解中，需要详细介绍每种方法的具体步骤，并带着学生进行实际操作，使学生能从这些实例中掌握方法的核心思想和应用技能。
最后，通过整合的方式对三种素数判别方法作出总结，让学生能够发现其中的规律和优缺点，对于以后的数学学习打下良好的基础。
初等数论第四章课件
解：取模15的绝对最小完全剩余系：-7, , -1, 0,1,7,直接代入检验知x 6,3是解，
所以同余式有两个解： x 6(mod15), x 3(mod15)
注：①同余式x x 0(mod p)有p个解
p
（由Fermat小定理可得）
②同余式f ( x) ms( x) 0(mod m)与（2）等价 特别地，一个同余式中系数为模的倍数的项去掉 后，同余式的解不变。
qd k x =x0 m d m x0 mq k d m x0 k (mod m)，k 0,1, 2,, d 1 d
（3）
m 但x0 k , k 0,1, 2, , d 1是对模m两两不同余的，故 d （1）有d 个解，即（3）
例2
求解18x 30(mod 42)
一般地用数学归纳法不难证明同余方程
a1 x1 ak xk b(mod m)有解的充要条件为d b , d (a1 , , ak , m), 此时有m k 1d 个解
第二节
孙子定理
我国古代的《孙子算经》里有问题如下： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十三”. 这是一个求解同余式组的问题，《孙子算经》 已给出了求解方法，即为下面的孙子定理:
例3、求解9 x 21(mod30)
解： (9,30) 3 21， 同余式有3个解
将同余式化为9x 30 y 21 或3x 10 y 7
上述不定方程有一组解为x 1, y 1
则同余式的3个解为：x 1,9,19(mod30)
注：由ax b(mod m) 或my b(mod m)，
第三四节高次同余式一质数模的同余式其中是质数1定理同余式与一个次数不超过的质数模同余式等价xqxrx利用带余除法及费马小定理可得出结论埃菲尔铁塔的整个塔体结构高耸上窄下宽给人以平衡稳定的美感
北师大版高中数学选修4-6初等数论初步：素数的个数
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例1 证明素数有无穷多个。
证明 用反证法. 假设只有有限多个素数，不妨设它们是P1，P2，
P3，…Pn ，考虑整数： a=P1P2P3…Pn +1.
显然，a是不同于Pi（i=1,2,3，…，n）的整 数，所以a为合数，故必存在素数b丨a.
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根据假设可知：b必等于Pi（i=1,2,3，…，n）中 的某一个，不妨设b= Pn妨设，则有：
解：因为 200 ＜15，我们只需要找出所有小于 15的所有素数：2,3,5,7,11,13的倍数即可，除 去不大于100的数以及所有的正合数即可。通过 计算可知，没有被删去的数共21个，它们是：
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101,103,107,109,113,127,131,137,139, 149, 151,157,163，167,173,179,181,191， 193,197,199.
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（3）因为 1381＜38，我们只需要考察所有小于 38的所有素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31,37，能否整除1381即可。 通过计算可知，它们都不能整除1381，所以1381 是素数。
新知练习
（3）因为 1193＜35，我们只需要考察所有小于 38的所有素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31,能否整除1193即可。 通过计算可知，它们都不能整除1193，所以1193 是素数。
谢 谢！
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3、7的公倍数有： 120÷3÷7=5……15，则有5个； 5、7的公倍数有： 120÷5÷7=3……15，则有3个； 2、3、5的公倍数有： 120÷2÷3÷5=4（个）； 2、3、7的公倍数有： 120÷2÷3÷7=2……36，则有2个；
北师大版高中数学课件ppt课件ppt
等差数列与等比数列
总结词
等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数学和实际生活中有着广泛的应用 。
详细描述
等差数列是指每两个连续的项之间的差是一个常数的数列，这种数列的特点是每项与前 一项的差值是固定的。等比数列是指每两个连续的项之间的比是一个常数的数列，这种 数列的特点是每项与前一项的比值是固定的。这两种数列在实际生活中有着广泛的应用
04
函数有多种分类方法，如按照定义域和值域的类型可 以分为离散函数和连续函数，按照对应关系可以分为 一对一、多对一和一对多等类型。
函数的性质与应用
01
性质与应用
02
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。这些性质在解 决实际问题中有着广泛的应用。
03
利用函数的性质可以研究函数的图像和变化规律，解决实际问题中的 优化问题、最值问题等。
Part
05
解析几何初步
直线的方程与性质
直线方程的几种形式
点斜式、两点式、截距式、斜截式等，这些形式可以用来表示不 同的直线，并描述它们在平面上的位置关系。
直线的基本性质
直线的倾斜角和斜率，以及它们与直线方程之间的关系。
直线方程的应用
解决实际问题中涉及的直线问题，如求两点之间的距离、求直线的 交点等。
三角函数的图像与变换
三角函数的图像
正弦函数、余弦函数、正切函数 的图像分别呈现出不同的波形， 这些波形具有周期性变化的特征 。
三角函数的变换
通过平移、伸缩、对称等变换， 可以改变三角函数的图像形态， 进而研究它们的性质和应用。
三角函数的应用
解决三角形问题
利用三角函数可以解决直角三角 形、斜三角形中的角度和边长问 题。
最新人教版高三数学选修4-6电子课本课件【全册】
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2.带余除法
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3.素数及其判别法
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最新人教版高三数学选修4－6电 子课本课件【全册】目录
0002页 0056页 0171页 0188页 0205页 0234页 0266页 0283页 0334页 0352页 0384页 0418页 0452页 0472页 0531页
引言 一 整除 2.带余除法 二 最大公因数与最小公倍数 2.最小公倍数 第二讲 同余与同余方程 1.同余的概念 二 剩余类及其运算 四 一次同余方程 六 弃九验算法 一 二元一次不定方程 三 多元一次不定方程 一 信息的加密与去密 学习总结报告 附录二 多项式的整除性
引言
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第一讲 整数的整除
最新人教版高三数学选修4－6电子 课本课件பைடு நூலகம்全册】
一 整除
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1.整除的概念和性质
2.带余除法
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3.素数及其判别法
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引言 一 整除 2.带余除法 二 最大公因数与最小公倍数 2.最小公倍数 第二讲 同余与同余方程 1.同余的概念 二 剩余类及其运算 四 一次同余方程 六 弃九验算法 一 二元一次不定方程 三 多元一次不定方程 一 信息的加密与去密 学习总结报告 附录二 多项式的整除性
引言
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第一讲 整数的整除
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一 整除
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1.整除的概念和性质
北师大版高中数学选修4-6初等数论初步：欧拉定理·费马小定理
新知学习
定义 在于模m互素的全部剩余类中，每一 类中任取一数所组成的数的集合，叫作模m 的一个简化剩余系。
不难得到：与模m互素的剩余类的个数是ψ （m），模m的每一简化剩余系是由与m互素 的ψ （m）个对模m不同余的整数组成的。
新知学习
如果a1，a2，…，aψ （m）是模m的一个简化剩 余系，并且（a，m）=1，那么aa1，aa2，…， aaψ （m）是也是模m的一个简化剩余系。
新知练习
练习2 证明：数列｛2 n -3｝中有一个无穷 子数列，其中任意两项互素。
证明 设数列｛2 n -3｝中已知有k项是两两 互素的，记为u1，u2，…，uk，
作u =2 -3， k+1
ψ （u1u2…uk）+1
其中ψ （x）是欧拉函数，由欧拉定理有：
2 =2 ≡1（mod u ）， ψ （u1u2…uk）
新知学习
a（aa2）…（aaψ ） （m） ≡ a2…aψ （m）（mod m），
进而得到：
a（aa2）…（aaψ ） （m）
＝ a a …aபைடு நூலகம்ψ （m） 2
ψ （m）
≡ a2…aψ （m）（mod m）.
因为a2,…，aψ （m）与m互素，所以： aψ （m） ≡1（mod m）.
新知学习
在欧拉定理中，若m是素数p，由ψ （P）=P-1 便得到：
费马小定理 设p为素数，且（p，a）=1， 则有：
a P-1 ≡1（mod P）.
新知练习
练习1 1777 1841 =a（mod 41），求a在0到 41的值。 解 因为41是素数，所以由费马定理有：
1777 1841 =1（mod 41）， 而1841=46×40+1，所以： 1777 1841 =1777=14（mod 41），a=14.