四年级讲义---1--共8讲
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2、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？
3、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？
4、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）
5、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（）
6、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？
7、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？
第三讲速算与巧算
例1计算9＋99＋999＋9999＋99999
解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）
＋（100000-1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
＝111110-5
＝111105.
同步训练计算199999＋19999＋1999＋199＋19
例2不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.
241×249 242×248 243×247
244×246 245×245
一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.
3、观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12wenku.baidu.com……则按照规律第2008个算式的结果应该是多少？
王牌例题2：下面数表中第一行第８个数是（ ），第三行第６个数是（ ）
１ ２ ４ ７ １１ １６ ．．．
３ ５ ８ １２ １７ ．．． ．．．
６ ９ １３ １８ ．．． ．．． ．．．
１０ １４ １９ ．．． ．．． ．．． ．．．
．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
６．下表中２００９，１５６３分别排在第几列。
ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ
１ ３ ５
１１ ９ ７
１３ １５ １７
２３ ２１ １９
２５ ２７ ２９
３５ ３３ ３１
７．在下面的数表中，第９行左起第2个数是( )。
第一行 １
第二行 ２ ３
第三行 ４ ５ ６
第四行 ７ ８ ９ １０
③1，1，2，3，5，8，13，（ ），34……
④15，6，13，7，11，8，（ ），（ ）
7
14
12
4
12
9
6
24
()
⑤
⑥1999998÷9＝2222223= 3+27×0
2999997÷9＝33333333= 6+27×1
()99999()÷9＝444444333 = 9+27×12
……
33333=( )+27×()
1986×5＝9930.
例102、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.
解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.
总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 ．．．．．．
１ ３ ５ ７ ９ １１ ．．．．．．
２ ４ ６ ８ １０ １２ ．．．．．．
３ ５ ７ ９ （ ） １３ ．．．．．．
４ ６ ８ （ ） １２ １４ ．．．．．．
３．下表中，第８行的最后一个数是（ ）。第１０行左起第３个数是（ ）。
１
２ ３ ４
4．找到规律后，要多举例进行验证。
5． 找规律应更加注意“边缘”上的数，因为许多规律恰恰出现在“边缘”。
练习
１．观察下面的数表，填空。
第一行 １
第二行 １ １
第三行 １ ２ １
第四行 １ ３ ３ １
第五行 １ ４ ６ ４ １
第六行 １ （ ） （ ） （ ） （ ） １
计算第１０行上所有数字的和。
２．下面数表中，第１５列上起第３个数是（ ）。
1、4、7、10、（）、16、19
思路导肮：在这列中数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面数。根据这一规律，括号里应填的数为：
10+3=13或16-3=13
疯狂操练1：
1. 2、6、10、14、（）、22、26
2. 3、6、9、12、（）、18、21
3. 33、28、23、（）、18、21
5、8＋18＋27＋36＋……＋261＋270＝（）
6、（2001＋1999＋1997＋1995）－（2000＋1998＋1996＋1994）＝
7、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝
8、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝
9、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。
第一讲找规律
专题简析：
观察是解决问题的根据。通过观察，才能揭示出事物的发展和变化规律。希望同学们在日常的学习和生活中，养成认真观察，仔细思考的良好学习习惯，同时通过参加奥数的学习，能够激发学生产生钻研数学的浓厚兴趣，形成勇于实践、敢于创新的良好品质。
王牌例题1：
先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
6、某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这个班共握了多少次手？
作业题：
1、5个连续整数的和是180，求这5个数。
2、6个连续整数的和是273，求这6个数。
3、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？
4、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝（）
作业与练习1.计算899998＋89998＋8998＋898＋88
2.计算799999＋79999＋7999＋799＋79
3.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）
4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993
5.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？
＝1000000.
解法2：1999＋999×999
＝1999＋999×（1000-1）
＝1999＋999000-999
＝（1999-999）＋999000
＝1000＋999000
＝1000000.
例9求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.
解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×（6666＋3334）
＝3333×10000
＝33330000.
例81999＋999×999
解法1：1999＋999×999
＝1000＋999＋999×999
＝1000＋999×（1＋999）
＝1000＋999×1000
＝1000×（999＋1）
＝1000×1000
（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6
＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运
＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）
＝4940＋1
＝4941.
例6计算54＋99×99＋45
解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.
6.求出从1～25的全体自然数之和.
7.计算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101
8.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87
9.计算（125×99＋125）×16
10.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9
如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值.
巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.
总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.
１５ ２０ ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
２１ ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
方法：1。仔细观察数表中所有的数。
2． 注意观察相邻两个数之间的变化规律和同一行上的数的共同点。
3． 有些数表不容易一次找到或找对规律，这就要仔细观察，再做思考，并做适当修改。
例3计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）
例4计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝390×7—1—3—7—5—6—4—
＝2730—28
第五行 １１ １２ １３ １４ １５
第六行 １６ １７ １８ １９ ２０ ２１
第二讲：等差数列求和
专题分析：
若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。
10、求1——99个连续自然数的所有数字的和。
11.下面是一个等差数列：4， 7，10，13……61，64
（1）求出这个等差数列的公差；
（2）求出这个等差数列的第11项；
（3）这个等差数列一共有多少项？
（4）求出这个等差数列的总和；
12、一本书，小明第一天读9页，每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那么他最后一天读了多少页？
５ ６ ７ ８ ９
１０ １１ １２ １３ １４ １５ １６
５. 下面数表中，第9行右起第一个数是（ ）。５８在第（ ）行左起第（ ）个。５００出现在那一列？1988出现在那一列？
１ ２ ３ ４ ５
１０ ９ ８ ７ ６
１１ １２ １３ １４ １５
２０ １９ １８ １７ １６
２１ ２２ ２３ ２４ ２５
练习题：
1、3个连续整数的和是120，求这3个数。
2、4个连续整数的和是94，求这4个数。
3、在6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多少？
4、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？
5、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
计算等差数列的相关公式：
通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2
平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2
在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。
入门题：
1、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项？
11.计算999999×78053
4. 55、49、43、（）、31、（）、19
5. 3、6、12、（）、48、（）、192
6. 128、64、32、（）、8、（）、2
7. 2、6、18、（）、162、（）
8，19、3、17、3、15、3、（）、（）、11、3
2、根据规律填上合适的数。
①1，4，16，64，（ ），……
②3，8，18，33，53，（ ）；
＝2702.
解法2：也可以选380为基准数，则有
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8
＝2660＋42
＝2702.
例5计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.
54＋99×99＋45
＝（54＋45）＋99×99
＝99＋99×99
＝99×（1＋99）
＝99×100
＝9900.
例7计算9999×2222＋3333×3334
解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.
9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334
3、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？
4、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）
5、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（）
6、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？
7、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？
第三讲速算与巧算
例1计算9＋99＋999＋9999＋99999
解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）
＋（100000-1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
＝111110-5
＝111105.
同步训练计算199999＋19999＋1999＋199＋19
例2不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.
241×249 242×248 243×247
244×246 245×245
一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.
3、观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12wenku.baidu.com……则按照规律第2008个算式的结果应该是多少？
王牌例题2：下面数表中第一行第８个数是（ ），第三行第６个数是（ ）
１ ２ ４ ７ １１ １６ ．．．
３ ５ ８ １２ １７ ．．． ．．．
６ ９ １３ １８ ．．． ．．． ．．．
１０ １４ １９ ．．． ．．． ．．． ．．．
．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
６．下表中２００９，１５６３分别排在第几列。
ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ
１ ３ ５
１１ ９ ７
１３ １５ １７
２３ ２１ １９
２５ ２７ ２９
３５ ３３ ３１
７．在下面的数表中，第９行左起第2个数是( )。
第一行 １
第二行 ２ ３
第三行 ４ ５ ６
第四行 ７ ８ ９ １０
③1，1，2，3，5，8，13，（ ），34……
④15，6，13，7，11，8，（ ），（ ）
7
14
12
4
12
9
6
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()
⑤
⑥1999998÷9＝2222223= 3+27×0
2999997÷9＝33333333= 6+27×1
()99999()÷9＝444444333 = 9+27×12
……
33333=( )+27×()
1986×5＝9930.
例102、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.
解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.
总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 ．．．．．．
１ ３ ５ ７ ９ １１ ．．．．．．
２ ４ ６ ８ １０ １２ ．．．．．．
３ ５ ７ ９ （ ） １３ ．．．．．．
４ ６ ８ （ ） １２ １４ ．．．．．．
３．下表中，第８行的最后一个数是（ ）。第１０行左起第３个数是（ ）。
１
２ ３ ４
4．找到规律后，要多举例进行验证。
5． 找规律应更加注意“边缘”上的数，因为许多规律恰恰出现在“边缘”。
练习
１．观察下面的数表，填空。
第一行 １
第二行 １ １
第三行 １ ２ １
第四行 １ ３ ３ １
第五行 １ ４ ６ ４ １
第六行 １ （ ） （ ） （ ） （ ） １
计算第１０行上所有数字的和。
２．下面数表中，第１５列上起第３个数是（ ）。
1、4、7、10、（）、16、19
思路导肮：在这列中数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面数。根据这一规律，括号里应填的数为：
10+3=13或16-3=13
疯狂操练1：
1. 2、6、10、14、（）、22、26
2. 3、6、9、12、（）、18、21
3. 33、28、23、（）、18、21
5、8＋18＋27＋36＋……＋261＋270＝（）
6、（2001＋1999＋1997＋1995）－（2000＋1998＋1996＋1994）＝
7、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝
8、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝
9、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。
第一讲找规律
专题简析：
观察是解决问题的根据。通过观察，才能揭示出事物的发展和变化规律。希望同学们在日常的学习和生活中，养成认真观察，仔细思考的良好学习习惯，同时通过参加奥数的学习，能够激发学生产生钻研数学的浓厚兴趣，形成勇于实践、敢于创新的良好品质。
王牌例题1：
先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
6、某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这个班共握了多少次手？
作业题：
1、5个连续整数的和是180，求这5个数。
2、6个连续整数的和是273，求这6个数。
3、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？
4、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝（）
作业与练习1.计算899998＋89998＋8998＋898＋88
2.计算799999＋79999＋7999＋799＋79
3.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）
4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋1993
5.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？
＝1000000.
解法2：1999＋999×999
＝1999＋999×（1000-1）
＝1999＋999000-999
＝（1999-999）＋999000
＝1000＋999000
＝1000000.
例9求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.
解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×（6666＋3334）
＝3333×10000
＝33330000.
例81999＋999×999
解法1：1999＋999×999
＝1000＋999＋999×999
＝1000＋999×（1＋999）
＝1000＋999×1000
＝1000×（999＋1）
＝1000×1000
（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6
＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运
＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）
＝4940＋1
＝4941.
例6计算54＋99×99＋45
解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.
6.求出从1～25的全体自然数之和.
7.计算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101
8.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋87
9.计算（125×99＋125）×16
10.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9
如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值.
巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.
总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.
１５ ２０ ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
２１ ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
方法：1。仔细观察数表中所有的数。
2． 注意观察相邻两个数之间的变化规律和同一行上的数的共同点。
3． 有些数表不容易一次找到或找对规律，这就要仔细观察，再做思考，并做适当修改。
例3计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988）
例4计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝390×7—1—3—7—5—6—4—
＝2730—28
第五行 １１ １２ １３ １４ １５
第六行 １６ １７ １８ １９ ２０ ２１
第二讲：等差数列求和
专题分析：
若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。
10、求1——99个连续自然数的所有数字的和。
11.下面是一个等差数列：4， 7，10，13……61，64
（1）求出这个等差数列的公差；
（2）求出这个等差数列的第11项；
（3）这个等差数列一共有多少项？
（4）求出这个等差数列的总和；
12、一本书，小明第一天读9页，每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那么他最后一天读了多少页？
５ ６ ７ ８ ９
１０ １１ １２ １３ １４ １５ １６
５. 下面数表中，第9行右起第一个数是（ ）。５８在第（ ）行左起第（ ）个。５００出现在那一列？1988出现在那一列？
１ ２ ３ ４ ５
１０ ９ ８ ７ ６
１１ １２ １３ １４ １５
２０ １９ １８ １７ １６
２１ ２２ ２３ ２４ ２５
练习题：
1、3个连续整数的和是120，求这3个数。
2、4个连续整数的和是94，求这4个数。
3、在6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多少？
4、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？
5、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
计算等差数列的相关公式：
通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2
平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2
在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。
入门题：
1、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项？
11.计算999999×78053
4. 55、49、43、（）、31、（）、19
5. 3、6、12、（）、48、（）、192
6. 128、64、32、（）、8、（）、2
7. 2、6、18、（）、162、（）
8，19、3、17、3、15、3、（）、（）、11、3
2、根据规律填上合适的数。
①1，4，16，64，（ ），……
②3，8，18，33，53，（ ）；
＝2702.
解法2：也可以选380为基准数，则有
389＋387＋383＋385＋384＋386＋388
＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8
＝2660＋42
＝2702.
例5计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6
解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.
54＋99×99＋45
＝（54＋45）＋99×99
＝99＋99×99
＝99×（1＋99）
＝99×100
＝9900.
例7计算9999×2222＋3333×3334
解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.
9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334