指数函数题型归纳
第17讲 指数函数及性质八大题型总结(解析版)
【详解】当 时， 为增函数，所以 ，当 时， 为增函数，所以 ，解得 ，因为 在 上为增函数，所以 ，解得 ，综上可知 。
【例7】已知函数 ，如果对任意 ， 恒成立，则满足条件的 的取值范围是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，所以 ，所以 ，所以 在 上恒成立，所以 ，当 时， ，所以 ，解得 。
【详解】∵ ，又 ，
∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.
故选：C.
题型三： 指数函数的定点
【例1】当 且 时，函数 必过定点.
【答案】
【详解】法一： 必过定点 ，将 向右平移2个单位得到 ，所以 必过定点 ，将 向下平移3个单位得到 ，所以函数 必过定点
法二：令 ，得到 ，所以 ，所以函数 必过定点
2.函数 在R上是减函数，则 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【详解】因函数 在R上是减函数，所以 ，所以 ，所以
3.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 则关于t的不等式 的解集为________.
【答案】 .
【分析】先判断出 是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图2-3-1所示，则 ；
即 ， (底大幂大)； 时， ．
图2-3-1图2-3-2
(4)特殊函数：函数 ， ， ， 的图象如图2-3-2所示．
【例8】已知函数 ，则不等式 的解集是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，因
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数题型学霸总结四(含答案)-
指数函数题型学霸总结四（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数是指数函数，则有A. 或B.C. D. ，且【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是指数函数的概念，直接结合指数函数底数大于0且不等于1，前面系数为1，求解即可．【解答】解：由指数函数的概念，得，解得或当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意．故选C．2.若函数是指数函数，则a的取值范围是A. B. ，且C. D.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查指数函数的定义，属于基础题．利用指数函数的定义中对底数的要求，列出不等式组，求解即得．【解答】解：因为函数是指数函数，得：，化简得故选B．3.有下列函数：；；；其中指数函数的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查指数函数的表达式和定义，属于基础题．根据指数函数的定义和表达式的要求即可得解．【解答】解：形如，且的函数称为指数函数，只有是指数函数．故选B．4.已知函数，若，则A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，属于基础题．发现是解题的关键．【解答】解：因为，所以，又，那么．故选C．5.下列各函数中是指数函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易．根据指数函数的概念即可判断结果．【解答】解：根据指数函数的定义，且，可知只有D项正确，故选D．6.若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．根据指数函数的单调性，可知，解得实数a的取值范围．【解答】解：函数，在R上单调递减，则，解得，实数a的取值范围是．故选C．7.已知常数，函数经过点、，若，则a的值为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】本题主要考察指数与指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题．将p，q直接带入，计算即可求解得到答案．【解答】解：因为，，，，即，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，故选B．8.已知函数则A. 2B.C. 0D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数定义域与值域、分段函数的相关知识，试题难度容易【解答】解：，．9.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC与BO交于点E，且若指数函数且的图象经过点E，B，则a等于A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：设点，则由已知可得点，，．因为点E，B在指数函数的图象上，所以所以，所以舍去或．10.下列图象中，可能是二次函数及指数函数的图象的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查指数函数的图象及性质、二次函数的图象及性质，属于基础题．指数函数在R上单调递减，则，可得，二次函数的图象与x轴的交点为、，结合选项即可判断．【解答】解：由指数函数的图象可知，指数函数在R上单调递减，则，，二次函数的图象与x轴的交点为、，只有选项A符合题意．故选A．11.函数与的图象关于A. 原点对称B. x轴对称C. y轴对称D. 直线对称【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的周期性和对称性、函数图象的变换平移、对称、伸缩、翻折变换的相关知识，试题难度较易【解答】解：设点为函数的图象上任意一点，则点为的图象上的点．因为点与点关于y轴对称，所以函数与的图象关于y轴对称，故选C．12.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则A. 0B.C. 18D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的周期性，涉及指数的运算，属于基础题．由题意可得函数为周期为2的周期函数，可得，代值计算可得．【解答】解：定义在R上的函数满足，函数为周期为2的周期函数，又当时，，，故选：C．二、填空题（本大题共14小题，共70.0分）13.指数函数的值域是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查求函数值域的方法，考查指数函数的性质，解题的关键是将复杂函数化为基本函数，属于基础题．根据题意可知，函数，若令，于是可得y 转化为关于t的二次函数，根据指数函数的性质可知，结合二次函数的单调性还可得到在上函数单调递增，于是不难得到，对该不等式式求解，即可得到原函数的值域．【解答】解：令，则，因为该二次函数在上递增，所以，即原函数的值域为．故答案为．14.若函数且在区间上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，属基础题，难度不大．讨论底数a的大小，利用指数函数的单调性求解即可．【解答】解：当时，函数在区间上单调递增，的最大值为a，最小值为，，解得，当时，函数在区间上单调递减，的最大值为，最小值为a，，解得舍，综上所述：．故答案为2．15.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数定义域与值域、指数方程与指数不等式的相关知识，试题难度容易【解答】解：依题意得，，得，得，得．则函数的定义域为．故答案为．16.已知函数且在区间上的函数值恒小于2，则a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，属于基础题．分类讨论，由指数函数的单调性得最值，求a的取值范围．【解答】解：当时，函数且在区间上单调递增，最大值为，由题意，所以，当时，函数且在区间上单调递减，最大值为，由题意，所以，则a的取值范围是故答案为17.若指数函数的图象经过点，则，．【答案】；【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：设且．因为的图象经过点，代入得，解得或舍去，所以，所以．18.若指数函数的图象经过点，则．【答案】【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易【解答】解：设且，由于其图象经过点，所以，解得或舍去，因此，故．19.已知，若，求的值．【答案】解：，若，则．所以．【解析】本题考查了指数与指数幂的运算的相关知识，试题难度一般20.已知函数是指数函数，且，则__________．【答案】 5x【解析】【分析】本题主要考查指数函数，由得，，解得即可．【解答】解：设x，且．由，得，，x．故答案为．21.若函数且的图象过点，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了指数函数及其性质的相关知识，试题难度容易【解答】解：由于函数图象过点，则，解得，故．22.已知直线与函数，，，的图象依次相交于点A，B，C，D，则这四点按从上到下的顺序排列是________．【答案】C，D，B，A【解析】【分析】本题考查指数函数的图象和性质，根据底数对指数函数图象的影响，在同一坐标系中画出题中四个函数的图象，即得到四个点的顺序．【解答】解：根据在第一象限内，底数越大指数函数的图象越靠近y轴，在同一坐标系中画出函数，，，的图象如下图：由图象得：这四个点从上到下的排列次序是：C，D，B，A．23.已知函数与的图象关于y轴对称，则．【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数，涉及图象的对称变换和指数幂的运算，属于基础题．利用图象关于y轴对称的函数的解析式的关系将x换成，求得的解析式，然后代入运算化简即得．【解答】解：函数与的图象关于y轴对称，，．故答案为．24.以下是三个变量，，随变量x变化的函数值表：x1234567824816326412825614916253649640123其中关于x呈指数函数变化的函数是________．【答案】【解析】【分析】本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．观察题中表格，可以看出，三个变量、、都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，画出它们的图象图略，可知变量呈指数函数变化．【解答】解：观察题中表格，可知，三个变量，，都是越来越大，但是增长速度不同，增长速度最快，画出它们的图象，可知呈指数函数变化．25.函数是指数函数，则_______【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数的定义，比较容易根据指数函数的定义，先确定a的值，再求．【解答】解：函数是指数函数，则，解得．所以，．所以，．故答案为．26.给定下列函数：；；，且；；；；；其中是指数函数的有________填序号【答案】解：指数函数为，很显然为二次函数，为指数函数，底数不一定大于0，故不是指数函数，底数小于0，不是指数函数，是指数函数，不是指数函数，是指数型函数，不是指数函数，不是指数函数，故答案为【解析】此题考查指数函数的定义，属于基础题．根据指数函数的定义进行求解即可．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.已知指数函数满足，定义域为R的函数是奇函数．确定和的解析式；判断函数的单调性，并用定义证明；若对于任意，都有成立，求a的取值范围．【答案】解：设且，，，，，是定义域为R的奇函数，，即，解得．经检验，当时，为奇函数，是定义在R上的减函数，证明如下：任取，，，则．，，又，，，，是定义在R上的减函数；，且为奇函数，，所以，因为，所以成立，设，，由对勾函数的单调性可知，函数在单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值为，所以．【解析】本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度适中，属于较难题．利用指数函数过定点和函数为奇函数，得到关于参数的方程，解方程得到本题结论；利用函数单调性的定义加以证明，得到本题结论；利用函数的奇偶性和单调性，将原不等式转化为相应自变量的比较，利用对勾函数的单调性得到本题结论．28.某镇现在人均一年占有粮食，如果该镇人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．【答案】解：设该镇现在人口数量为M，则该镇现在一年的粮食总产量为360M kg．1年后，该镇粮食总产量为，人口数量为，则人均一年占有粮食为，2年后，人均一年占有粮食为，，x年后，人均一年占有粮食为，即所求函数解析式为【解析】本题考查了函数模型的应用的相关知识，试题难度较易29.用描点法在同一平面直角坐标系中画出与的图象．在的条件下，分别计算并比较与，与，与的值，从中你得到什么结论？【答案】解：作，的图象如下，，，；，；，；故；即与的图象关于y轴对称．【解析】本题主要考查了指数函数的图象及其性质，属于较易题．结合指数函数的图象，利用描点法作，的图象．可求得；；；从而可判断．30.已知不相等的两个实数a，b满足，判断实数a，b的大小关系．【答案】解：画出，的图像如图所示：，当a，b同为负时，，当a，b同为正时，，当a，b不同号时，不存在，综上所述，答案：当或．【解析】本题主要考查了指数函数的图像与性质，属于较易题画出图像，由图像可得结果．。
高中数学指数函数对数函数重点题型汇总
指对函数题型分类一、指数函数：)0,1(>≠=a a a y x 题型一：比较大小1、（1） ； （2） ______ 1； （3） ______2、985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
3、设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A.a a ＜a b ＜b a B.a a ＜ b a ＜a b C.a b ＜a a ＜b a D.a b ＜b a ＜a a 4、已知下列等式，比较m ，n 的大小：（1）22m n < (2)0.20.2m n <5、下列关系中，正确的是（ ）A 、5131)21()21(> B 、2.01.022> C 、2.01.022--> D 、115311()()22- - >5．比较下列各组数的大小 (1)31.13.11.1,1.1 (2)3.02.06.0,6.0-- (3)3241⎪⎭⎫ ⎝⎛、3251⎪⎭⎫ ⎝⎛、3141⎪⎭⎫⎝⎛; (4)0.42、20.4、log 402⋅题型二：复合指数函数图象 1、 函数（ ）的图象是（）2．函数与的图象大致是( ).3．当时，函数与的图象只可能是（ ）4．在下列图象中，二次函数 与指数函数 的图象只可（ ）5、若，，则函数的图象一定在（）A ．一、二、三象限B ．一、三、四象限C ．二、三、四象限D ．一、二、四象限6、已知函数xx f 2)(=,则)1(x f -的图象为 （ ）ABCD7、函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数， 则下列结论正确的是（ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><<b a D ．0,10<<<b a8、（全国卷Ⅳ文科）为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度9、画出12-=x y 和12-=xy 的图象。
指数函数常考题型归纳含详解
A． a b 1 c b B． b a 1 d c C．1 a b c d D． a b 1 d c 3、已知函数 f (x) (x a)(x b) （其中 a b) 的图象如图所示，则函数 g(x) ax b 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、画出下列函数的图像
D．
0,
1 2
A． ab aa
B． ba bb
C． ab bb
D． ab ba
2、设 a ， b ， c R ，且 a b ，则（ ）
A． a2 b2
B．
1 2
a
1 2
b
C． a3 b3
D． 1 1 ab
3、已知集合 A {x | x2 3x 2 0}, B {x |1 2 x 4} ，则 A B （ ）
题型九：复合函数的单调性
C． f x x 1
x
1、函数
y
1 2
82 xx2
的单调递增区间为_________．
D． f x 3 x
2、求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1） f ( x) 1 3x2 ；
1
（2）
f
(x)
1 2x 3
；
（3） f ( x) 2x22x3 ；
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x | 0 x 2}
4、已知 a 0.20.3 ， b 0.30.3 ， c 0.20.2 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
题型八：指数函数的单调性
C． b c a
D． a c b
A．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是增函数 B．函数 f x 在 R 上既是奇函数，也是减函数
指数函数-重难点题型精讲(教师版)
3
3
)
2−8
＞3−2的解集．
1 2
1 2
【解答过程】解：∵( ) −8＞3−2 = ( ) ，
3
3
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故选：A．
【变式 3-2】（2024 秋•黄埔区校级期中）已知 a＞0，且 a≠1，若函数 y＝xa﹣1 在（0，+∞）内单调递减，
则不等式 a3x+1＞a﹣2x 中 x 的取值范围是（ ）
【方法点拨】
①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的
函数图象.
②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于
从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例 4】（2024 秋•临渭区期末）函数 y＝x+a 与 y＝a﹣x（a＞0 且 a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
【方法点拨】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例 1】（2024 秋•南宁期末）函数 f（x）＝2x 的定义域为（ ）
A．[1，+∞）
B．（0，+∞）
C．[0，+∞）
D．R
【解题思路】由指数函数的性质可得其定义域．
【解答过程】解：函数 f（x）＝2x 的定义域为 R，
故选：D．
【变式 1-1】（2024 秋•阎良区期末）函数 y＝2x（x≤0）的值域是（ ）
当底数 a＞1 时，函数单调递增，当 0＜a＜1 时，函数单调递减，
当底数 a＞1，满足底数越大函数的图象在 x＞0 时，越靠近 y 轴，
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
根据指数函数的奇偶性知识点及题型归纳总结
根据指数函数的奇偶性知识点及题型归纳总结1. 知识点概述指数函数是数学中常见且重要的函数之一。
在研究指数函数时，了解其奇偶性质十分重要。
奇偶性是指函数在定义域内的对称性质，通过判断函数的奇偶性，可以简化对函数性质的分析和推导。
2. 奇函数和偶函数- 奇函数：当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，称之为奇函数。
奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
- 偶函数：当函数满足$f(-x)=f(x)$时，称之为偶函数。
偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
3. 奇偶性的性质及应用- 奇函数的特点：- 当$x$为正数时，$f(x)$的值与$-x$对应的$f(-x)$的值相等；- 若$f(x)$在定义域内某一点有定义，那么$-f(x)$在定义域内对应的点也有定义；- 若$f(x)$为奇函数，那么$f'(x)$为偶函数，即奇函数的导数为偶函数。
- 偶函数的特点：- 当$x$为正数时，$f(x)$的值与$-x$对应的$f(-x)$的值相等；- 若$f(x)$在定义域内某一点有定义，那么$f(-x)$在定义域内对应的点也有定义；- 若$f(x)$为偶函数，那么$f'(x)$为奇函数，即偶函数的导数为奇函数。
- 通过判断函数的奇偶性，可以进行以下应用：- 确定函数图像关于哪个轴对称，从而简化图像的绘制；- 判断函数的导数的奇偶性，从而简化导数计算。
4. 提示题型- 判断题型：给定一个函数，判断该函数是奇函数、偶函数还是既不是奇函数也不是偶函数；- 求导题型：已知一个函数为奇函数或偶函数，求其导数的奇偶性；- 求对称轴题型：给定一个函数，求其对称轴是x轴还是y轴。
5. 总结了解指数函数的奇偶性质对于分析和推导函数性质起到重要的作用。
通过判断函数的奇偶性，可以简化图像的绘制和导数的计算，为求解问题提供便利。
以上就是根据指数函数的奇偶性知识点及题型的归纳总结。
(文字总数：230字)。
高一数学指数函数题型
指数函数是基本初等函数之一，以下是一些常见的高一数学指数函数题型：
1.
求定义域和值域：确定函数的定义域和值域，包括对底数的限制和指数的取值范围进行分析。
2.
指数函数的图像：绘制指数函数的图像，包括通过描点法或使用函数绘图软件来观察函数的性质，如单调性、奇偶性等。
3.
比较大小：比较指数函数值的大小，利用指数函数的单调性进行大小关系的判断。
4.
指数函数的复合函数：涉及指数函数与其他函数的复合，如指数与一次函数、二次函数等的复合。
5.
指数函数的求值：给定函数值或自变量的值，求出对应的指数函数的值。
6.
指数函数的四则运算：进行指数函数的加、减、乘、除运算，需要注意底数不变和指数的运算法则。
7.
指数函数的单调性：判断指数函数在给定区间上的单调性，利用导数或单调性定义进行分析。
8.
指数函数的奇偶性：判断指数函数的奇偶性，根据奇偶性的定义进行分析。
这些题型涵盖了高一数学中指数函数的基本概念、性质和应用。
通过练习这些题型，可以帮助学生深入理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质，以及运用指数函数解决实际问题的能力。
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指数函数题型总结:题型一. 比较大小例1：已知函数满足, 且, 则与的大小关系是_____．小练: 1.比较下列各组数的大小:（1）若/ , 比较/ 与/ ；（2）若/ , 比较/ 与/ ；（3）若/ , 比较/ 与/ ；（4）若/ , 且/ , 比较a 与b ；（5）若/ , 且/ , 比较a 与b ．2.曲线/ 分别是指数函数/ ,/ 和/ 的图象,则/ 与1的大小关系是 ( ).(题型二. 求解有关指数不等式例2 已知, 则x 的取值范围是___________.小练3: 5、设, 解关于的不等式.题型三. 求定义域及值域问题例3 求函数的定义域和值域.小练4: 求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝231-x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.小练5.若函数的定义域为R, 则实数的取值范围 .题型四. 最值问题例4 函数在区间上有最大值14, 则a 的值是_______.小练6.若函数, 求函数的最大值和最小值.小练7、已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14, 求a 的值.题型五. 解指数方程例5 解方程.题型六. 图像及图象变换例6 为了得到函数的图象, 可以把函数的图象（ ）.A. 向左平移9个单位长度, 再向上平移5个单位长度B. 向右平移9个单位长度, 再向下平移5个单位长度C. 向左平移2个单位长度, 再向上平移5个单位长度D. 向右平移2个单位长度, 再向下平移5个单位长度小练8、若函数的图像经过第一、三、四象限, 则一定有（ ）A. B C. D.小练9、方程2|x|+x=2的实根的个数为_______________.小练10、函数在R 上是减函数, 则的取值范围是（ ）A. B. C. D.小练11、当时, 函数的值总是大于1, 则的取值范围是_____________题型七、定点问题例7、函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点____________.题型八、函数的奇偶性问题小练12.如果函数在区间上是偶函数, 则=_________A 、小练13.函数是（ ）奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数小练14、若函数是奇函数, 则=_________题型九、单调性问题小练14.函数的单调增区间为_____________.小练15.函数在区间上的最大值比最小值大, 则=__________.小练16.函数在区间上是增函数, 则实数的取值范围是 ( )A.[6,+....B...C....D.题型十、指数函数性质综合问题例8（1）已知是奇函数, 求常数m 的值；（2）画出函数的图象, 并利用图象回答：k 为何值时, 方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？ 有一解？ 有两解？小练17、 求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x 的单调区间.小练18、 已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.小练19、定义在R 上的奇函数有最小正周期为2, 且时,（1）求在[－1, 1]上的解析式；（2）判断在（0, 1）上的单调性；（3）当为何值时, 方程=在上有实数解.小练20、 函数y ＝a ｜x ｜(a>1)的图像是( )答案：例1: 解: ∵, ∴函数的对称轴是. 故, 又, ∴.∴函数在上递减, 在上递增. 若, 则, ∴；若, 则, ∴. 综上可得, 即.小练1: 解: （1）由/ , 故/ , 此时函数/ 为减函数. 由/ , 故/ .（2）由/ , 故/ . 又/ , 故/ . 从而/ .（3）由/ , 因/ , 故/ . 又/ , 故/ . 从而/ .（4）应有/ . 因若/ , 则/ . 又/ , 故/ , 这样/ . 又因/ , 故/ . 从而/ , 这与已知/ 矛盾.（5）应有/ ．因若/ , 则/ ．又/ , 故/ , 这样有/ ．又因/ , 且/ , 故/ ．从而/ , 这与已知/ 矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.2、首先可以根据指数函数单调性,确定,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 例2: 解: ∵, ∴函数在上是增函数,∴, 解得. ∴x 的取值范围是. :小练4解：(1)∵x -3≠0, ∴y ＝2的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵≠0, ∴2≠1,∴y ＝231 x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝. (2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y ＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y ＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.例3解: 由题意可得, 即, ∴, 故. ∴函数的定义域是.令, 则, 又∵, ∴. ∴, 即.∴, 即. ∴函数的值域是.例4: 解: 令, 则, 函数可化为, 其对称轴为.∴当时, ∵, ∴, 即. ∴当时, .解得或（舍去）；当时, ∵, ∴, 即,∴ 时, , 解得或（舍去）, ∴a 的值是3或.小练7解: , 换元为, 对称轴为.当, , 即x=1时取最大值, 解得 a=3 (a= －5舍去)例5 解: 原方程可化为, 令, 上述方程可化为, 解得或（舍去）, ∴, ∴, 经检验原方程的解是.例6解：∵, ∴把函数的图象向左平移2个单位长度, 再向上平移5个单位长度, 可得到函数的图象, 故选（C ）． 例8、解: （1）常数m=1（2）当k<0时, 直线y=k 与函数的图象无交点,即方程无解;当k=0或k1时, 直线y=k 与函数的图象有唯一的交点, 所以方程有一解;当0<k<1时, 直线y=k 与函数的图象有两个不同交点, 所以方程有两解。
根据指数函数的增减性知识点及题型归纳总结
根据指数函数的增减性知识点及题型归纳总结以下是指数函数的增减性知识点和相关题型的归纳总结：一、指数函数的增减性知识点1. 当底数 \(a > 1\) 时，指数函数 \(y = a^x\) 是增函数，即随着自变量 \(x\) 的增大，函数值 \(y\) 也增大。
2. 当底数 \(0 < a < 1\) 时，指数函数 \(y = a^x\) 是减函数，即随着自变量 \(x\) 的增大，函数值 \(y\) 减小。
3. 当底数 \(a = 1\) 时，指数函数 \(y = a^x\) 是恒等函数，函数值始终为1，不具有增减性。
二、指数函数增减性相关题型2.1 判断题1. 当 \(a > 1\) 时，指数函数 \(y = a^x\) 是增函数。
(✔️/❌)2. 当 \(a < 1\) 时，指数函数 \(y = a^x\) 是减函数。
(✔️/❌)3. 当 \(a = 1\) 时，指数函数 \(y = a^x\) 是恒等函数。
(✔️/❌)2.2 选择题1. 指数函数 \(y = 2^x\) 的增减性是：a) 增函数b) 减函数c) 恒等函数d) 无法确定2. 指数函数 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 的增减性是：a) 增函数b) 减函数c) 恒等函数d) 无法确定三、总结指数函数的增减性与底数的大小有关。
当底数大于1时，函数是增函数；当底数介于0和1之间时，函数是减函数；当底数为1时，函数是恒等函数。
在判断和选择题中，可以根据底数的大小来确定函数的增减性。
希望本文档对您理解指数函数的增减性有所帮助。
如果还有其他问题，请随时提问。
对指数函数及其性质经典题型总结
对指数函数及其性质经典题型总结指数函数是数学中常见的一类函数，具有一些独特的性质。
本文对指数函数及其性质的经典题型进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用指数函数。
一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为变量的数学函数，可以表示为：y = a^x，其中a为底数，x为指数。
二、指数函数的性质1. 指数函数的图像特点- 当a>1时，指数函数呈现递增的趋势，图像从左下向右上倾斜。
- 当0<a<1时，指数函数呈现递减的趋势，图像从左上向右下倾斜。
- 当a=1时，指数函数的图像为一条水平直线。
2. 指数函数的基本性质- a^0 = 1，任何数的0次方都等于1。
- a^m * a^n = a^(m+n)，同底数相乘，指数相加。
- (a^m)^n = a^(m*n)，同底数相乘，指数相乘。
- (a*b)^n = a^n * b^n，底数相乘，指数不变。
- (a^n)^m = a^(n*m)，指数相乘，底数不变。
三、指数函数的经典题型1. 指数函数的求值问题- 根据指数函数的定义，计算给定指数函数的特定值。
2. 指数函数的图像问题- 根据指数函数的性质和底数的取值范围，画出指数函数的图像。
3. 指数函数的运算问题- 根据指数函数的性质，进行指数函数的加法、减法、乘法和除法运算。
4. 指数函数的应用问题- 利用指数函数的性质，解决实际生活中的问题，如人口增长、物质衰变等。
四、总结指数函数是数学中重要且常用的一类函数，具有特定的图像特点和基本性质。
熟练掌握指数函数的经典题型可以帮助我们更好地应用指数函数解决问题。
文档总字数：XXX字。
根据指数增长函数知识点及题型归纳总结
根据指数增长函数知识点及题型归纳总结
指数增长函数是高中数学中较为重要的概念之一。
掌握指数增
长函数的知识点和题型，能够帮助我们更好地理解和应用该函数。
下面是对指数增长函数的知识点和题型进行归纳总结。
知识点
1. 指数函数的定义：指数函数是以某个正数为底数的幂运算。
2. 指数函数的性质：
- 以正数为底数的指数函数是递增函数。
- 指数函数的图像是右上方向开口的双曲线。
- 指数函数的导数等于函数值乘以底数的自然对数。
3. 指数函数的表示形式：指数函数可以表示为$f(x)=a\cdot b^x$，其中$a$为常数，$b$为底数。
4. 指数增长函数的特点：
- 当$a>0$且$0<b<1$时，函数呈现指数衰减趋势。
- 当$a>0$且$b>1$时，函数呈现指数增长趋势。
- 当$a<0$时，函数图像关于$x$轴对称。
题型归纳
1. 计算指数函数的特定值：给定指数函数的表达式和特定的自变量值，计算函数值。
2. 求指数函数的解析式：已知指数函数通过某两个点，求解函数的解析式。
3. 指数函数的图像绘制：根据给定的指数函数表达式，绘制函数的图像。
4. 指数函数的性质应用：利用指数函数的性质解决实际问题，如人口增长问题、财富增长问题等。
以上是对根据指数增长函数知识点及题型的归纳总结。
掌握这些知识和题型能够帮助我们更好地理解和解决与指数增长函数相关的问题。
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0 分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -∈(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2.52 函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12； 当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
指数函数中几类常见的题型
指数函数中几类常见的题型江苏 袁军指数函数是三类重要函数中的一类，也是考试的重点，而考查的内容主要是性质的应用，下面就指数函数中的几种常见的题型进行详解，希望对同学们的学习有所帮助. 题型一.应用定义求参数的值例1.若函数2(23)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .解：∵2(23)x y a a a =-+是指数函数，根据指数函数定义得331,01,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得 2.a =∴ 2.a = 【点评】：本题利用指数函数的定义解题，指数函数的定义有两个特点①系数为1；②底数10a a >≠且.应用时注意这两个条件的使用即可.随堂训练:1. 若函数2(44)x y a a a =-+⋅是指数函数，则a = .答案： 3.a =题型二.求指数函数的值域例2.求下列函数的值域⑴221()2x x y -=； ⑵y = 解：⑴ ∵ 222(1)11,x x x -=--+≤∴ 221111()().222x x -≥=故函数的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.⑵ 设t =则0,5t t y ≥=，∴ 05 1.y ≥=故函数的值域为[)1,+∞. 【点评】：求与指数函数有关的值域问题时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，对于解析式中某些较复杂的式子，往往采用换元法求解，这样可使问题变得清晰简洁，避免出错.随堂训练：2．函数211()2x y -=的值域为 .答案：(]0,2.题型三.比较大小问题例3.将下列各数从小到大排列起来：23(3)- ，122()3 ，132()3 ，232()3-- ，13(3)- ，31()3- ，433()2，21()2-- . 解：在这8个数中，负数有13(3)-与31()3-两个，且1331(3)1,1()0.3-<--<-<∴13(3)-<31()3-. 正数有：2233(3)3-= ，122()3 ，132()3 ， ，433()2，21()42--=. 其中大于0而小于1的有：122()3 ，132()3两个， 大于1的有：222242333332331(3)3,()(),(),()43222---=-=-=四个. 又∵233(3)9,=而34433381()()9,2216⎡⎤==<⎢⎥⎣⎦∴224222333332331()()()(3)3() 4.3222---=<<-=<-= 综上所述：8个数从小到大的排列顺序为：13(3)-<31()3-<122()3<132()3<232()3--<433()2<23(3)-<21()2--. 点评：比较两个数的大小，首先按数的范围（如大于0还是小于0，大于1还是小于1等）进行分类，后再依据有关性质比较大小（如若两个数的底数相同，则运用指数函数的增减性比较大小）.随堂训练：3.比较0.20.4 ，0.20.2 ，0.22 ， 1.62的大小.答案：0.20.2<0.20.4<0.22< 1.62.题型四.求指数函数的单调区间例4.求函数2321()3x x y -+=的单调区间. 解：设21(),32,3u y u x x ==-+y 关于u 递减，当3(,]2x ∈-∞时，u 为减函数，∴此时y 关于x 为增函数；当3[,)2x ∈+∞时，u 为增函数，y 关于x 为减函数. 点评：求指数函数的单调区间问题通常是求与指数函数相关的复合函数的单调区间，对形如[()]y f g x =这一复合函数的单调性，除根据定义外，还可以根据下面的结论判断：当()y f u =与()u g x =的单调性相同时，则[()]y f g x =为增函数，当()y f u =与()u g x =的单调性相反时，[()]y f g x =为减函数. 而对形如()()(01)g x f x a a a =>≠且这一复合函数而言，若1,a >则()g x 与()f x 的单调性相同，若01,a <<则()g x 与()f x 的单调性相反.随堂训练：4.函数14()5x y -=的单调减区间是 ；单调增区间是 . 答案：减区间是[1,);+∞增区间是(,1]-∞.学习指数函数时，关键是熟记指数函数的图像，利用指数函数的单调性去解决问题，当然指数函数的学习其实是对前面所学知识的巩固.。
指数函数常见题型
(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图像只 有两个公共点，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ①当a>1时，如图知y＝2a与y＝|ax－1|的图像 只有一个公共点．
②当 0<a<1 时，由图知 当 0<2a<1，即 0<a<12时，y＝2a 与 y＝|ax－1|，图像只有 两个公共点． 【答案】 0＜a＜12
49－73＋25×5 1 2×4102＝－197＋2＝19.
(2)原式＝ 5－2－1－ 5－22
＝( 5－2)－1－( 5－2)＝－1.
3
3
(3)先对条件等式变形，求出 x2＋x－2及 x2＋x－2 的值．
1
1
由 x2＋x－2＝3，两边平方，得 x＋x－1＝7.
再平方得 x2＋x－2＝47.
1
1
例3 求函数y＝33＋2x－x2的值域及单调区间． 【解析】 原函数化为 y＝(13)x2－2x－3，函数的定义域 为 R， 设 u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴0<y≤(13)－4＝81， 即函数的值域为{y|0<y≤81}．
∵x∈(－∞，1]时，u 为减函数， x∈[1，＋∞)时，u 为增函数． 又∵y＝(13)u 为减函数． ∴y＝(13)x2－2x－3 的单调递减区间为[1，＋∞)，单调递 增区间为(－∞，1]． 【答案】 值域为{y|0<y≤81}，单调递减区间为[1，＋ ∞)，单调递增区间为(－∞，1]
3
4
3
(3)1.15，0.65，0.65从小到大的顺序为________．
4
3
3
答案 (1)3 (2) 5，7 (3)0.65＜0.65＜1.15
指数函数题型训练
指数函数题型训练1、“同底不同指”型（1）2151-⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3251⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2） 2.51.7 31.7 （3）9 323 （4） 2.13 1.413⎛⎫ ⎪⎝⎭ （5）0.814⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1.812⎛⎫ ⎪⎝⎭2、“不同底不同指”型（1）0.31.7 3.10.9 （2） 2.51.7 30.7 （3）0.10.8- 0.29-3.综合类：已知232()3a =，132()3b =，232()5c =则a 、b 、c 的大小关系为题型二 过定点问题1、函数323x y -=+恒过定点2、函数()150,1x y a a a +=->≠图像必过定点，这个定点是3、已知对不同的a 值，函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ，则P 点的坐标是题型三 解指数函数不等式1、22122≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x2、 821()33x x --<3、0.225x <4、221(2)(2)x x a a a a -++>++题型四 求指数函数相关的定义域1、y =2、y =3、936x x y =-- 4、132x y -=题型五 求指数函数相关的值域1、2x y -=2.22)21(x x y -= 3、133+=x x y4、设02x ≤≤ ，求函数124325x x y -=-⋅+值域5、求1423x x y +=-+，(,1]x ∈-∞的值域。
题型六 奇偶性问题 若函数a x f x +-=121)(为奇函数，则实数a 的值是题型七 单调性问题1、函数3222--=x x y 的单调区间。
2、求函数2222x x y -++=单调区间。
3、求函数23213x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调区间。
题型八 图象变换及应用问题1、为了得到函数935x y =⨯+的图象，能够把函数3x y =的图象（）．A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度2、画出函数121x y -=-图像,并求定义域与值域。
指数与指数函数题型归类解析
指数与指数函数题型归类解析一、化简与计算问题.例12233a b解：原式21121123333333411333(39)(3)(27)a a b b a b a a a b a-++-=--211211333333411333(39)(3)(27)(27)a a b b a b a b a a b a++---=-11333323[()(3)](27)0(27)a b a b a a b ---==-.例2 已知：11223x x-+=，求33222232x x x x --++++的值.解：法一：11223x x-+=①，∴11222()9x x -+=，即17x x -+=两边再平方，可得2247x x-+=②将①两边立方，可得3113122223327x x x x x x---+⋅+⋅+=③即331122223()27x xx x --+++=将①代入③得，332218x x-+=，∴33222232x x x x --++++18334727+==+.法二：设12x t =，则121xt -=，13t t +=，22129t t++= 原式3232422421113()(1)3112()t t t t t t t t t t++++-+==+++3(71)33497-+==. 二、指数恒等式的证明问题.例3 设a ，b ，c R +∈，且346abc==.求证：1112c a b-=. 证明：设346abc==(0)k k =>，于是有13a k =，14b k =，16ck =，∴11112c a c ak k k-÷==.又122bk===，∴1112c abk k-=.由底数相同，幂相等的两指数相等得：1112c a b-=. 三、与指数函数性质有关的问题（如定义域、值域及单调区间）.例4 求函数1(2y =.解：令1()2u y =，u =，228t x x =-++.∵228x x -++≥0，即2-≤x ≤4，∴定义域为[2,4]-. ∵2228(1)9,[2,4]x x x x -++=--+∈- ∴0≤t ≤9，0≤u ≤3，18≤y ≤1. 因此函数的值域为1[,1]8.∵当－2≤1x ＜2x ≤1时，211128t x x =-++＜222228t x x =-++，∴1u =2u 111()2uy =＞221()2uy =. 因此，当[2,1]x ∈-时，函数为减函数.∵当1≤1x ＜2x ≤4时，1t ＞2t ，∴1u ＞2u ，1y ＜2y ， 因此，当[1,4]x ∈时，函数为增函数. 四、利用指数函数求参数的取值范围. 例5 已知函数2()()(2x x af x a a a a -=--＞0，且1)a ≠是R 上的增函数，求a 的取值范围.解：()f x 的定义域为R ，设1x ，2x ∈R 且1x ＜2x ， 则2211212()()()2x x x x af x f x a a a a a ---=--+- 211221()(1)2x x x x a a a a a a-=-+-⋅由于a ＞0且1a ≠，∴1211x x a a +⋅＞0.∵()f x 为增函数，则212(2)()xxa a a --＞0.于是有212200x x a a a ⎧->⎪⎨->⎪⎩或212200x x a a a ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，解得a或0＜a ＜1.。
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指数函数题型归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
指数函数及其性质应用
1.指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2.
指数函数函数性质：
函数
名称
指数函数
定义函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点图象过定点，即当时，.
奇偶性非奇非偶
单调性在上是增函数在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对
图象的影
响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限
内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.
指数函数题型训练
2
3
题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型
（1）21
51-
⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3
251⎪⎭⎫
⎝⎛ （2） 2.51.7 31.7 （3）0.8
14⎛⎫ ⎪
⎝⎭
1.8
12⎛⎫
⎪⎝⎭
（4）0.5
a
()0.60,1a a a >≠
归纳：
2、“同指不同底”型
（1）5
6311⎛⎫ ⎪⎝⎭ 56
833⎛⎫ ⎪
⎝⎭
（2）9 2
4 归纳：
3、“不同底不同指”型 （1）0.3
1.7
3.1
0.9
（2） 2.5
1.7
30.7 （3）0.1
0.8
- 0.2
9
-
（4）b a (01)a
b a b <<< （5） 1
23-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
13
3
归纳：
综合类：（1）已知232()3a =，132()3b =，232
()5
c =则a 、b 、c 的大小关系为
（2）如果0m <，则2m
a =，1()2
m b =，0.2m
c =则a 、b 、c 的大小关系为
题型二 过定点问题 1、函数3
3x y a -=+恒过定点
2、函数()150,1x y
a a a +=->≠图像必过定点，这个定点是
4
3、已知对不同的a 值，函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ，则P
点的坐标是 归纳：
题型三 解指数函数不等式
1、2212
2≤⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-x 2、 8
21()33
x x --< 3、0.225x < 4、
221(2)(2)x x a a a a -++>++
归纳：
题型四 求指数函数相关的定义域 1
、y
=
、y =
、y =4、13
2
x y
-= 5、已知
()f x 的定义域为(0,1) ,则(3)x f 的定义域为__________
归纳：
题型五 求指数函数相关的值域 1、2
x
y -= 2、14
21x
x y +=++
3、1
33+=x x
y 4、设02x ≤
≤ ，求函数12
4
325x x y -=-⋅+值域
5、求14
23x
x y +=-+，(,1]x ∈-∞的值域。
题型六 方程问题 1、2
23
380x x +--= 2、23360x x --=
5
3、23325032x x
⎛⎫⎛⎫
⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
归纳：
题型七 最值问题 1、已知12x -≤
≤,求函数1()3239x x f x +=+⋅-的最大值和最小值
2、已知函数221(1)x
x y a a a =+->在区间[1,1]-上的最大值是14，求a 的值.
3、函数
()x
f x a = (0,1)a a >≠且在区间]2,1[-中的最大值比最小值大2
a ，
则a 的值为 归纳：
题型八 奇偶性问题
若函数a x f x
+-=
1
21
)(为奇函数，则实数a 的值是 题型九 单调性问题 1、函数3
222--=x x y 的单调区间。
3、求函数222
2
x x y
-++=单调区间。
4、求函数232
13x x y
-+⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调区间。
归纳：
题型十 图象变换及应用问题 1、为了得到函数93
5x
y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象（ ）．
A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
6
C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
2、画出函数1
21x y -=-图像,并求定义域与值域。
3、利用函数()2x f x =的图像，作出下列个函数的图像
⑴
(1)f x -，⑵()1f x -，⑶()f x -，⑷()f x -
归纳：
选做题：
1、函数17
6221+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=x x y 的定义域为 ，值域为 ，
单调递增区间为 ，单调递减区间为
2、已知函数
1
()1
x x
a f x a -=+ (0,1)a a >≠且。
(1)求
()f x 的定义域和值域；(2)讨论()f x 的奇偶性。
3、函数x x y 4212-+=的定义域，单调区间。