基本不等式与绝对值不等式

教学过程

一、新课导入

前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究算术平均数与几何平均数之间的关系及一些含有绝对值的不等式的证明问题.

二、复习预习

1.基本不等式的定理及推论.

2.如何运用基本不等式解决问题.

3.绝对值不等式的定理及推论.

4.如何运用绝对值不等式证明问题.

三、知识讲解

考点1 基本不等式

1．基本不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a . 2．定理：如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 3.公式的等价变形：a

b ≤222b a +，ab ≤（2

b a +）2

.

4．若

b

a

a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号. 5．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）. 6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么3

3

abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）. 7.关于“平均数”的概念

如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21Λ 则：n

a a a n

+++Λ21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a Λ21叫做这n 个正

数的几何平均数.

推广：

n

a a a n

+++Λ21≥n n a a a Λ21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*

语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

考点2 绝对值不等式的定理及推论

1.定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-. 注意：

1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-.

2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”. 推论1：||21n a a a +++Λ≤||||||21n a a a +++Λ. 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-.

四、例题精析

考点1 基本不等式

例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222.

【规范解答】 ∵ab b a 222>+

222b c bc +>

ca a c 222>+

以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222.

【总结与反思】此题在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.

例2 已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++．

【规范解答】

∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0

得

0,2ab cd +≥> 0.2

ac bd

+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得

()()

.4

ab cd ac bd abcd ++∴

≥

即abcd bd ac cd ab 4))((≥++.

【总结与反思】用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.

例3 已知a , b , c ∈R ,

求证：1︒ 9)111)((≥++++c

b a

c b a 2︒ 2

9)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 3︒ 2

3≥+++++b a c a c b c b a .

【规范解答】

证明：1︒ 法一：33abc c b a ≥++,

313111abc c b a ≥++, 两式相乘即得9)111)((≥++++c b a c b a . 法二：左边)()()(3c b b c c a a c b

a a

b

c c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++= ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9.

2︒ ∵3

))()((23

222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++

3))()((131

1

1

a c c

b b a a

c c b b a +++≥+++++ 两式相乘即得29

)1

11)((≥+++++++a c c b b a c b a .

3︒ 由上题：29

)1

1

1

)((≥+++++++a c c b b a c b a ∴29

111≥++++++++a c b c b a

b a c

即 23

≥+++++b a c

a c b

c b a

.

【总结与反思】基本不等式的灵活运用.

例4 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).