基本不等式与绝对值不等式

教学过程一、新课导入前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究算术平均数与几何平均数之间的关系及一些含有绝对值的不等式的证明问题.二、复习预习1.基本不等式的定理及推论.2.如何运用基本不等式解决问题.3.绝对值不等式的定理及推论.4.如何运用绝对值不等式证明问题.三、知识讲解考点1 基本不等式1．基本不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a . 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 3.公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2.4．若baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号. 5．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）. 6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）. 7.关于“平均数”的概念如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21Λ 则：na a a n+++Λ21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a Λ21叫做这n 个正数的几何平均数.推广：na a a n+++Λ21≥n n a a a Λ21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数考点2 绝对值不等式的定理及推论1.定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-. 注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-.2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”. 推论1：||21n a a a +++Λ≤||||||21n a a a +++Λ. 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-.四、例题精析考点1 基本不等式例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222.【规范解答】 ∵ab b a 222>+222b c bc +>ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222.【总结与反思】此题在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.例2 已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++．【规范解答】∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0得0,2ab cd +≥> 0.2ac bd+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得()().4ab cd ac bd abcd ++∴≥即abcd bd ac cd ab 4))((≥++.【总结与反思】用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.例3 已知a , b , c ∈R ,求证：1︒ 9)111)((≥++++cb ac b a 2︒ 29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 3︒ 23≥+++++b a c a c b c b a .【规范解答】证明：1︒ 法一：33abc c b a ≥++,313111abc c b a ≥++, 两式相乘即得9)111)((≥++++c b a c b a . 法二：左边)()()(3c b b c c a a c ba abc c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++= ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9.2︒ ∵3))()((23222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++3))()((13111a c cb b a ac c b b a +++≥+++++ 两式相乘即得29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a .3︒ 由上题：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a ∴29111≥++++++++a c b c b ab a c即 23≥+++++b a ca c bc b a.【总结与反思】基本不等式的灵活运用.例4 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).【规范解答】设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0）∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝a a +-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝ab k ，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 ∴y ＝264322302+-+-=+-=a a k a a a k ab k ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k ≥18264)2(234k a a k =+⨯+- ∴当且仅当a ＋2＝264+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18 故当a ＝6米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.【总结与反思】均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立.例5 求函数)0(,322>+=x xx y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ，∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时， 633min 3242123221262==⋅=y .【规范解答】 以上两种解法均有错误解一错在取不到“=”，即不存在x 使得xx x 2122==； 解二错在x 62 正确的解法是：33322236232932323232323232==⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y当且仅当x x 2322=即263=x 时min =y 【总结与反思】基本不等式成立条件：一正、二定、三相等.例6 若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最值.【规范解答】])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x∴0)1(>--x ，0)1(1>--x 从而2])1(1)1([≥--+--x x ， 1])1(1)1([21-≤--+---x x 即1)2222(min 2-=-+-x x x . 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.例7 设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值.【规范解答】∵0>x∴212y x ⋅=+又2321)2()221(2222=++=++y x y x ， ∴423)2321(212=⋅≤+y x 即 42)1(max 2=+y x 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.例8 已知+∈R y x b a ,,,且1=+ybx a ，求y x +的最小值.【规范解答】y x +yxbx ay b a y b x a y x y x +++=++=⋅+=))((1)()(2b a yxbx ay b a +=⋅++≥ 当且仅当y xb x ay =即bay x =时2min )()(b a y x +=+. 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.考点1 绝对值不等式的定理及推论例9 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证||||||||add c c b b a +++≥4.【规范解答】 ∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>ada c cb b a ∴,||2||2||||2||||cac b b a c b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||aca d d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+ac c a a cc a acc a ③ 由①，②，③式，得4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++acc a a c c a ad d c c b b a . 【总结与反思】此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.例10 已知|a |＜1,|b |＜1,求证|1|abba ++＜1．【规范解答】|1|ab b a ++＜122)1()(ab b a ++⇔＜1 .0)1)(1(012122222222222>--⇔>+--⇔++<++⇔b a b a b a b a ab b ab a由|a |＜1,|b |＜1,可知（1－a 2）(1－b 2)＞0成立， 所以 |1|abba ++＜1. 【总结与反思】此题运用了|x |＜a ⇔x 2＜a 2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性.例11 已知21)(x x f += 当a ≠b 时 求证：|||)()(|b a b f a f -<-．【规范解答】证法一：1111|11||)()(|222222+++--+=+-+=-b a b a b a b f a f|||||)(||||))((|11||222222b a b a b a b a b a b a b a b a +-+=+-+<+++-=|||||||||)||(|b a b a b a b a -=+-+≤证法二：（构造法）如图21)(a a f OA +==，21)(b b f OB +==||||b a AB -=，由三角形两边之差小于第三边得|||)()(|b a b f a f -<-.【总结与反思】证明不等式也可构造三角形处理，运用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边.例12 求证:(1) |x+1|+|x-1|≥2；(2) |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6；(3) 2|x+2|+|x+1|≥1(当且仅当x=-2时,“=”号成立).【规范解答】(1)|x +1|+|x -1|≥|(x +1)-(x -1)|=2(2)|x +1|+|x -1|≥|(x +1)-(x -1)|=2当且仅当(x +1)(x -1)≤0,即-1≤x ≤1时“=”成立; 又|x +2|+|x -2|≥|(x +2)-(x -2)|=4,当且仅当(x +2)(x -2)≤0,即-2≤x ≤2时“=”号成立∴|x +2|+|x +1|+|x -1|+|x -2|≥6,当且仅当⎩⎨⎧≤≤-≤≤-2211x x 即-1≤x ≤1时“=”号成立(3)|x +2|+|x +1|≥|(x +2)-(x +1)|=1,当且仅当(x +2)(x +1)≤0,即-2≤x ≤-1时“=”号成立; 又|x +2|≥0,当且仅当x =-2时，“=”号成立, ∴2|x +2|+|x +1|≥1, 当x =-2时，“=”号成立【总结与反思】注意定理||||||||||b a b a b a +≤+≤-.及推论||||||||||b a b a b a +≤-≤-的运用.1例13 设f (x) = x2＋px＋q, 求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不小于.2【规范解答】（反证法）假设原命题不成立，则|f (1)|＜21,|f (2)|＜21,|f (3)|＜21, ∴|f (1)|+2 |f (2)|+|f (3)|＜2 ①由f (1)=1+p +q ,f (2)=4+2p +q ,f (3)=9+3p +q.得f (1)+f (3)－2f (2)=2∴|f (1)|+2 |f (2)|+|f (3)|≥|f (1)+f (3)－2f (2)|=2这与①矛盾，故假设不成立，求证为真.【总结与反思】此题正面证明较为困难，“正难则反”，引导学生尝试“反证法”证明.课程小结1.本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（2ba+），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba+≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具.2.用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式可以顺利解决函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.3.通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性.4.灵活掌握绝对值的性质、不等式的性质，算术平均数与几何平均数的定理对不等式进行证明.。