锐角三角函数《复习与小结》ppt

D
A
⑴正弦
1.锐角三角函数的定义 ⑵余弦
锐
⑶正切
角 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值
三
⑴定义
角
①三边间关系
函
3.解直角三角形
⑵解直角三角形的依据 ②锐角间关系
③边角间关系
数
⑶解直角三角形在实际问题中
的应用
2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以
内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间
分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
D
解：有触礁危险.
D
理由：过点P作PD⊥AC于D.设PD为x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°－45°＝45°．∴BD＝PD＝x,AD=12+x.
b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90, AB=5,AC=3,求sinA,cosA及tanA。
B
A
C
2、 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示， 则cos∠ABC的值为________。
A
专家指点
B
C
作辅助线构造 直角三角形！
3、如图，直径为5的⊙A经过点C(0,3)和 点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点， 则∠OBC的余弦值为_______。
(1) 2 sin 45 tan 60 2 cos30. 2
26 tan2 300 3 sin 600 2cos 450.
1 2
1 2 2
B
A
C
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ,c=4.
则a= 2 ，∠B= 60°，∠A= 30°.
5.如果 cos A 1 3 tan B 3 0
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.等边三角形
6.直角三角形纸片的两直角边分别BC为6，
AC为8,现将△ABC，按如图折叠，使点A
与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值
7
是 24 .
C
6
E8
方法点拨:设CE=x,则AE=BE=8-x, B 利用勾股定理求出x,再求 tan∠CBE的值.
的距离为160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一艘
外国船只航行到P点，在A点测得
∠BAP=450，同时在B点测得
∠ABP=600。问此时是否要
P
向外国船只发出警告，
令其退出我国海域.
A ● 45° 160
60° ● B
P
分析：作PC⊥AB于C ，∵∠A = 45°
∴∠APCB=C45° ∴AC=PC
b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之 间有何关系？
同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系 是：正弦值等于它的余角的余弦值，余 弦值等于它的余角的正弦值.
即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB cosA＝sin（90°一A）＝sinB
二.特殊角的三角函数值
B
AHale Waihona Puke Baidu
D
C
达标检测
如图所示，在正方形
网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值
为（ 3 ） 。10 5
α
如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A处， 沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发， 沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时 后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．
☆ 应用练习
一.已知角，求值 (1)tan45°-sin60°cos30° (2)2sin30°+3tan30°+tan45° (3)cos245°+ tan60°cos30° (4)2sin60°-3tan30°-(π-cos30°)+(-1)2012
☆ 应用练习
二.已知值，求角
（1）已知 sinA=
BD
AC
因为tanB=cos∠DAC，所以 AD ＝ AD
BD AC
故 BD=AC
例4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， A 若tanB=cos∠DAC.
（１）AC与BD相等吗？说明理由；
B
（２）若sinC＝ 12 ，BC=12，求AD的长.
（２）
13
在Rt △ACD中，因为sinC＝
12
E
A
O
B
D C
达标检测
2.A cos60,-tan30 关于原点对称的点B 的坐标 是( A ).
1 3
A -,
23
1 3
B
-, 22
1 3
C - ,23
D
33 -,
23
达标检测
3.（2010广东中山）如图，已知
Rt△ABC中，斜边BC上的高AD = 4，cosB= 4 ，则
5
AC=____5________。
线
俯角
水平线
视线
2.方向角
指南或北的方向线与目标方向线构成小于 90°的角,叫做方向角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）北 A
30°
西
O
东
45°
B南
3.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅
直高度h和水平距离l的
比叫做坡度，用字母i表
4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际 问题.
B
斜边c
对边a
一.锐角三角函数的概念 A 邻边b C
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A
的正弦，记作 sin A a
对这些关系式
c
要学会灵活变
余余弦弦： ，记把作锐角coAs的A 邻b边与斜边的式比运叫做用∠A的
c
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tan A a
y
C A
专家指点
找一个与之 相等的角！
O
x
B
二.特殊角的三角函数值
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
锐角的三角函数值有 何变化规律呢？
正切值和正弦值都随着锐角度数的增大而_增__大__；
余弦值随着锐角度数的增大而_减__小__.
思考：若∠A+∠B=900，那么： sinA ＝ cosB cosA ＝ sinB
∵cotB =PC ∠B = 60°
45°
3A
∴ BC = PC·cot60° = 3 PC
┓ 60°
C
B
3
∵AC + BC = AB = 160 ∴PC + 3 PC = 160
∴PC
480
=3 3
80(3
3)≈101.44
> 100
∴此时不要向外国船只发出警告，令其退出我国海域。
达标检测
1．如图所示，边长为1的小正方形构成的 网上格，中则，∠A半E径D的为正1的切⊙值O等的于圆﹍心﹍12O﹍在。格点
九年级数学
锐角三角函数
（复习课）
1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之 比来表示某个锐角的三角函数.
2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计 算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊 锐角的三角函数值，求出它的对应的角度.
3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理， 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直 角三角形.
示，则 i h tan
l
h
l
坡度通常写成 i h tan 的形式.
l
例1.计算2sin30 °+tan45 ° ×cos60°
1
1
解：原式=2×2 +1× 2 步骤：
=1+ 1 2
=
1 2
一“代”二 “算”
例2.若 3 tan 1 0 ，则锐角α= 30°
点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先 将原式变形为tanα= 3 ，从而求得α的度数.
c
c
b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是_边___)，
就可以求出其余3个未知元素.
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做_仰__角_； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做_俯__角_。
视线
铅 直
仰角
线
俯角
水平线
视线
2.坡角、坡度
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度：坡面的铅直高度h和水 平距离l的比叫做坡度，用字 母i表示，即：
i
tan
h l
h
l
1.在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，a=5， 求b、c的大小.
B
5
30°
A
C
2.海中有一个小岛A，它的周围6海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群 由西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔 船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
（3）边角的关系：sin A a cos A b tan A a
c
c
b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），
就可以求出其余3个未知元素.
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 直
仰角
三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 B 有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系：
ca
（1）三边关系： a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
A bC
（3）边角的关系：sin A a cos A b tan A a
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
锐角的三角函数值有 何变化规律呢？
三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系：
（1）三边关系： a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
14 2
1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之 比来表示某个锐角的三角函数.
2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计 算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊 锐角的三角函数值，求出它的对应的角度.
3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理， 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直 角三角形.
A
B
CD
30°
练
习
3.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平 地，如图所示．BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防 夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改 造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑 坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少 是多少米（结果保留根号）？
13
DC
设AC=13k,AD=12k，所以CD=5k,又AC=BD=13k，
所以BC=18k=12,故k= 2 23
所以AD=12× ＝８
3
例5.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北 偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小 岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续 向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
3 2
，求锐角A
.
（2）已知2cosA - 2 = 0 , 求锐角A.
（3）已知 tan( ∠A+20°)= 3 ，求锐角A .
（4）在△ABC中， ∠ B、 ∠ C均为锐角，且
2
sin B
1 2
cos
C
3 2
0
，求∠A的度数。
☆ 应用练习
三.比较大小
（1）sin250____sin430 （2）cos70____cos80 （3）sin400____cos600 （4）tan480____tan400
4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际 问题.
B
一.锐角三角函数的概念
ca
正弦：把锐角A的_对__边__与__斜__边_的比叫做∠A
的正弦，记作 sin A a
c
A bC
余弦：把锐角A的_邻__边__与__斜__边_的比叫做∠A的 余弦，记作 cosA b
c
正切：把锐角A的_对__边__与__邻__边_的比叫做∠A的 正切，记作 tan A a
3
例3.在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30°，a=5， 求b、c的大小.
解: ∠B=90°- ∠ A=90°-30°=60°，
B
∵tanB=b/a,
∴b=a·tanB=5·tan60°= 5 3
5
∵ sinA=a/c,
30°
A
C
∴ c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10.
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
AD 3PD, 12 x 3x,
x 12 6( 3 1) 18. 3 1
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
1.若 2sin 2 0 ，则锐角α= 45°
2.若tan( 20） 3 0 ，则锐角α= 80°
3.计算：
解直角三角形分为两类:一是已知一边一角解直角三 角形;二是已知两边解直角三角形.
例4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， A 若tanB=cos∠DAC.
（１）AC与BD相等吗？说明理由；
B
（２）若sinC＝ 12 ，BC=12，求AD的长.
13
DC
解：（１）
在Rt △ABD和△ACD中，tanB= AD，cos∠DAC ＝ AD