第二章线性规划模型
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
线性规划数学模型
该企业应如何拟定生产计划？
七、生产计划问题的数学模型
一、决策变量
设xj为第j种产品的计划产量
二、约束条件 ⑴ 指标约束 ⑵ 需求约束 ⑶ 资源约束
三、目标函数 ⑴ 总产值 ⑵ 总成本
xj ≥ ej ,
xj ≤ dj ,
n
∑a x j=1 ij j
≤
bi,
j = 1,2,… ,n j = 1,2,… ,n i = 1,2,…,m
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
七、生产计划问题的数学模型
一、决策变量
设xj为第j种产品的计划产量
二、约束条件 ⑴ 指标约束 ⑵ 需求约束 ⑶ 资源约束
三、目标函数 ⑴ 总产值 ⑵ 总成本
xj ≥ ej ,
xj ≤ dj ,
n
∑a x j=1 ij j
≤
bi,
j = 1,2,… ,n j = 1,2,… ,n i = 1,2,…,m
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
第2章—线性规划
§5 利用EXCEL求解线性规划模型（练习2）
数学模型
目标函数 ：
max z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 + 3x7 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x8 ≥ 100 x1 x8 ≥ 0
资源 设
产 品 备
Ⅰ 1 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量 8台时 16 kg 12 kg
原材料 A 原材料 B
§1 线性规划问题—例1
如何用数学关系式描述这问题，必须考虑： 设 x1 , x2 分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的数量，称它为 分别表示计划生产产品Ⅰ 决策变量；(确定决策变量阶段) 决策变量；(确定决策变量阶段) 生产 x1 , x2 数量的多少受资源拥有量的限制，这是约 束条件 x1 + 2 x2 ≤ 8; 4 x1 ≤ 16; 4 x2 ≤ 12；x1 , x2 ≥ 0 ； (确定 约束条件阶段) 约束条件阶段) 如何安排生产，使利润最大，这是目标 。(确定目 标函数阶段) 标函数阶段)
工厂1 工厂1： 工厂2 工厂2： 工厂3 工厂3：
x1 ≤ 4; 2 x2 ≤ 12； 3 x1 + 2 x2 ≤ 18
§1 线性规划问题—例3
可得上述问题的数学模型为：
max z = 3 x1 + 5 x2 x1 ≤ 4; 2 x ≤ 12； 2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 18; x1 , x2 ≥ 0
第二章 线性规划
第二章 线性规划本章内容重点： 线性规划模型 解的主要概念 线性规划应用——建模一. 线性规划模型引例：（1）用一块边长为a 的正方形铁皮做一容器，应如何裁剪，使做成的容器的容积最大？（2）某企业计划生产甲、乙两种产品。
这两种产品都要分别在A 、B 、C 、D 四种不同设备上加工。
按工艺资料规定，生产每件产品甲需占用设备分别为2、1、4、0小时，生产每件产品乙需占用设备分别为2、2、0、4小时。
已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又已知每生产一件产品甲企业能获得2元利润，每生产一件产品乙企业能获得3元利润，问该企业应如何安排生产，使总的利润收入最大？讨论：（1）可用微积分的方法解决； （2）复杂一些目标： 最大2132x x z +=例2.1:某工厂拥有A 、B 、C 三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？解：设变量xi 为第i 种（甲、乙）产品的生产件数（i ＝1，2）。
根据题意，我们知道两种产品的生产受到设备能力（机时数）的限制。
对设备A ，两种产品生产所占用的机时数不能超过65，于是我们可以得到不等式：3 x1 + 2 x2 ≤ 65； 对设备B ，两种产品生产所占用的机时数不能超过40，于是我们可以得到不等式：2 x1 + x2 ≤ 40；对设备C ，两种产品生产所占用的机时数不能超过75，于是我们可以得到不等式：3x 2 ≤75 ；另外，产品数不可能为负，即 x 1 ,x 2 ≥0。
同时，我们有一个追求目标，即获取最大利润。
于是可写出目标函数z 为相应的生产计划可以获得的总利润：z =1500x 1+2500x 2 。
综合上述讨论，在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可以建立如下的线性规划模⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤+0,12416482122221212121x x x x x x x x目标函数 Max z =1500x1+2500x2约束条件 s.t. 3x1+2x2≤ 652x1+x2≤ 403x2≤ 75x 1 ,x2≥0这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。
chapter2线性规划
二.线性规划问题的图解法
1.图解法求最大化的步骤：
第一步，得到可行域，也就是满足所有约束条
件的自变量组成的集合。 第二步，在可行域中找到使目标函数最大的那 一点，也就是最优解。 第三步，通过最优解，求出目标函数的最优值。
案例：考虑生产规划模型：
max z 50 x1 100 x 2 x1 x 2 300 2 x x 400 1 2 x 2 250 x1 , x 2 0
注3:
一般优化模型的基本类型： (1)只有目标函数而没有约束条件和非负约束 的特殊情况称为无约束规划. (2)当模型中的决策变量取值为连续数值(实 数)时,称为连续优化即通常所说的数学规划; 此时,如果目标函数与约束条件都是线性函数, 成为线性规划(linear programming,LP).至少 有一个是非线性函数,则称为非线性规划 (nolinear programming,NLP).特别当目标函数 为二次函数,而约束条件为线性函数,称为二 次规划(quadratic programming,QP).
件中含有变量的非线性的等式或不等式的数学
模型称之为非线性规划。
(2)线性规划的目标函数为线性函数：z=ax，x 为自变量，a为参数。当a>0时，z随着x的增加 而增加，无论x为多少，x增加一个单位带来的z 的增加总是同样的a。 由于其性质，没有约束条件的时候max z=ax是 不存在的，趋向于无穷大，所以现实的模型必 须包括对自变量取值的限制，例如加入 0<=x<=5。
max z 50 x1 100 x 2 x1 x 2 300 2 x x 400 1 2 x 2 250 x1 , x 2 0
第2章 线性规划及单纯形法1-2节
2x1+ x2 400
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
线性规划模型和图解法全
本章教学目的、重点、难点：
Chapter2 线性规划模型和图解法
1. 规划问题阐述
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标
练习： 用图解法求解下面线性规划模型：
线性规划模型的图解法
分析： 用图解法求解下面线性规划模型： 图1最大化线性规划模型的图解法
分析：
用图解法求解下面线性规划模型：
多边形区域OABCD中的点就是线性规划问题的可行解（可行点），多边形区域 OABCD称为线性规划问题的可行解区域。显然它是一个凸区域。
图解法简单直观，有助于领会线性规划的基本性质及一般求解方法的基本思想。
例1.4 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（7.6，2）
D
L0： 0=3X1+5.7X2
max Z
34.2 = 3X1+5.7X2
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
可行域
线性规划模型的图解法
下面介绍QM软件的使用方法：
线性规划模型的图解法
Chapter2 线性规划模型和图解法
1. 规划问题阐述
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标
练习： 用图解法求解下面线性规划模型：
线性规划模型的图解法
分析： 用图解法求解下面线性规划模型： 图1最大化线性规划模型的图解法
分析：
用图解法求解下面线性规划模型：
多边形区域OABCD中的点就是线性规划问题的可行解（可行点），多边形区域 OABCD称为线性规划问题的可行解区域。显然它是一个凸区域。
图解法简单直观，有助于领会线性规划的基本性质及一般求解方法的基本思想。
例1.4 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（7.6，2）
D
L0： 0=3X1+5.7X2
max Z
34.2 = 3X1+5.7X2
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
可行域
线性规划模型的图解法
下面介绍QM软件的使用方法：
线性规划模型的图解法
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表中的行是检验数行, 中的数是将c1, , cm消为0后, 取负
值后所得到的.
例2 用单纯形方法求解线性规划.
max z 3x1 4x2 x3 x4 ,
s.t.2x1 2x2 x3 2,
x1
x2
x4
5,
x1 x5 4,
x1, x2 , , x5 0.
解 由前面讨论知原问题的单纯形表为
1.解的概念
设线性规划
max(min) z c1x1 c2x2 cnxn , ⑴
s.t.a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn ,b1, a2n xn ,b2, ⑵
amn xn ,bm ,
xi 0,i 1, 2,3, , n.
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
j 1,2, , n.
而相应的目标函数为
z cij xij .
由此得到相应的数学模型为
min z cij xij ,
s.t.
n
xij
j 1
ai ,
m
i1
xij
bj,
xij 0,i 1, 2, , m; j 1, 2, , n.
为公司制定一个五年期的投资计划. 现已知有四个投资 项目可供选择： 项目A: 于每年的年初可进行投资, 并于次年末完成, 投资 收益为6%； 项目B: 于第三年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 投资, 投资收益为16.5%, 投资额不超过35万；
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
x x1 x2 x3 x4 x5 c 3 4110 c 4 1 0 0 0 7
x3 2 2 1 0 0 2
主元
x4 1 1 0 1 0 5
x5 1 0 0 0 1 4
4 1 0 0 0 7
此时, 当前解为 X1 0,0, 2,5, 4T , 由于1 4,故当
前解非最优解. 所以 s 1, k 5,
注 线性规划的单纯性表
设线性规划为
max z c1x1 c2x2
s.t.a11x1 a12x2 a21x1 a22x2 am1x1 am2x2
cn xn , a1n xn b1, a2n xn b2,
amn xn bm ,
xi 0,i 1, 2,3, , n.
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
x21
x23
x24
1.0235 x14
0,
x31 x32 x34 1.06x11 1.0235x24 0,
x41
x44
1.0235 x34
1.06 x21
0,
aij
中有m阶单
mn
位子矩阵.
单纯形方法解题步骤:
1.建立单纯形表, 并保证在该表中基变量的价值系数为0.
则检验数行 为新价值系数的相反数行.
2.求出当前解, 并判定当前解是否为最优解. （当前解 的定义是基变量取右端的常数项, 非基变量取为零）.
判定当前解是否为最优解的条件是 i 0.
3.若当前解不是最优解, 则进行换基:
s.t.a11x1 a12x2 a21x1 a22x2 am1x1 am2x2
a1nxn b1, a2nxn b2,
amnxn bm ,
bi 0i 1,2, ,m;
x1, x2, , xn 0.
对于非标准形式的线性规划都可以经过适当的转换而化 化为相应的标准型.
二、线性规划的解法
并且假设在约束条件系数矩阵中前 m个列向量为单位向量,
则相应的单纯形表为
x x1 x2 c c1 c2 x1 1 0 x2 0 1
xm xm1 cm cm1 0 a1m1 0 a2m1
xm 0 0
00
1 am,m1
0 m1
xn
cn
z0
a1n
b1
a2n
b2
am,n
bn
m
n z0 cibi i 1
二、整数规划
在前面所涉及到的许多线性规划模型中, 很多情况下, 除 了对变量有非负要求外, 有时甚至要求其取值为整数型的.
思考 一般情况下, 产销是不平衡的, 此时相应的模型将如何?
在上面例中, 目标函数及约束条件均为线性表达式, 故 把这样的模型称为线性规划模型.
定义 如下的一组数学关系式即称为一个线性规划或线
性规划模型
max(min) z c1x1 c2x2 cnxn , ⑴
s.t.a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
线性规划最早由前苏联数学家康托罗维奇首先提出, 1947 年美国数学家丹齐克提出了解决线性规划的普遍算法—— 单纯形方法；1947年美国数学家冯. 诺依曼提出了对偶理论 并开创了线性规划的许多新领域; 线性规划的研究成果推动 了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划 的算法研究.
一 、线性规划模型
一、模型的建立 我们从下面几个例子引出线性规划的模型.
问题一
某车间为其它部门生产200套钢管三脚架, 每套由长度为 2.9、2.1、1.5米的钢管各一根组成. 已知原料钢管的长度为 7.4米, 如何确定钢管的切割方案, 能使钢管的利用率最高.
分析 首先对长度为7.4米的钢管要确定合适的切割方案, 并使得每次切割后丢弃的原料尽可能少. 为此建立所有可能 的切割方案:
第二章 线性规划模型
线性规划是数学规划中研究较早, 发展较快, 应用广泛的 的一个重要分支, 也是数学模型中的一项重要内容. 它在生产 安排、物质运输、投资决策、交通运输等现代工农业和经济 安排、物质运输、投资决策、交通运输等现代工农业和经济 管理等方面都有着广泛的应用. 我们知道, 在经济活动中提 高经济效益一般可通过两个途径: 第一是加强技术方面的改 造以降低生产过程中对资源的消耗从而降低制造成本; 第二 是提高企业的管理, 即合理安排人力及物力，以降低企业的 管理成本.
而衡量方案好坏的评价指标为在该方案下所丢弃的余料数, 即反映为余料函数
z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
x31 x32 x34 1.06x11 1.0235x24; x41 x44 1.0235x34 1.06x21;
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
求点, 分别记为 Bj j 1,2, ,n, 需求量为bj , 并设
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j 的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
⑴确定进基变量 xs , 其中 s由关系
s
min i
i
|i
0
确定.
⑵确定出基变量 xk , 其中
br ars
min i
bi ais
ais
0,
而 xk 为第 r 行对应的基变量.
⑶以 ars 为主元进行迭代, 目标: 主元化为1, 该列的其余
元化为零. （只能用行变换） 4.重新进行判定.
s.t.2x1 x2 x3 x4 200, 2x2 x3 3x5 2x6 x7 200, x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200.
xi 0i 1,2, ,8.
问题二 投资决策问题
某基金公司为扩展业务需要招聘部分基金经理. 在业务 考试中, 考官提出了这样一个问题.
x54
1.0235x44Βιβλιοθήκη 1.06 x310,
x32 35, x23 40,
xij 0,i 1, 2,3, 4,5; j 1, 2,3, 4.
问题三 运输问题
设有一种物资, 它有 m个产地, 记为A1, A2, , Am , 产地
Ai的产量分别为ai (i 1, 2, , m); 对该类物资, 有n 个需
Li : ai1x1 ai2 x2 bi ,
从而确定可行域;
⑶对等值线: z c1x1 c2x2 , 由规划的类型确定等值线
移动方向, 则最优解为等值线在移动过程中与可行域的最 后交点.
例 求解规划
max z x1 2x2 ,
s.t.x1 x2 2,
x1 x2 1,
x2 3,
a1n xn ,b1, a2n xn ,b2, ⑵
amn xn ,bm ,
xi 0,i 1, 2,3, , n.
⑶
求解线性规划的传统解法是单纯形法. 但单纯形方法针 对的是线性规划的标准型, 为此引入标准型（典式）的概 念.
定义 具有如下形式的线性规划为线性规划的标准型: