第二章线性规划模型

移动方向
x1, x2 0.
wenku.baidu.com
3 2
x2
C
D
E
A
1
最后交点
B
2
O
1 2 3 x1
解 由图中可以看到, 可行域为多边形区域 ABCE. 最
优解为X 0,3T , 最优解值为 z 6.
3.单纯形方法
设线性规划
max z cX ,
AX b,b 0
X 0.
并进一步假定约束条件系数矩阵中 A
Li : ai1x1 ai2 x2 bi ,
从而确定可行域;
⑶对等值线: z c1x1 c2x2 , 由规划的类型确定等值线
移动方向, 则最优解为等值线在移动过程中与可行域的最 后交点.
例 求解规划
max z x1 2x2 ,
s.t.x1 x2 2,
x1 x2 1,
x2 3,
第二章 线性规划模型
线性规划是数学规划中研究较早, 发展较快, 应用广泛的 的一个重要分支, 也是数学模型中的一项重要内容. 它在生产 安排、物质运输、投资决策、交通运输等现代工农业和经济 安排、物质运输、投资决策、交通运输等现代工农业和经济 管理等方面都有着广泛的应用. 我们知道, 在经济活动中提 高经济效益一般可通过两个途径: 第一是加强技术方面的改 造以降低生产过程中对资源的消耗从而降低制造成本; 第二 是提高企业的管理, 即合理安排人力及物力，以降低企业的 管理成本.
x54
1.0235x44
1.06 x31
0,
x32 35, x23 40,
xij 0,i 1, 2,3, 4,5; j 1, 2,3, 4.
问题三 运输问题
设有一种物资, 它有 m个产地, 记为A1, A2, , Am , 产地
Ai的产量分别为ai (i 1, 2, , m); 对该类物资, 有n 个需
为公司制定一个五年期的投资计划. 现已知有四个投资 项目可供选择： 项目A: 于每年的年初可进行投资, 并于次年末完成, 投资 收益为6%； 项目B: 于第三年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 投资, 投资收益为16.5%, 投资额不超过35万；
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
j 1,2, , n.
而相应的目标函数为
z cij xij .
由此得到相应的数学模型为
min z cij xij ,
s.t.
n
xij
j 1
ai ,
m
i1
xij
bj,
xij 0,i 1, 2, , m; j 1, 2, , n.
⑴确定进基变量 xs , 其中 s由关系
s
min i
i
|i
0
确定.
⑵确定出基变量 xk , 其中
br ars
min i
bi ais
ais
0,
而 xk 为第 r 行对应的基变量.
⑶以 ars 为主元进行迭代, 目标: 主元化为1, 该列的其余
元化为零. （只能用行变换） 4.重新进行判定.
x x1 x2 x3 x4 x5 c 3 4110 c 4 1 0 0 0 7
x3 2 2 1 0 0 2
主元
x4 1 1 0 1 0 5
x5 1 0 0 0 1 4
4 1 0 0 0 7
此时, 当前解为 X1 0,0, 2,5, 4T , 由于1 4,故当
前解非最优解. 所以 s 1, k 5,
s.t.a11x1 a12x2 a21x1 a22x2 am1x1 am2x2
a1nxn b1, a2nxn b2,
amnxn bm ,
bi 0i 1,2, ,m;
x1, x2, , xn 0.
对于非标准形式的线性规划都可以经过适当的转换而化 化为相应的标准型.
二、线性规划的解法
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
目, xij表示在第i年对项目j的投资额. 显然, 每年的资金必
须全部用于某些项目的投资. 由条件所设知每年可行的投
资计划为
第一年 第二年 第三年 第四年
x11 x14 120; x21 x23 x24 1.0235x14;
1.解的概念
设线性规划
max(min) z c1x1 c2x2 cnxn , ⑴
s.t.a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn ,b1, a2n xn ,b2, ⑵
amn xn ,bm ,
xi 0,i 1, 2,3, , n.
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
求点, 分别记为 Bj j 1,2, ,n, 需求量为bj , 并设
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j 的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
设线性规划
maxmin z c1xx c2x2,
s.t.a11x1 a12x2 b1,
a21x1
a22 x2
b2 ,
am1x1 am2x2 bm ,
x1 0, x2 0.
求解过程
⑴建立合适的坐标系统;
⑵对约束条件 ai1x1 ai2x2 bi , 建立第i 条直线
aij
中有m阶单
mn
位子矩阵.
单纯形方法解题步骤:
1.建立单纯形表, 并保证在该表中基变量的价值系数为0.
则检验数行 为新价值系数的相反数行.
2.求出当前解, 并判定当前解是否为最优解. （当前解 的定义是基变量取右端的常数项, 非基变量取为零）.
判定当前解是否为最优解的条件是 i 0.
3.若当前解不是最优解, 则进行换基:
并且假设在约束条件系数矩阵中前 m个列向量为单位向量,
则相应的单纯形表为
x x1 x2 c c1 c2 x1 1 0 x2 0 1
xm xm1 cm cm1 0 a1m1 0 a2m1
xm 0 0
00
1 am,m1
0 m1
xn
cn
z0
a1n
b1
a2n
b2
am,n
bn
m
n z0 cibi i 1
s.t.2x1 x2 x3 x4 200, 2x2 x3 3x5 2x6 x7 200, x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200.
xi 0i 1,2, ,8.
问题二 投资决策问题
某基金公司为扩展业务需要招聘部分基金经理. 在业务 考试中, 考官提出了这样一个问题.
编号
2.9
2.1
1.5
余料
1
2
0
1
0.1
2
1
2
0
0.3
3
1
1
1
0.9
4
1
0
3
0
5
0
3
0
1.1
6
0
2
2
0.2
7
0
1
3
0.8
8
0
0
4
1.4
以 xi 表示在第 i种方案下所使用的原料数, 则一个合适的
切割方案表现为
2x1 x2 x3 x4 200, 2x2 x3 3x5 2x6 x7 200, x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200.
x x1 x2 x3 x4 x5 c 3 4110
c 4 1 0 0 0 7
x3 2 2 1 0 0 2
x4 1 1 0 1 0 5
x5 1 0 0 0 1 4
4 1 0 0 0 7 s 1, k 5,
x3 0 2 1 0 2 10
x4 0 1 0 1 1 1
主元
x1 1 0 0 0 1 4
⑶
定义 设x x1, x2, , xn T是n维实向量, 若x 满足⑵,
则称 x是线性规划的一个解; 若解x满足⑶, 则称其为规
划的可行解; 可行解的全体称为可行域; 使规划达到极值 的可行解称为线性规划的最优解, 相应的目标函数值称为 最优解值.
2.图解法
线性规划的图解法针对的是具有两个决策变量的线性规 划问题.
表中的行是检验数行, 中的数是将c1, , cm消为0后, 取负
值后所得到的.
例2 用单纯形方法求解线性规划.
max z 3x1 4x2 x3 x4 ,
s.t.2x1 2x2 x3 2,
x1
x2
x4
5,
x1 x5 4,
x1, x2 , , x5 0.
解 由前面讨论知原问题的单纯形表为
思考 一般情况下, 产销是不平衡的, 此时相应的模型将如何?
在上面例中, 目标函数及约束条件均为线性表达式, 故 把这样的模型称为线性规划模型.
定义 如下的一组数学关系式即称为一个线性规划或线
性规划模型
max(min) z c1x1 c2x2 cnxn , ⑴
s.t.a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
x21
x23
x24
1.0235 x14
0,
x31 x32 x34 1.06x11 1.0235x24 0,
x41
x44
1.0235 x34
1.06 x21
0,
线性规划最早由前苏联数学家康托罗维奇首先提出, 1947 年美国数学家丹齐克提出了解决线性规划的普遍算法—— 单纯形方法；1947年美国数学家冯. 诺依曼提出了对偶理论 并开创了线性规划的许多新领域; 线性规划的研究成果推动 了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划 的算法研究.
一 、线性规划模型
0 1 0 0 4 23 s 2, k 4,
x3 0 2 1 0 2 10
x4 0 1 0 1 1 1
x1 1 0 0 0 1 4
0 1 0 0 4 23
x3 0 0 1 2 4 8 x2 0 1 0 1 1 1 x1 1 0 0 0 1 4
0 0 0 1 3 24 检验数非负
故最优解为X 4,1,8,0,0T , 最优解值为 z 24.
注 线性规划的单纯性表
设线性规划为
max z c1x1 c2x2
s.t.a11x1 a12x2 a21x1 a22x2 am1x1 am2x2
cn xn , a1n xn b1, a2n xn b2,
amn xn bm ,
xi 0,i 1, 2,3, , n.
a1n xn ,b1, a2n xn ,b2, ⑵
amn xn ,bm ,
xi 0,i 1, 2,3, , n.
⑶
求解线性规划的传统解法是单纯形法. 但单纯形方法针 对的是线性规划的标准型, 为此引入标准型（典式）的概 念.
定义 具有如下形式的线性规划为线性规划的标准型:
max z c1x1 c2x2 cn xn ,
x31 x32 x34 1.06x11 1.0235x24; x41 x44 1.0235x34 1.06x21;
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
一、模型的建立 我们从下面几个例子引出线性规划的模型.
问题一
某车间为其它部门生产200套钢管三脚架, 每套由长度为 2.9、2.1、1.5米的钢管各一根组成. 已知原料钢管的长度为 7.4米, 如何确定钢管的切割方案, 能使钢管的利用率最高.
分析 首先对长度为7.4米的钢管要确定合适的切割方案, 并使得每次切割后丢弃的原料尽可能少. 为此建立所有可能 的切割方案:
二、整数规划
在前面所涉及到的许多线性规划模型中, 很多情况下, 除 了对变量有非负要求外, 有时甚至要求其取值为整数型的.
而衡量方案好坏的评价指标为在该方案下所丢弃的余料数, 即反映为余料函数
z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,