公务员考试专题不定方程

利用不定方程求解问题
1.某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。

后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？【2012国家】
A.36
B.37
C.39
D.41
【题干分析】此题给出的等量关系较少，很难利用数量关系直接推断结果，但涉及到的属性量较多，需借助不定方程思想解题。

借助其中的76名学员的分配可列不定方程来求解每名教师所带学生人数。

题中提到质数，敏感的想到“2”这个数字。

【答案】Ｄ。

解析：根据题干可设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，且x、y为质数，由此列出不定方程5x＋6y＝76。

对于此不定方程，先根据奇偶性缩小范围：6y是偶数，76是偶数，则5x为偶数，即得x为偶数，然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x为2，代入不定方程得ｙ＝11。

则最终学员人数为4×2+3×11=41，答案选D。

【总结】对于等量关系少，属性量多的题目常用基本方法即不定方程法。

列不定方程较为简单，关键是如何能快速解出不定方程。

解决不定方程的常用方法就是同余特性中的整除、奇偶、质合、尾数法等特性。

奇偶性是遇到不定方程首先想到的方法，如果未知数系数的尾数为0或5，需要结合尾数法解题，若方程中除某量外都是某数的倍数，则要想到整除特性。

另外需要注意，不定方程中涉及到质合性时经常考查“2是唯一的质偶数”这个特性。

1．一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是（）。

【2011吉林】
A.9
B.8
C.7
D.6
【答案】A。

解析：设这两个质数分别为x、y，则根据题干可列方程3x+2y=20。

其中2y为偶数，20为偶数，则3x必为偶数，x为偶数，又知x是质数，所以x只能为2，代入不定方程可得y=7，则x+y=9。

故答案为A。

2.某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导？【2013山东】
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B。

解析：设领导有x人，普通员工y人，则根据题意有50x+20y=320，化简得5x+2y=32。

其中2y是偶数，32为偶数，则5x必然是偶数，x为偶数，排除A、C。

若领导为4人，则普通员工为(320-50×4)÷20=6人，总人数没有超过10，故领导为2人，答案选B。

3.一个三位自然数，把它十位上的数字去掉后变成的两位数是原来三位数的七分之一。

问这样的三位数有几个？【2013甘肃贵州】
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】Ｂ。

解析：设这个三位数百、十、个位分别为a，b，c，则根据题干可列方程7×（10a＋c）＝100a＋10b＋c，整理得3c＝5（3a＋b），等式右边为5的倍数，则3c必为5的倍数，故c只能取5，于是可得3=3a+b，由于a不能为0，易得b=0，a=1。

所以只有105这一个数能满足题干条件。

答案选B。

4.甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元。

某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛
一、二等奖奖品，钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是：（）【2013江苏C】
A.12
B.13
C.16
D.18
【答案】C 。

解析：设买7元和3元的笔的数量分别x 、y 支，则7x ＋3y ＝60。

3y 和60能被3整除，则x 也应该能被3整除。

要想买的支数最多，则x 要尽量小，x 最小为3，此时y ＝13。

则最多可买3＋13＝16支。

答案选择C 。

5.超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。

问两种包装盒相差多少个？【2012国家】
A. 3
B. 4
C. 7
D. 13
【答案】D 。

解析：设大包装盒有x 个，小包装盒有y 个，则可列等式12x ＋5y ＝99，其中x +y>10。

5y 的尾数只能是5、0，那么对应的12x 的尾数只能为4或者9，而12x 为偶数，故尾数只能为4，只有当x ＝2或者x ＝7时满足这一条件。

当x ＝2时，y ＝15，x ＋y ＝17，正好满足条件，y －x ＝13；当x ＝7时，y ＝3，x ＋y ＝10，不符合条件。

综上所述，只能选择D 。

6.小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童，如果他买的每一样物品数量都不相同，书包数量最多而钢笔数量最少，那么他买的计算器数量比钢笔多多少个？【2011年北京市考】
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B 。

解析：设买了x 个书包，y 个计算器和z 支钢笔，则16x ＋10y ＋7z ＝150，由于16x 、10y 和150都是偶数，则7z 为偶数，z 只能为偶数。

由于z ＜y ＜x ，不妨z 从最小的2开始代入。

当z ＝2时，16x ＋10y ＋14＝150，16x ＋10y ＝136。

由于10y 的尾数为0，则16x 的尾数只能为6，又因为＝2，则x 只能取6（当x 取更大值时，y 为负数），此时y ＝4，满足题意。

故计算器比钢笔多4－2＝2个；若z =4，16x ＋10y ＋28＝150，16x ＋10y ＝122。

结合尾数法，且满足x ＞z ，x 只能取7，此时y 为负数，故不满足题意。

综上所述，选择B 选项。

7.小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包，按照数量多少的顺序分别为小王、小李、小张、小周。

已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。

问小王捐赠了多少书包？
【2014国考】
A.9
B.10
C.11
D.12
【答案】C 。

解析：设小张和小周捐的书包数量分别为x 、y ，则小李捐赠数量是x+y ，小王的捐赠数量是2x +y 。

根据题意4x +3y =25，利用奇偶性可知，则y 一定是奇数，把y =1,3,5,7依次代入验证，只有当y =3，x =4和y =7，x =1时等式成立，根据题意，书包的数量：小王>小李>小张>小周，所以只有y =3，x =4满足题意，则小王捐赠的数量为2x +y =11。

因此答案选择C 。

8.某次射击比赛共有52人参加，前1，2，3，4，5靶未命中的人数分别为4，6，10，20，39。

5靶中如每人至少射中1靶，只中1靶的有7人，5靶全中的有6人，中2靶的人数与中3靶的一样多。

问中4靶的有几人？（ ）【四川2012下半年】
A.20
B.25
C.29 D .31
【答案】Ｄ。

解析：由题意可知52人参加比赛，射中52546102039181⨯-----=次。

设2、3靶各有x 人射中，4靶有y 人射中，则()756234181x y +⨯+++=，整理可得54144x y +=。

5x 的尾数是0或5，则4y 的尾数是4或9。

4y 是偶数，所以尾数只能为
4。

观察选项，只有Ｄ项乘以4后尾数是4，求得x ＝4，y ＝31满足题意。

故答案选择D 。

利用不定方程组求解问题
1.某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。

已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。

问他们中最多有几人买了水饺？【2012山东】
A.1
B.2
C.3
D.4
【题干分析】通过观察题干发现了两个等量关系式：（1）共6名员工（2）共花费60元，涉及到三个未知量：盖饭数量，水饺数量，面条数量，则需要列不定方程组解题。

【答案】Ｃ。

解析：设买盖饭，水饺和面条的人数分别是x 、y 和z ，则依题意可得6157960x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
，两式消元可得49x z +=，由于x 、y 和z 都是整数，所以只能得到两组解15x z =⎧⎨=⎩或21x z =⎧⎨=⎩
，两种情况下y 分别为0和3，所以买水饺最多为3人。

本题也可借助整除特性直接选出答案：通过观察不定方程组中第二个等式可知15x 、9z 、60均为3的倍数，则7y 必然是3的倍数，因此答案直接得出C 。

【总结】遇到等量关系大于等于两个，而未知数个数大于方程个数时，可列不定方程组解题。

在求解不定方程组时首先可以分别观察每个不定方程式，可以利用整除特性缩小范围，如果无法用整除特性，则可对方程组进行化简，最终得到一个不定方程式，再借助奇偶、质合、整除、尾数法等方法逐步求解。

1.现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。

两次共放了22个球。

最终甲箱中的球比乙箱：【2013年河南921】
A.多1个
B.少1个
C.多2个
D.少2个
【答案】A 。

解析：设第一次放入甲、乙、丙内小球的个数分别为a 、b 、c ，则第二次
放入甲、乙、丙的个数分别为2a 、3b 、4c ，于是得到不定方程组有634522a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩
，化简此不定方程组可得a-c =2，由题意可知a 、b 、c 的取值只能是1、2、3，则a =3，c =1，b =2。

最终甲箱的球比乙箱多3×3-4×2=1个。

此题选A 。

2.五个各不相等的自然数分别两两相加，10种相加组合共得到8个不同的结果，分别是17、22、25、28、31、33、36与39，则五个数中最大的数与最小的数之和为（ ）。

【2013深圳】
A.25
B.28
C.31
D.33
【答案】B 。

解析：设五个数从小到大依次为a ，b ，c ，d ，e ；则
17223639a b a c c e d e +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ①②③④
②－①得c －b ＝5；④－③得d －c ＝3；此两式相加可得d －b ＝8…⑤。

④－⑤得b ＋e ＝31；①＋⑤得a ＋d ＝25。

25＝a ＋d ＜a ＋e ＜b ＋e ＝31，所以a ＋e 只能取28。

因此答案选择B 。

3.某班级去超市采购体育用品时发现买4个篮球和2个排球共需560元，而买2个排球和4个足球则共需500元。

问如果篮球、排球和足球各买1个，共需多少元？（浙江2012行测）
A.250元
B.255元
C.260元
D.265元
【答案】D 。

解析：由题意可知篮球、排球和足球的单价分别为x ,y ,z 。

则根据题意可
列出不定方程组4256024500x y y z +=⎧⎨+=⎩
，两个式子进行相加可得4441060x y z ++=，化简可得265x y z ++=，则篮球、排球、足球各买一个需要265元。

因此答案为D 选项。

4.小刚买3支钢笔、1笔记本、2瓶墨水花去35元钱；小强在同一家店买同样的5支钢笔、1个笔记本、3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔、1个笔记本、1瓶墨水共需（ ）元。

【2011-深圳上】
A.9
B.12
C.15
D.18
【答案】D 。

解析：设钢笔x 元，笔记本y 元，墨水z 元，则可列不定方程组32355352x y z x y z ++=⋅⋅⋅++=⎨⋅⋅⋅⎧⎩①②
，①×2-②可得x+y+z =18元。