公务员考试专题不定方程

利用不定方程求解问题

1.某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？【2012国家】

A.36

B.37

C.39

D.41

【题干分析】此题给出的等量关系较少，很难利用数量关系直接推断结果，但涉及到的属性量较多，需借助不定方程思想解题。借助其中的76名学员的分配可列不定方程来求解每名教师所带学生人数。题中提到质数，敏感的想到“2”这个数字。

【答案】Ｄ。解析：根据题干可设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，且x、y为质数，由此列出不定方程5x＋6y＝76。对于此不定方程，先根据奇偶性缩小范围：6y是偶数，76是偶数，则5x为偶数，即得x为偶数，然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x为2，代入不定方程得ｙ＝11。则最终学员人数为4×2+3×11=41，答案选D。

【总结】对于等量关系少，属性量多的题目常用基本方法即不定方程法。列不定方程较为简单，关键是如何能快速解出不定方程。解决不定方程的常用方法就是同余特性中的整除、奇偶、质合、尾数法等特性。奇偶性是遇到不定方程首先想到的方法，如果未知数系数的尾数为0或5，需要结合尾数法解题，若方程中除某量外都是某数的倍数，则要想到整除特性。另外需要注意，不定方程中涉及到质合性时经常考查“2是唯一的质偶数”这个特性。

1．一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是（）。【2011吉林】

A.9

B.8

C.7

D.6

【答案】A。解析：设这两个质数分别为x、y，则根据题干可列方程3x+2y=20。其中2y为偶数，20为偶数，则3x必为偶数，x为偶数，又知x是质数，所以x只能为2，代入不定方程可得y=7，则x+y=9。故答案为A。

2.某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导？【2013山东】

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B。解析：设领导有x人，普通员工y人，则根据题意有50x+20y=320，化简得5x+2y=32。其中2y是偶数，32为偶数，则5x必然是偶数，x为偶数，排除A、C。若领导为4人，则普通员工为(320-50×4)÷20=6人，总人数没有超过10，故领导为2人，答案选B。

3.一个三位自然数，把它十位上的数字去掉后变成的两位数是原来三位数的七分之一。问这样的三位数有几个？【2013甘肃贵州】

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】Ｂ。解析：设这个三位数百、十、个位分别为a，b，c，则根据题干可列方程7×（10a＋c）＝100a＋10b＋c，整理得3c＝5（3a＋b），等式右边为5的倍数，则3c必为5的倍数，故c只能取5，于是可得3=3a+b，由于a不能为0，易得b=0，a=1。所以只有105这一个数能满足题干条件。答案选B。

4.甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元。某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛

一、二等奖奖品，钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是：（）【2013江苏C】

A.12

B.13

C.16

D.18

【答案】C 。解析：设买7元和3元的笔的数量分别x 、y 支，则7x ＋3y ＝60。3y 和60能被3整除，则x 也应该能被3整除。要想买的支数最多，则x 要尽量小，x 最小为3，此时y ＝13。则最多可买3＋13＝16支。答案选择C 。

5.超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？【2012国家】

A. 3

B. 4

C. 7

D. 13

【答案】D 。解析：设大包装盒有x 个，小包装盒有y 个，则可列等式12x ＋5y ＝99，其中x +y>10。5y 的尾数只能是5、0，那么对应的12x 的尾数只能为4或者9，而12x 为偶数，故尾数只能为4，只有当x ＝2或者x ＝7时满足这一条件。当x ＝2时，y ＝15，x ＋y ＝17，正好满足条件，y －x ＝13；当x ＝7时，y ＝3，x ＋y ＝10，不符合条件。综上所述，只能选择D 。

6.小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童，如果他买的每一样物品数量都不相同，书包数量最多而钢笔数量最少，那么他买的计算器数量比钢笔多多少个？【2011年北京市考】

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B 。解析：设买了x 个书包，y 个计算器和z 支钢笔，则16x ＋10y ＋7z ＝150，由于16x 、10y 和150都是偶数，则7z 为偶数，z 只能为偶数。由于z ＜y ＜x ，不妨z 从最小的2开始代入。当z ＝2时，16x ＋10y ＋14＝150，16x ＋10y ＝136。由于10y 的尾数为0，则16x 的尾数只能为6，又因为＝2，则x 只能取6（当x 取更大值时，y 为负数），此时y ＝4，满足题意。故计算器比钢笔多4－2＝2个；若z =4，16x ＋10y ＋28＝150，16x ＋10y ＝122。结合尾数法，且满足x ＞z ，x 只能取7，此时y 为负数，故不满足题意。综上所述，选择B 选项。

7.小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包，按照数量多少的顺序分别为小王、小李、小张、小周。已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。问小王捐赠了多少书包？

【2014国考】

A.9

B.10

C.11

D.12

【答案】C 。解析：设小张和小周捐的书包数量分别为x 、y ，则小李捐赠数量是x+y ，小王的捐赠数量是2x +y 。根据题意4x +3y =25，利用奇偶性可知，则y 一定是奇数，把y =1,3,5,7依次代入验证，只有当y =3，x =4和y =7，x =1时等式成立，根据题意，书包的数量：小王>小李>小张>小周，所以只有y =3，x =4满足题意，则小王捐赠的数量为2x +y =11。因此答案选择C 。

8.某次射击比赛共有52人参加，前1，2，3，4，5靶未命中的人数分别为4，6，10，20，39。5靶中如每人至少射中1靶，只中1靶的有7人，5靶全中的有6人，中2靶的人数与中3靶的一样多。问中4靶的有几人？（ ）【四川2012下半年】

A.20

B.25

C.29 D .31

【答案】Ｄ。解析：由题意可知52人参加比赛，射中52546102039181⨯-----=次。设2、3靶各有x 人射中，4靶有y 人射中，则()756234181x y +⨯+++=，整理可得54144x y +=。5x 的尾数是0或5，则4y 的尾数是4或9。4y 是偶数，所以尾数只能为

4。观察选项，只有Ｄ项乘以4后尾数是4，求得x ＝4，y ＝31满足题意。故答案选择D 。