简并定态微扰论

E (0) m
)cm(1u)
E c (1) (0) n mu
c(0) nv
Hm u,nv
0（5.2.8）
nv
LL
5.2 简并定态微扰论
n 如果讨论的能级是第 个能级，则
( En( 0 )
E (0) m
)cm(0u)
0
（5.2.9）
即
c(0) mu
au mn
（5.2.10）
a是u 一个待定的常数。在由一级近似的薛定谔方程得
( En ( 0 )
E (0) m
)cm(1u)
En(1)au mn
a H mu,nv 0 （5.2.11）
v
当 m n时，得能级的一级修正为
En(1)au av Hm u,nv 0
v
（5.2.12）
5.2 简并定态微扰论
为书写方便，记同一能级
为 ，则上H式m可u,n写v 为：H
中，不E同n(0)简并态 u,v
cm(1u)
c2 (2) mu
L
)
(cn( 0v )
cn(1v)
c2 (2) nv
L
)H mu,nv
nv
(
E (0) n
E (1) n
2
E (2) n
L
)(cm(0u)
cm(1u)
c2 (2) mu
L （) 5.2.7）
比较 的系数，给出
0
: (En(0)
E (0) m
)cm(0u)
0
1
: (En(0)
5.2 简并定态微扰论
归一化条件为
(0) mu
|
(0) nv
( (0)*
mu
x)
(0) nv
(
x)dx
mn uv
Hˆ的本征方程是 Hˆ (Hˆ 0 Hˆ ) E
由于
(是0) 完备系，将
nv
按
张开后(，0 ) 得
nv
c (0) nv nv
（5.2.2）
nv
H 则 的本征方程是
1. 前面讨论过，简并来自对守恒量的不完全测量。由上式可见，无
微扰的能级 经微扰后裂为 表示。这时简并完全消失。
条。E它n(们0) 的波函数由各自相应f n的
(0) n
5.2 简并定态微扰论
2. 经过重新组合后的零级波函数 彼此正交n(0，) 满足
(1) n
| (1) n
（5.2.17）
3. 简并微扰法的重要精神在于：重新组合简并态的零级波函数，使得
在简并态所构成的子空H间中对角化。在这样处理后，能级修正公式
(0) n
|
Hˆ
|
(0) n
E(1) n '
与非简并微扰公式完全相同。
（5.2.18）
5.2 简并定态微扰论
4. 在非简并情况下，由一级微扰确定一级波函数和能量修正，二级微 扰来确定二级波函数和能量修正，但在简并微扰情况下，由一级微 扰确定零级近似波函数和一级能量修正，二级微扰确定一级近似波 函数和二级能量修正。
fn
a v
（5.2.14）
的 个根 E，(1将)
，从而给出零级
5.2 简并定态微扰论
(0) n
a (0) v nv
v
En
E(0) n
E (1) n
由此可见，新的零级波函数实际上是原来第
线性叠加。
（5.2.15）
（5.2.16）
n 个能级上的各简并本征函数的
下面我们对上述结果作一些说明：
之间的矩阵u元, v
fn
(Huv
E (1) n uv
)av
0
v 1
（5.2.13）
上式是一个以系数 为未a知v数的线性方程组，它有非零解的条件为：
Baidu Nhomakorabea
det
Huv
E (1) n uv
0
这这波是函f个数个n和根次能f代n的量入E久本线n(期征1性)方值方程的程。一组由级，这f修可n 个正得久，出期他相方们应程分的可别以为组解：解出
cnvEn(0)
(0) nv
cnv
Hˆ
(0) nv
E
c (0) （5.2.3） nv nv
nv
nv
nv
5.2 简并定态微扰论
以
(0左)* 乘上式，对全空间积分后，有
mu
Em(0)cm cnv Hm u,nv Ecm
mu
其中
Hm u,nv
(0) mu
|
Hˆ
|
(0) nv
（5.2.4）
Hˆ 按照微扰论的精神，将 的本征值和在
幂级数做微c扰nv展开：
表象中的本Hˆ征0函数
按的
En
E (0) n
En(1)
2En(2)
L
（5.2.5）
cnv
c(0) nv
c(1) nv
c2 (2 nv
)
L
（5.2.6）
5.2 简并定态微扰论
将展开式代入（5.2.4）式有：
Em(0) (cm(0u)