(完整版)《轴对称》知识点总结及章节检测

轴对称
1.1轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，？这个图形就叫做 轴对称图形，
这条直线就是它的 对称轴•（有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。

）
轴对称
有一个图形沿着某一条直线折叠，
如果它能够与另一个图形重合，
？那么就说这两个图形关于这
条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 对称点.两个图形关于直
线对称也叫做轴对称. 图形轴对称的性质
性质1:若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
;
注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 ，叫做这条线段的 垂直平分线，也叫线段的 中垂 线.
如图所示，△ ABC 与△亠关于I 对称，其中点A 、-巴是对称点，设4屮
证明：将厶ABC 和△ 匚 沿I 折叠后，点 A 与二 重合，则有 宀匸一二一-，/仁/ 2=90°,
即对称轴把-丄丁垂直平分，同样也能把 C ，
-都垂直平分，于是得出性质 1 .
性质2 :轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
性质1的证明如下:
证明类似性质1 .
交对称轴，于点P .
轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，？成轴对称的两个图形是全等形，且有特殊位置关系；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称•如图所示：
1.2线段的垂直平分线
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
证明：如图所示，I是线段AB的垂直平分线，P为I上任意一点，求证性质1.
性质2 :与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
证明：如图所示，P在线段AB上方，且PA=PB，求证P在线段AB的垂直平分线上。

以上两点性质可得出：线段的垂直平分线可看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合
1.3轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.？
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到.
对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线•因此只要找到一
对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴•轴对称图形的对称轴作法相同. 例如：A、B两点关于某直线对称，连接AB,作线段AB的垂直平分线就是A、B两点的对称轴，作法如下：
（1 ）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧（若两弧半径小于或等于1/2AB , 则两弧没有交点或切于一点），两弧交于C、D两点；
（2）连CD,得直线CD,直线CD即为所求•如图所示：
说明：作对称轴的方法也就是作线段垂直平分线的方法•用此方法把线段平分.
轴对称变换
将一个图形进行轴对称变换（作一个图形关于某直线的对称图形）•关键是作某些点（关键点）
关于这条直线的对称点.
如：作点A关于直线I的对称点.
先作A0丄I于0;再延长AO至工使，则忙就是A关于I的对称点，如下图所示:
主要有两步：第一步，过已知点作对称轴的垂线，得到一个垂线段；第二步，将这个垂线段延长一倍所到达的点就是已知点关于这条直线（对称轴）的对称点.
轴对称变换的性质
(1 )经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
(2) ?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点. (3) 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 关于坐标轴对称
点P (x , y )关于x 轴对称的点的坐标是(x , - y ) 点P (x , y )关于y 轴对称的点的坐标是(一 x , y )
1.4等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所夹的 角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 等腰三角形的性质
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角” )
性质2:等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线、底边上的高互相重合.(简称“三线合一”).
在厶PAB 中，PA=PB PC X AB 交于C,求证/ A= / B 且PC 为顶角平分线、底边上的中线。

特别的：（ 1）等腰三角形是轴对称图形 .
（ 2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等 . 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角
关于原点对称
点P (x , y )关于原点对称的点的坐标是(一 x , 关于坐标轴夹角平分线对称
点P (x , y )关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 点P (x , y )关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 关于平行于坐标轴的直线对称
点P (x , y )关于直线x = m 对称的点的坐标是(
点P (x , y )关于直线y = n 对称的点的坐标是(
-y )
y = x 对称的点的坐标是(y , x )
y = — x 对称的点的坐标是(一y ，— x )
2m — x , y ); x , 2n — y
);
相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ）．特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形（等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形）。

等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°
等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在Rt △ ABC中，/ C=90 °，/ A=30 °，求证BC=1/2AB.
添加辅助线口诀
几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连线段垂直平分线，常向两端来连线. 线段和差及倍分，延长截取全等现；
公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换
角平分线取一点，可向两边作垂线；角平分线加平行，等腰三角形来添；
1.5 最短路径问题也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线伴垂直，三线合一试试看。

第十三章轴对称全章测试
一、选择题
1、下列说法正确的是（）.
A. 轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形
B. 如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴
C. 所有直角三角形都不是轴对称图形
D. 有两个内角相等的三角形不是轴对称图形
2、点M（ 1, 2）关于x轴对称的点的坐标为（）.
A. （- 1,- 2）B . （- 1, 2） C . （1,- 2）D . （2,—1）
3、下列图形中对称轴最多的是（）
A.等腰三角形B .正方形C .圆D .线段
4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）.
A. 2cm B . 4cm C . 6cm D . 8 cm
5、若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）.
A
A . 11cm
B . 7.5 cm
C . 11cm 或7.5 cm
D .以上都不对
6、如图：。

丘是厶ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，
则厶EBC勺周长为（）厘米.
A . 16
B . 18
C . 26
D . 28
B 7、如图所示，I是四边形ABCD勺对称轴，AD// BC,现给出下列结论：
①AB// CD②AB=BC③AB丄BQ ④AO=OC其中正确的结论有（）.
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
8、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（
A . 75° 或 15°
B . 75°
C . 15°
D . 75° 和 30 9、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平
移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存 在这种图形变换（如图1）.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动 对称变换过程中，两个对应三角形（如图 A. 对应点连线与对称轴垂直 B. 对应点连线被对称轴平分 C. 对应点连线被对称轴垂直平分
D. 对应点连线互相平行
10、 如图：已知/ AOP H BOP=15，PC// OA PD 丄 OA 若 PC=4 贝U PD=( )
A. 4 B .3 C .2 D .1
11、 / AOB 勺平分线上一点P 到OA 的距离为5， Q 是OB 上任一点，贝U ( )
A . PQ>5
B . PQ>5
C . PQ< 5
D . PQC 5
12、 如图：等边三角形 ABC 中, BD= CE AD 与 BE 相交于点P ,则/ APE 的度数是
A . 45° B. 55° C . 60° D. 75°
二、填空题
13、 设A 、B 两点关于直线MN 对称，贝U ____ 垂直平分
14、 已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6贝U PB= ______ 15、 等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是 ________ 度.
16、 等腰三角形的两边的边长分别为 20 cm 和9cm ，则第三边的长是 _________ cm . 17、 等腰三角形的一内角等于 50°,则其它两个内角各为 __________________________
2）的对应点所具有的性质是（
).
图1
A
18、如图：点P为/ AOB内一点，分别作出P点关于OA OB的对称点P1, R，连接
到/ AOB 的两边的距离相等.
P i F 2交0A 于M 交0B 于N, P i P 2=15，则△ PMN 勺周长为 ___________ .
19、如图，在△ ABC 中, AB=AC AD 是 BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若
△ ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积为 2 cm 20、 如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则
21、 已知 A （-1，-2 ）和 B （1，3），将点 A 平移 个单位长度
后得到的点与点B 关于y 轴对称.
22、等腰△ ABC 中, AB=AC=10 / A=30，则腰 AB 上的高等于
三、解答题 23、已知：如图，已知△ ABC
（1） 分别画出与△ ABC!于X 轴、y 轴对称的
图形△ A i B i C i 和厶 A 2B 2C 2 ;
（2） 写出 △ AB i C 和厶A 2B 2C 2各顶点坐标；
（3） 求厶ABC 勺面积.
24、如图，已知点 M N 和/ AOB 求作一点P,使P 到点M N 的距离相等，？且 115
35
25、如图: 在厶ABC中，/ B=90 , AB=BD AD=CD 求/ CAD勺度数.
26、已知: E是/ AOB勺平分线上一点，ECL OA , ED丄OB，垂足分别为C、D.
求证：（1）/ ECD M EDC ; (2) OE是CD勺垂直平分线.
A 27、已知: 如图△ ABC中, AB=AC Z C=30 , AB丄AD, AD=4c m，求BC的长.
28、如图，已知在△ ABC中, AB=AC / BAC=120, AC的垂直平分线EF交AC于点E, 交BC于点F.求证：BF=2CF
F
-12 -
31、如图所示，在等边三角形ABC中,/ B/ C的平分线交于点O, OB和OC的垂直平29、已知：△ ABC中，/ B、/ C的角平分线相交于
点
30、等边△ ABC中，点P在厶ABC内，点Q在厶ABC外,且/ ABP/ ACQ BP=CQ
求证：△ APC是等边三角形
分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明
BE=EF=FC勺道理. A
32 .已知：如图△ ABC中, AB=AC AD和BE是高，它们交于点H,且AE=BE
求证：AH=2BD
-11 -
D。