(完整版)《轴对称》知识点总结及章节检测

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新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习

第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。

轴对称(全章知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础

专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【答案】(1)12cm (2)134°【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n 边形内角和公式()2180n -⋅︒．（1）根据轴对称性质得到，PE ME =，PF NF =，得到PEF !的周长等于线段MN 的长度，为12cm ．（2）根据轴对称性质得到，PM AD ⊥，90PGA ∠=︒，PN BC ⊥，90PHB ∠=︒，根据四边形ABCD 内角和为360︒与134C D ∠+∠=︒，得到226A B ∠+∠=︒，根据五边形ABFPE 内角和为540︒，得到134HPG ∠=︒．解：（1）如图，∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PE ME =，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PF NF =，∵12ME EF FN MN ++==，∴PEF !的周长为12cm ．（2）解：∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PM AD ⊥，即90PGA ∠=︒，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PN BC ⊥，即90PHB ∠=︒，∵360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，134C D ∠+∠=︒，∴226A B ∠+∠=︒，∵540A B PHB HPG PGA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴134HPG ∠=︒．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB E '，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接AB '，BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，依据BAC B AC '∠=∠，DAE B AE '∠=∠，即可得出12CAE BAD ∠=∠，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到1902ACB ACB BAD '∠=∠=︒-∠．解：如图，连接BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，AC ∴垂直平分BB '，AB AB '∴=，BAC B AC '∴∠=∠，AB AD = ，AD AB '∴=，又AE CD ⊥Q ，DAE B AE '∴∠=∠，1552CAE BAD ∴∠=∠=︒，又90AEC =︒∠ ，35ACB ACB '∴∠=∠=︒，故选：D ．【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【答案】36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【答案】(1)26︒(2)52.5A EF '∠=︒【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．（1）根据折叠的性质可得EFC EFC '∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC x '∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒列方程，即可解答；（2）根据50A D B '∠='︒可求得EA F '∠，再求出AED '∠和D EA ''∠，利用折叠的性质即可得到D EF '∠，即可解答．解：（1）四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上，EFC EFC '∴∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC EFC x '∠=∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒可得7777180x ︒++︒=︒，解得26x =︒，故答案为：26︒；（2）解：在A D B '' 中，∵50A D B '∠='︒，90B Ð=°，40D A B ''∴∠=︒，∵点A '恰好落在边BC 上，90D A E A ''∴∠=∠=︒．180904050EA F ∴∠=︒-︒-︒='︒，AD BC ∥ ，50AEA EA F ''∴∠=∠=︒，1252AED A ED AEA ∴︒''''∠=∠=∠=由折叠的性质，知()1180257752D EF DEF ∠=∠=⨯︒-︒=︒'．52.5A EF D EF A ED ∴∠=∠-'='∠''︒．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由235∠=︒可得145AEA '∠=︒，再利用折叠的性质求得AEF ∠的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．解：∵235∠=︒，∴18035145AEA ∠=︒-︒='︒，由折叠性质可得，172.52AEF A EF AEA ∠='∠='∠=︒，∵AB CD ∥，∴272.5AEF ∠=∠=︒，故选：B ．【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【答案】22.5︒【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．证明()ASA ABE DCE ≌，得,ABE DCE BE CE ∠=∠=，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．解：在ABE 和DCE △中，90A D AE DE AEB DEC ∠==︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE DCE ≌，∴,ABE DCE BE CE ∠=∠=，∴EBC ECB ∠=∠，由翻折可知：,D CE DCE D EC DEC ''∠=∠∠=∠，∵30BED ∠='︒，∴()118030752D EC DEC AEB ∠=∠=∠=︒-︒='︒，∴907515ABE ∠=︒-︒=︒，∴15ABE DCE D CE '∠=∠=∠=︒，∵,75BE CE AEB =∠=︒，∴37.5EBC ECB ∠=∠=︒，∴37.51522.5BCD EBC D CE ∠=∠-∠=︒-︒=''︒，故答案为：22.5︒．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE的长．【答案】(1)详见解析(2)4【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌是解题的关键．（1）利用角平分线的性质证明DE DF =，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌，则AE AF ＝，即可证明结论；（2）根据28ABC S =△列式计算即可．解：（1）证明：∵AD 是ABC ABC △△的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．∴DE DF =，在Rt AED △与Rt AFD △中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌，∴AE AF =，∵DE DF =，∴AD 垂直平分EF ；（2）解：∵DE DF =，∴()11128222ABD ACD S S AB ED AC DF DE AB AC +=⋅+⋅=+= ，∵14AB AC +=，∴4DE =．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【答案】C【分析】由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得DA DB =，通过等量代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线的作法．解：由题意可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，71219ABC C AC AD CD AC CD BD AC BC =++=++=+=+= ，故选：C ．【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【答案】10【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，由线段垂直平分线的性质得EA EB =，由角平分线的性质得EG EF =，由HL 得Rt Rt EFC EGC ≌ 由全等三角形的性质得CF CG =，同理可得BF AG =，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．解：如图，连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，D 为AB 中点，DE AB ⊥，EA EB ∴=，180ACE BCE ∠+∠=︒ ，180ACE ECG ∠+∠=︒，ECG BCE ∴∠=∠，EF BC ⊥ ，EG AC ⊥，EG EF ∴=，在Rt EFC △和Rt EGC 中，CE CE EF EG=⎧⎨=⎩，Rt Rt EFC EGC ∴≌ （HL ），CF CG ∴=，同理可得：Rt Rt BFE AGE ≌ ，BF AG ∴=，BC CF AC CG ∴-=+，128CF CF ∴-=+，解得：2CF =，12210BF ∴=-=，故答案：10．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)等边三角形，见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，30A B ==︒∠∠，AD DB =，进而根据15CDG ∠=︒，得出AGD ADG ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）根据EF 是BD 的垂直平分线，得出DE EB =，根据等边对等角得出30EDB B ∠=∠=︒，进而得出60DCE CDE ∠=∠=︒，可得CDE 是等边三角形.（1）证明：∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴CD AB ⊥，()1180302A B ACB ∠=∠=︒-∠=︒，AD BD =，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∵15CDG ∠=︒，∴9075ADG CDG ∠=︒-∠=︒，∵18075AGD A ADG ∠=︒-∠-∠=︒，∴AGD ADG ∠=∠，∴AD AG =；（2）结论：CDE 是等边三角形．∵EF 垂直平分线段BD ，∴DE EB =，∵30B ∠=︒，∴30EDB B ∠=∠=︒，∴9060CDE EDB ∠=︒-∠=︒，又∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴1602DCB ACB ∠=∠=︒，∴60DCE CDE ∠=∠=︒，∴CDE 是等边三角形．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出72C B ∠=∠=︒即可判断．解：在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，∴18072C A B B ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴ABC V 是等腰三角形，故选：B ．【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【答案】3【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得6BD CD +=，从而可得6AB AC ==，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．解：4BC = ，且BDC 的周长为10，1046BD CD ∴+=-=，AD BD = ，6AD DC ∴+=，6AC ∴=，AB AC = ，6AB ∴=，AD DB = ，DE AB ⊥，132AE AB ∴==．故答案为：3．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)12AC AB =【分析】（1）首先根据条件90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，可证出90B BAC ∠+∠=︒，90CAD ACD ∠+∠=︒，再根据同角的补角相等可得到ACD B ∠=∠，再利用三角形的外角性质可得到CFE CEF ∠=∠，最后利用等角对等边即可得出答案；（2）由线段垂直平分线的性质得到AE BE =，根据等腰三角形的性质得到EAB B ∠=∠，由AE 是BAC ∠的平分线，得到CAE EAB ∠=∠，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）∵90ACB ∠=︒，∴90B BAC ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴ACD B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∵EAB B CEA CAE ACD CFE ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴CFE CEF ∠=∠，∴CF CE =，∴CEF △是等腰三角形；（2）∵点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，∴AE BE =，∴EAB B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∴2CAB B ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∴30B ∠=︒，∴12AC AB =．【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．根据()()()0a b b c c a ---=得到a b =或a c =或b c =或a b c ==，从而可以判定该三角形的形状．解：∵()()()0a b b c c a ---=，∴0a b -=或0b c -=或0c a -=或0a b b c c a -=-=-=，解得a b =或a c =或b c =或a b c ==，∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，故选：D ．【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【答案】160【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．（1）根据等边三角形的性质得出AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，再由DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，得出CAE BAD ∠=∠，利用SAS 可证得CAE BAD ≌△△，从而可得出结论；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，再根据AOC BOF ∠=∠，结合三角形内角和即可求解．解：（1）∵ABC V 和ADE V 是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∵DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，∴CAE BAD ∠=∠，∴()SAS CAE BAD △≌△，∴BD CE =，则1BD CE=，故答案为：1；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，∵AOC BOF ∠=∠，AOC ACE BAC BOF ABD BFC ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴60CFB BAC ∠=∠=︒，∴60BFC ∠=︒，故答案为：60．【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AEM △是等腰直角三角形，证明见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM CM BM ==，由等腰三角形的性质得到CAB ACM ∠=∠，由余角的性质得到CAB BCH ∠=∠，等量代换得到BCH ACM ∠=∠，根据角平分线的性质得到ACD BCD ∠=∠，即可得到结论；（2）根据EM AB ⊥，CH AB ⊥，得到EM AB ∥，由平行线的性质得到HCD MED ∠=∠，由于HCD MCD ∠=∠，于是得到MCD MED ∠=∠，即可得到结论；（3）根据CM EM =，AM CM BM ==，于是得到EM AM BM ==，由EM AB ⊥，推出AEM △是等腰直角三角形．（1）证明：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是AB 边的中点，AM CM BM ∴==，CAB ACM ∴∠=∠，90CAB ABC ∴∠=-∠，CH AB ⊥ ，90BCH ABC ∴∠=-∠，CAB BCH ∴∠=∠，BCH ACM ∴∠=∠，CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，ACD ACM BCD BCH ∴∠-∠=∠-∠，即MCD HCD ∠=∠，CD ∴平分MCH ∠；（2）证明：EM AB ⊥ ，CH AB ⊥，∴EM CH ∥，HCD MED ∴∠=∠，HCD MCD ∠=∠ ，MCD MED ∴∠=∠，CM EM ∴=；（3）解：AEM △是等腰直角三角形，CM EM = ，AM CM BM ==，EM AM BM ∴==，EM AB ⊥ ，AEM ∴△是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．由含30︒角的直角三角形的性质可分别求得BC 和AB 的长，进而求得AD 的长．解：∵在ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴=60B ∠︒，∵CD AB ⊥，∴30BCD ∠=︒，∴在Rt BCD △中，22BC BD ==，∴在Rt ABC △中，24AB BC ==，∴413AD AB BD =-=-=．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．【答案】6【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、30︒所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得30B CAD DAB∠=∠=∠=︒，在Rt ACD△中，根据直角三角形的性质可求得AD，则可得出BD的长．解：DE垂直平分AB，DA DB∴=，B DAB∴∠=∠，AD平分CAB∠，CAD DAB∴∠=∠，90C∠=︒，390CAD∴∠=︒，30CAD∴∠=︒，26AD CD∴==，6BD AD∴==．故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABCV中，D是AC的中点，CE AB⊥，BD与CE交于点O，且BE CD=．下列说法错误的是（）A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB．3BDC ABD∠=∠C．当E为AB中点时，ABCV是等边三角形D．当E为AB中点时，34BOCAECSS=△△【答案】D【分析】连接DE ，根据CE AB ⊥，点D 是AC 的中点得12DE AD CD AC ===，则BE DE =，进而得点D 在线段BD 的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设ABD α∠=，根据BE DE =得EDB ABD α∠=∠=，的2AED EDB ABD α∠=∠+∠=，再根据DE AD =得2A AED α∠=∠=，则3BDC A ABD α∠=∠+∠=，由此可对选项Ｂ进行判断；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE 是线段AB 的垂直平分线，由此得AC BC =，然后根据12BE AB =，12CD AC =，BE CD =得AB AC =，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO 并延长交BC 于F ，根据ABC V 是等边三角形得30OBC OAC ∠=∠=︒，则OA OB =，进而得2OB OF =，3AF OF =，由此得12OBC S BC OF ∆=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．解：连接DE ，如图1所示：CE AB ⊥ ，点D 是AC 的中点，DE ∴为Rt AEC △斜边上的中线，12DE AD CD AC ∴===，BE CD = ，BE DE ∴=，∴点D 在线段BD 的垂直平分线上，即线段BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点E ，故选项A 正确，不符合题意；设ABD α∠=，BE DE = ，EDB ABD α∴∠=∠=，2AED EDB ABD α∴∠=∠+∠=，DE AD = ，2A AED α∴∠=∠=，3BDC A ABD α∴∠=∠+∠=，即3BDC ABD ∠=∠，故选B 正确，不符合题意；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE AB ⊥ ，CE ∴是线段AB 的垂直平分线，AC BC ∴=，12BE AB = ，12CD AC =，BE CD =，AB AC ∴=，AC BC AB ∴==，ABC ∴ 是等边三角形，故选C 正确，不符合题意；连接AO ，并延长交BC 于F ，如图2所示：当E 为AB 中点时，点D 为AC 的中点，∴根据三角形三条中线交于一点得：点F 为BC 的中点，当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，AF 平分OAC ∠，BD 平分ABC ∠，30OBC OAC ∴∠=∠=︒，OA OB ∴=，在Rt OBF △中，2OB OF =，2OA OB OF ∴==，3AF OA OF OF ∴=+=，12OBC S BC OF ∆∴=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，∴13OBC ABC S S ∆∆=，故选项D 不正确，符合题意．故选：D ．【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．【答案】10︒/10度【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF 平分BAC ∠，然后利用三角形内角和定理求解即可．解：因为5030B C ∠=︒∠=︒，，所以1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，根据题意得：AF 平分BAC ∠，所以1502BAF BAC ∠==︒，因为AD 为高，所以90BDA ∠=︒，所以180509040BAD ∠=︒-︒-︒=︒,所以504010DAF BAF BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：10︒．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．【答案】(1)60；(2)ACP △和PCD △；(3)此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到CP AB ⊥，求得90BPC ∠=︒，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理得到120BCA ∠=︒，求得1204575ACP ∠=︒-︒=︒，根据等腰三角形的判定定理得到ACP △是等腰三角形，求得PDC PCD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到PCD △是等腰三角形（3）当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到30PCD CPD ∠=∠=︒，即12030α-=°°，推出PBC △是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到60CPB ∠=︒，求得603090BPD ∠=︒+︒=︒，于是得到APD △是直角三角形．解：（1）AC BC = ，点P 为AB 中点，CP AB ∴⊥，90BPC ∴∠=︒，30B ∠=︒ ，903060α∴=︒-︒=︒，故答案为：60；（2）CA CB = ，30B ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，120BCA ∴∠=︒，45BCP α∠==︒ ，1204575ACP ∴∠=︒-︒=︒，75APC BCP B ∠=∠+∠=︒ ，ACP APC ∴∠=∠，ACP ∴△是等腰三角形，30CPD ∠=︒ ，45APD ∴∠=︒，75CDP A APD ∴∠=∠+∠=︒，PDC PCD ∴∠=∠，PCD ∴ 是等腰三角形，故答案为：ACP △和PCD △；（3）如图，120ACB ∠=︒ ，120PCD α∴∠=︒-，当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，30PCD CPD ∴∠=∠=︒，即12030α-=°°，90α∴=︒；PBC ∴△是直角三角形，60CPB ∴∠=︒，6030BPD ∴∠=︒+︒，90APD ∴∠=︒，APD ∴ 是直角三角形，综上所述，此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．。

八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题

第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

《轴对称》知识点总结及章节检测

轴对称1.1轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．（有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。

）轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质性质1：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质1的证明如下：如图所示，△ABC与△关于l对称，其中点A、是对称点，设交对称轴于点P．证明：将△ABC和△沿l折叠后，点A与重合，则有，∠1=∠2=90°，即对称轴把垂直平分，同样也能把、都垂直平分，于是得出性质1．性质2：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．证明类似性质1．轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形，且有特殊位置关系；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．如图所示：1.2线段的垂直平分线性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明：如图所示，l是线段AB的垂直平分线，P为l上任意一点，求证性质1.性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．证明：如图所示，P在线段AB上方，且PA=PB，求证P在线段AB的垂直平分线上。

以上两点性质可得出：线段的垂直平分线可看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合．1.3 轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．例如：A、B两点关于某直线对称，连接AB，作线段AB的垂直平分线就是A、B两点的对称轴，作法如下：（1）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧（若两弧半径小于或等于1/2AB，则两弧没有交点或切于一点），两弧交于C、D两点；（2）连CD，得直线CD，直线CD即为所求．如图所示：说明：作对称轴的方法也就是作线段垂直平分线的方法．用此方法把线段平分．轴对称变换将一个图形进行轴对称变换（作一个图形关于某直线的对称图形）．关键是作某些点（关键点）关于这条直线的对称点．如：作点A关于直线l的对称点．先作AO⊥l于O；再延长AO至使，则就是A关于l的对称点，如下图所示：主要有两步：第一步，过已知点作对称轴的垂线，得到一个垂线段；第二步，将这个垂线段延长一倍所到达的点就是已知点关于这条直线（对称轴）的对称点．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．．关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；1.4 等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简称“三线合一”）．在△PAB中，PA=PB，PC⊥AB交于C，求证∠A=∠B且PC为顶角平分线、底边上的中线。

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结(二篇)

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中，轴对称是一个重要的几何概念。

轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称，即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。

轴对称的性质是常用的，它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。

以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结：一、轴对称的定义和性质：1. 轴对称：如果一个图形、物体或者函数，相对于某条轴线可以对称地出现，那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。

2. 轴线：轴线是指对称图形相对出现的那根线。

3. 轴对称的性质：轴对称的图形具有以下性质：- 轴线上的点不动。

- 对称轴的两侧对称，即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点，关于对称轴中点对称。

- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。

二、判断轴对称的方法：1. 观察法：通过观察图形是否关于某条线对称，可以判断图形是否轴对称。

如果图形可以重叠折叠，使得一个部分与另一个部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。

2. 对称线法：使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来，如果这条线段与直尺重合，那么这条线段就是图形的对称线。

3. 折叠法：将纸张上的图形剪下来，然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来，如果两个对称的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。

三、轴对称的常见图形：1. 一阶图形：一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。

2. 二阶图形：矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。

3. 三阶图形：五角星、六边形等。

四、轴对称和平移、旋转的关系：1. 平移：平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换，平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的轴对称性。

2. 旋转：旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换，旋转不改变图形的形状和大小，但可能改变图形的轴对称性。

有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称，有些则不再保持轴对称。

五、轴对称的应用：1. 填充对称：将一个图形沿着对称轴镜像复制，用来填充平面空间。

《轴对称》知识点总结及章节检测解析

《轴对称》知识点总结及章节检测解析一、知识点总结：1.轴对称的定义：如果一个图形经过其中一条直线折叠后，能够与自身完全重合，则这条直线被称为这个图形的轴对称线，这个图形是轴对称的。

2.旋转对称：如果一个图形能够围绕其中一点旋转一定的角度后，能够与自身完全重合，则这个图形是旋转对称的。

3.轴对称图形的特点：轴对称图形的特点是，对称轴两侧的各点关于对称轴对应，即对称轴上的一点与对应点互为图形的对称点。

4.轴对称的判定方法：判断一个图形是否为轴对称图形，可以按照以下方式进行判定：(1)观察是否能找到一个或多个对称轴；(2)沿对称轴将图形折叠，看是否能够重合。

5.制作轴对称图形：制作一个轴对称图形可按照以下步骤进行：(1)在纸上画出一条轴对称线；(2)沿着对称线将图形的一边折叠；(3)检查折叠后的图形与未折叠的图形是否重合，如重合则完成。

二、章节检测解析：以小学三年级数学教材为例，进行《轴对称》的章节检测解析。

教材章节：第三章图形与设计1.知识点掌握情况：首先，学生需要了解轴对称的概念、特点和判定方法，并能够制作轴对称图形。

2.基础练习题：对于基础的练习题，要求学生绘制给定图形的对称线，并判断是否为轴对称图形。

3.综合应用题：在综合应用题中，要求学生设计自己的轴对称图形，并描述其特点。

4.拓展思考题：为了拓展学生的思维，可以提出一些拓展思考题，如“如何判断一个图形是否为旋转对称图形”、“如何找到一个图形的所有对称轴”等。

总结：通过针对《轴对称》这一章节的检测解析，学生可以对轴对称的知识点进行复习和巩固。

同时，综合应用题和拓展思考题能够提高学生的思维能力和创造力。

初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.2知识点总结含同步练习及答案

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章轴对称 13.2 画轴对称图形一、学习任务1. 能够作一个图形关于一条直线的轴对称图形．体会轴对称和线段垂直平分线的性质．2. 在平面直角坐标系中，会求图形轴对称后的点坐标，能够用轴对称设计简单美观的图案．3. 感受轴对称的美，感受数学的美．二、知识清单轴对称点的坐标与坐标系三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形，若，则的度数为（）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和，可得，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、为为、上的两个顶点，请你在边上找一点，使周长最小？分析：由于的周长，而是定值，故只需在上找一点，使最小．如果设关于的对称点为，所以只要使最小即可．作法：① 作关于的对称点；② 连接交于点；③ 连接，则周长最小，为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：2.点的坐标与坐标系有序数对有顺序的两个数与组成数对，叫做有序数对（ordered pair ），记作．当时，和是不同的两个有序实数对．平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinatesystem ）．水平的数轴称为轴或横轴，习惯取向右为正方向，竖直的数轴称为轴或纵轴，习惯取向上为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．轴和轴把坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，每个部分称为象限（quadrant ），按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．点的坐标对于平面内任意一点，过点向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数，分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，记作．坐标轴上的点不属于任何象限．点到坐标轴的距离点到轴的距离是点的纵坐标的绝对值，即；点到轴的距离是点的横坐标的绝对值，即．各象限的点的坐标点在第一象限，；点在第二象限，；点在第三象限，；点在第四象限，．坐标轴上点的坐标点在轴上，为任意实数；点在轴上，为任意实数；点既在轴上，又在轴上，，即点的坐标为．象限角平分线上的点当点在第一、三象限夹角平分线上时，则点的横纵坐标相等；当点在第二、四象限夹角平分线上时，则点的横纵坐标互为相反数．a b （a ,b ）a ≠b(a ,b )(b ,a )x y x y P P x y x y a b P （a ,b ）P P （a ,b ）P (a ,b )x |b |P (a ,b )y |a |P (x ,y )⇔x >0y >0P (x ,y )⇔x <0y >0P (x ,y )⇔x <0y <0P (x ,y )⇔x >0y <0P (x ,y )x ⇔y =0x P (x ,y )y ⇔x =0y P (x ,y )x y ⇔x =0y =0P (0,0)例题：平行于坐标轴的直线上的点平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标不相等；平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标不相等．关于轴、轴、原点对称的点① 两点关于轴对称两点坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数；② 两点关于轴对称两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同；③ 两点关于原点对称两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．点的平移平移口诀：在横坐标上左减右加，在纵坐标上上加下减．x yx yx⇔y⇔⇔如果将一张“ 排号”的电影票简记为，那么表示的电影票是___排___号．解：，．68(6,8)(15,20)1520如图，写出、、、各点的坐标．解：，，，．A B C DA(1,1)B(3,−2)C(−4,4)D(−2,−3)若点在第二象限，则：（1）点在第___象限；（2）点在第___象限；（3）点在第___象限；（4）点在第___象限．解：（1）三；（2）一；（3）四；（4）四．先根据第二象限点的横、纵坐标的特点，判断，的符号，再判断其余点所在的象限．P(a,b)(a,−b)P1(−a,b)P2(−a,−b)P3(b,a)P4a b点到轴的距离为____，到轴的距离为_____．解：；．到轴的距离就是该点纵坐标的绝对值，到轴的距离就是该点横坐标的绝对值．P(5,−6)x y65x y已知：点、，若轴，则 _____；若轴，则 _____．解：；．过、两点的直线平行于轴，显然两点的纵坐标相同，所以．同理，当轴时，可知．E(a,1)F(−3,b)EF∥x b=EF∥y a= 1−3E F x b=1EF∥ya=−3在平面直角坐标系，点关于轴对称的点的坐标为_____，关于轴对称的点的坐标为_____，关于原点对称的点的坐标为_____．解：；；．A(2,3)x y(2,−3)(−2,3)(−2,−3)在平面直角坐标系，点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后的坐标是_______．P(−1,2)13四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）解：．在横坐标上左减右加，在纵坐标上上加下减．(2,3)答案：1. 如图，有一矩形纸片，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为．A ．B ．C ．D ．C ABCD ,AB =10,AD =6AD AB AE △AED DE AE BC F △CEF ()46810答案：2. 如图，在坐标平面上，为直角三角形，，垂直轴，为的外心．若点坐标为，点坐标为，则点坐标为．A ．B ．C ．D ．B △ABC ∠B =90∘AB x M △ABC A (3,4)M (−1,1)B ()(3,−1)(3,−2)(3,−3)(3,−4)答案：3. 下列图形中，轴对称图形的个数是．A ．B ．C ．D ．B ()12344. 如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有．()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结

2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何图形、函数和方程等方面都有广泛的应用。

下面是____年初二数学期末考试轴对称知识点的总结，包括轴对称的定义、性质、判定方法以及一些常见的练习题。

一、轴对称的定义和性质1. 轴对称是指一个几何图形相对于某一条直线对称。

2. 如果一个几何图形相对于某一条直线的两边完全相同或者对称，则该直线为该几何图形的轴对称轴。

3. 轴对称图形的特点是左右对称，即左右两部分完全相同。

4. 轴对称图形可以通过将图形沿着轴对称轴折叠，使两部分完全重合。

二、轴对称的判定方法1. 观察几何图形的特征，如果图形对称，则可判定为轴对称图形。

2. 分析几何图形的复杂度，如果找不到直观的特征，可以进行定点分析，即找出图形上的一系列点，判断这些点是否沿轴对称轴对称。

三、轴对称的常见几何图形1. 线段：线段是轴对称图形，折叠后两端完全重合。

2. 镜像：镜像是轴对称图形的一个特例，通过平面镜可以直观地看到镜像对称。

3. 圆：圆是轴对称图形，通过旋转一定角度可以使圆上的任意一点重合到其他点。

4. 正方形、矩形、正五边形等规则多边形都是轴对称图形，折叠后两边完全重合。

5. 其他不规则几何形状，可以通过定点分析来判断是否轴对称。

四、轴对称的函数和方程1. 函数：轴对称函数的特点是函数图像关于某一直线对称。

例如，二次函数y=ax^2的图像关于y轴对称，三次函数y=ax^3的图像关于原点对称。

2. 方程：轴对称方程是指方程的解对称于某一直线，这条直线即为轴对称轴。

例如，x^2+y^2=r^2的解是关于y轴对称的圆。

五、练习题1. 判断下列图形是否轴对称：(1) 正方形；(2) 三角形；(3) 椭圆；(4) 直线；(5) 抛物线。

2. 判断下列函数是否轴对称：(1) y=x^2+1；(2) y=3x^3-2x；(3) y=sin(x)。

3. 判断下列方程是否轴对称：(1) x^2+y^2=9；(2) x^3+y^3=8；(3) x^2+y^2+x+2y=0。

轴对称知识点总结与常考题型

轴对称是几何学中的一个重要概念，它描述了一个图形相对于某条轴线具有对称性。

以下是轴对称的知识点总结以及常考题型：1. 轴对称的定义：一个图形相对于某条直线对称，如果将该图形沿着这条直线折叠，两边完全重合。

2. 轴对称的特点：-对称轴上的任意一点与它关于对称轴上的对应点距离相等。

-对称轴将图形分为两个对称的部分，其中一个部分可以通过另一个部分旋转180度得到。

3. 常见的轴对称图形：-矩形、正方形和长方形都是轴对称图形，其对称轴分别为中心线和对边的中垂线。

-圆是轴对称图形，其对称轴为任意直径。

-有些字母和数字如"A"、"H"、"8"等也是轴对称图形。

4. 轴对称的判断方法：-观察图形是否能够通过折叠使两边完全重合。

-寻找图形的对称轴，判断图形上的点是否关于对称轴对称。

5. 轴对称的常考题型：-判断图形是否具有轴对称性质。

-找出图形的对称轴。

-完成轴对称图形的绘制，只给出一部分图形或对称轴。

-求解与轴对称图形相关的问题，如周长、面积等。

举例：1. 判断图形是否具有轴对称性质：给定一个图形，观察其能否通过折叠使两边完全重合。

2. 找出图形的对称轴：观察图形，找到一个直线，使得图形上的点关于这条直线对称。

3. 完成轴对称图形的绘制：给出部分图形或对称轴，根据已知信息完成图形的绘制。

4. 求解与轴对称图形相关的问题：如给定一个轴对称图形的一条边的长度，求解它的周长或面积等。

掌握轴对称的知识和解题技巧，可以帮助你在几何学中更好地理解和应用轴对称概念。

多做相关的练习题，加深对轴对称的理解和应用。

轴对称知识点总结及专项练习

第十三章轴对称【知识要点】1 .轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形就叫做轴对称图形.这条直线是它的对称轴.轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴.2 .轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3 .线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4 .关于G轴、y轴对称的点的坐标的特点点（G, y）关于G轴对称的点的坐标为（G,—y）;点（G, y）关于y轴对称的点的坐标为（一G, y）;【温馨提示】1.轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系.2 .在平面直角坐标系中，关于G轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同.专题一轴对称图形1.【20XX •连云港】下列图案是轴对称图形的是（）2 .众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：案不唯一）3.如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形.专题二轴对称的性质4 .如图，△ A 和C\ AD 关于直线I 对称，下列结论：①厶 ABC ^A l 垂DE;② 直平分DB ;③/ C=Z E ;④阳DE 的延长线的交点一定落在直线I 上.其中错误的有( )6. 如图，△ A S C\ A ' B ' C '关于直称.(1) 结合图形指出对称点.(2) 连接A 、A ',直线m 与线段AA '有什么关系？(3) 延长线段AC 与A ' C 它们的交点与直线m 有怎样的关系？其他对应线段7Cc p A7 A f专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题(或其延长线)的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流.7. 如图，在Rt △ AB (中, Z ACB=90 AB 的垂直平分线于F ,若Z F=30 °E=1，则EF 的长是(A . 3B . 2C . 、3D . 1 8 .如图，在△ 中BCBC=8 , AB 的垂直平分线交BC 于D , AC 的垂直平分线专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10 .已知点P (-2 , 3)关于y 轴的对称点为Q (a , b ),则a+b 的值是()A . 1B . - 1C . 5D . - 511 .已知P i 点关于G 轴的对称点P 2( 3 — 2a ,2a — 5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点，称为整点)，则P 1点的坐标是 ____________来源:www.shulihua. net] 参考答案：1 . D 解析：•••将D 图形上下或左右折叠，图形都能重合，.'.D 图形是轴对称图形，故选D .2 .圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3 .如图所示:DE 交于BC 的延长线5A 版优质实用文档 C 3△ ABC^A ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，/ C=Z E,即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故 BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线I 上，即④正确.综上所述，①②③④都是正确的，故选A . 5 •解：根据题意A 点和E 点关于BD 对称，有/ ABD= / EBD ,即/ ABC=2 / ABD=2 / EBD .B 点、C 点关于DE 对称，有/ DBE= / BCD , / ABC=2 / BCD .且已知/ A=90 °，故/ ABC+ / BCD=90 ° .故/ ABC=60 °，/ C=30 ° .6 .解：(1)对称点有A 和A'，B 和B'，C 和C'.(2) 连接A 、A ',直线n 是线段AA '的垂直平分线.(3) 延长线段AC 与A ' C ',它们的交点在直线上，其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线n 上，即若两线段关于直线 n 对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上.7. B 解析：在 Rt △DB 中，•••/ F = 30 °，A / B 卡60ABC ^，v/ ACBA 卡30AED 沖，I/ A = 30DE 亍 1，二 AEEB. v DEI AB 的垂直平分线，二 E A B 我E = 2. A / EB / A =VBC=8 , AZA DE 的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=89.解：AB+BD=DE .证明：v AD 丄 B (BD=DC , A AB=AC .v 点C 在AE 的垂直平分线上，••AC=CE .••AB=CE .••AB+BD=CE+DC=DE .10 . C 解析：关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，•••a=2 , b=3 . a+b=5 .=90 °，/ ABC = 60 °，A / 30 °.v/ ABC = 60 8. 8解析: •£C=EA .v DF 是AB 的垂直平分线，-VEG AC 的垂直平分线, o ,•••/ EBC = 30 DB=DA EB = 20故选・B EF =解得1.5 v a v 2.5，又因为a必须为整数，• a=2 .•点P2 (- 1, - 1). •'P l点的坐标是（一1 , 1 ）.。

轴对称知识点总结大全

轴对称知识点总结大全第一篇：轴对称知识点总结大全轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。

联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

l A B 4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

二、举例：例1：判断题：① 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。

（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：方法1 方法2 方法3 例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。

初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.1知识点总结含同步练习及答案

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章轴对称 13.1 轴对称一、学习任务1. 了解轴对称图形和图形成轴对称的意义，并会识别．2. 掌握线段垂直平分线的判定和性质．3. 会用尺规作图做出线段的垂直平分线．二、知识清单轴对称垂直平分线的性质与判定尺规作图三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形，若，则的度数为（）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和，可得，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、为为、上的两个顶点，请你在边上找一点，使周长最小？分析：由于的周长，而是定值，故只需在上找一点，使最小．如果设关于的对称点为，所以只要使最小即可．作法：① 作关于的对称点；② 连接交于点；③ 连接，则周长最小，为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：例题：描述：2.垂直平分线的性质与判定垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisector ）．垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3.尺规作图线段的画法（1）线段的画法．画一条线段等于已知线段，用圆规在射线上截取，也可以测量长度的方法，再画一条等于这个长度的线段．（2）线段的和、差的画法，已知线段，（设）．如图，在中，，，边上的垂直平分线交、分别于点、，则的周长等于（）A. B. C. D. 解：A．根据垂直平分线的性质，可知，所以的周长等于的值．△ABC AB =a AC =b BC DE BC BA D E △AEC a +b a −b 2a +b a +2bEC =BE △AEC AB +AC 如图，有、、三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A. 在，两边高线的交点处B. 在，两边中线的交点处C. 在，两边垂直平分线的交点处D. 在，两内角平分线的交点处解：C．A B C AC BC AC BC AC BC ∠A ∠B AC AB =a a b a<b和的和，记作段就是线段与 ③ 连接，则此时角等于．③ 过，两点作射线 AB BC AC =a BD AB ON ∠MON ∠AOB O C② 作出的平分线．② 过、两点作直线 ∠DCE M N 已知线段，，作一条线段，使其长为即线段为所要画的线段．a bAB四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）分析：要找一点，使，则点一定在线段的垂直平分线上，又点到两边的距离相等，则点也在的平分线上，所以作线段的垂直平分线和的平分线，两线的交点即为点．解：分别作线段的垂直平分线和的平分线，与相交于点，则点即为所求．P P C =P D P CD P ∠AOB P ∠AOB CD ∠AOB P CD EF ∠AOB OM EF OM P P 答案：1. 下列图形中，为轴对称图形的是 A．B ．C ．D ．D()2. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，边的垂直平分线分别交、于点、．若，则的周长为．△ABC AB AB BC D E AC AC BC F G BC =4△AEG()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

[全]八年级数学上第二单元轴对称图形重要知识点梳理及单元测试含答案

数学八年级上第二单元轴对称图形重要知识点梳理及单元测试含答案
轴对称
一、知识框架
二、知识概念
1.基本概念
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形就叫做轴对称图形.
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一
个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这
条线段的垂直平分线.
2.基本性质
⑴对称的性质
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②对称的图形都全等.
⑵线段垂直平分线的性质
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质
3.基本方法：
⑴做已知直线的垂线：
⑵做已知线段的垂直平分线：
⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.
⑷作已知图形关于某直线的对称图形：
⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.
参考答案：。

轴对称知识点总结学生

轴对称知识点总结学生一、什么是轴对称轴对称又称对称轴或镜像轴，是指一个图形或者物体，分别绕着一条线或者平面旋转180度后，形状不变，看起来就好像是对折在轴上一样。

这条线或者平面叫做轴对称轴。

二、轴对称的特点1. 图形的各个部分分别相互对称2. 对称轴是存在的，可以是直线，也可以是曲线3. 对称轴可以有一个或者多个4. 轴对称的图形和另一半镜像相同三、轴对称的图形分类1. 点的轴对称：固定在对称轴上的点，和他在对称轴的对称点组成轴对称的图形。

2. 直线的轴对称：直线与它本身关于对称轴对称3. 曲线的轴对称：曲线与它本身关于对称轴对称四、轴对称图形的判定方法1. 观察法：通过眼睛观察，看有没有对称的特点2. 对折法：将图形对折，看两边是否重合3. 角度法：利用形状的特点，通过角度的计算，确定对称关系五、轴对称线的性质1. 轴对称线上的任何点，相对于轴对称线对称2. 三角形的三个角平分线相交于一点，这个点是三角形的外心，也就是外心与顶点相连的线是一条轴对称线3. 三角形的中位线长相等，中线相等4. 顶点在轴对称线上的三角形是轴对称的5. 一个平行四边形的对角线互相平分，它的对角线就是轴对称线6. 正方形的对角线相等，互相平分，对角线是轴对称线7. 矩形的对角线相等，互相平分，对角线是轴对称线六、轴对称图形的应用1. 轴对称图形是美的2. 在艺术领域，轴对称图形被广泛应用3. 在建筑设计中，轴对称图形被广泛应用4. 在日常生活中，轴对称图形随处可见七、轴对称图形的图形变换1. 轴对称图形的旋转：围绕一个点旋转，形成一个新的图形2. 轴对称图形的平移：图形在一个方向上平移，形成一个新的图形3. 轴对称图形的放射：图形在一个点固定的情况下，从这个点向外放射，形成一个新的图形4. 轴对称图形的缩放：图形按比例大小缩放，形成一个新的图形八、轴对称图形的图形组合1. 轴对称图形的组合：将两个轴对称图形进行组合，形成一个新的图形2. 轴对称图形的分解：将一个轴对称图形分解为几个小的轴对称图形总结：轴对称图形具有明显的对称性，能够展现出很好的美感，在各个领域都有广泛的应用。

轴对称整章知识点+复习试题[含答案解析]

m CA B P 图3图2mC A B第十二章轴对称知识点总结我保证认真独立地完成今天的作业！签名：____________一、知识梳理1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。

互相重合的点叫做________________。

轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。

互相重合的点叫做________________。

2、轴对称图形与轴对称的区别与联系：区别________________________________________________。

联系________________________________________________。

3、轴对称的性质：_______________________________________________。

_______________________________________________。

4、线段的垂直平分线定义：________________________________________________如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

5、线段的垂直平分线性质:_______________________________________________。

如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

6、等腰三角形定义:___________________________________________：7、等腰三角形性质:___________________________________________：___________________________________________：8、等腰三角形判定。

八年级上十二章轴对称知识点总结及练习题教师版

最新轴对称章节知识点总结及练习（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么它就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；3、点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。

关于谁谁不变，关于原点都相反(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称（七）点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

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轴对称1.1轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，？这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴•（有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。

）轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，？那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 图形轴对称的性质性质1:若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.如图所示，△ ABC 与△亠关于I 对称，其中点A 、-巴是对称点，设4屮证明：将厶ABC 和△ 匚沿I 折叠后，点 A 与二重合，则有宀匸一二一-，/仁/ 2=90°,即对称轴把-丄丁垂直平分，同样也能把 C ，-都垂直平分，于是得出性质 1 .性质2 :轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.性质1的证明如下:证明类似性质1 .交对称轴，于点P .轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，？成轴对称的两个图形是全等形，且有特殊位置关系；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称•如图所示：1.2线段的垂直平分线性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明：如图所示，I是线段AB的垂直平分线，P为I上任意一点，求证性质1.性质2 :与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.证明：如图所示，P在线段AB上方，且PA=PB，求证P在线段AB的垂直平分线上。

以上两点性质可得出：线段的垂直平分线可看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合1.3轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.？成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到.对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线•因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴•轴对称图形的对称轴作法相同. 例如：A、B两点关于某直线对称，连接AB,作线段AB的垂直平分线就是A、B两点的对称轴，作法如下：（1 ）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧（若两弧半径小于或等于1/2AB , 则两弧没有交点或切于一点），两弧交于C、D两点；（2）连CD,得直线CD,直线CD即为所求•如图所示：说明：作对称轴的方法也就是作线段垂直平分线的方法•用此方法把线段平分.轴对称变换将一个图形进行轴对称变换（作一个图形关于某直线的对称图形）•关键是作某些点（关键点）关于这条直线的对称点.如：作点A关于直线I的对称点.先作A0丄I于0;再延长AO至工使，则忙就是A关于I的对称点，如下图所示:主要有两步：第一步，过已知点作对称轴的垂线，得到一个垂线段；第二步，将这个垂线段延长一倍所到达的点就是已知点关于这条直线（对称轴）的对称点.轴对称变换的性质(1 )经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样(2) ?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点. (3) 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 关于坐标轴对称点P (x , y )关于x 轴对称的点的坐标是(x , - y ) 点P (x , y )关于y 轴对称的点的坐标是(一 x , y )1.4等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角” )性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(简称“三线合一”).在厶PAB 中，PA=PB PC X AB 交于C,求证/ A= / B 且PC 为顶角平分线、底边上的中线。

特别的：（ 1）等腰三角形是轴对称图形 .（ 2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等 . 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角关于原点对称点P (x , y )关于原点对称的点的坐标是(一 x , 关于坐标轴夹角平分线对称点P (x , y )关于第一、三象限坐标轴夹角平分线点P (x , y )关于第二、四象限坐标轴夹角平分线关于平行于坐标轴的直线对称点P (x , y )关于直线x = m 对称的点的坐标是(点P (x , y )关于直线y = n 对称的点的坐标是(-y )y = x 对称的点的坐标是(y , x )y = — x 对称的点的坐标是(一y ，— x )2m — x , y ); x , 2n — y);相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ）．特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形（等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形）。

等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在Rt △ ABC中，/ C=90 °，/ A=30 °，求证BC=1/2AB.添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连线段垂直平分线，常向两端来连线. 线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换角平分线取一点，可向两边作垂线；角平分线加平行，等腰三角形来添；1.5 最短路径问题也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线伴垂直，三线合一试试看。

第十三章轴对称全章测试一、选择题1、下列说法正确的是（）.A. 轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B. 如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C. 所有直角三角形都不是轴对称图形D. 有两个内角相等的三角形不是轴对称图形2、点M（ 1, 2）关于x轴对称的点的坐标为（）.A. （- 1,- 2）B . （- 1, 2） C . （1,- 2）D . （2,—1）3、下列图形中对称轴最多的是（）A.等腰三角形B .正方形C .圆D .线段4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）.A. 2cm B . 4cm C . 6cm D . 8 cm5、若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）.AA . 11cmB . 7.5 cmC . 11cm 或7.5 cmD .以上都不对6、如图：。

丘是厶ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则厶EBC勺周长为（）厘米.A . 16B . 18C . 26D . 28B 7、如图所示，I是四边形ABCD勺对称轴，AD// BC,现给出下列结论：①AB// CD②AB=BC③AB丄BQ ④AO=OC其中正确的结论有（）.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（A . 75° 或 15°B . 75°C . 15°D . 75° 和 30 9、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图 A. 对应点连线与对称轴垂直 B. 对应点连线被对称轴平分 C. 对应点连线被对称轴垂直平分D. 对应点连线互相平行10、如图：已知/ AOP H BOP=15，PC// OA PD 丄 OA 若 PC=4 贝U PD=( )A. 4 B .3 C .2 D .111、 / AOB 勺平分线上一点P 到OA 的距离为5， Q 是OB 上任一点，贝U ( )A . PQ>5B . PQ>5C . PQ< 5D . PQC 512、如图：等边三角形 ABC 中, BD= CE AD 与 BE 相交于点P ,则/ APE 的度数是A . 45° B. 55° C . 60° D. 75°二、填空题13、设A 、B 两点关于直线MN 对称，贝U ____ 垂直平分14、已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6贝U PB= ______ 15、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是 ________ 度.16、等腰三角形的两边的边长分别为 20 cm 和9cm ，则第三边的长是 _________ cm . 17、等腰三角形的一内角等于 50°,则其它两个内角各为 __________________________2）的对应点所具有的性质是（).图1A18、如图：点P为/ AOB内一点，分别作出P点关于OA OB的对称点P1, R，连接到/ AOB 的两边的距离相等.P i F 2交0A 于M 交0B 于N, P i P 2=15，则△ PMN 勺周长为 ___________ .19、如图，在△ ABC 中, AB=AC AD 是 BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积为 2 cm 20、如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则21、已知 A （-1，-2 ）和 B （1，3），将点 A 平移个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称.22、等腰△ ABC 中, AB=AC=10 / A=30，则腰 AB 上的高等于三、解答题 23、已知：如图，已知△ ABC（1）分别画出与△ ABC!于X 轴、y 轴对称的图形△ A i B i C i 和厶 A 2B 2C 2 ;（2）写出 △ AB i C 和厶A 2B 2C 2各顶点坐标；（3）求厶ABC 勺面积.24、如图，已知点 M N 和/ AOB 求作一点P,使P 到点M N 的距离相等，？且 1153525、如图: 在厶ABC中，/ B=90 , AB=BD AD=CD 求/ CAD勺度数.26、已知: E是/ AOB勺平分线上一点，ECL OA , ED丄OB，垂足分别为C、D.求证：（1）/ ECD M EDC ; (2) OE是CD勺垂直平分线.A 27、已知: 如图△ ABC中, AB=AC Z C=30 , AB丄AD, AD=4c m，求BC的长.28、如图，已知在△ ABC中, AB=AC / BAC=120, AC的垂直平分线EF交AC于点E, 交BC于点F.求证：BF=2CFF-12 -31、如图所示，在等边三角形ABC中,/ B/ C的平分线交于点O, OB和OC的垂直平29、已知：△ ABC中，/ B、/ C的角平分线相交于点30、等边△ ABC中，点P在厶ABC内，点Q在厶ABC外,且/ ABP/ ACQ BP=CQ求证：△ APC是等边三角形分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC勺道理. A32 .已知：如图△ ABC中, AB=AC AD和BE是高，它们交于点H,且AE=BE求证：AH=2BD-11 -D。