轴对称解答题专题练习(解析版)
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，因为 ，所以 ．
（3）根据题意和（2）中结论先证明 ，过 作 、 垂线，垂足分别为 、 ，连接 ，证明 ，所以 ，然后根据等腰三角形的性质可得出 ，过点 作 ，垂足为 ，所以 ，设 ， ，
所以 ， ，求出x，y，不难得到 = ，然后可得 .
【详解】
（1）因为 是等腰直角三角形，所以 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
【答案】（1）AB= ；（2）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．
【解析】
【分析】
（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；
（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；
（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．
过 作 、 垂线，垂足分别为 、 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 平分 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，过点 作 ，垂足为 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
设 ，所以 ，设 ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，因为 ，
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ，
由（1）知： ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 平分 ，所以 ，
在 上截取 ，连接 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ．
（3）由（2）知： ，因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
【详解】
解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，
由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=
（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．
②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．
③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）
（3）当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）60；（2） 或 ；（3）5或20
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质即可解答；
（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；
（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP时，△APQ为等边三角形；②当P于B重合，Q与C重合时，△APQ为等边三角形.
∵∠A=60°
∴当AQ=AP时，△APQ为等边三角形
∴2t=20-2t，解得t=5
②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2=20
综上，当△APQ为等边三角形时，t=5或20．
【点睛】
本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.
3．如图，在 中，已知 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于点 ，求证： ．
所以 ，因为 ，
所以 .
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.
轴对称解答题专题练习（解析版）
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．
（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；
（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．
（3）如图3，在（2）的条件下， 交 、 分别于点 、 ， ，连接 ，若 的面积与 的面积差为6， ，求四边形 的面积.
【答案】（1）∠BFC=90°；（2）见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明 ，所以 ，所以 .
（2）根据题意先求出 ，在 上截取 ，连接 ，由 ， ，可证得 ， ，所以
2．如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20 cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2 cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）∠A=______度；
（2）当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，求t的值；
由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．
（3）不存在这样的点P．
作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，
作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，
由图可以看出两线交于第一象限．
∴不存在这样的点P．
【点睛】
本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．
（对顶角相等），
∴ ≌ （SAS）．
∴ ， ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∵
∴ ，即
∴ ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.
4．如图，在等腰直角 中， ， ，点 是 内一点，连接 ， 且 ，连接 、 交于点 .
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，连接 交 于点 ，连接 ，若 平分 ，求证： ；
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD到点G，使得 ，连接 ，结合D是BC的中点，易证△ADC和△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.
【详解】
如图，延长 到点 ，延长AD到点G，使得 ，连接 ．
∵ 是 边上的中线，
∴ ．
在 和 中，
【详解】
解：（1）60°．
（2）∵∠A=60°，
当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．
∴QA=2PA．
即பைடு நூலகம்
解得
当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．
∴PA=2QA．
即
解得
∴当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，t的值为 ．
（3）①由题意得：AP=2t，AQ=20-2t
（3）根据题意和（2）中结论先证明 ，过 作 、 垂线，垂足分别为 、 ，连接 ，证明 ，所以 ，然后根据等腰三角形的性质可得出 ，过点 作 ，垂足为 ，所以 ，设 ， ，
所以 ， ，求出x，y，不难得到 = ，然后可得 .
【详解】
（1）因为 是等腰直角三角形，所以 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
【答案】（1）AB= ；（2）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．
【解析】
【分析】
（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；
（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；
（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．
过 作 、 垂线，垂足分别为 、 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 平分 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，过点 作 ，垂足为 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
设 ，所以 ，设 ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，因为 ，
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ，
由（1）知： ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 平分 ，所以 ，
在 上截取 ，连接 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ．
（3）由（2）知： ，因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
【详解】
解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，
由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=
（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．
②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．
③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）
（3）当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）60；（2） 或 ；（3）5或20
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质即可解答；
（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；
（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP时，△APQ为等边三角形；②当P于B重合，Q与C重合时，△APQ为等边三角形.
∵∠A=60°
∴当AQ=AP时，△APQ为等边三角形
∴2t=20-2t，解得t=5
②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2=20
综上，当△APQ为等边三角形时，t=5或20．
【点睛】
本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.
3．如图，在 中，已知 是 边上的中线， 是 上一点，且 ，延长 交 于点 ，求证： ．
所以 ，因为 ，
所以 .
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.
轴对称解答题专题练习（解析版）
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．
（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；
（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．
（3）如图3，在（2）的条件下， 交 、 分别于点 、 ， ，连接 ，若 的面积与 的面积差为6， ，求四边形 的面积.
【答案】（1）∠BFC=90°；（2）见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明 ，所以 ，所以 .
（2）根据题意先求出 ，在 上截取 ，连接 ，由 ， ，可证得 ， ，所以
2．如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20 cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2 cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）∠A=______度；
（2）当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，求t的值；
由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．
（3）不存在这样的点P．
作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，
作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，
由图可以看出两线交于第一象限．
∴不存在这样的点P．
【点睛】
本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．
（对顶角相等），
∴ ≌ （SAS）．
∴ ， ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∵
∴ ，即
∴ ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.
4．如图，在等腰直角 中， ， ，点 是 内一点，连接 ， 且 ，连接 、 交于点 .
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，连接 交 于点 ，连接 ，若 平分 ，求证： ；
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD到点G，使得 ，连接 ，结合D是BC的中点，易证△ADC和△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.
【详解】
如图，延长 到点 ，延长AD到点G，使得 ，连接 ．
∵ 是 边上的中线，
∴ ．
在 和 中，
【详解】
解：（1）60°．
（2）∵∠A=60°，
当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．
∴QA=2PA．
即பைடு நூலகம்
解得
当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．
∴PA=2QA．
即
解得
∴当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，t的值为 ．
（3）①由题意得：AP=2t，AQ=20-2t