数学建模-人口增长模型

人口增长模型

摘要

本文根据某地区的人口统计数据，建立模型估计该地区2010年的人口数量。

首先，通过直观观察人口的变化规律后，我们假设该地区的人口数量是时间的二次函数，建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数，从而可以预测2010年的人口数为333.8668百万。

然后，我们发现从1980年开始该地区的人口增长明显变慢，于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降，从而我们建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为296.3865。

关键字：人口预报，二次函数模型，阻滞增长模型

问题重述：

根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。

表1 该地区人口统计数据

符号说明

)(t x t 时刻的人口数量 0x 初始时刻的人口数量 r 人口增长率

m x 环境所能容纳的最大人口数量，即0)( m x r

问题分析

首先，我们运用Matlab 软件[1]编程（见附件1），绘制出1800年到2000年的人口数据图，如图1。

18001820184018601880190019201940196019802000

图1 1800年到2000年的人口数据图

从图1我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且类似二次函数增长。所以我们可以建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。

于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。

模型建立

模型一：二次函数模型

我们假设该地区t时刻的人口数量的人口数量)(t x是时间t的二次函数，即：

2()x t at bt c =++

我们可以根据最小二乘法，利用已有数据拟合得到具体参数。即，要求a 、b 和

c ，使得以下函数达到最小值：

221

(,,)()n

i i i i E a b c at bt c x ==++-∑

其中i x 是i t 时刻该地区的人口数，即有：

2222)3.28020002000...)2.718001800(),,(-+⋅+⋅++-+⋅+⋅=c b a c b a c b a E

令

0,0,0E E E a b c

∂∂∂===∂∂∂，可以得到三个关于a 、b 和c 的一次方程，从而可解得a 、b 和c 。

我们用Matlab 编程（见附件2），解得=a 0.006018，357.21-=b ,18948=c ，即：

18948

357.21006018.0)(2+-=t t t x

从而我们可以预测2010年的人口数为8668.333)2010(=x 百万。

1800

18501900

195020002050

年份

人口数

图2 二次函数模型的拟合效果图

图2是所得到的二次函数模型和原数据点的拟合效果图。 从图2可以看出拟合的效果在1950年之前还可以，但是对后期的数据拟合的不好。

模型二：阻滞增长模型

我们假设人口增长率r 是人口数x 的线性减函数，即随着人口数的增加，人口增长速度会慢慢下降：

0()r x r sx =-

人口数量最终会达到饱和，且趋于一个常数m x ，当m x x =时，增长率为0：

00m r sx -=

由上面的关系式可得出：

0()1m x r x r x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

把上式代进指数增长模型的方程中，并利用初始条件2.7)1800(=x ，可以得到：

⎪

⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=2

.7)1800(10x x x x

r dt dx m 解得：

)

1800(172101)(--⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=

t r m m

e x x t x

我们可以利用已有数据拟合求解得（程序见附件4）:

36.334=m x , =r -0.027958。

可以预测2010年的人口数为3865.296)2010(=x 百万。

1800

18501900

195020002050

年份

人口数

图4 阻滞增长模型的拟合效果图

图4是阻滞增长模型的拟合效果图。从图4我们可以看出我们的模型对该地区的人口数据拟合得很好。可以看出阻滞增长模型更客观地反映人口的增长规律，基本上都在拟合曲线上，拟合效果好，特别是后期的数据非常的吻合，所以次模型对未来的人口数预测是很适合的，结果更准确，对未来的预测比指数增长模型更为优越。

参考文献

[1]刘卫国, 陈昭平, 张颖. MATLAB程序设计与应用[M], 北京:高等教育出版社,

2002年。

[2]姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学建模(第三版)[M], 北京：高等教育出版社, 2004

年。

附录

附件1：1800年到2000年的人口数据图

x=1800:10:2000;

y=[7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3];