第四章 杆件的变形计算

M xi li j i 1 GI pi
n
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N· m， T2=600N· m， T3=800N· m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1 A
T2 d2 B
C
C1
C3
C0
[解 ]
A
1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）
y
F B 30oC2 C
FAC F
30
C1
FBC
C
x
FAC sin 30 F 0 FAC 2F 80kN 拉
FBC FAC cos30 0 FBC 40 3kN
压
伸长 缩短
2）求A来自百度文库和BC杆分别的变形量
800 4 GI pBC π 0.04 80 10 9 32 0.03978rad / m
综合两段，最大单位长度扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-4
图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1 求 : 1) 最大切应力; 2）j AC
3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A F B 30oC2 C
Cx CC2 0.277mm C y CC1 / sin30 CC 2 cot30
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y C x 1.47mm
(此问题若用圆弧精确求解)
2
2
Cx
C0
A F B 30oC2 C
l AC
FAC l AC CC1 E1 A1
C1
80 103 1000/ cos30 0.481mm 3 200 10 960
l BC
FBC l BC CC 2 E2 A2
40 3 103 1000 0.277mm 3 10 10 25000
第四章
• • • • •
杆件的变形计算
本部分主要内容:
拉压杆的轴向变形 圆轴的扭转变形与相对扭转角 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的弯曲变形 用叠加法求梁的弯曲变形
第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 而其横向变形相应变细或变粗 杆件在轴线方向的伸长

泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数， 可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存 在着下面的关系


泊松比
E G 2(1 )
例题4-1 (教材70页)
如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2， BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa， 求该杆的总伸长量。
F F
l
l1
纵向应变
l l1 l
l l
由胡克定律
Eε
得到轴向拉压变形公式
FN A FN l l EA
F
F
l
l1
FN l l EA
公式的适用条件: 1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律 2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均 应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段 计算或积分计算。
A(x) F l x
F1 l1 F2 l2 l3 F3
F
l
l
FN dx EA( x)
FNi li l i 1 EAi
n
F
F
横向也会发生变形 横向应变
b
b1
l
l1
b b1 b b b
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应 变和横向应变存在如下的比例关系
Cx 0.278mm Cy 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
g
dj dx
在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距 为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dj
Mx dj dx GI p dj M x 单位长度扭转角 取 dx GI p 用来表示扭转变形的大小
单位长度扭转角的单位: rad/m
T3 C
1）根据题意，首先画出扭矩图
T1 d1 A Mx N· m B T2 d2 C T3
2）AB 段单位长度扭转角：
1400
800
AB
M xAB GI pAB
+
x
1400 4 π 0.06 80 10 9 32 0.01375rad / m
3）BC 段单位长度扭转角： M xBC BC
40kN A
60kN B 400
20kN C 400
40kN A
60kN B 400 FN KN 40
+
20kN C 400
1）求出轴力，并画出轴力图 2）求伸长量
x
－
l l AB l BC
3 40 10 400 FNABl AB 0.1 mm 伸长 l AB 3 200 10 800 EA1 FNBClBC 20103 400 lBC 0.167mm 缩短 3 EA2 20010 240 l l AB l BC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
20
例4-2 节点位移问题(教材70页) 如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模 量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F = 40 kN。
A 1m B 30o C F
分析
A F B
C2
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 BC杆将缩短。 因此，C节点变形后将位于C3点 由于材料力学中的小变形假设，可 以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
GI p 抗扭刚度 GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
dj dx
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分， 就可得到两端相对扭转角j 。
l M dj M x j x dx 0 GI dx GI p p Mx M xl j 当 为常数时： GI p GI p
同种材料阶梯轴扭转时: 相对扭转角的单位: rad