《高等代数2》期末试卷(B)
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
2020-2021某大学《高等代数》期末课程考试试卷合集(含答案)
【解】
（1） 方法一：数学归纳法证明 Dn = (n +1)an ． k = 1时， D1 = 2a ，
假设 k n −1时， Dk = (n +1)ak ．则当 k = n 时，
Dn = 2aDn−1 − a2Dn−2 = 2anan−1 − a2 (n −1)an−2 = (n +1)an.
方法二：递推法．
5、在
中，
是 的维数 则 在基
下的矩阵为_________________。
6. 元实二次型
是正定的充分必要条件是它的正惯
性指数等于___________________.
7.对于线性空间 V 中向量
,若在数域 P 中有 个
不全为零的数
,使
,则向量
称为_________.
8.相似矩阵的特征值__________.
（D） 1 + 22 ,2 + 23,3 + 21 . 3 线性方程组 Ax = b 的系数矩阵式 45 矩阵，且 A 的行向量线性无关，则错误的命题是
（ D ）.
(A) 齐次方程组 AT x = 0 只有零解；
（B）齐次方程组 AT Ax = 0 必有非零解； (C) 对任意的 b ，方程组 Ax = b 必有无穷多解； (D) 对任意的 b ，方程组 AT x = b 必有唯一解.
考试日期：
考试时间：120 分钟
试卷总分：100 分
一、填空（共 50 分，每小题 5 分）
1、设矩阵
与
相似，则
。
2、已知
是矩阵
的一个特征向量，则
特征向量 对应的特征值
。
3、 满足________时，二次型
高等代数2期末复习参考
1 (1,1,L ,1),2 (0,1,L ,1),L ,n (0,L ,0,1)
并求向量 (a1,a2 ,L ,an )在基1,2 ,L ,n下的坐标.
解：∵
1 1 2 L n
.
2
LLL
n
2
L
L
L L
L
n
n
§6.1 集合 映射
1 0 L 0
∴(1,2 ,L
,n )
(log2a ) 2log2a a ∴ 是满射．
故 是1—1对应．.
§6.1 集合 映射
2、令 f : x a x, g : x a 1 , x R，问：
x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？
2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
解：1）g是R＋到自身的双射．
∵ x, y R，若
. 故R＋是一维的，任一正实数 a( 1)就是R＋的一组基.
§6.1 集合 映射
例1 在Pn中，求由基1, 2 ,L , n 到基1,2 ,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2 ,L ,n 到基 1, 2 ,L , n 的
过渡矩阵．其中
1 (1,0,L ,0), 2 (0,1,L ,0),L , n (0,L ,0,1)
a b ab, k oa ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基. 解: 数1是R＋的零元素. (Q x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a , 且 a 1，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k oa ak alogax x. 即 x 可由 a 线性表出.
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
高等代数下期终考试题及答案B卷
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分）1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 .3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A()-n P[x]=,的核(0)=1A A A4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭，则A （λ）的不变因子________________________；3阶行列式因子D 3 =_______________.5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形J=6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分)1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 42. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C)A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -34.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R 3的子空间(A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w (C) }|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=(D) }|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)1.( )设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.2.( ）12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ijn nA a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵.3．( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．（）在线性空间R 2中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是R 2的一个线性变换. 5.（ ）设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
高等代数II05-06下期末试卷B
红河学院200 5 －200 6学年下学期期末考试试卷B 考试科目（本、专科）： 高等代数II 考试时间：_________ 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分 得 分阅卷人 一．判断题（每小题1分，共10分） 1、阶可逆矩阵一定与阶单位矩阵等价； （ ） n n 2、初等矩阵的逆是初等矩阵，初等矩阵的转置也是初等矩阵； （ ） 3、实对称矩阵A 负定的充要条件是其主子式全小于零； （ ） 4、若A 正定，则也正定； （ ） 1−A 5、设都是V 的子空间，则21,W W {}021=W W ∩的充要条件是()()()2121dim dim dim W W W W +=+； （ ） 6、设，n n P V ×={}A A P A A W ，n n =′∈=×,1{}A A P A A W n n −=′∈=×,2，则V 是的直和； （ ） 21W W 与7、设()V L ∈σ，则σ在V 的任一个基下的矩阵都可逆； （ ） 8、设()V L ∈σ，则()01−+=σσV V ； （ ） 9、正交矩阵的乘积还是正交矩阵； （ ） 10、欧氏空间中与自身正交的向量是零向量； （ ）()二．填空题（每小题4分，共40分）1、设3,2,1=α，⎟⎠⎞31⎜⎝⎛=,21,1β，且βα′=A ，则 =n A ； 得 分 阅卷人 2、设，则= 03=A (12−++A A E )；3、的规范型是 ()2321213212,,x x x x x x x f +−=；4、设二次型()()31212322213212212,,x x x tx x t x x x x x f ++−++=，当t 满足时，二次型是正定的；5、在中，[]x F 3()12,1,1,122++−++x x x x x 的一个极大无关组为 ；6、设，C （A ）是由与A 可交换的三阶方阵按矩阵加法和数乘矩阵运算作成的线性空间，则C （A ）的一个基是 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300020001A ；7、已知22×P 的线性变换()XM MX X −=σ，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∈×0121,22M P X σ在基的矩阵为 22211211,,,E E E E ；8、在3P 中定义()()a c b b a c b a ,,2,,+−=σ，()()a b c c b a −−=,,,,τ，则()=c b a ,,)(τσ ；()n A 9、在欧氏空间n n R ×中，ξξ,,1 =，则A 为正交矩阵的充要条件是 ()=ji ξξ, ；10、设n εε,,1 为欧氏空间V 的标准正交基，，，则()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11,,1 n εεα()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=22,,1 n εεβ()=βα, 。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
南通大学数学高代(二)B期末考试及答案
南通大学学年第二学期高等代数（二）（闭卷）试卷（B ）第1页共3页试题一二三四总分得分一、判断题：（在括号中，正确者填“对”，错误者填“错”，每题2分，共12分）1：（）若1(,,)s V L αα= ，则V 的任一组基都与向量组1,,s αα 等价。
2：（）设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，若12,V V ∈+α但1V α∉，则2.V ∈α3：（）若有限维线性空间V 的线性变换A 满足：V V A ≠，则0是A 的一个特征值。
4：（）若n 阶-λ矩阵)(λA 的行列式不等于零，则)(λA 可逆。
5：（）若n 阶方阵A 与B 有相同的特征多项式和最小多项式，则A 与B 相似。
6：（）设V 是一欧氏空间，,V ∈ξη是两个线性无关的单位向量，则长度：||2+<ξη.二、填空题：（每空格2分，共18分）1：n n P ⨯中主对角元皆为零的全体矩阵作成的子空间，其维数是：，它的一组基可以取为：.2：设1220,30x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，且A ，B 相似，则=x ，=y .3：已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则行列式：223--=A A E .4：设2200()0(1)000λλλλλ⎛⎫+⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭A ，则()λA 的标准形是：.5：已知数字矩阵A 的初等因子是2,,(1),(1),1λλλλλ--+，则A 的不变因子是：.6：在欧氏空间4中，()()2,0,1,7,3,2,1,1T T==--αβ，则内积：(),=αβ，α与β的夹角是：.得分评卷人得分评卷人三、计算题：（第1、3题各15分，第2题16分，共46分）1：设123(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1)T T T ===ααα与123(3,1,1),(3,2,1),(2,1,2)T T T ===βββ是3的两组基，（1）求由基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵X ；（2）求向量(4,3,4)T =ξ在基123,,βββ下的坐标；（3）定义线性变换 (1,2,3)i i i ==A αβ，求A 在基123,,ααα下的矩阵。
高等代数2期末考卷
高等代数II 》课程期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则 （ ）(A) W 与2R 同构。
(B) W 与3R 同构。
(C) W 与2R 的一个真子空间同构。
(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。
2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。
）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、 判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、 填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足 。
11-12高等代数2试卷(B)
学生姓名 学号：_____________________
密 封 线
11-12学年第二学期安徽工业大学高等代数2期末考试试卷（B ）
⎪⎪⎭
⎫
11
)2β的一)
,(),),,(dim[)2132321ββααααL L ⋂+
3、（10分）已知⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111ξ是矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212b a A 的一个特征向量，
(1) 试确定参数b a ,以及特征向量ξ所对应的特征值； (2) 问矩阵A 能否相似于对角阵，说明理由。
4、（15分） 求一正交线性替换，化下面二次型为标准形
3231212
3222184422x x x x x x x x x ++---
四、证明题（22分）
1、（10分）设η是n 维欧氏空间的一单位向量，定义V 线性变换
σ如下：
ηαηασα),(2-=
证明：
（1）σ为第二类的正交变换（镜面反射）；
（2）V 的正交变换τ是镜面反射的充要条件为1是τ的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1维。
2、（12分）设σ为数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，且满足σσ=2
，
证明： （1）{}V ∈-=-αασασ)()(01；
（2）)()(V V σσ
⊕=-01
；
（3）如果τ是V 的线性变换，)(),(01
-σσV 是τ的不变子空间当且仅当
τσστ=。
(完整word版)高等代数期末复习试题
数学系《高等代数》期末考试试卷年级 专业 学号 姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
大连理工大高等代数二期末试题
1 0 基 1 , 2 , 3 , 4 下的矩阵 A 1 0
2 1 3 4
0 0 1 2
0 0 ，试求 含 1 的最小不变子空间. 0 1
三． （10 分）设 是 n 维线性空间 V 上的线性变换，证明： 维 (V ) 维 ( 1 (0)) n 即,
A2 E =
.
1 ( 1) 2 7．已知矩阵 A 的特征矩阵 E A 与矩阵 E A 的标准形及 A 的 Jordan 标准形分别为
则 等价， 1 2
，
.
1 8．已知矩阵 A 的 Jordan 标准形为 2 ，则 A 的有理标准形为 1 2
( 3 ) 3 2 4 ， 可 知 2 4 ( 3 ) 3 ， 即 4 W ， 而 ( 4 ) 4 所 以 。
L(1 3 4 ) W ， 再 由 W 的 最 小 性 可 知 W L(1 3 4 ) ， 因 此 W L(1 3 4 ) ，证毕。
1 A 2 ， C ( ) , L(V ) . 记L （V） 为 V 上线性变换全体， 3
1）证明： C ( ) 是 L(V)的子空间； 2）求 C ( ) 的一组基和维数.
-5-
六．(10 分) 设 A，B 为 n 级实矩阵，证明：若 A，B 在复数域上相似，则 A， B 在实数域上也相似。
，
则 等价， 1 2
1 1 1 1 2
.
1 8．已知矩阵 A 的 Jordan 标准形为 2 ，则 A 的有理标准形为 1 2 4 0 1 0 8 1 5
(完整word版)高等代数第二学期试题
第二学期期末考试《高等代数》试题一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。
2、A 为正定矩阵，则A _______。
3、),(21s L αααΛ的维数__________向量组s αααΛ21,的秩。
4、1V ，2V 都是线性空间V 的子空间，则维1V +维2V =______________。
5、和1V +2V 是直和的充要条件为=⋂21V V ___________。
6、数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。
7、A ，B 是两个线性变换，它们在基n εεεΛ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则A+B 在基n εεεΛ,,21下的矩阵为______________。
8、A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度=______________。
9、在欧几里德空间中，α=_______。
><βα,=_______。
10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。
11、A 为正交矩阵，则A =_______，1-A =_______。
二、判断（每题2分，共10分）1、A 的值域是A 的不变子空间，但A 的核不是A 的不变子空间（ ）。
２、两个子空间的交还是线性空间V 的子空间（ ）。
3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（ ）。
4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（ ）。
5、度量矩阵是正定矩阵（ ）。
三、t 取什么值时，二次型3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++正定？（10分）四、在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标，其中=1ε（1，1，1，1），=2ε(1，1，-1，-1)，=3ε（1，-1，1，-1）=4ε（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）（10分）五、3P 中，令),4,2(),,(213131321a a a a a a a a a -+-=σ，求σ在基},,{321εεε下的矩阵。
高等代数09级数学本科《高等代数2》(B)
1井冈山大学2009—2010第二学期一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1. 设 ,A B 均为 n 阶矩阵，2,3A B，则 2A B.2. 若二次型 2221231231223(,,)2422f x x x x x x x x tx x 正定，则 t 的取值范围是. 3. 在4P 中，向量(1,2,1,1)在基12(1,1,1,1),(1,1,1,1),3(1,1,1,1),4(1,1,1,1) 下的坐标是 .4. 设 A 与 100010002相似，12,V V 分别为 A 的属于特征值 1 和 2 的特征子空间，则12dim dim V V .5. 在4中，向量(1,1,1,2),(3,1,1,0) 的夹角 ,.二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 设 ,A B 同为 n 阶方阵，则下列说法正确的是. A. A B A B ；B. AB BA ；C. ABBA ； D. 111()A B AB .2. 以下哪组矩阵是合同的.2 A.1341,3414， B. 1326,3434； C.1323,3437， D. 13114,3441. 3. 设 12,,,,,n是数域 P 上线性空间 V 中的向量，秩{12,,,,n}秩{12,,,n }r 且 秩{12,,,,n}1r ，则对任意 k P ，秩{1,12,,,,,nk }.A. r ；B. 1r ； B. 2r ； D. 无法确定. 4. 下列关于子空间的叙述，正确的有 个.① 设 V 是线性空间，U 是 V 的子空间，则存在唯一的 V 的子空间 U ，使得 V U U ； ② 设 12{,,,}n 是 V 的一组基，U 是 V 的子空间，若对任意 1,iniU ，则 0U ；③ 设 12,U U 是 V 的子空间，且 12dim dim dim U U V ，则 12VU U ； ④ 设 12,U U 是 V 的子空间，若 12U U 是 V 的子空间，则必有 12U U 或21U U .A. 1B. 2C. 3D. 45. 设是 3[]P x 上的线性变换，若对任意的 3()[]f x P x ，定义(())fx(1)()f x f x ，则在 3[]P x 的基 21,,x x 下的矩阵是 .A. 101012000 ； B. 011002000； C. 100010120； D. 00010012.三、判断题（每小题2 分，共10分）（对的打“√”，错的打“×”）31. 设 ,A B 都是 n 级是实矩阵，则 A 与 B 合同当且仅当 A 与 B 有相同的正 惯性指数与负惯性指数. ( )2. n 阶实对称矩阵 A 为半正定的充分必要条件是 A 的所有顺序主子式全为非负. ( )3. 在线性空间 V 中，设变换0，期中是 V 中一固定向量，则是一个线性变换. ( ) 4. 相似矩阵有相同的特征多项式. ( ) 5. 设 ,A B 两个 n 阶实对称矩阵矩阵，则 ,A B 合同当且仅当 ,A B 相似. ( )四、计算题：（每题10 分，共40分）1. 设矩阵12111222222a Ab c问 ,,a b c 取何值时，A 为正交矩阵，当 A 为正交矩阵时，求解线性方程组 Ax ，其中 (1,1,1).42. 用非退化线性替换化二次型21231213233(,,)4223f x x x x x x x x x x 为标准形，并求相应的线性替换与二次型的符号差.3. 在实线性空间4中，12341234{(,,,)|0}U a a a a a a a a ； 12341234{(,,,)|0}Wa a a a a a a a .求 U W 的维数与基.54. 设 是复数域上 3 维线性空间 V 上的线性变换，123,,是 V 的一组基，线性变换在123,,下的矩阵是021203130A求的特征值与特征向量.五、证明题（ 20 分）1. 设 A 是数域 P 上 n 级可逆矩阵，将 A 分块为 12A A A . 证明 nP 是齐次 线性方程组 10A X 和 20A X的两个解空间的直和62. 已知 V 是欧氏空间， 是 V 上的保距变换，即满足对任意的,V ，有成立，若(0)0，证明是正交变换.。
(完整word版)北京理工大学数学专业高等代数Ⅱ期末试题(MTH17063)
课程编号：MTH17063 北京理工大学2010—2011学年第一学期2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级 学号 姓名 成绩一、(25分)设()n n M F ⨯表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间.取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈,定义()X AX XA σ=-. （1)证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换.（2）证明:对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3)当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。
（4）当1402A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求()Ker σ的一组基与维数. 二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的矩阵为010440212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.求线性变换A 的Jordan 标准形。
三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量,那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。
（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和. 四、(20分）设22()V M F ⨯=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E . （1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式. （2)求V 上任意一个线性函数f 的表达式.五、（20分)证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。
《高等数学(二)》期末考试试卷B(含答案)
2
y
0
D.
x2
2
y
0
6. 如果 (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极值点，且 f (x, y) 在 (x0, y0 ) 处的一阶偏导数存在，则
(x0, y0 ) 点必为 f (x, y) 的（ B
A．最大值点
B.驻点
） C．连、若级数 un 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中 sn ui ）
2、方程 x2 y2 z2 2 x 2 z 2 0表示的图形是圆心在（-1,0，-1），半径为 2
的球面.
.
3、二元函数 z 16 x2 y2 的定义域是 (x, y) : x2 y2 16 .
4、 F (x, y) x 5y ，则 F(1,3) =
14
2x y
三、计算题（每小题 5 分，共 35 分） 1、求函数的一阶偏导数
dx cos y.y ex (2xy2 2x2 y.y) 0
y ex 2xy2 2x2 y cos y
5、求函数 f (x, y) x3 y3 9xy 27 的极值
解： fx 3x2 9y f y 3y2 9x 令 fx 0, fy 0 得：（1） x 3, y 3 （2） x 0, y 0 （ 1 ） 当 x 3 ,y 3fx x 6 x, fx y 9 , f y y 6y 故 A 18, B 9,C 18 ，
《高等数学（二）》期末考试试卷
考试形式：闭卷考试 考试时间：120 分钟
一、选择题（单选题，每题 4 分，共 32 分） 1、下列命题（ A ）正确
A．若 un 收敛，则必有 limun 0
n 1
n
B. 若 limun 0 ,则 un 必收敛
n
n 1
08-09学年高等代数II试B答案[1]
![08-09学年高等代数II试B答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e4ec3b7002768e9951e738e1.png)
北 京 交 通 大 学2008-2009学年第二学期《高等代数I I 》期末考试试卷(B)答案与评分标准一、填空题(每小题3分,共30分)1.全体n 阶实反对称矩阵, 关于矩阵的加法与数乘作成实数域上的线性空间,它的维数等于(1)2n n - . 2.已知 ε1 = 1, ε2 = x, ε3 = x 2, ε4 = x 3 和 η1 = 1, η2 = 1+x, η3 = (1+x)2, η4 = (1+x)3 是线性空间4[]P x 的两组基, 则由基η1, η2, η3, η4到基ε1, ε2, ε3,ε4的过渡矩阵是 1111123131--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ . 3. 3R 中的向量β在基1210,1,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标是110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, 则β在基0111,0,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标是 110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ . 4. 设矩阵11100000A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有3个线性无关的特征向量，则x = 0 . 5. 设欧氏空间V 的两组基ε1, ε2, ⋯, εn 与 η1, η2, ⋯, ηn 的度量矩阵分别是A 与B ,从基ε1, ε2, ⋯, εn 到 η1, η2, ⋯, ηn 的过渡矩阵是C , 则A 与B 之间的关系是 'B C AC = .6.2R 上线性变换A （其定义为A 212(),24X X X R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭）的值域的一组基是 (1,2)’ ．核的维数为 1 ．7. 以下断言正确的有 ( A,B )(A) 设21,V V 是n维线性空间V的子空间。
若121d i m ()d i m ()d i m ()V V V V +=+，则和12V V +是直和； (B) 若n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 可以对角化； (C) (2)n n ≥阶方阵的最小多项式的次数必小于n ； (D) 有限维欧氏空间中保持长度不变的变换一定是正交变换。
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教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期
期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B )
试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷；
2.试题解答全部书写在本试卷上。
班号： 学号 姓名
一、选择题：（每题3分，共15分）
1．当λ=（ ）时，方程组1231231
222x x x x x x λ
++=⎧⎨
++=⎩，有无穷多解。
A 1
B 2
C 3
D 4
2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。
A 线性相关
B 线性无关
C 线性相关或线性无关
D 不一定
3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。
A 2
()A E + B -3A C *A D T
A
4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1
P A P -为（ ）。
A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。
A A 与B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值
1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量
=+-+4321αααα 。
2．若120s ααα++
+=，则向量组12,,
,s ααα必线性 。
3．设向量空间1212{(,,
)|0,}n n i V x x x x x x x R =++
+=∈，则V 是 维空间。
4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。
5．设矩阵A 满足条件2
560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 。
6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(2
2
2
---++=的矩阵是____________。
7. A ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2000000
1k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。
8. 设σ为变换，V 为欧氏空间，若V ∈∀ηξ,都有
ηησξσ,)(),(=，则
σ为
变换。
9. 设(),,,,21n a a a =α，则在n
R 中，α= 。
三、计算题：（共4小题，总计46分）
1．（
12分）设n 阶矩阵 (2)n ≥，
11
111111
1A ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。
求A 的特征值和特征向量，并判断A 是否相似于对角阵。
二、填空题：（每题3分，共27分）
2．（12分）讨论a 取何值时，方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=++-=++2
23321
321321ax x x x ax x a x x ax 有解，并求解。
3．（10分）求矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=320230005A 的特征根和相应的特征向量。
4．（12分）求一个正交变换PY X =把二次型2
33222213213234),,(x x x x x x x x f +++=化为只含有平方项的标准形。
四、证明题：（共1小题，总计12分）
1.（12分）设γβα,,线性无关，证明αγγββα+++,,也线性无关。