应用泛函分析教案
泛函分析教案范文
泛函分析教案范文泛函分析是数学中重要的一个分支，研究的是无穷维的函数空间及其上的线性算子的性质和应用。
泛函分析在数学的许多领域中都起到了重要的作用，尤其是在数学物理中的应用广泛。
本教案将介绍泛函分析的基本概念、定理和方法，以及其在实际问题中的应用。
一、教学目标1.理解泛函分析的基本概念和基本定理；2.掌握泛函分析的基本方法和技巧；3.了解泛函分析在实际问题中的应用。
二、教学内容1.泛函空间的定义和性质；2.算子的定义和性质；3. Hilbert空间和Banach空间的基本概念和定理；4.偏微分方程的变分方法和泛函分析的应用。
三、教学方法1.讲授法：通过讲解理论和定理，引导学生理解泛函分析的基本概念和基本定理；2.练习法：通过给学生提供大量的例题和习题，培养学生运用泛函分析的方法和技巧解决实际问题的能力；3.讨论法：通过小组讨论和探讨，引导学生深入理解和掌握泛函分析的概念和方法。
四、教学步骤1.引入泛函分析的基本概念和基本问题，介绍泛函空间的定义和性质；2. 介绍算子的定义和性质，引出Hilbert空间和Banach空间的概念和基本定理；3.讲解偏微分方程的变分方法和泛函分析的应用，举例说明；4.给学生布置相关习题和作业，要求学生运用泛函分析的方法解决实际问题。
五、教学评价1.课堂讨论和小组讨论，评价学生的理解泛函分析的能力；2.习题和作业的完成情况，评价学生运用泛函分析解决实际问题的能力；3.课程考试，综合评价学生对泛函分析的掌握程度。
六、教学资源1.教材：《泛函分析》；2.讲义：泛函分析的基本概念和基本定理；3.习题集：泛函分析的相关习题和作业。
七、教学反思泛函分析是一门相对抽象和复杂的数学学科，对学生的数学基础和抽象思维能力要求较高。
在教学中，要注重培养学生的推理和分析能力，引导学生探究问题的本质和核心。
同时，要通过大量的例题和习题，加强学生的理解和应用能力。
此外，还要注重掌握泛函分析在实际问题中的应用，为学生提供更多的实例和案例，培养学生运用泛函分析解决实际问题的能力。
泛函分析解读课程设计
泛函分析解读课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解泛函分析的基本概念，如赋范线性空间、内积空间、有界线性算子等；2. 掌握泛函分析中的重要性质和定理，如开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理等；3. 学会运用泛函分析方法解决实际问题，如优化问题、微分方程等。
技能目标：1. 能够运用泛函分析的知识对实际问题进行建模和求解；2. 能够运用数学软件（如MATLAB）进行泛函分析的计算；3. 能够运用逻辑推理和证明方法，阐述泛函分析中的性质和定理。
情感态度价值观目标：1. 培养学生严谨、科学的思维方式和探究精神，增强对数学美的感悟；2. 培养学生团队协作和沟通交流的能力，学会倾听、尊重他人观点；3. 激发学生对数学学科的兴趣和热情，提高学生的学术素养。
课程性质：本课程为高年级数学专业或相关专业的学科基础课程，旨在帮助学生掌握泛函分析的基本概念、性质和定理，培养其运用泛函分析方法解决实际问题的能力。
学生特点：学生具备一定的数学基础和分析能力，具有较强的逻辑思维和抽象思维能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调知识的应用性和实践性。
通过案例分析、讨论交流等教学方式，引导学生掌握泛函分析的核心内容，提高其分析问题和解决问题的能力。
同时，注重培养学生的学术素养和团队协作精神。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于后续教学设计和评估。
二、教学内容1. 引言与背景：介绍泛函分析的发展历程、应用领域及与其它数学分支的联系。
2. 赋范线性空间：涵盖赋范线性空间的定义、性质、例证，以及范数的性质和运算。
- 教材章节：第2章 赋范线性空间- 内容列举：范数的定义与性质、Cauchy序列与完备性、赋范线性空间的例子。
3. 内积空间：探讨内积的定义、性质、希尔伯特空间及其几何意义。
- 教材章节：第3章 内积空间- 内容列举：内积的定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式、内积空间的例子、希尔伯特空间。
应用泛函分析教案
第二章 度量空间§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：一 复习度量空间的概念设X 是个集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为 ()y x d ,=()2112⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=ni i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x bt a -≤≤max .pl （)1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k xx x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=pi pii y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=. 二 度量空间的进一步例子例1 设X 是任意非空集合，对于∈∀y x ,X ，令()y x d ,=⎩⎨⎧=≠y x y x 当，当，0;1容易验证 01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔; 02()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立. 称(X ，d )为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例2 序列空间S 令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k kkk k k y x y x -+-1. 显然右边的级数总是收敛的. 易知()y x d ,0≥，且()y x d ,=0y x =⇔. 即()y x d ,满足条件01. 对C b a ∈∀,，先证≤+++ba b a 1aa +1+bb +1.实因令 ()t t t f +=1 (+∞<≤t 0)，则因为()2)1(1t t f +='0>，所以函数 ()ttt f +=1 在[)+∞,0上单调递增. 又因为 b a b a +≤+，所以有≤+++ba b a 1b a b a +++1=b a a ++1+b a b ++1≤a a +1+bb+1. 再令 {}∞==1k k z z ，k k z x a -=，k k y z b -=，则 k k y x b a -=+. 由上述已证的不等式，得kk k k y x y x -+-1≤kk k k z x z x -+-1+kk k k y z y z -+-1.由此推得 02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,S 都成立. 故S 按()y x d ,成一度量空间.例3 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .显然()y x d ,0≥，且()y x d ,=0⇔A t ∈∀成立()()t y t x =，即()y x d ,满足条件01.又A t ∈∀，有 ()()t y t x -≤()()t z t x -+()()t y t z -≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup所以 ()()t y t x At -∈sup ≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup . 即()y x d ,满足条件02. 特别当[]b a A ,=时，()A B =[]b a B ,.例4可测函数空间()X M设()X M 为X 上实值(或复值)的Lebesgue 可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令()g f d ,=()()()()⎰-+-Xdm t g y f t g t f 1.若把()X M 中两个几乎处处相等的函数视为()X M 中同一个元素，则()g f d ,≥0且()g f d ,=0 ⇔ g f =，即()g f d ,满足条件01. 其次(参考例2)()g f d ,=()()()()⎰-+-X dm t g y f t g t f 1≤⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-X dm g h gh h f h f 11=⎰-+-Xdm hf h f 1+⎰-+-Xdm gh g h 1=()h f d ,+()g h d ,，对∈∀h g f ,,()X M 都成立. 即 ()g f d , 满足条件02. 故()X M 按上述距离()g f d ,成为度量空间.作业 P 205. 2. 4.作业提示 2. 与例2处理方法类似.4.利用xx+1 当0≥x 时的递增性.§2.2(1) 度量空间中的极限 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义. 教学过程：设()d X ,为度量空间，d 是距离，定义()ε,0x B =(){}ε<∈0,x x d X x 为0x 的以ε为半径的开球，亦称为0x 的ε邻域.例1 设()d X ,是离散的度量空间，d 是距离，则()ε,0x B ={}⎩⎨⎧>≤<1,;10,0εε当当X x仿§2.2-§2.3，设E 是度量空间()d X ,中的一个子集，0x 是X 中一点若存在0x 的某一邻域()0x U ，s.t. ()0x U ⊂E ，则称0x 为E 的内点. 若0x 是CE 的内点，则称0x 为E 的外点. 若∀()0x U 内既有E 的点又有非E 的点，则称0x 为E 的边界点. 若∀()0x U 内都含有无穷多个属于E 的点，则称0x 为E 的聚点. E 的全体聚点所成集合称为E 的导集，记为E '. E E '称为E 的闭包，记为E . 若E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. 若E '⊂E ，则称E 为闭集.例2在欧氏空间1R 中，记A 为全体有理数点的集合，B 为全体无理数点的集合.则集合A 及B 均无内点，均无外点; ∈∀x 1R 既是A 又是B 的界点，既是A 又是B 的聚点; 1R 既是A 又是B 的导集，既是A 又是B 的闭包; A 、B 既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合1R 离散化，则∈∀x A 都是A 的内点，∈∀y B 都是B 的内点，因此A 、B 在离散空间中均为开集; A 、B 均无界点; A 之外点集合为B ，B 之外点集合为A ; A 、B 均无聚点，因此Φ='A ，Φ='B ，A A '⊃，B B '⊃，故A 、B 均为闭集.设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t.()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 实因若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .附注 (*)式换个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d ,是x 和y 的连续函数.证明 ()y x d ,≤()0,x x d +()00,y x d +()y y d ,0 ⇒()y x d ,-()00,y x d ≤()0,x x d +()y y d ,0;()00,y x d ≤()x x d ,0+()y x d ,+()0,y y d ⇒()00,y x d -()y x d ,≤()0,x x d +()y y d ,0. 所以|()y x d ,-()00,y x d |≤()0,x x d +()y y d ,0 例3 设()d X ,为一度量空间，令()ε,0x B =(){}ε<∈0,,x x d X x x ， ()ε,0x S =(){}ε≤∈0,,x x d X x x . 问()ε,0x B =()ε,0x S ?答 在n R 空间中，必有()ε,0x B =()ε,0x S . 在离散度量空间()d X ,中，当1=ε时，()ε,0x B ={}0x ，()ε,0x S =X ，此时()ε,0x B ≠()ε,0x S . 毕.设M 是度量空间()d X ,中的点集，定义. ()M δ=()y x d My x ,sup ,∈为点集M 的直径. 若()M δ=()y x d My x ,sup ,∈∞<，则称M 为()d X ,中的有界集(等价于固定0x ，M x ∈∀，()B x x d ≤0,，B 为某正数，则为有界集).()d X ,中的收敛点列{}∞=1n n x 是有界集. 实因，设=∞→n n x lim0x ，则数列(){}0,x x d n 收敛于0,故00>∃M ，s.t.N ∈∀n 有()00,M x x d n ≤. 所以m n ,∀∈N ，有 ()≤m n x x d ,()0,x x d + ()m x x d ,002M ≤.()d X ,中的闭集可以用点列极限来定义： M 为闭集 ⇔ M 中任何收敛点列的极限都在M 中，即若∈n x M ， ,2,1=n ，x x n →，则∈x M .具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m nm m x x x ,,,21 ， ,2,1=m ，为n R 中的点列，x =()n x x x ,,,21 ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211nm n m m x x x x x x -++-+- . x x m →()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于()t x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ， ,2,1=m ，及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x . 实因，若对每个k 有()k m kξξ→()∞→m ，则因∑∞=121k k收敛，所以N ∈∃m ，s.t. 221ε<∑∞=mk k. 因为对每个1,,2,1-=m k ，存在N ∈k N ，s.t.当k N n >时()k n k ξξ-2ε<. 令{}121,,,max -=m N N N N ，当N n >时，成立∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1<∑-=1121m k k 212εε+<2ε. 所以当N n >时，成立()x x d n ,=∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1+∑∞=m k k 21()()k n k kn k ξξξξ-+-1<2ε+2ε=ε.所以x x n →()∞→n反之，若x x n →()∞→n ，即()x x d n ,=∑∞=121k k()()k n k kn k ξξξξ-+-10→()∞→n .又因为N ∈∀k ，有()()kn k kn k ξξξξ-+-1k 2≤()x x d n ,，所以当∞→n 时，()()kn k kn k ξξξξ-+-1→0所以0>∀ε，N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立()()kn k kn k ξξξξ-+-1<εε+1. 所以()k n k ξξ-ε<. 所以N ∈∀k ，有()k n k ξξ→()∞→n .4. 可测函数空间()X M 设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-Xn n dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒.实因，若f f n ⇒，则0>∀σ，有[]()σ≥-f f X m n 0→ ()∞→n . 0>∀ε(不妨设()X m 2<ε)，取()220εεσ-<<X m ，则()21εσσ<+X m . 今对这样取定的ε及σ，因f f n ⇒，故N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立[]()σ≥-f f X m n 2ε<. 所以()f f d n ,=()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1+()()()()[]⎰<--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤[]()σ≥-f f X m n 1⋅+()21εσσ<+X m +2ε=ε. 所以()f f d n ,0→()∞→n . 所以f f n →()∞→n .反之，若f f n →()∞→n ，即()f f d n ,0→()∞→n . 对0>∀σ，由于[]()≤≥-+σσσf f X m n 1()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤()f f d n ,. 所以[]()0lim =≥-∞→σf f X m n n ，即f f n ⇒.以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中. 作业 P 205. 5.作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间S ”，并利用 ()()()()()()()()t f t f t f t f r r nr r n bt a -+-≤≤1max=()()()()()()()()t ft f t f t f nax r r n bt a r r n bt a -+-≤≤≤≤max 1.§2.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念. 教学过程：Th 设B 是度量空间X 的一个子集，则集合(){}ε<∈∈=y x d B y X x x O ,,,是个开集，且B ⊂O .证明 设∀0x ∈O ，则∃0y ∈B ，s.t. ()00,y x d <ε. 所以0x ∈()ε,0y U ⊂O . ()δ,0x U x ∈∀，其中εδ<<0-()00,y x d ，则()0,y x d <(ε-()00,y x d )+()00,y x d =ε. 所以()δ,0x U ⊂()ε,0y U ⊂O . 所以∀0x 是O 之内点. 所以O 是开集.又证 以B 中每一点为心作半径ε的邻域，所有这些邻域的并集就是集合O .每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故O 为开集. 至于B ⊂O 是很显然的. 证毕.附注 当0→ε时，得到是B 之闭包未必是B . 例如B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1⊂1R .O = ∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,1n k n U ⊃⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k U 1,11=()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-112,11k k k k k ⊃{}0，但∉0B . P 205.6. 设B ⊂[]b a ,，证明度量空间C []b a ,中的集(){}0,=∈t f B t f 时当为C []b a ,中的闭集，而集(){}()0,><∈=a at f B t f A 时当为开集 ⇔ B 为闭集.证明 设(){}∞=1n n t f ⊂(){}0,=∈t f B t f 时当且在[]b a C ,中()()t f t f n →.则当B t ∈时，对N ∈∀n ，有()t f n =0. 令∞→n ，得B t ∈时，()0=t f . 所以()∈t f (){}0,=∈t f B t f 时当. 所以(){}0,=∈t f B t f 时当是闭集.“⇐” 设B 为闭集，()t f 0∈A ，则 ()a t f <0(当B t ∈). 因()t f 0在B 连续，所以()t f 0≤Bt ∈max ()t f 0a <(当B t ∈). 取ε：0<ε<a -Bt ∈max ()t f 0，则对()t f ∀∈()ε,0f U ，有()()t f t f 0-≤[]b a t ,max ∈()()t f t f 0-<ε. 所以()t f <()t f 0+ε. 所以当B t ∈()t f ≤()t f 0+ε<Bt ∈max ()t f 0+(a -Bt ∈max ()t f 0)=a所以()ε,0f U ⊂A . 所以A 为开集.“⇒” 设A 为开集. 设{}∞=1n n t ⊂B ，0t t n →且0t B ∉.取点()t f ：()t f ∈A =(){}a t f B t f <∈时，当，则()n t f <a ，令∞→n 得，()a t f ≤0.因为0t B ∉，故只有()a t f =0. 不妨设()0t f =a (()0t f =-a 时同法可证之). 因为A 为开集，所以00>∃ε，s.t.()0,εf U ⊂A =(){}a t f B t f <∈时，当. ：ε∀00εε<<，因为()()()0εεε<=+t f t f d ，，所以点因为()n n t f ∞→lim =()0t f ，所以对上述0>ε且0εε<，存在N t ∈B ，s.t.()()ε<-0t f t f N ， 所以()0t f -ε<()N t f . 所以()N t f +ε>()0t f =a .但由方框，应有()ε+N x f <a ，与()N t f +ε>()0t f =a 相互矛盾. 这就证明了B B '⊃. 故B 为闭集. 证毕.Def 1 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M 的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可列的稠密子集，则称X 是可分空间.例1 n 维欧氏空间n R 是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是n R 的可列稠密子集.设M 是闭区间[]b a ,全体有理数集合，N 是[]b a ,全体无理数集合. 在1R 中，因为M ⊂N ，N ⊂M ，所以N 在M 中稠，M 在N 中稠. 因为[]b a ,⊂M ，[]b a ,⊂N ，所以M 和N 都在[]b a ,中稠密. 若X =[]b a ,视为1R 的子空间，则X 是可分空间.例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可列集.实因在X 中没有稠密的真子集(因X 中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以X 中唯一的稠密子集只有X 本身，因此X 可分的充要条件为X 是可列集.例3 令∞l 表示有界实(或复)数列全体. 对∞l 中() ,,21ξξ=∀x ，y =() ,,21ηη，定义()y x d ,=k k kηξ-sup .显然()y x d ,≥0 且()y x d ,=0 ⇔ k k kηξ-sup =0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ-=0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ= ⇔ y x =. 其次设z ∀=() ,,21ςς∈∞l . 因为N ∈∀k ，都有k k ηξ-≤k k ςξ-+kk ςη-≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup . 所以k k kηξ-sup ≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup .即()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,. 所以∞l 按()y x d ,成为度量空间.往证∞l 是不可分空间.令M 表示∞l 中坐标k ξ取值为0或1的点() ,,21ξξ=x 的全体，则M 与二进位小数一一对应，所以M 有连续统的基数，对M 中任意的两个不同点y x ,，有()y x d ,=1. 若∞l 可分，则∞l 中存在可列稠密子集，设为{}∞=1k k z . 对M 中每一点x ，作球⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛M x x B 31,是一族的两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于{}∞=1k k z 在∞l 中稠密，所以每个⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B 中至少含有{}∞=1k k z 中的一点，这与{}∞=1k k z 是可列集矛盾. 证毕.作业： P 205. 3.7.8.9.作业解答： 3. 令n O =()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈∈n y x d B y X x x 1,,,,则n O 是开集且n O B ⊃. 因为n O ↓，所以n n O ∞→lim = ∞=1n n O . 因B 是闭集，所以n n O ∞→lim =B ，即 ∞=1n n O =B .7. 取ε：0<ε<()F E d ,31. 作开集 O =(){}ε<∈a x d E a x ,, 和G =(){}ε<∈b y d F b y ,,，则O ⊃E ，G ⊃F . 又∀a ∈E ，∀b ∈F ，∀x ∈O ，∀y ∈G ，有 ()b a d ,≤()x a d ,+()y x d ,+()b y d ,. 所以()y x d ,≥()b a d ,-()x a d ,-()b y d ,≥()F E d ,-()F E d ,31-()F E d ,31=()F E d ,31>0. 所以x ≠y . 所以O 与G 必不相交. 又证不相交 若c ∈O G ，则存在()ε,a U 和()ε,b U ，a ∈E ，b ∈F ,s.t.c ∈()ε,a U ()ε,b U . 于是0<()F E d ,≤()b a d ,≤()c a d ,+()b c d ,<ε+ε<32()F E d ,. 矛盾. 所以 O G =Φ.8. ∀x ∈[]b a ,，令()t f x =[]{}⎩⎨⎧-∈=x b a t xt ,,0,1 则集合M =()[]{}b a x t f x ,∈含有不可数个元素()t f x ，M ⊂B []b a ,，∀()t f x 、()t f y ∈M 且x ≠y 时，()y x f f d ,=1. 若[]b a B ,可分，则[]b a B ,中存在可列的稠密子集，记为(){}t f n . 对M 中每一点()t f x ，作球()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x ，则()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛M t f t f B x x 31,是一族两两不相交的球，总数有不可列个.但由于(){}t f n 在[]b a B ,中稠密，所以每个()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x 中至少含有(){}t f n 中的点，这与(){}t f n 是可列集矛盾. 故[]b a B ,不可分.9. 因为X 可分，所以存在稠密子集B ={} ,,21x x . 对于每个O x ∈.存在()r x U ,⊂O . 因为B 在X 中稠密，所以可在⎪⎭⎫⎝⎛4,r x U 中取出B 中一点k x . 取有理数r '：24r r r <'<，所以x ∈()r x U k ',⊂()r x U ,⊂O ，且所有()r x U k ',至多可列个，包含它的开集O 至多可选出可列个. 证毕.§2.3 连续映照教学内容(或课题)：目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题.教学过程：Def 1 设X =()d X ,，Y =()d Y ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映照：X =()d X ,T→ Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t.∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续：用邻域来描述T 在0x 连续：对0Tx 的每一个ε-邻域N ，必存在0x 的某个δ-邻域0N ，s.t. 0TN ⊂N (0TN 表0N 在T 作用之下的像集). 也可以用极限来定义映照的连续性，基于Th 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映照：()d X ,T→()d Y ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx .证明 “⇒” 设T 在0x 连续，则∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε. 因为n x →0x ，所以∃N ∈N ，s.t.当n >N 时，有()0,x x d n <δ. 所以()0,Tx Tx d n <ε. 所以n Tx →0Tx . “⇐” 反证法. 若T 在0x 不连续，则∃0ε>0，s.t. ∀δ>0，∃x ≠0x ，虽然()0,x x d <δ，但是()0,~Tx Tx d ≥0ε. 特别取δ=n1，则有n x ，s.t.当()0,x x d <n1时，有()0,~Tx Tx d n ≥0ε. 即n x →0x 时，有n Tx 不→0Tx . 与假设矛盾.证毕.若映照T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映照. 称集合{}M Tx X x x ∈∈,(M ⊂Y )为集合M 在映照T 下的原像.简记为M T 1-.用开集刻划连续映照，就是Th 2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.证明 “⇒” 设T 是连续映照，M ⊂Y 是Y 中开集. 若M T 1-=Φ，则M T 1-是X 中开集. 若M T 1-≠Φ，则0x ∀∈M T 1-，令0y =0Tx ，则0y ∈M . 由于M 是开集，所以存在邻域()ε,0y N⊂M . 由T 的连续性，存在邻域()δ.0x N ，s.t. T ()δ.0x N ⊂ ()ε,0y N ⊂M . 从而 ()δ.0x N ⊂1-T ()ε,0y N ⊂M T 1-. 所以0x 是M T 1-的内点. 因为0x ∈M 是任意的，所以M T 1-是X 中的开集.“⇐” 设Y 中每个开集的原像是开集. 0x ∀∈X ，则()ε,01Tx N T -是X 中的开集. 又0x ∈()ε,01Tx N T -，所以0x 是()ε,01Tx N T -的内点，所以存在邻域()δ.0x N ⊂()ε,01Tx N T -. 所以T ()δ.0x N ⊂()ε,0Tx N ，所以T 在0x 连续. 又0x ∈X 是任意的，所以T 是X 上的连续映照. 证毕.利用()CM T 1-=()M T C 1-，又有Th 2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.证明 “⇒” 设T 是X 上的连续映照，又设M ⊂Y ，M 是闭集，则CM 是开集. 由Th2, ()CM T 1-是开集. 但()CM T 1-=()M T C 1-，故M T 1-是X 中的闭集.“⇐” M ∀⊂Y 且M 是闭集，则CM 是开集. 由()CM T 1-=()M T C 1-，及Y 中任何闭集M 的M T 1-总是X 中的闭集，得Y 中任何开集CM 的原像()CM T 1-总是开集，由Th2, T 是X 上的连续映照. 证毕.P 206.10. 设X 为距离空间，A 为X 中的子集. 令()x f =()y x d Ay ,inf ∈, x ∈X . 证明()x f 是X 上的连续函数.证明 0x ∀∈X ，n x ∀∈X ， ,2,1=n ，s.t.n x →0x .y ∀∈A ⊂X ，因为 ()y x d n ,≤()0,x x d n +()y x d ,0，所以 ()y x d n Ay ,inf ∈≤()0,x x d n +()y x d ,0， 所以 ()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n≤()y x d ,0, 所以()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n ≤()y x d Ay ,inf 0∈，所以()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈≤()0,x x d n . 同理()y x d Ay ,inf 0∈-()y x d n Ay ,inf ∈≤()n x x d ,0.所以|()()0x f x f n -|=|()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈|≤()0,x x d n →0(∞→n ).所以()x f 是X 上的连续映照(Th 1). 作业： P 206. 11. 12. 13.作业解答： 11. 先证 ()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0. 否则>∀ε0，x ∃∈1F ，y ∈2F ，s.t. ()y x d ,<ε. 令ε=m1，则∃m x ∈1F ，m y ∈2F ，s.t. ()m m y x d ,<m1,令∞→m ，由于()y x d ,是二元连续函数，故得()00,y x d =0(0x ∈1F 是m x 的聚点，0y ∈2F 是m y 的聚点，聚点存在).因此0x =0y 与1F 2F =Φ相矛盾，故()21,F F d =()y x d F y Fx ,inf 21∈∈>0.取ε：0<ε<21()21,F F d ，再令1G =() 1,F x x U ∈ε，2G =() 2,F y y U ∈ε，则1G 与2G 均为开集. 下证∀()ε,x U 与∀()ε,y U 都不相交. 若不然设∃z ∈()ε,x U ()ε,y U ，则()y x d ,≤()z x d ,+()y z d ,<ε+ε<()21,F F d . 与()y x d ,≥()21,F F d 相矛盾. 故任意二邻域不相交，从而1G 2G =Φ.12. ∀取开集G ⊂Z . 因为g 是Y 到Z 中的连续映照, 所以G g 1-⊂Y 是开集.因为f 是X 到Y 中的连续映照，所以()G g f 11--⊂X 是开集. 即()G gf 1-⊂X 是开集. 所以 gf 是X 到Z 中的连续映照.13. 由Th 2'或由()M T C 1-=()CM T 1-和Th2推得. 附注 区间(]c ，∞-及[)∞+，c 均为闭集.§2.4 压缩映象原理及其应用本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach 压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具.随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法.几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）.但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了.而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点.例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach压缩映象定理.定义（压缩映象）设T是度量空间X到X中的映照，如果对都有（是常数）则称T是X上的一个压缩映照.从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）定理1（Banach压缩映照原理）1922年（Banach 1892-1945 波兰数学家）设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点.即的使证：任取令（此即解方程的逐次迭代法）先证是Cauchy点列①①先考虑相邻两点的距离②再考虑任意两点的距离当n>m时==是Cauchy点列是完备度量空间,使下证x为不动点再证不动点唯一若还有,使则因必须注:①定理条件(a)X完备,(b)缺一不可，反例如下(a)若X不完备,则定理不成立例如:令X=(0,1),用欧氏距离,则但不动点(b)定理不成立例如:令 X=R用欧氏距离则但显然T无不动点.②若将空间X条件加强为紧距空间，则压缩因子条件可放宽为1，即可改为限于我们的学时，我们只介绍一下Banach压缩映象原理的简单应用.定理2（隐函数存在定理）设在带状区域上处处连续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合.则方程f在闭区间上有唯一的连续函数,使.证：（在中考虑映照，若其为压缩映照，则有不动点）在完备度量空间中作映照,显然,对由连续函数的运算性质有.是到自身的一个映照下证是压缩的.即证,任取由微分中值定理,存在,使令则,故取最大值映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理在上有唯一的不动点使显然这个不动点适合注：①注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得.注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法.②②此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数.下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard定理.定理3：（Picard定理 Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一性定理）（Picard 法国人 1856—1941 Peano意大利人1858--1932）设在矩形上连续,设又在R上关于x満足Lipschitz（德国人 1832--1903）条件,即存在常数k使对有,那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解.其中证：设表示在区间上的连续函数全体.对成完备度量空间.又令表示中满足条件的连续函数全体所成的子空间.显然闭,因而也是完备度量空间.令如果当时,而是R上的二元连续函数,映照中积分有意义.又对一切故T是到的一个映照下证是压缩的.由Lipschitz条件,对中的任意两点有令,则由有.则故T是压缩的.由Banach压缩映象定理,T在中有唯一的不动点.即使即且即是满足初值条件的连续解.再证唯一性.如果也是满足的连续解.那么因而而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.故有唯一解.注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性.实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛.因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程则题设条件可大大放宽：只要有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解.注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取令则解.且在Banach不动点定理的证明中,有.即此式给出了用逼近解的误差估计式.补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理简介鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用.一、Brouwer不动点定理及其应用：（一）Brouwer不动点定理（Brouwer：荷兰人 1881-1966）定义（凸集）：X为一集,若则称A为X的凸子集.定理1（Brouwer不动点定理）：设为的有界闭凸集，连续,则使.证：1、若证明如下：不妨设作辅助函数显然在上连续.从而变成证明使即可.显然:否则则0为f之不动点;否则则1为f之不动点:(证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得使证毕.2、若,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录.3、注意到Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱.下面我们讨论Brouwer不动点定理的应用.（二）证明代数基本定理：代数基本定理：复系数一元n次方程至少有一个复根.证：令作辅助函数考虑闭圆盘：显然 c为有界闭凸集，且连续（只要考虑z=1连续即可，而这是显然的.）.下证将c映入c:当时当时=将 c映入 c. 由Brouwer不动点定理使使证毕（三）证明Perrou定理：Perrou定理：矩阵使.即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量.证：设,令为标准单纯形，则.作映照显然为连续映照.下面先证将映入.注意到.则由Brouwer不动点定理使即.令则有.下证的每个分量严挌大于零.由的第i个分量方程为正矩阵一定存在正特征值和特征向量.（四）Rother证明定理：Brouwer定理条件可以减弱，作为Brouwer不动点定理的推广，下面我们证明Rother定理.Rother定理：为单位球，在上连续,且当时,使.证：作辅助函数则连续,且.作,则F在上连续,且将映入.由 Brouwer不动点定理,F有不动点.即,使得.下证此为之不动点.若若先用反证法证明.若,则矛盾,.从而故 f有不动点. 证毕Brouwer不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈.对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论及其应用》.我们可以进一步将Brouwer不动点定理推广到无穷维空间—这就是Schauder不动点定理.二、Schauder不动点定理：（Schauder:1899-1940）首先我们注意到度量空间中：紧集列紧闭集（致密闭集），在拓扑空间中：紧集任意开复盖都有有限复盖之集.Schauder不动点定理：紧凸集到自身的连续映照必有不动点.证：（略）Schauder不动点定理的应用（略）.我们还可以将Schauder不动点定理再推广到多值映照得到Kakutani不动点定理.。
泛涵分析课程设计
泛涵分析课程设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握泛函分析的基本概念和基本性质，能够运用泛函分析的方法解决一些实际问题。
具体来说，知识目标包括：掌握泛函空间、映射、变换等基本概念；理解泛函分析的基本性质，如闭性、连续性等；掌握泛函分析的基本运算，如加法、数乘等。
技能目标包括：能够运用泛函分析的方法解决一些线性代数和微分方程的问题；能够运用泛函分析的方法分析和解决一些实际问题。
情感态度价值观目标包括：培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力；培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生对数学的自信心。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括泛函分析的基本概念、基本性质和基本运算。
具体来说，首先介绍泛函空间的概念，包括赋范空间、内积空间等，并介绍其基本性质；然后介绍映射和变换的概念，包括连续性、可积性等，并介绍其基本性质；最后介绍泛函分析的基本运算，如加法、数乘等，并介绍其运算规则。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，将采用多种教学方法进行教学。
首先，采用讲授法，向学生讲解泛函分析的基本概念、基本性质和基本运算；其次，采用讨论法，引导学生进行思考和讨论，提高学生解决问题的能力；再次，采用案例分析法，通过分析一些实际问题，让学生学会运用泛函分析的方法解决问题；最后，采用实验法，让学生通过实验验证泛函分析的理论和方法。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将选择和准备以下教学资源。
首先，教材《泛函分析导论》作为主要的学习材料，为学生提供系统的泛函分析知识；其次，参考书《泛函分析原理》和《泛函分析的应用》作为辅助的学习材料，为学生提供更多的泛函分析的知识和实例；再次，多媒体资料，包括PPT、视频等，用于辅助讲解和演示；最后，实验设备，如计算机、投影仪等，用于实验和演示。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，将采用多种评估方式。
平时表现占30%，包括课堂参与度、提问回答、小组讨论等；作业占20%，包括课后习题、小论文等；考试占50%，包括期中和期末考试。
应用泛函分析教案
应用泛函分析教案第一章：泛函分析引言1.1 泛函分析的概念介绍泛函分析的基本概念，例如赋范线性空间、内积空间、巴拿赫空间等。
解释泛函分析与其他数学分支的关系，例如微积分、线性代数等。
1.2 泛函分析的应用探讨泛函分析在数学物理中的重要作用，例如偏微分方程、量子力学等。
介绍泛函分析在工程和计算机科学中的应用，例如信号处理、机器学习等。
第二章：赋范线性空间2.1 赋范线性空间的基本概念定义赋范线性空间，介绍范数的性质和例子。
解释赋范线性空间中的距离和角度概念。
2.2 赋范线性空间的主要结果介绍赋范线性空间中的基本定理，例如三角不等式、平行四边形法则等。
探讨赋范线性空间中的极限和连续性概念。
第三章：内积空间3.1 内积空间的基本概念定义内积空间，介绍内积的性质和例子。
解释内积空间中的正交性和角度概念。
3.2 内积空间的主要结果介绍内积空间中的基本定理，例如帕施-柯尔莫哥洛夫定理、正交基等。
探讨内积空间中的谱理论和量子力学中的应用。
第四章：巴拿赫空间4.1 巴拿赫空间的基本概念定义巴拿赫空间，介绍巴拿赫空间的特点和例子。
解释巴拿赫空间中的弱收敛和紧性概念。
4.2 巴拿赫空间的主要结果介绍巴拿赫空间中的主要定理，例如巴拿赫-魏尔斯特拉斯定理、Riesz表示定理等。
探讨巴拿赫空间在函数逼近论和泛函积分中的应用。
第五章：泛函分析的应用实例5.1 信号处理中的应用介绍泛函分析在信号处理中的应用，例如希尔伯特空间、正交函数等。
探讨泛函分析在信号滤波和去噪等问题的解决中的作用。
5.2 机器学习中的应用介绍泛函分析在机器学习中的应用，例如核函数、支持向量机等。
探讨泛函分析在特征选择和优化算法中的作用。
第六章：赋范线性空间的operators6.1 算子概念定义算子和赋范线性空间中的算子，例如线性映射、紧算子、有界算子等。
解释算子的性质和例子，例如线性、连续、可逆等。
6.2 算子的基本理论介绍算子的基本定理，例如谱定理、弗雷德孙定理、盖尔丹定理等。
泛函分析课程教学设计方案
《泛函分析》课程教学设计方案责任教师周勇一课程设计方案的内容与要求（一）课程说明1 课程性质《泛函分析》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课，最近几年来，它已成为高等院校数学与应用数学专业的一门重要基础课。
它的要紧任务是使学生把握抽象分析的大体思想，为进一步学习现代数学打下必要的基础。
2 课程的知识结构概况和在专业知识结构中的地位和作用泛函分析课程的要紧内容是距离空间与拓扑空间、赋范线性空间、有界限性算子、Hilbert空间、拓扑线性空间和Banach代数等。
本课程为选修课，课内学时为72学时，共4学分。
（二）教学媒体的组合利用方案本课程的要紧教学媒体有4大类 ,其作用是在整个学习进程中为学员的自主学习提供必要的辅导和辅助，加深学员对所学知识的明白得，从而达到把握数学大纲规定内容的目的，媒体的组成如下：▲文字教材：文字教材是教学媒体的核心，是传递数学信息及学生进行自主学习的大体依据，是整个数学媒体体系的基础。
包括主教材、参考资料、教学大纲、课程教学设计方案、期末考试说明。
▲音像教材：音像教材是对文字教材内容的进一步阐释与必要的补充（分重点教学和章节温习类型），以增强学生对该课程教学内容的明白得和把握。
采取录像课形式。
▲网络教学：以因特网为媒介，通过网上教学、E-MAIL等网络信息传输手腕为学生和教师提供效劳▲电话教学：该课程责任教师的电话为分类具体说明和要求如下：1 文字教材（1）主教材：本课程文字教材有主教材，名称为《泛函分析》（刘炳初编著）科学出版社出版。
（2）教学大纲：“泛函分析教学大纲”，由四川广播电视大学下发。
（3）课程教学设计方案：由省电大该课程的责任教师编写。
文字教材的利用主体是学生自己。
2 其他媒体的设计利用方案责任教师通过网络组织教学，提供学习支持效劳，利用四川电大教学处主页和电子邮件对学生进行教学辅导。
通过因特网为所有参加开放教育学习的学生发布教学信息，提供Array学习指导。
武汉大学泛函分析授课教案
授课班级：XX级XX班授课时间：2023年X月X日授课教师：XXX教学目标：1. 使学生掌握泛函分析的基本概念和基本性质。
2. 使学生能够运用泛函分析的理论和方法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
教学内容：1. 泛函分析的基本概念2. 线性赋范空间3. 线性算子4. 共鸣定理及其应用5. 自反空间与一致凸空间教学过程：一、导入1. 回顾实变函数和复变函数的基本知识，引出泛函分析的概念。
2. 强调泛函分析在数学和自然科学中的应用。
二、基本概念1. 泛函分析的基本概念：函数空间、线性赋范空间、线性算子等。
2. 通过实例讲解，使学生理解这些概念。
三、线性赋范空间1. 定义线性赋范空间，并举例说明。
2. 讲解线性赋范空间的性质，如闭性、完备性等。
3. 介绍一些常见的线性赋范空间，如Lp空间、C空间等。
四、线性算子1. 定义线性算子，并举例说明。
2. 讲解线性算子的性质，如连续性、有界性等。
3. 介绍一些常见的线性算子，如积分算子、微分算子等。
五、共鸣定理及其应用1. 介绍共鸣定理的定义和证明。
2. 通过具体例子分析共鸣定理在经典分析中的应用。
3. 讲解如何将经典分析中的问题转化为泛函分析中的问题。
六、自反空间与一致凸空间1. 定义自反空间和一致凸空间，并举例说明。
2. 讲解自反空间和一致凸空间的性质，如自然嵌入映射、等距同构等。
3. 介绍一些常见的自反空间和一致凸空间，如Lp空间、Lq空间等。
七、总结1. 总结本节课的主要内容，强调泛函分析在数学和自然科学中的应用。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：1. 通过课堂提问、讨论等方式，了解学生对本节课内容的掌握程度。
2. 课后作业的完成情况作为评价学生掌握知识的重要依据。
3. 定期进行测试，了解学生对泛函分析的整体掌握情况。
应用泛函分析课程教学大纲
应用泛函分析课程教学大纲课程名称：应用泛函分析英文名称：Applied Functional Analysis课程编码：x4080131学时数：48其中实践学时数：0 课外学时数：0学分数：3.0适用专业：信息与计算科学一、课程简介《应用泛函分析》是一门专业选修课程。
课程内容包括距离空间、赋范空间、有界线性算子等基础理论。
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
通过对本课程的学习，使学生掌握泛函分析中的基本概念及方法，培养学生利用泛函分析这一数学工具，分析和解决有关的数学理论问题的能力，为学生今后处理和解决实际问题打下坚实的理论基础。
二、课程目标与毕业要求关系表课程目标毕业要求（1）使学生掌握泛函分析中的基本概念及方法，了解距离空间、拓扑空间、赋范空间的基本概念和原理，培养学生利用泛函分析这一数学工具分析有关的数学理论问题的能力。
(5)基础知识：掌握数学科学的思想方法，具有较扎实的数学基础知识。
(6)专业知识：系统地掌握泛函分析的基础理论和基本方法。
（2）使学生掌握有界线性算子相关理论和方法，具有进一步解决有关的数学理论问题的能力。
(5)基础知识：掌握数学科学的思想方法，具有较扎实的数学基础知识。
(6)专业知识：系统地掌握泛函分析的基础理论和基本方法。
三、课程教学内容、基本要求、重点和难点（一）距离空间和拓扑空间了解距离空间和拓扑空间的基本概念和定理。
理解和掌握空间的完备性的概念。
理解和掌握拓信息与计算科学专业教学大纲- 75 -扑空间的紧性的概念。
掌握压缩映射原理。
重点：距离空间的点集的相关理论，拓扑空间点集的相关理论。
应用泛函分析教案
j +sup j
j=
j
j
d x, z + d y, z . 所以 sup j j d x, z +d y, z . 即
j
d x, y d x, z +d y, z . 所以 d x, y 可定义为C 中 两点间的距离. 于
是 C 按距离 d x, y 成为度量空间( 实际上是l 的一个子空间). 是完备度量空间，先证
例 2l ( 表有界实或复数列全体) 是完备度量空间.
证明 设 xm m 1是 l 中的柯西点列，其中
xm= 1 , 2, .
0, N N
d xm,xn
= sup
m j
n j
j
，s.t. 当 m, n N 时，都有 (1)
因此对每个固定的 j ，当 m, n N 时，成立
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m
n
j
j
. 因为 xN C ,
3
，s.t. j , k N1 时，成立
N
N
j
k
. 所以 j , k N 1 时，成立
3
j
k
j
+ N
N
j
j
+ N
N
k
k
k
+ + =. 333
所以 j j 1 是柯西数列，因而收敛. 所以 x = 1, 2 ,
C . 所以C 是 l 中
的闭子空间. 由 Th 1， C 是完备度量空间. 证毕.
(2)
于是
k j
，k
1,2,
是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距
离是完备的，故存在实或复数 j ，s.t.
泛涵分析课程设计
泛涵分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握泛涵分析的基本概念，如向量空间、线性映射、特征值与特征向量等；2. 使学生理解泛涵分析在数学及相关领域中的应用，如物理、工程、计算机科学等；3. 引导学生运用泛涵分析的知识解决实际问题，提高数学建模和数学思维能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件（如MATLAB、Python等）进行泛涵分析运算的能力；2. 培养学生通过小组合作、讨论与展示，提高沟通与协作能力；3. 培养学生运用泛涵分析知识解决实际问题时，提出假设、建立模型、分析问题和解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对泛涵分析学科的兴趣，激发学生学习数学的热情；2. 培养学生严谨、踏实的科学态度，树立正确的数学价值观；3. 引导学生认识数学在国家和科技创新中的重要作用，培养学生的社会责任感和使命感。
课程性质：本课程为数学专业高年级选修课，旨在提高学生运用泛涵分析知识解决实际问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的数学基础和分析能力，对泛涵分析有一定了解，但实际应用能力有待提高。
教学要求：注重理论与实践相结合，强调学生的主体地位，采用启发式、讨论式教学方法，提高学生的参与度和积极性。
通过本课程的学习，使学生能够将泛涵分析知识运用到实际问题的解决中，为未来的学术研究和工作奠定基础。
二、教学内容1. 引入泛涵分析基本概念：包括向量空间、线性映射、范数、内积、赋范线性空间和希尔伯特空间等基础理论。
相关教材章节：第一章至第三章2. 特征值与特征向量：探讨线性算子的特征值和特征向量，以及它们在物理、工程等领域的应用。
相关教材章节：第四章3. 泛函与变分法：介绍泛函的基本概念，探讨变分法在求解极值问题中的应用。
相关教材章节：第五章4. 偏微分方程：学习偏微分方程的基本理论，并探讨其在工程、物理等领域的应用。
相关教材章节：第六章5. 数值方法：介绍泛涵分析在数值计算中的应用，如线性方程组的求解、优化问题的数值方法等。
大学泛函分析课程设计
大学泛函分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解泛函分析的基本概念，掌握Hilbert空间和Banach空间的定义及其性质；2. 学会运用泛函分析的方法解决实际问题，如对函数序列的收敛性进行分析；3. 掌握泛函分析中的重要定理，如开映射定理、闭图像定理等，并了解其在数学各分支中的应用。
技能目标：1. 培养学生运用泛函分析知识分析和解决问题的能力，提高数学逻辑思维能力；2. 培养学生熟练运用数学符号和数学语言进行表达和交流的能力；3. 提高学生运用计算机软件（如MATLAB）进行数学建模和计算的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对泛函分析学科的兴趣，培养其探索精神和创新意识；2. 培养学生严谨、求实的学术态度，提高其学术诚信意识；3. 增强学生的团队合作意识，使其在合作学习中提升自己，帮助他人。
课程性质：本课程为大学数学专业高年级的专业选修课，具有较强的理论性和应用性。
学生特点：学生已具备一定的数学基础和分析能力，对抽象概念和理论有一定的接受能力。
教学要求：结合课程性质和学生特点，注重理论与实践相结合，强化知识点的内在联系，培养学生运用泛函分析知识解决实际问题的能力。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生积极参与课堂讨论，提高其自主学习能力。
通过本课程的学习，使学生在知识、技能和情感态度价值观方面取得具体的学习成果，为后续深造和从事相关领域工作打下坚实基础。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下五个方面：1. 泛函分析基础概念：包括赋范线性空间、内积空间、Hilbert空间和Banach 空间的定义及性质，以及线性算子及其谱理论的基本概念。
教材章节：第一章至第三章。
2. 泛函分析中的重要定理：学习开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理、一致有界原理等，并探讨其在数学分析中的应用。
教材章节：第四章至第五章。
3. 函数序列与函数项级数的收敛性：研究在赋范线性空间中函数序列与函数项级数的收敛性问题，包括基本收敛定理及各种收敛性质。
泛函分析教案
投影定理：设Y是Hilbert空间X的闭子空间， 是 中的两个向量，如果
则称 与 互相垂直或正交，记为 。
如果 的子集 中每个向量都与子集 中的每个向量正交，
则称 与 正交，记为 。
特别当 只含有一点 时，则称 与 正交，记为
注： 中两个相互正交的向量 与 成立勾股公式，即
教学单元教案格式
课程教案
授课题目：投影定理
教学时数：
授课类型：
□ 理论课□ 实践课
教学目的、要求：
注：指教学中要体现“课程的总体目标”和“章、节或实践教学单元的目标”、预期达到的效果等。
注：指该章、节的重点和难点部分，学生必须掌握的知识点和技能。实践教学还包括实践操作训练的主要指导要点；关键环节、关键技术指导方法等。
注：以下内容按实际需要进行取舍
教学分组；注：指导教师及学生分组情况说明
安全事项；注：教学实践过程中的人身、设备、仪器及产品等安全；操作安全规范说明；或安全隐患防范措施等。
教学条件；注：教学场地、设施、设备、软件等要求说明；
参考资料；注：是提供给学生课后参考，辅助其掌握课程教学内容，扩大知识面的资料
其它；注：指另行增加的要素项目，由各系、教研室根据不同专业不同课程的教学需要自行规定其名称和要求。
利用投影，可以定义X到Y上的映射P如下:
对任意，令
其中y是x在Y上的投影，称P为X到Y上的投影算子。
投影算子的性质：
(1)P是X到Y上的有界线性算子,且当时,
(2)
(3)
2设X是内积空间，M是X的子集，记，显然
反之，有
引理设Y是Hilbert空间X的闭子空间，则有
3引理：设M是Hilbert空间X中的非空子集，则M的线性包
数学教案引导学生理解泛函分析和变分法的基本概念
数学教案引导学生理解泛函分析和变分法的基本概念数学教案：引导学生理解泛函分析和变分法的基本概念引言：泛函分析和变分法是数学中重要的分支，它们在物理、工程、经济等领域发挥着重要作用。
本教案旨在通过引导学生探究泛函分析和变分法的基本概念和应用，提高学生对数学的理解与应用能力。
一、泛函分析的概念和基本理论1. 泛函的定义和特点泛函是将一个函数映射到一个实数的映射，具有线性性和间断性的特点。
通过数学语言的引导，引导学生理解泛函的定义和特点。
2. 泛函空间的基本概念介绍泛函空间的基本概念和性质，如完备性、有界性等，并通过实例让学生加深对泛函空间的理解。
3. 泛函分析的基本定理介绍泛函分析的基本定理，如Hahn-Banach定理、开映射定理等，并通过简单的证明过程让学生理解这些定理的重要性和作用。
二、变分法的基本概念和应用1. 变分法的引入与发展通过引导学生了解变分法的起源和发展历程，让学生了解到变分法的重要性和应用领域。
2. 变分法的基本概念解释变分法中涉及的基本概念，如变分、变分算子等，并通过例题引导学生掌握这些概念的应用方法。
3. 欧拉-拉格朗日方程介绍欧拉-拉格朗日方程的基本思想和推导过程，并通过实际例子引导学生理解方程的求解方法及其在物理和工程问题中的应用。
4. 应用案例：最小作用量原理引导学生通过最小作用量原理来理解和应用变分法，例如在经典力学中的应用，通过求解极小作用量路径来得到物体在空间中的运动轨迹。
三、综合应用案例：泛函分析与变分法1. 函数逼近与最佳逼近问题运用泛函分析的基本概念和变分法的思想，通过案例引导学生学习函数逼近和最佳逼近问题，如p次多项式逼近、傅里叶级数逼近等。
2. 最优控制问题引导学生了解最优控制问题，通过泛函分析和变分法的方法，求解对控制系统具有最优性能的控制律。
结语：本教案通过引导学生理解泛函分析和变分法的基本概念和应用，提供了一些具体案例来加深学生对这些数学方法的理解。
应用泛函分析讲义第1章
在经济学中的应用
金融数学
在金融数学中，泛函分析用于描 述和解析金融市场的动态行为， 如期权定价和风险评估。
计量经济学
在计量经济学中，泛函分析用于 建立经济数据的统计模型，如时 间序列分析和回归分析。
微观经济学
在微观经济学中，泛函分析用于 描述和解析市场供需关系和个体 行为，如消费者选择和生产者行 为。
02
线性空间与线性映射
线性空间的基本概念
线性空间
由满足加法和标量乘法封闭性的元素集合构成。
基与维数
线性空间中线性无关的元素个数称为该空间的 维数，而线性无关的元素组称为该空间的基。
线性子空间
线性空间中的子集，满足子集中的元素也满足线性空间的定义。
线性映射的基本概念
01
02
03
线性映射
将一个线性空间的元素映 射到另一个线性空间的元 素，且满足线性映射的运 算性质。
感谢您的观看
THANKS
03 范数的性质包括非负性、正齐次性、三角不等式 等。
向量的模与向量范数的关系
向量的模是向量范数的特例，即当范 数定义为向量与零向量之间的距离时 ，模即为该距离。
向量的模和范数具有相同的性质，如 非负性、正齐次性和三角不等式等。
向量范数的性质
非负性
向量范数总是非负的，即对于任意向量x，有||x|| ≥ 0。
收敛序列的性质
收敛序列是稳定的，即对于任意给定的$varepsilon > 0$，存 在一个正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| <
varepsilon$。
收敛性的判定
可以通过比较序列的各项大小、利用极限的性质或者通过 级数收敛的判定定理来判断序列的收敛性。
大学四年级数学教案泛函分析与偏微分方程
大学四年级数学教案泛函分析与偏微分方程泛函分析与偏微分方程是大学四年级数学课程中的重要内容。
本教案旨在帮助学生全面理解泛函分析与偏微分方程的基本概念、性质和应用。
通过系统的教学设计和详细的教学步骤，学生将能够掌握和应用这些知识，提高数学分析和解决实际问题的能力。
一、教学目标1. 理解泛函分析中的基本概念，包括空间、线性算子、内积等；2. 熟悉泛函分析的重要定理和性质，如闭图像定理、开映射定理等；3. 掌握偏微分方程的基本概念和分类，如椭圆型、双曲型、抛物型等；4. 能够应用泛函分析与偏微分方程解决实际问题，如边值问题、初值问题等。
二、教学内容1. 空间与线性算子a. 给出空间的定义和性质，如赋范空间、内积空间等；b. 介绍线性算子的定义和性质，如有界线性算子、紧线性算子等；c. 讨论线性算子的特征值和特征向量，以及相应的性质。
2. 泛函分析的基本定理a. 介绍凸集和凸函数的概念，以及凸性的基本性质；b. 讨论闭图像定理、开映射定理等重要定理的证明和应用；c. 引入共轭空间的概念，并研究其性质和应用。
3. 偏微分方程的基本概念a. 介绍偏微分方程的定义和分类，如椭圆型方程、双曲型方程等；b. 讨论常见偏微分方程的特点和解的性质，如拉普拉斯方程、波动方程等；c. 探讨偏微分方程的解的存在性、唯一性等重要问题。
4. 泛函分析与偏微分方程的应用a. 结合实际问题，介绍泛函分析与偏微分方程在科学和工程领域的应用；b. 解决具体问题，如边值问题、初值问题等，通过泛函分析与偏微分方程的方法。
三、教学步骤1. 引入a. 引发学生对泛函分析与偏微分方程的兴趣，介绍相关的实际应用；b. 说明本教案的目的和重要性，激发学生学习的主动性和积极性。
2. 概念讲解a. 依次介绍空间、线性算子、凸集和凸函数的基本概念；b. 详细解释泛函分析中的重要定理和性质，如闭图像定理、开映射定理等；c. 讲解偏微分方程的基本概念和分类，如椭圆型、双曲型、抛物型等。
泛函分析教案
泛函分析教案一、引言泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是无穷维空间中的函数和算子。
本教案旨在介绍泛函分析的基本概念、理论和应用，并帮助学生深入理解和掌握泛函分析的方法和技巧。
二、课程目标1. 理解泛函分析的基本概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握泛函分析中的常用定理和方法；3. 培养学生的数学思维和推理能力；4. 提高学生的问题解决能力。
三、课程内容1. 第一讲：Banach空间a) 定义和性质；b) 极限和完备性；c) 例题分析。
2. 第二讲：Hilbert空间a) 定义和性质；b) 正交投影与完备性；c) 例题分析。
3. 第三讲：线性算子与泛函a) 线性算子的定义和基本性质；b) 对偶空间与泛函的定义；c) 例题分析。
4. 第四讲：算子理论a) 线性算子的谱理论；b) 特征值与特征向量的求解；c) 例题分析。
5. 第五讲：傅里叶分析a) 傅里叶级数与傅里叶变换的定义；b) 傅里叶级数的性质和收敛条件；c) 例题分析。
6. 第六讲：泛函分析的应用a) 泛函分析在图像处理中的应用；b) 泛函分析在信号处理中的应用；c) 例题分析。
四、教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本原理、定理和性质来介绍泛函分析的概念和理论；2. 例题分析：通过具体案例和问题分析来帮助学生理解和掌握泛函分析的方法和技巧；3. 课堂互动：鼓励学生积极参与课堂讨论和思考，提高问题解决能力；4. 实践操作：组织学生进行泛函分析的相关实践操作，提高实际应用能力。
五、评估方法1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；2. 期中考试：对学生对泛函分析基本概念和理论的掌握情况进行评估；3. 期末考试：对学生对泛函分析的综合应用能力进行评估。
六、教学资源1. 教材：《泛函分析教程》；2. 参考书：《泛函分析基础》；3. 网络资源：泛函分析相关的学术论文和教学视频。
七、教学进度安排第一讲：Banach空间 - 2课时第二讲：Hilbert空间 - 2课时第三讲：线性算子与泛函 - 2课时第四讲：算子理论 - 2课时第五讲：傅里叶分析 - 2课时第六讲：泛函分析的应用 - 2课时八、教学反馈与改进为了更好地提高教学效果，我将定期与学生及家长进行交流，收集他们的反馈意见，并根据反馈结果对教学方法和内容进行调整，以便更好地满足学生的学习需求。
哈尔滨工业大学《应用泛函分析》教学课件
……
(2,1) (2,2) (2,3)
(2,4)
……
(3,1) (3,2) (3,3)
(3,4)
……
…… …… …… ……
第三十四页，共70页。
集合的势
字母名
第三十五页，共70页。
集合的势
第三十六页，共70页。
集合的势
第三十七页，共70页。
集合的势
第三十八页，共70页。
集合的势
第三十九页，共70页。
集合的势
第四十页，共70页。
集合序列的极限
第四十一页，共70页。
集合序列的极限
第四十二页，共70页。
集合序列的极限
第四十三页，共70页。
集合序列的极限
第四十四页，共70页。
代数运算与抽象系统
第四十五页，共70页。
代数运算与抽象系统
第四十六页，共70页。
代数运算与抽象系统
第四十七页，共70页。
x
(f)
第二十六页，共70页。
映射
第二十七页，共70页。
映射
若A=B,则
第二十八页，共70页。
映射
第二十九页，共70页。
映射
第三十页，共70页。
映射
第三十一页，共70页。
映射
第三十二页，共70页。
集合的势
可逆即一一对应
第三十三页，共70页。
集合的势
(1,1) (1,2) (1。
集合
第二页，共70页。
集合
第三页，共70页。
集合
第四页，共70页。
集合
y y mx
(x, y) (0, 0)
x
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集合
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应用泛函分析讲义ppt第1章
应用泛函分析
泛函分析的研究内容
泛函分析的基本概念形成于19世纪末到20世纪初，而作 为一门独立的数学分支则出现于上世纪30年代。经过上世纪 40至50年代的发展，使其成为一门足够成熟的学科。它不断 地渗透到各种应用领域，包括连续介质力学、电磁场理论、 控制理论和系统科学等。
在某种意义上说，泛函分析提供了一种知识框架，它把 数学分析中有关函数性态分析的结论，线性代数中有关向量 与向量空间、线性变换的概念，古典变分法中关于泛函变分 的概念，微分方程中定性分析与求解的概念等，纳入统一的 框架中；同时按泛函分析的理论体系，给出统一的分析和处 理。
应用泛函分析
泛函分析的研究内容
其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上 的算子理论，特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上， 相当广泛的一类实际系统，都可以用某些抽象空间，以及存在 于这些空间上的算子描述。算子理论，特别是线性算子理论， 这是泛函分析的主要研究内容。算子的性态，诸如连续性、有 界性、紧性和闭性等，又是算子理论研究的重点。 算子方程求解及线性算子的能解性研究，给各种代数方程 和微分方程求解，以及控制系统综合等，提供了理论基础。对 偶空间和伴随模型算子的研究，是算子理论的一个主要组成部 分。在算子理论中，还要把矩阵特征值的概念，推广到一般线 性算子的谱特性。
应用泛函分析
泛函分析的研究对象
经典的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要 用来描述和分析物质作有限自由度连续运动的各种特性。在 此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连 续性、可微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运 算。
数学的抽象把三维立体空间中向量的概念，推广到任意 有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广到一 般的线性变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及 矩阵的运算等，这些都是线性代数的研究内容。
应用泛函分析教案1
第二章 度量空间§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：一 复习度量空间的概念设X 是个集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为 ()y x d ,=()2112⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=ni i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x bt a -≤≤max .pl （)1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k xx x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=pi pii y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=. 二 度量空间的进一步例子例1 设X 是任意非空集合，对于∈∀y x ,X ，令()y x d ,=⎩⎨⎧=≠y x y x 当，当，0;1容易验证 01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔; 02()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立. 称(X ，d )为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例2 序列空间S 令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k kkk k k y x y x -+-1. 显然右边的级数总是收敛的. 易知()y x d ,0≥，且()y x d ,=0y x =⇔. 即()y x d ,满足条件01. 对C b a ∈∀,，先证≤+++ba b a 1aa +1+bb +1.实因令 ()t t t f +=1 (+∞<≤t 0)，则因为()2)1(1t t f +='0>，所以函数 ()ttt f +=1 在[)+∞,0上单调递增. 又因为 b a b a +≤+，所以有≤+++ba b a 1ba b a +++1=ba a ++1+ba b ++1≤aa +1+bb +1.再令 {}∞==1k k z z ，k k z x a -=，k k y z b -=，则 k k y x b a -=+. 由上述已证的不等式，得kk k k y x y x -+-1≤kk k k z x z x -+-1+kk k k y z y z -+-1.由此推得 02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,S 都成立. 故S 按()y x d ,成一度量空间.例3 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .显然()y x d ,0≥，且()y x d ,=0⇔A t ∈∀成立()()t y t x =，即()y x d ,满足条件01.又A t ∈∀，有 ()()t y t x -≤()()t z t x -+()()t y t z -≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup所以 ()()t y t x At -∈sup ≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup . 即()y x d ,满足条件02. 特别当[]b a A ,=时，()A B =[]b a B ,.例4可测函数空间()X M设()X M 为X 上实值(或复值)的Lebesgue 可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令()g f d ,=()()()()⎰-+-Xdm t g y f t g t f 1.若把()X M 中两个几乎处处相等的函数视为()X M 中同一个元素，则()g f d ,≥0且()g f d ,=0 ⇔ g f =，即()g f d ,满足条件01. 其次(参考例2)()g f d ,=()()()()⎰-+-X dm t g y f t g t f 1≤⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-X dm g h gh h f h f 11=⎰-+-Xdm hf h f 1+⎰-+-Xdm gh g h 1=()h f d ,+()g h d ,，对∈∀h g f ,,()X M 都成立. 即 ()g f d , 满足条件02. 故()X M 按上述距离()g f d ,成为度量空间.作业 P 205. 2. 4.作业提示 2. 与例2处理方法类似.4.利用xx+1 当0≥x 时的递增性.§2.2(1) 度量空间中的极限教学内容(或课题)：目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义. 教学过程：设()d X ,为度量空间，d 是距离，定义 ()ε,0x B =(){}ε<∈0,x x d X x 为0x 的以ε为半径的开球，亦称为0x 的ε邻域.例1 设()d X ,是离散的度量空间，d 是距离，则()ε,0x B ={}⎩⎨⎧>≤<1,;10,0εε当当X x仿§2.2-§2.3，设E 是度量空间()d X ,中的一个子集，0x 是X 中一点若存在0x 的某一邻域()0x U ，s.t. ()0x U ⊂E ，则称0x 为E 的内点. 若0x 是CE 的内点，则称0x 为E 的外点. 若∀()0x U 内既有E 的点又有非E 的点，则称0x 为E 的边界点. 若∀()0x U 内都含有无穷多个属于E 的点，则称0x 为E 的聚点. E 的全体聚点所成集合称为E 的导集，记为E '. E E '称为E 的闭包，记为E . 若E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. 若E '⊂E ，则称E 为闭集.例2在欧氏空间1R 中，记A 为全体有理数点的集合，B 为全体无理数点的集合.则集合A 及B 均无内点，均无外点; ∈∀x 1R 既是A 又是B 的界点，既是A 又是B 的聚点; 1R 既是A 又是B 的导集，既是A 又是B 的闭包; A 、B 既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合1R 离散化，则∈∀x A 都是A 的内点，∈∀y B 都是B 的内点，因此A 、B 在离散空间中均为开集; A 、B 均无界点; A 之外点集合为B ，B 之外点集合为A ; A 、B 均无聚点，因此Φ='A ，Φ='B ，A A '⊃，B B '⊃，故A 、B 均为闭集.设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t.()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 实因若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .附注 (*)式换个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d ,是x 和y 的连续函数.证明 ()y x d ,≤()0,x x d +()00,y x d +()y y d ,0 ⇒()y x d ,-()00,y x d ≤()0,x x d +()y y d ,0;()00,y x d ≤()x x d ,0+()y x d ,+()0,y y d ⇒()00,y x d -()y x d ,≤()0,x x d +()y y d ,0. 所以|()y x d ,-()00,y x d |≤()0,x x d +()y y d ,0 例3 设()d X ,为一度量空间，令()ε,0x B =(){}ε<∈0,,x x d X x x ， ()ε,0x S =(){}ε≤∈0,,x x d X x x . 问()ε,0x B =()ε,0x S ?答 在n R 空间中，必有()ε,0x B =()ε,0x S . 在离散度量空间()d X ,中，当1=ε时，()ε,0x B ={}0x ，()ε,0x S =X ，此时()ε,0x B ≠()ε,0x S . 毕.设M 是度量空间()d X ,中的点集，定义. ()M δ=()y x d My x ,sup ,∈为点集M 的直径. 若()M δ=()y x d My x ,sup ,∈∞<，则称M 为()d X ,中的有界集(等价于固定0x ，M x ∈∀，()B x x d ≤0,，B 为某正数，则为有界集).()d X ,中的收敛点列{}∞=1n n x 是有界集. 实因，设=∞→n n x lim0x ，则数列(){}0,x x d n 收敛于0,故00>∃M ，s.t.N ∈∀n 有()00,M x x d n ≤. 所以m n ,∀∈N ，有 ()≤m n x x d ,()0,x x d + ()m x x d ,002M ≤.()d X ,中的闭集可以用点列极限来定义： M 为闭集 ⇔ M 中任何收敛点列的极限都在M 中，即若∈n x M ， ,2,1=n ，x x n →，则∈x M .具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m nm m x x x ,,,21 ， ,2,1=m ，为n R 中的点列，x =()n x x x ,,,21 ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211nm n m m x x x x x x -++-+- . x x m →()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于()t x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ， ,2,1=m ，及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x .实因，若对每个k 有()k m kξξ→()∞→m ，则因∑∞=121k k 收敛，所以N ∈∃m ，s.t. 221ε<∑∞=m k k. 因为对每个1,,2,1-=m k ，存在N ∈k N ，s.t.当k N n >时()k n k ξξ-2ε<. 令{}121,,,max -=m N N N N ，当N n >时，成立∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1<∑-=1121m k k 212εε+<2ε. 所以当N n >时，成立()x x d n ,=∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1+∑∞=m k k 21()()k n k kn k ξξξξ-+-1<2ε+2ε=ε.所以x x n →()∞→n反之，若x x n →()∞→n ，即()x x d n ,=∑∞=121k k()()kn k kn k ξξξξ-+-10→()∞→n .又因为N ∈∀k ，有()()kn k kn k ξξξξ-+-1k 2≤()x x d n ,，所以当∞→n 时，()()kn k kn k ξξξξ-+-1→0所以 0>∀ε，N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立()()kn k kn k ξξξξ-+-1<εε+1. 所以()k n k ξξ-ε<. 所以N ∈∀k ，有()k n k ξξ→()∞→n .4. 可测函数空间()X M 设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-Xn n dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒.实因，若f f n ⇒，则0>∀σ，有[]()σ≥-f f X m n 0→ ()∞→n . 0>∀ε(不妨设()X m 2<ε)，取()220εεσ-<<X m ，则()21εσσ<+X m . 今对这样取定的ε及σ，因f f n ⇒，故N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立[]()σ≥-f f X m n 2ε<. 所以()f f d n ,=()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1+()()()()[]⎰<--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤[]()σ≥-f f X m n 1⋅+()21εσσ<+X m +2ε=ε. 所以()f f d n ,0→()∞→n . 所以f f n →()∞→n .反之，若f f n →()∞→n ，即()f f d n ,0→()∞→n . 对0>∀σ，由于[]()≤≥-+σσσf f X m n 1()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤()f f d n ,. 所以[]()0lim =≥-∞→σf f X m n n ，即f f n ⇒.以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中. 作业 P 205. 5.作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间S ”，并利用 ()()()()()()()()t f t f t f t f r r nr r n bt a -+-≤≤1max=()()()()()()()()t ft f t f t f nax r r n bt a r r n bt a -+-≤≤≤≤max 1.§2.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念.教学过程：Th 设B 是度量空间X 的一个子集，则集合(){}ε<∈∈=y x d B y X x x O ,,,是个开集，且B ⊂O .证明 设∀0x ∈O ，则∃0y ∈B ，s.t. ()00,y x d <ε. 所以0x ∈()ε,0y U ⊂O . ()δ,0x U x ∈∀，其中εδ<<0-()00,y x d ，则()0,y x d <(ε-()00,y x d )+()00,y x d =ε. 所以()δ,0x U ⊂()ε,0y U ⊂O . 所以∀0x 是O 之内点. 所以O 是开集.又证 以B 中每一点为心作半径ε的邻域，所有这些邻域的并集就是集合O .每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故O 为开集. 至于B ⊂O 是很显然的. 证毕.附注 当0→ε时，得到是B 之闭包未必是B . 例如B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1⊂1R .O = ∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,1n k n U ⊃⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k U 1,11=()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-112,11k k k k k ⊃{}0，但∉0B . P 205.6. 设B ⊂[]b a ,，证明度量空间C []b a ,中的集(){}0,=∈t f B t f 时当为C []b a ,中的闭集，而集(){}()0,><∈=a at f B t f A 时当为开集 ⇔ B 为闭集.证明 设(){}∞=1n n t f ⊂(){}0,=∈t f B t f 时当且在[]b a C ,中()()t f t f n →.则当B t ∈时，对N ∈∀n ，有()t f n =0. 令∞→n ，得B t ∈时，()0=t f . 所以()∈t f (){}0,=∈t f B t f 时当. 所以(){}0,=∈t f B t f 时当是闭集.“⇐” 设B 为闭集，()t f 0∈A ，则 ()a t f <0(当B t ∈). 因()t f 0在B 连续，所以()t f 0≤Bt ∈max ()t f 0a <(当B t ∈). 取ε：0<ε<a -Bt ∈max ()t f 0，则对()t f ∀∈()ε,0f U ，有()()t f t f 0-≤[]b a t ,max ∈()()t f t f 0-<ε. 所以()t f <()t f 0+ε. 所以当B t ∈()t f ≤()t f 0+ε<Bt ∈max ()t f 0+(a -Bt ∈max ()t f 0)=a所以()ε,0f U ⊂A . 所以A 为开集.“⇒” 设A 为开集. 设{}∞=1n n t ⊂B ，0t t n →且0t B ∉.取点()t f ：()t f ∈A =(){}a t f B t f <∈时，当，则()n t f <a ，令∞→n 得，()a t f ≤0.因为0t B ∉，故只有()a t f =0. 不妨设()0t f =a (()0t f =-a 时同法可证之). 因为A 为开集，所以00>∃ε，s.t.()0,εf U ⊂A =(){}a t f B t f <∈时，当. ：ε∀00εε<<，因为()()()0εεε<=+t f t f d ，，所以点因为()n n t f ∞→lim =()0t f ，所以对上述0>ε且0εε<，存在N t ∈B ，s.t.()()ε<-0t f t f N ， 所以()0t f -ε<()N t f . 所以()N t f +ε>()0t f =a .但由方框，应有()ε+N x f <a ，与()N t f +ε>()0t f =a 相互矛盾. 这就证明了B B '⊃. 故B 为闭集. 证毕.Def 1 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可列的稠密子集，则称X 是可分空间.例1 n 维欧氏空间n R 是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是n R 的可列稠密子集.设M 是闭区间[]b a ,全体有理数集合，N 是[]b a ,全体无理数集合. 在1R 中，因为M ⊂N ，N ⊂M ，所以N 在M 中稠，M 在N 中稠. 因为[]b a ,⊂M ，[]b a ,⊂N ，所以M 和N 都在[]b a ,中稠密. 若X =[]b a ,视为1R 的子空间，则X 是可分空间.例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可列集.实因在X 中没有稠密的真子集(因X 中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以X 中唯一的稠密子集只有X 本身，因此X 可分的充要条件为X 是可列集.例3 令∞l 表示有界实(或复)数列全体. 对∞l 中() ,,21ξξ=∀x ，y =() ,,21ηη，定义()y x d ,=k k kηξ-sup .显然()y x d ,≥0 且()y x d ,=0 ⇔ k k kηξ-sup =0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ-=0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ= ⇔ y x =. 其次设z ∀=() ,,21ςς∈∞l . 因为N ∈∀k ，都有k k ηξ-≤k k ςξ-+kk ςη-≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup . 所以k k kηξ-sup ≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup .即()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,. 所以∞l 按()y x d ,成为度量空间.往证∞l 是不可分空间.令M 表示∞l 中坐标k ξ取值为0或1的点() ,,21ξξ=x 的全体，则M 与二进位小数一一对应，所以M 有连续统的基数，对M 中任意的两个不同点y x ,，有()y x d ,=1. 若∞l 可分，则∞l 中存在可列稠密子集，设为{}∞=1k k z . 对M 中每一点x ，作球⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛M x x B 31,是一族的两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于{}∞=1k k z 在∞l 中稠密，所以每个⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B 中至少含有{}∞=1k k z 中的一点，这与{}∞=1k k z 是可列集矛盾. 证毕.作业： P 205. 3.7.8.9.作业解答： 3. 令n O =()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈∈n y x d B y X x x 1,,,,则n O 是开集且n O B ⊃. 因为n O ↓，所以n n O ∞→lim = ∞=1n n O . 因B 是闭集，所以n n O ∞→lim =B ，即 ∞=1n n O =B .7. 取ε：0<ε<()F E d ,31. 作开集 O =(){}ε<∈a x d E a x ,, 和G =(){}ε<∈b y d F b y ,,，则O ⊃E ，G ⊃F . 又∀a ∈E ，∀b ∈F ，∀x ∈O ，∀y ∈G ，有 ()b a d ,≤()x a d ,+()y x d ,+()b y d ,. 所以()y x d ,≥()b a d ,-()x a d ,-()b y d ,≥()F E d ,-()F E d ,31-()F E d ,31=()F E d ,31>0. 所以x ≠y . 所以O 与G 必不相交. 又证不相交 若c ∈O G ，则存在()ε,a U 和()ε,b U ，a ∈E ，b ∈F ,s.t.c ∈()ε,a U ()ε,b U . 于是0<()F E d ,≤()b a d ,≤()c a d ,+()b c d ,<ε+ε<32()F E d ,. 矛盾. 所以 O G =Φ.8. ∀x ∈[]b a ,，令()t f x =[]{}⎩⎨⎧-∈=x b a t xt ,,0,1 则集合M =()[]{}b a x t f x ,∈含有不可数个元素()t f x ，M ⊂B []b a ,，∀()t f x 、()t f y ∈M 且x ≠y 时，()y x f f d ,=1. 若[]b a B ,可分，则[]b a B ,中存在可列的稠密子集，记为(){}t f n . 对M 中每一点()t f x ，作球()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x ，则()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛M t f t f B x x 31,是一族两两不相交的球，总数有不可列个.但由于(){}t f n 在[]b a B ,中稠密，所以每个()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x 中至少含有(){}t f n 中的点，这与(){}t f n 是可列集矛盾. 故[]b a B ,不可分.9. 因为X 可分，所以存在稠密子集B ={} ,,21x x . 对于每个O x ∈.存在()r x U ,⊂O . 因为B 在X 中稠密，所以可在⎪⎭⎫⎝⎛4,r x U 中取出B 中一点k x . 取有理数r '：24rr r <'<，所以x ∈()r x U k ',⊂()r x U ,⊂O ，且所有()r x U k ',至多可列个，包含它的开集O 至多可选出可列个. 证毕.§2.3 连续映照教学内容(或课题)：目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题.教学过程：Def 1 设X =()d X ,，Y =()d Y ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映照：X =()d X ,T → Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t.∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续：用邻域来描述T 在0x 连续：对0Tx 的每一个ε-邻域N ，必存在0x 的某个δ-邻域0N ，s.t. 0TN ⊂N (0TN 表0N 在T 作用之下的像集). 也可以用极限来定义映照的连续性，基于Th 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映照：()d X ,T→()d Y ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx .证明 “⇒” 设T 在0x 连续，则∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε. 因为n x →0x ，所以∃N ∈N ，s.t.当n >N 时，有()0,x x d n <δ. 所以()0,Tx Tx d n <ε. 所以n Tx →0Tx . “⇐” 反证法. 若T 在0x 不连续，则∃0ε>0，s.t. ∀δ>0，∃x ≠0x ，虽然()0,x x d <δ，但是()0,~Tx Tx d ≥0ε. 特别取δ=n1，则有n x ，s.t.当()0,x x d <n1时，有()0,~Tx Tx d n ≥0ε. 即n x →0x 时，有n Tx 不→0Tx . 与假设矛盾.证毕.若映照T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映照. 称集合{}M Tx X x x ∈∈,(M ⊂Y )为集合M 在映照T 下的原像.简记为M T 1-.用开集刻划连续映照，就是Th 2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.证明 “⇒” 设T 是连续映照，M ⊂Y 是Y 中开集. 若M T 1-=Φ，则M T 1-是X 中开集. 若M T 1-≠Φ，则0x ∀∈M T 1-，令0y =0Tx ，则0y ∈M . 由于M 是开集，所以存在邻域()ε,0y N⊂M . 由T 的连续性，存在邻域()δ.0x N ，s.t. T ()δ.0x N ⊂ ()ε,0y N ⊂M . 从而 ()δ.0x N ⊂1-T ()ε,0y N ⊂M T 1-. 所以0x 是M T 1-的内点. 因为0x ∈M 是任意的，所以M T 1-是X 中的开集.“⇐” 设Y 中每个开集的原像是开集. 0x ∀∈X ，则()ε,01Tx N T -是X 中的开集. 又0x ∈()ε,01Tx N T -，所以0x 是()ε,01Tx N T -的内点，所以存在邻域()δ.0x N ⊂()ε,01Tx N T -. 所以T ()δ.0x N ⊂()ε,0Tx N ，所以T 在0x 连续. 又0x ∈X 是任意的，所以T 是X 上的连续映照. 证毕.利用()CM T 1-=()M T C 1-，又有Th 2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.证明 “⇒” 设T 是X 上的连续映照，又设M ⊂Y ，M 是闭集，则CM 是开集. 由Th2, ()CM T 1-是开集. 但()CM T 1-=()M T C 1-，故M T 1-是X 中的闭集.“⇐” M ∀⊂Y 且M 是闭集，则CM 是开集. 由()CM T 1-=()M T C 1-，及Y 中任何闭集M 的M T 1-总是X 中的闭集，得Y 中任何开集CM 的原像()CM T 1-总是开集，由Th2, T 是X 上的连续映照. 证毕.P 206.10. 设X 为距离空间，A 为X 中的子集. 令()x f =()y x d Ay ,inf ∈, x ∈X . 证明()x f 是X 上的连续函数.证明 0x ∀∈X ，n x ∀∈X ， ,2,1=n ，s.t.n x →0x .y ∀∈A ⊂X ，因为 ()y x d n ,≤()0,x x d n +()y x d ,0，所以 ()y x d n Ay ,inf ∈≤()0,x x d n +()y x d ,0， 所以 ()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n≤()y x d ,0, 所以()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n ≤()y x d Ay ,inf 0∈，所以()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈≤()0,x x d n . 同理()y x d Ay ,inf 0∈-()y x d n Ay ,inf ∈≤()n x x d ,0.所以|()()0x f x f n -|=|()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈|≤()0,x x d n →0(∞→n ).所以()x f 是X 上的连续映照(Th 1).作业： P 206. 11. 12. 13.作业解答： 11. 先证 ()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0. 否则>∀ε0，x ∃∈1F ，y ∈2F ，s.t. ()y x d ,<ε. 令ε=m1，则∃m x ∈1F ，m y ∈2F ，s.t. ()m m y x d ,<m1,令∞→m ，由于()y x d ,是二元连续函数，故得()00,y x d =0(0x ∈1F 是m x 的聚点，0y ∈2F 是m y 的聚点，聚点存在). 因此0x =0y 与1F 2F =Φ相矛盾，故()21,F F d =()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0.取ε：0<ε<21()21,F F d ，再令1G =() 1,F x x U ∈ε，2G =() 2,F y y U ∈ε，则1G 与2G 均为开集. 下证∀()ε,x U 与∀()ε,y U 都不相交. 若不然设∃z ∈()ε,x U ()ε,y U ，则()y x d ,≤()z x d ,+()y z d ,<ε+ε<()21,F F d . 与()y x d ,≥()21,F F d 相矛盾. 故任意二邻域不相交，从而1G 2G =Φ.12. ∀取开集G ⊂Z . 因为g 是Y 到Z 中的连续映照, 所以G g 1-⊂Y 是开集.因为f 是X 到Y 中的连续映照，所以()G g f 11--⊂X 是开集. 即()G gf 1-⊂X 是开集. 所以 gf 是X 到Z 中的连续映照.13. 由Th 2'或由()M T C 1-=()CM T 1-和Th2推得.附注 区间(]c ，∞-及[)∞+，c 均为闭集.§2.4 压缩映象原理及其应用本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。