(优选)离散数学第五版第九章.Ppt

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注:对于二元运算矩阵来说,二元运算满足交换律,则二元 运算矩阵关于主对角线对称。
9.1二元运算及其性质
(2)结合律(定义9.3) 设为S上的二元运算.如果对于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz) 则称运算在S上是可结合的,或者说运算在S上适合结合律.
注:整数集Z、自然数集N、有理数集Q、实数集R上的加法和 乘法都是可结合的;矩阵的加法和乘法也是可结合的; 集合的、、也是可结合的;函数的复合运算也是可 结合的。

➢幂集P(S)上的运算 零元,零元是

➢幂集P(S)上的运算 零元,零元是

9.1二元运算及其性质
2. 零元的唯一定理(定理9.2)
设为S上的二元运算, l , r 分别为运算的左零元和
Байду номын сангаас
右零元,则有
4) f ( x, y ) x y
例3:S为任意集合,则在f:P(A)×P(A)P(A)上, 、、、是否为二元运算?
9.1二元运算及其性质
二、n元运算的定义(定义9.2)
设S为集合,n为正整数,则函数 f:S×S×……×SS
称为S上的一个n元运算,简称为n元运算。
(1)当n=1时,则函数f:SS为S上的一元运算,如(x)=y (2)当n=2时,则函数f:S×SS为S上的二元运算。
(yz)*x=(y*x)(z*x)
(右分配律)
则称运算*对是可分配的,也称*对适合分配律。
9.1二元运算及其性质
(5)吸收律(定义9.5)
设和*是S上的两个可交换的二元运算,如果对于任意的
x,yS有
x*(xy)=x
x(x*y)=x
则称运算*和满足吸收律。 例如:幂集P(S)上的和运算满足吸收律。即A,BP(S)
右幺元,则有
el= er =e
且e为S上关于运算的唯一的幺元。
证: el er er(将el做为左幺元) el er el (将er做为右幺元)
所以:el er e
9.1二元运算及其性质
四、零元
1. 零元的定义(定义9.6)
设为S上的二元运算,如果存在 l (或 r)S使得对于任何
xS都有
2) f ( x, y ) x y
3) f ( x, y ) x y
4) f ( x, y ) x y
9.1二元运算及其性质
例2: f : R *R* R *(其中R *是非零实数 )
1) f ( x, y ) x y
2) f ( x, y ) x y
3) f ( x, y ) x y
9.1二元运算及其性质
(3)幂等律(定义9.3) 设为S上的二元运算,如果对于任意的xS都有 xx=x 则称运算在S上适合等幂律.
集合的、是复合等幂律的。
9.1二元运算及其性质
(4)分配律(定义9.4)
设和*是S上的两个二元运算,如果对于任意的x,y,zS有
x*(yz)=(x*y)(x*z)
(左分配律)
(优选)离散数学第五版第九章
第9章 代数系统简介
9.1 二元运算及其性质 9.2 代数系统 9.3 几个典型的代数系统
9.1二元运算及其性质
一、二元运算的定义(定义9.1)
设S为集合,函数f:S×SS称为S上的二元运算, 简称为二元运算。
如何判断一个运算是否为集合S上的二元运算? ❖S中任意两个元素均可以进行这种运算,且运算的
9.1二元运算及其性质
例8:
➢自然数集N上的加法 幺元,幺元是

➢自然数集N上的乘法 幺元,幺元是

➢自然数集N上的除法 幺元,幺元是

➢幂集P(S)上的运算 幺元,幺元是

➢幂集P(S)上的运算 幺元,幺元是

9.1二元运算及其性质
2. 单位元和幺元的唯一定理(定理9.1)
设为S上的二元运算, el , er 分别为运算的左幺元和
{1,2} {1,2} {2} {1}
9.1二元运算及其性质
例7:设S={1,2,3,4},定义S上的二元关系如下: xy=(x*y)mod 5 x,yS。
求的运算列表。 123 4 1 123 4 2 241 3 3 314 2 4 432 1
9.1二元运算及其性质
三、二元运算的主要性质
(1)交换律(定义9.3) 设为S上的二元运算.如果对于任意的x,yS都有 xy=yx 则称运算在S上是可交换的,或者说运算在S上适合交换律.
l x = l(或 x r = r) 则称 l (或 r )是S中关于运算的一个左零元(或右零元)。
若S关于运算既是左零元又是右零元,则称为S上关于 运算的零元。
9.1二元运算及其性质
例9:
➢自然数集N上的加法 零元,零元是

➢自然数集N上的乘法 零元,零元是

➢自然数集N上的除法 零元,零元是
9.1二元运算及其性质
例6:设S={1,2},给出P(S)上的运算~和的运算表, 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai {1} {2} {1,2}
~ai {1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
(x,y)=z (3)当n=3时,则函数f:S×S×SS为S上的三元运算。
(x,y,z)=t
9.1二元运算及其性质
例4:在整数集合Z、有理数集合Q、实数集合R上,一 个数的相反数、倒数是否为这些集合上的一元运 算?
例5:在幂集P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的 绝对补运算~是否为P(S)上的一元运算?

A(A B)=A
A(A B)=A
9.1二元运算及其性质
四、单位元和幺元
1. 幺元的定义(定义9.6)
设为S上的二元运算,如果存在 el (或 er)S使得对于任何
xS都有
el x = x(或 x er =x) 则称 el (或er )是S中关于运算的一个左幺元(或右幺
元)。若eS关于运算既是左幺元又是右幺元,则称e 为S上关于运算的幺元。
结果是唯一的。 ❖S中任意两个元素的运算结果都属于S,即S对该运
算是封闭的。
9.1二元运算及其性质
例1:
f :NN N
1) f ( x, y ) x y
2) f ( x, y ) x y
3) f ( x, y ) x y
4) f ( x, y ) x y
f :ZZ Z
1) f ( x, y ) x y
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