专题02 曲线的切线问题探究

第一章 函数与导数

专题02 曲线的切线问题探究

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()

11,x f x ，即解方程()f x k '=.

2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．

（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()

00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-． （2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；

第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；

第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．

3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．

4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．

5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.

6.导数几何意义相关的综合问题．

【压轴典例】

例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数()1

1

ln x f x x x -=-

+.

（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；

（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x

y =的切线. 例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2

()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；

（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1

()x f x x

+=. (Ⅰ)证明：2

()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)y

ax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a

的最小值.

例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3

()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；

（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；

（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()x

f x a =， ()lo

g a g x x =，其中a >1.

（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；

（II ）若曲线()y f x =在点()()

11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()

22,x g x 处的切线平行，证明

()122lnln ln a

x g x a

+=-

； （III ）证明当1e

a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2

）e x

﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；

（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；

（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤

﹣1．

例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点

M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.

（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程；

（2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M.

【压轴训练】

1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()2

20x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂

直且交于点()1

2P -，，则直线AB 的方程为（ ） A ．1

22

y x =

+ B ．1

34

y x =

+ C ．1

32

y x =

+ D ．1

24

y x =

+ 2.（2019·山东高考模拟（文））设函数

的图象上任意一点处的切线为，若函数

的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足

，则的取值范围是__________．

3. （2019·山东高考模拟（理））已知函数()2

f x x 2ax =+，()2

g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，

()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．

4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.

(I)求l 的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 5.（2015·天津高考真题（文））已知函数

（Ⅰ）求的单调区间;

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P 处的切线方程为,求证:对于任意的正实

数,都有

;

（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.

6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）

（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（Ⅱ）求函数的极值； （Ⅲ）当

时，若直线

与曲线

没有公共点，求的最大值.

7. （2013·北京高考真题（文））已知函数f (x )＝x 2

＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．