《2.1.1.2类比推理》教学案

《2.1.1.2类比推理》教学案

●教学目标：

通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去.

●教学重点：

了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.

●教学难点：

用类比进行推理，做出猜想.

●教具准备：

与教材内容相关的资料.

●教学设想：

类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.

●教学过程：

学生探究过程：

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：

茅草是齿形的；

茅草能割破手.

我需要一种能割断木头的工具；

它也可以是齿形的.

这个推理过程是归纳推理吗？

数学活动

我们再看几个类似的推理实例.

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质.

等式的性质：猜想不等式的性质：

(1) a=b⇒a+c=b+c； (1) a＞b⇒a+c＞b+c；

(2) a=b⇒ac=bc； (2) a＞b⇒ac＞bc；

(3) a=b⇒a2=b2；等等. (3) a＞b⇒a2＞b2；等等.

问：这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质. 等差数列 等比数列

a n -a n -1=d (n 2，n N ) ),2(1

N n n q a a n n

∈≥=- a n =a 1+(n -1)d a n =a 1 q n -1 a n =

2

11+-+n n a a (n 2，n N ) a n 2

=11-+⋅n n a a (n 2，n N ) 设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？ 设问2：如何分析表达式结构特征？)2()2(5)4(g f f - 设问3：类比对象是什么？

三角形与三棱柱.属于平面图形性质与空间图形性质的类比. 设问4：类比属性有哪些？如何从几何要素角度进行分析？(板书)： 三角形 三棱柱 面 积 体 积 边 面

线段长 面 积

平面角 二面角

由此，可类比猜测本题的答案(板书)：1111111111222

2cos AAC C

ABB A BCC B ABB A BCC B S S S S S θ=+-⋅ 设问5：本题中，类比对象各是什么？ 等差数列与等比数列性质的类比. 设问6：类比结论的结构特点是什么？ (板书) 等差数列 a 10=0

左：前n 项和 右：前19 n 项和 2 10-1-n =19-n 设问7：项数10、n 、19-n 之间的关系如何确定？ 19-n =2 10-1-n 等比数列 b 9=1

左：前n 项积 右：前17 n 项积 2 9-1-n =17-n

b 1b 2 b n =b 1b 2 b 17-n (n <17，n N ) 设问8：如何证明猜想等式成立？ 常见两种证法：

1、等式左右两边分别用通项公式代入，转化为首项和公比的关系；

2、不妨设17-n >n ，

b 1b 2 b n =b 1b 2 b n b n +1b n +2 b 16-n b 17-n

由b n+1b17-n=b n+2b16-n= =b92=1

可得结论成立.

设问9：对类比推理有了一定的体验.

例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆球

弦←→截面圆

直径←→大圆

周长←→表面积

面积←→体积

在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

总结提升

1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物间的共同或相似性质.类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.

2.类比推理的一般步骤：

⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶检验猜想.即

反馈练习：

1. 下列推理过程是类比推理的为（ B ） A. 人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为12

B. 科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼

C. 通过检验溶液的pH 值得出溶液的酸碱性

D. 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 2. 下列说法正确的是（ D ） A ．合情推理就是正确的推理 B ．合情推理就是归纳推理

C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程

D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程 3. 三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,2

1

⋅++=

为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ C ）

A ．abc V 3

1

= B.Sh V 3

1

= C ．12

34()

3r V S S S S =

+++ （4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内接球的半径）

D ．)(,)(3

1

为四面体的高h h ac bc ab V ++=

4．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

S PEF =S

F E

D

P

C

B

A

S 3

S 2

S 1c

b

a