高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线

高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线

高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.

真 题 感 悟

1.(·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A .y ＝±2x B .y ＝±3x C .y ＝±22x

D .y ＝±3

2x

解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b

a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a x ＝±2x .

法二 由e ＝c

a ＝1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b a 2

＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±

b a x ＝±2x . 答案 A

2.(·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为2

3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A .5

B .6

C .7

D .8

解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得

x 2－5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2

)，所以

FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D

3.(·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的

左顶点，点P 在过A 且斜率为3

6的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23

B.12

C.13

D.14

解析 由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .

∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴，则∠PF 2E ＝60°，所以

F 2E ＝c ，PE ＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为3

6的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D

4.(·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2

＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).

(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.

把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，可得点A 的坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.

又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝2

2x － 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .

当l 与x 轴不重合也不垂直时，

设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2

x 2－2.

由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k

（x 1－2）（x 2－2）.

将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2

＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 2

2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1

.

则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k

2k 2＋1＝0.

从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .

考 点 整 合

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).

温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系

①在椭圆中：a 2

＝b 2

＋c 2

；离心率为e ＝c a ＝1－b 2

a 2.

②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2

；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.