中学数学求解最值问题的方法探寻-

中学数学求解最值问题的方法探寻
数学的核心就是问题的解决，在科学研究和生产实践中，人们竭尽全力使耗量最少而成效最佳，因此最值问题是生产实践、科学研究和日常生活中无法回避的现实问题，同时它又是中学数学的重要内容之一。

对于最值问题的求解它没有通用的方法，根据所求的问题背景不同，涉及的数学模型也就不同，进而求最值的方法一般需要进行选择。

求解最值的问题，要求学生有坚实的数学基础，具有严谨、全面的分析问题和灵活、综合解决问题的能力，中学数学的最值知识又是进一步学习大学数学中最值问题的基础。

一、通过配方求最值
这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值问题比较有效的方法。

用配方法求最值问题的基本思路是设法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后根据一元二次函数的单调性进行求解。

例1：2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为多少？解：原式=（x+2y）2+（x-2）2+（y+1）2-10
由此可知，当x=2，y=-1时，有最小值-10。

例2：求函数y=5sinx+cos2x的最值。

解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-）2+，
可知，取sinx=1，即当x=2kπ（k∈Z）时，ymax=-2×+=4，取sinx=-1，即当x=π+2kπ（k∈Z）时，ymin=-2× + =-6。

评注：用配方法求最值问题的依据是把问题转换成二次函数，结合二次函数的图像来求。

在最后一步把数据代入配方得到的式子中要注意自变量的取值范围，也就是确定定义域的范围（如例2中对称轴是x=而sinx的最大值为1）。

这种方法适用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值问题。

二、通过均值不等式求最值
均值定理构成的注意事项。

首先，我们应当关注如下的预备知识。

二元均值不等式：≥（a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号）。

三元均值不等式：≥ ，（a>0，b>0，当且仅当a=b=c时取等号）。

n元均值不等式：≥ （a1>0，a2>0，…，an>0，当且仅当a1=a2=…=an时取不等号）。

同时，在运用均值不等式求最值时应注意以下三点。

1.函数解析式中各项均为正数。

2.函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。

3.含变数的各项均相等时才能取得最值。

例3：求函数y=（x>-1且a>0）的最小值.
解：y= =ax+ +（1-a）=a（1+x）+ +1-2a≥2 +1-2a=1，当且仅当a（x+1）=，即x=0时等号成立，所以y的最小值为1满足其等号成立的条件，若不满足则改用其他方法，如单调性。

三、通过数形结合法求最值
数形结合法在中学数学教学过程中的应用十分广泛，它的主要思路是代数和几何思想的完美结合。

通常是在解决代数问题时，纯代数方法有时很难达到目的，这时把几何的思想渗透进来，往往问题能得到较好的解决。

例4：若a、b是小于1的正数，证明：
+ + + ≥2
证明：作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、CD上取AE=a，AG=b，过E、G作EF∥AD，GH∥AB，交DC于F，BC于H，EF与GH交于O，连结OA、OB、OC、OD、BD、AC.
∴OA= ，OB=，OC=，OD= .而OA+OC≥AC，OB+OD≥BD.即+ ≥ ，+ ≥ .
故+ + + ≥2 .
评注：所有数形结合就是代数与几何结合起来探寻解决问题的方法。

其应用范围在于用纯粹的代数思想很难解决的代数问题时，可借助相关的几何图形，根据几何性质能有助于我们把复杂问题简单化。

四、利用函数单调性求最值
先判明函数给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。

1.对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n]，则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。

2.求二次函数f（x）=ax2+bx+c在[m，n]上的最值时，先判定对称轴x=-是否属于[m，n]，若x=-∈[m，n]，则f（m）、f（n）与f（-）中较大者是最大值，较小者是最小值，若x=-？埸[m，n]则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f（x）=ax2+bx+c的定义域为R，当a>0时，有最小值ymin=.当a0时f（x）解：令x1=x2=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.
令x1=x，x2=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）为奇函数。

设x1，x2∈R，且x10，∴f（x2）-f（x1）=
f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）-2）的最大值。

分析：此题为含根号的分式函数，不能直接运用均值不等式求最值，考虑分子常数化，变形后对分母用均值不等式。

解：设=t，则x=t2-2，故y= ? = ? ≤ ? = ，当且仅当t+1=且t>0，即t=-1，
x=2-2时，等号成立，即所求的最大值为.
2.三角换元。

三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透，解法灵活多变，突出对思维的灵活性和严密性的考察，历来都是高考中的常见题型。

学生在解决这些问题的过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。

下面通过对典型错解例题的剖析，揭示题型规律，提高解题的准确性。

例9：已知a2+b2≤2，c2+d2≤4，求ac+bd的最大值。

分析：若这道题直接运用不等式进行解题可能会产生错解，因为
2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2，所以ac+bd≤ =3
但其中取等号的条件a=c，b=d才能成立。

于是得到a2+b2=c2+d2，与已知相矛盾。

在这种情况下，我们应用三角函数替代得到a= cosα，b= sinα，
c=2cosβ，d=2sinβ，代入原式得到一道简单的三角函数题。

解：设a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，则ac+bd=2
（cosαcosβ+sinαsinβ）=2cos（α-β）≤2 ，∴当且仅当cos（α-β）=1时，即
（a=b=1，c=d=或a=b=-1，c=d=-成立时取等号），∴ac+bd的最大值为2 .
评注：换元的方法形式多种多样，有的甚至涉及到多步换元或多种换元相互运用，我们要注意的是不管怎样变换，其变换的取值范围都不能改变。

这种方法有助于我们把复杂的式子简单化，利于我们求解。

七、结语
近几年的高考题往往会在函数、三角、立体几何、解析几何等知识的交汇点处命题，注重知识之间的交叉、渗透和综合性。

求函数的最值时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法。

一般优先考虑配方法、数形结合法、函数单调性法和基本不等式法，然后再考虑其他各种特殊方法。

在以上介绍的方法中，最简单的方法是配方法和单调性法，最重要的方法是基本不等式法。

总之，以上各种方法需要灵活应用，有些题目可用多种方法，只有熟练掌握各种方法才能在解题中做到得心应手，根据具体的题目选择最好的方法。