4最大流问题

fij* *=
fij* + θ fij* - θ fij*
(vi ,vj) + (vi ,vj) (vi ,vj)
不难验证fij* *是一个可行流，且v(f* *)=v(f*)+θ﹥ v(f*)。这与是最大流的假设矛盾。

充分性证明
若D是不存在关于f*的增广链，要证明f*是最大流，设有这样 一个点集Vi*，它满足：

三、最大流问题

网络最大流问题就是找一个网络上最大的可行流。 即找一个流{fij}，使其流量达到最大，并满足下述 约束条件：
0 ≤ fij ≤ cij (vi ,vj) A fij - fji = V(f) 0 - V(f) (i = s) (i s, t ) (i = t)


fij + fij - fij

例：用标号法求下图所示公路交通网络的最大流量
v2 v5
vs
v4
vt
v3
v6

解：为记算方便，将图中各路段的通行能力、流量都除以
1000，如下页图，弧旁的数据是（cij ,fij），单位是1000辆/日。
v2
Baidu Nhomakorabeav5
vs
v4
vt
v3
v6
1.标号过程 1）先给vs标上（0，∞ ） 2）检查vs

例：下图中所示的网络N中，每条弧旁的第一个 数字是弧的容量，第二个数是弧的流，例如 c(x,1)=8,f(x,1)=4,c(1,2)=5,f(1,2)=1等等。
V1
8,4 x 7,4 9,3
V3
5,4
5,1
2,2 6,1 10,4
y
V2
9,5
V4
验证，网络N满足容量限制条件和流量平衡条件， 网络N的流量值fxy =8.
v2 v5
vs
v4
vt
v3
v6
对这个可行流重复标号过程，寻找增广链。 先给vs标上（0，∞ ） 检查vs ，v3不满足标号条件。V2 满足标号条件，即v2 的标 号为(vs ，2). 检查v2 ，在前向弧（ v2 ，v5）、（ v2 ， v4 ）上，因为 f25= c 25，f24= c 24 ，在后向弧(v3, v2)上，因f32 =0，均不满 足标号条件。因此标号过程无法继续下去，即已经不存在 增广链，计算结束。 这时的可行流就是最大流。最大流量为： V(f) =fs2+ fs3 = f5t+f6t+f4t=20 故图中所示公路网络的最大通行能力为20*1000=20000辆/日。
最大流问题


一、基本概念
1.网络与流 2.可行流 3.增广链 4.割集与割量


二、基本定理
1.最大流充要条件 2.最大流量—最小割定理


三、最大流问题
1.标号法 2.例题 3.习题
一、基本概念
1.网络与流

许多工程系统的网络包含流量的问题。 例如有A、B两个城市，连接两个城市的所有公路互相连 接形成一个公路交通运输网络，从城市A发出的交通流经 过若干中间路段和交通节点到达城市B，如图1所示。公路 网中各个公路路段的通行能力是有限的。通行能力即单位 时间内路段能通过的最多车辆数。图中弧旁的数据为每日 的通行能力，也称路段容量。
最大流的充要条件为我们提供了如何寻找网络中 最大流的一个方法。若给了一个可行流f，只要判 断D中有无关于f的增广链，如果有，则可以按照 前面证明必要性的办法，调整f，得到一个流量增 大的新的可行流；如果没有增广链，则直接得到 最大流。 实际计算中，采用标号法（又称Ford算法）来寻 找最大流。
标号法
4.割集与割量

设某个网络如下图所示，在网络的某处横切一些弧，把网 络切成两半，一半包含发点VS，一半包括收点Vt，若将被 切的弧全部去掉，即将弧集E1={(v2 ,v4),(v3 ,v4),(v3 ,v5)}去 掉，则发点VS与收点Vt之间不存在通路。这个弧集E1被称 为割集。
V4 V6 Vt V2 V4 V6 Vt
在前向弧（vs,v3）上，因为fs3=cs3，不满足标号 条件. 在前向弧（vs,v2）上, 因为fs2=7< cs2 = 13 ，则v2 的标号为（ vs, l (v2)）。其中： l (v2)=min[l(vs), cs2 - fs2]=min(∞ ,13-7)=6 类似的进行下去，有： v4v5不可以标号，v3标号为（- v2,4） v6不可以标号，v4标号为（v3,4） vt不可以标号,v6标号为（v4,4） vt标号为（v6,4） 所以调整量 =l(vt)=4




2.调整过程
首先按vt及其它点的第一部分标号，利用“反向 追踪”的方法，找出增广链 ，令调整量 =l(vt)， 即vt的第二部分标号。令
(vi ,vj) + f ‘ij= (vi ,vj) (vi ,vj) ‘ ‘ 则得到一个新的可行流f = { f ij } 。去掉所有的标号， 对新的可行流f ‘重新进入标号过程。



(1)若在前向弧(vi,vj)上，fij<cij ，则给vj标号 (vi,l(vj)), 这里 l(vj)=min [ l(vi), cij-fij ] (2)若在后向弧(vj , vi)上，fji>0 ，则给vj标号 (-vi,l(vj)), 这里 l(vj)=min [ l(vi), fij ] 于是， vi成为检查过的标号点， vj成为标号而未 检查过的点。重复上述过程，一旦vt被标上号， 表明得到一条从vs到vt的增广链，转入下一步调 整过程。
5000 v6
10000
设f是一个可行流，µ是从vs到vt的一条链，若µ满足下述条件： （1）在前向弧µ+上，0 ≤fij ＜ cij，即µ+中每一条弧均为非饱 和弧； （2）在后向弧µ-上，0 ＜fij ≤ cij，即µ-中每一条弧均为非零 流弧。 则称之为关于可行流的一条增广链。 可见，增广链是可以使从vs到vt方向的流量增大的链。
v2 v4 v5

vs
vt
S
1
v3
v6
S
2
图2

图中vs为发点 ， vt为收点，弧旁的数据为通行能力，若在 图中取一割集s1，将弧(vs,v2),(vs,v3)割断，则网络被割成 两个互相不连通的子图，而vs与vt分别属于这两个子图， 这样从vs到vt的通路被中断。割集的容量cs2+cs3=22000辆/ 日。显而易见，任何一可行流相应的网络流量（网络总交 通量）V(f)均不可能超过这个割集的容量。如果在图中另 取一个割集s2 ，其割量为27000辆/日，那么，该网络任何 一个可行流相应的网络流量也不会超过这个割集的容量。 如果我们把网络中的所有割集全找出来并计算其割量，就 可以得到这个网络的最小割量为20000辆/日。显然，从vs 到vt的整个网络的流量（即总交通量）最大不会超过 20000辆/日。

于是得到从起点到终点的一条链 ，如下图所示
按vt标号的第二部分， =4，在上调整，
fs2 + =7+4=11 f34 + =0+4=4 f46 + =0+4=4 f6t + =5+4=9 对后向弧： f32 - =4 – 4 =0
对前向弧:

其余的fij不变，于是得到一个新的可行流，如下图所示。


1.寻找增广链的标号过程
对网络的一些点依次标号，直至到达收点，形成一条增广 链。每个标号点的标号包括两部分：第一部分表明它的标 号是从哪一点得到的，以便记住增广链；第二部分是为确 定增广链的调整量用的。 1）初始化。给vs标上（0，∞ ），这时vs是已标号未检查 的点，其余都是未标号的点。 2）检查与标号。一般的，取一个已标号的未检查的点vi， 对于一切未标号点vj：
( v i , v j ) ( S , T )

割集是vs到vt的必经之路，任何一个可行流V(f)都不会超过 任一割集的容量，即
V(f) ≤ C(S，T)
二、基本定理

1.最大流充要条件 当且仅当不存在关于f*的增广链时，可行流 f*是最大流。


必要性证明（反证法）
若f*是最大流，设D中存在关于f*的增广链，令 θ = min { min(c - f), min fij* } + 由增广链的定义可知， θ ﹥ 0，令
V2
Vs
V3
V5
V7
Vs
V3
V5
V7

一般地，若网络的节点集为V，把点集V分割成两个集合S、 T。S包含发点vs，T包含收点vt，则把所有起点在S、终点 在T的弧组成的弧集(S，T)称为割集。必有:S,T V,S∪T=V,S ∩ T= 。把割集(S，T)中的所有弧的容量 之和称为这个割集的容量（简称为割量），记为C(S，T)。 即 C (S ,T ) c ij
3.增广链

若给定一个可行流 f=（fij），我们把网络中使fij=cij 的弧称之为饱和弧；fij＜cij的弧称之为非饱和弧； 把fij=0的弧称之为零流弧；fij＞0的弧称之为非零 流弧。
若µ是网络中从发点vs到收点vt的一条链，我们定 义链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分为两类： 一类弧与链的方向相同，称为前向弧，前向弧的 全体记为µ+；另一类弧与链的方向相反，称为后 向弧，后向弧的全体记为µ-。

网络
给定一个有向图D=（V，A），在V中指定两点： 发点vs和收点vt，其余的点为中间点。对于图中的 每一弧（vi，vj）∈A，对应的有一个数cij≥0，称 之为弧的容量。我们把这样的图D称为网络，计 作D=（V，A，C）。


在图1中，城市A为发点vs，城市B为收点vt，图中路段通 行能力为弧的容量cij，如c32=4000，c45=5000等。 又如，在水管网中，水流从进水管流向出水管，则进水管 为发点，出水管为收点，管道的容量即弧的容量； 在电路网络中，电流从电源正极流向负极，则电源正极为 发点，电源负极为收点，输电线的容量即为弧的容量。 所谓网络流，是指定义在弧集合A上的一个函数f=「fij」， 并称fij为弧（vi，vj）上的流量 。


可行流
我们把满足上述条件的流称之为可行流，式中v （f）成为这个可行流的流量，即发点的净输出量 （或收点的净收入量）
可行流总是存在的 ，例如所有弧的容量fij均为0就 是一个可行流（零流）。显然，符合上述条件的 可行流f不是唯一的。可行流是一个具有实际意义 的流，我们讨论的流一般都是可行流。

所以v(f*)=c(Vi* , Vi* )，于是f*必是最大流，定理得证。

由上面的证明中可见，若f*是最大流，则网络中必 然存在一个截集Vi* =V- Vi*使
v(f*)=c(Vi* , Vi* )

于是有下面的最大流量—最小割定理


2.最大流量—最小割定理
任意网络D中，从发点vs到收点vt的最大流量等于分离vs与 vt的最小割集的容量。 我们分析下图中的公路网络

在下图中，考虑链µ=｛v1，v2，v3，v4，v5，v7｝ 则µ+ =｛（v1，v2），（v3，v4），（v4，v5）， （v5，v7）｝ µ- = ｛（v2，v3）｝
v2 13000 5000 v5 5000 2000
V1
（A） 9000
6000 v4
5000
4000
4000
µ
V7
（B）
4000 v3
ij ji ( v i , v j ) A ( v i , v j ) A
对于发点vs，记 对于收点vt，记
( v s , v j ) A

f sj
( v j , v s ) A

f
js
V(f)
( v t , v j ) A

f tj
( v j , v t ) A

f
jt
V ( f )
v2
5000 6000 v4 5000 5000 5000
v5
13000
V1 （A） 9000 4000 v3
2000
4000 V7 （B） 10000 v6
4000
图1

那么，对整个网络来说，A、B两城市之间的最大通行能 力是多少呢？这就是一个网络最大流的问题。

另外，如输电网的输电能力、供水系统的供水能力、输油 管道的输油能力等也可归纳为网络最大流问题。



2.可行流
在实际交通网络中，对于流有两个明显的要求： 一是每条弧上的流量不能超过它的容量（通行能力）；
二是中间点的流量为0（一个点的流出量减去流入量为这个 点的流量）。由于中间点只起中转的作用，流进中间点的 交通量应等于流出中间点的交通量，即该点的流量为零。
一个有实际意义的流一般应满足下述条件： （1）容量限制条件： 0≤fij≤cij （vi，vj）∈A （2）流量平衡条件： 对于中间点： 流出量=流入量 即对每个i（i≠s，t），有： f f 0
vs Vi* vi Vi* , fij<cij vj Vi* vi Vi* , fij>0 vj Vi*
因为不存在关于f*的增广链，故vt Vi* ，于是得到一个截集 Vi* =V- Vi* 。显然必有
fij* =
cij 0
(Vi , Vj) (Vi* , Vi* ) (Vi , Vj) (Vi* , Vi* )