复数的引入
数学学复数知识点总结
数学学复数知识点总结一、复数的引入复数的引入源于数学家们对负数的研究，早在16世纪就有学者提出过负数的概念。
随着数学的发展，人们逐渐认识到负数的意义和作用。
在代数中，人们遇到了平方根的问题，比如求方程x^2+1=0的解。
在实数范围内，这个方程无解，因为实数的平方不可能为负数。
但是人们希望有一个数可以满足这一性质，于是就引入了虚数单位i，使得i^2=-1。
这样，方程x^2+1=0即可求得解x=i和x=-i。
这就是复数的引入。
二、复数的定义复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数的实部是a，虚部是b。
复数可以表示为一个有序对(a,b)，同样，可以用a+bi表示。
三、复数的加减对两个复数进行加减法的操作，就是对它们的实部和虚部进行加减操作。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
复数的加减法和实数的加减法在形式上类似，只是实部和虚部需要分开进行计算。
四、复数的乘法复数的乘法是将两个复数的实部和虚部进行分配律的乘法。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
这种形式类似于多项式的乘法，只不过多项式的系数变成了复数。
五、复数的除法对复数进行除法，实际上是对两个复数进行乘法逆运算。
设z1=a+bi，z2=c+di，则z1/z2=(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]=[ac+bd+(bc-ad)i]/(c^2+d^2)。
这就是复数的除法运算。
六、复数的共轭复数a+bi的共轭定义为a-bi，记作a-bi。
共轭复数的重要性在于它可以方便地求得复数的模长和幂次运算。
例如，(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2+b^2。
七、复数的模长复数a+bi的模长定义为|a+bi|=√(a^2+b^2)。
中考数学复数知识点总结
中考数学复数知识点总结1. 复数的引入复数的引入是为了解决方程$x^2+1=0$。
显然这个方程在实数范围内是无解的，于是人们引入一个虚数单位$i$，定义为$i^2=-1$。
于是可以得到$i=\sqrt{-1}$。
通过这个虚数单位，就可以得到满足要求的解$x=i$和$x=-i$。
这样引入的数称为复数，通常用$a+bi$来表示。
其中$a$称为实部，$b$称为虚部，$i$是虚数单位。
2. 复数的基本运算（1）复数的加法：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$（2）复数的减法：$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$（3）复数的乘法：$(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi^2=ac+adi+bci+bdi^2=ac+(ad+bc)i-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i$（4）复数的除法：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$3. 复数的共轭对于复数$z=a+bi$，其共轭复数定义为$\bar{z}=a-bi$。
显然有$z\cdot \bar{z}=|z|^2$，其中$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。
4. 复数的模对于复数$z=a+bi$，称$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$为其模。
5. 复数平面复数可以用平面上的点来表示，通常称为复数平面。
平面上的某个点$(a,b)$可以代表复数$a+bi$。
这样可以在平面上进行复数的加减乘除运算，也可以方便的进行解析几何的应用。
6. 复数的除法对于复数$z_1=a+bi$和$z_2=c+di$，它们的除法定义为$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$。
复数的引入与运算
复数的引入与运算复数是数学中一个非常重要的概念，它在代数、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍复数的引入与运算，并探讨它在实际问题中的应用。
一、复数的引入复数的引入是为了解决一元二次方程 $x^2 + 1 = 0$ 无实数解的问题。
为了表示这样的解，我们引入了一个新的数 $i$，称为虚数单位。
虚数单位 $i$ 定义为 $i^2 = -1$。
同时，我们规定复数由实部和虚部组成，记作 $a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数。
二、复数的表示形式复数可以用不同的表示形式来描述。
除了通常的代数形式$a + bi$，还有极坐标形式 $r(\cos \theta + i \sin \theta)$。
其中，$r$ 是复数的模（即长度），$\theta$ 是复数的辐角（即与正实轴的夹角）。
三、复数的四则运算1. 加法和减法：复数相加减就是对应实部和虚部相加减。
例如，$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$。
2. 乘法：将两个复数相乘，实部和虚部要按特定的规则计算。
例如，$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
3. 除法：复数的除法需要借助共轭复数。
将分子分母同乘以分母的共轭复数，再根据乘法规则进行计算。
例如，$\frac{a+bi}{c+di} =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2 + d^2}$。
4. 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并运用指数的性质来计算。
例如，$(a+bi)^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$。
四、复数在实际问题中的应用1. 电路分析：复数广泛应用于电路分析中，特别是交流电路。
通过将电压和电流表示为复数形式，可以简化分析过程，并求解电路的幅值和相角。
复数的引入数学史(一)2024
复数的引入数学史（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中起着重要的作用。
复数的引入在数学史上具有里程碑意义，对于推动数学的发展和应用产生了深远的影响。
本文将从复数概念的引入、复数的基本性质、复数的运算、复数在几何中的应用以及复数的历史地位等五个大点展开讨论，带您了解复数引入数学史中的重要角色。
正文：一、复数概念的引入1. 复数的起源及发展历程2. 复数的定义及其意义3. 复数与实数的对比4. 负数与复数的区别5. 复数的命名与表示方法二、复数的基本性质1. 复数的实部和虚部2. 复数的共轭3. 复数的模4. 复数的幅角5. 复数的绝对值三、复数的运算1. 复数的加法与减法2. 复数的乘法与除法3. 复数的乘方与开方4. 复数的乘法逆元与除法逆元5. 复数的运算规律与性质四、复数在几何中的应用1. 复数平面及其坐标系2. 复数的几何意义3. 复数的向量表示4. 复数的旋转与缩放5. 复数在几何图形变换中的应用五、复数的历史地位1. 复数的争议与接受2. 复数的应用领域介绍3. 复数与数学其他分支的关系4. 复数的重要性与影响5. 复数的未来发展前景总结：综上所述，复数的引入是数学史上的重要里程碑事件，复数的概念和性质提供了一种新的数学框架，为解决实际问题提供了更广阔的空间。
复数在几何中的应用以及在物理、工程等领域的广泛应用证明了其在实际中的价值。
同时，从历史的角度来看，复数的引入对于推动数学的发展和应用产生了深远的影响，使得数学不再局限于实数领域，产生了更加丰富多样的数学体系。
第四节 数系的扩充与复数的引入课件
①实数；②虚数；③纯虚数． (2)实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点 ①位于第四象限；②位于第一、三象限；③位于直线y＝x上．
解：(1)①当m2－3m＝0，即m＝0或m＝3时，所给复数是实数． ②当m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，所给复数是虚数．
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
( C) A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi. ∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
的点的坐标为( A )
A．(－1，－1)
B．(－1,1)
C．(1,2)
D．(1，－2)
[解析]
z＝－
1 i
－1＝－1＋i，
－ z
＝－1－i，则在复平面内，
－ z
对应点的坐标为
(－1，－1)．故选A.
复数的引入与运算
复数的引入与运算复数是数学中一个重要的概念，它在代数和几何中都有广泛的应用。
本文将探讨复数的引入与运算，并通过实例来说明其应用。
引入复数的背景在实数系统中，我们知道，无法解决负数的平方根。
为了解决这个问题，数学家引入了虚数单位i，其中i满足i²=-1。
由此，复数的概念应运而生。
复数的定义复数是由实数和虚数单位i的线性组合构成的数。
一个一般形式的复数可以写成a+bi的形式，其中a和b是实数，并且有唯一的复数与之对应。
复数的运算1. 加法和减法对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，他们的和为z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，差为z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。
2. 乘法复数乘法的计算可按照分配律进行，对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘积为z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i。
3. 除法复数的除法需要将分子和分母都乘以分母的共轭复数，然后按照乘法的规则计算。
假设z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，则它们的商为(z1/z2)=(a1*b2+a2*b1)/(a2²+b2²)+(a2*b1-a1*b2)i/(a2²+b2²)。
复数的应用复数不仅在代数中有广泛的应用，还在几何中发挥着重要的作用。
1. 代数中的应用复数在解代数方程、解线性方程组、计算复数的幂等等方面有着重要的应用。
例如，通过引入复数，我们可以解决无法被实数解决的方程，如x²=-1。
2. 几何中的应用在几何中，复数可以用于表示平面上的点。
我们可以将一个复数z=a+bi对应到平面上坐标为(a, b)的点。
通过复数的加法和乘法，我们可以进行平移、旋转等几何变换，简化了计算。
举例说明假设有一个复数z1=3+2i，我们将其对应到平面上的点P1(3, 2)。
现在我们进行以下运算：1. 将z1乘以2，得到z2=6+4i，对应的点P2为(6, 4)。
复数知识点总结数学
复数知识点总结数学一、复数的定义1. 复数的引入复数是在解决二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 时引入的，因而对于该方程抽象出来的解 -b/2a 即不存在，于是引入了虚数单位 i（i^2 = -1）。
因此，考虑了实数范围外的概念：负数的平方根。
2. 复数的定义复数由实部和虚部组成，一般表示为 a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
当a=0时，复数为纯虚数；当b=0时，复数为实数。
3. 复数的性质复数具有共轭、实部、虚部等性质。
共轭：复数 a+bi 的共轭为 a-bi；实部：复数 a+bi 的实部为 a；虚部：复数 a+bi 的虚部为 b。
4. 复数的绝对值和幅角复数 a+bi 的绝对值定义为|a+bi| = √(a²+b²)；复数 a+bi 的幅角定义为 arg(a+bi) =arctan(b/a)。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实部和虚部进行赋值运算。
2. 复数的乘法复数的乘法是按照展开式进行计算的，需要注意 i² = -1。
3. 复数的除法复数的除法需要将分母有理化，然后乘以共轭复数得到结果。
4. 复数的乘方和开方复数的乘方需要注意按照展开式进行计算；复数的开方需要注意共轭复数和幂次根的计算。
三、复数的代数方程1. 一元二次方程一元二次方程的解一般为复数，根据判别式可以判断方程有几个实根、虚根或不等实根。
2. 一元高次方程一元高次方程的根可能为复数，可以根据综合定理推导出复数根的情况。
3. 复数系数方程对于复数系数方程，可以使用复数的性质进行求解，得到复数解。
四、复数平面1. 复数的几何表示在复数平面中，实部和虚部分别对应坐标轴上的 x 轴和 y 轴，复数 a+bi 对应于点 (a,b)。
2. 复数的运算复数的几何表示可以利用向量的方法进行解释，加法和乘法对应于向量的平移和旋转。
3. 复数的几何性质复数的绝对值对应于复数到原点的距离，复数的幅角对应于复数到 x 轴的角度。
极坐标与复数的引入
极坐标与复数的引入极坐标和复数是数学中两个重要的概念，它们在解决各种问题和推导不同数学定理时起着重要的作用。
本文将介绍极坐标和复数的概念，探讨它们的引入对数学的发展和应用的影响。
一、极坐标的引入极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它用极径和极角两个量来定位点的位置。
在平面直角坐标系中，我们通常使用横坐标和纵坐标表示点的位置，但是在某些情况下，使用极坐标更为方便和直观。
极坐标由极径和极角两个量组成。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点与正半轴的夹角。
通过极径和极角的组合，我们可以准确地确定平面上的任意一个点。
极坐标的引入主要是为了解决复杂问题中点的位置描述和表示的方便性。
在许多物理、工程和数学问题中，点的位置常常由距离和角度来表示，使用极坐标可以更加直观地描述和解释这些问题。
二、复数的引入复数是由实数和虚数构成的数。
虚数是定义在数学中的一种特殊数，它的平方等于-1。
虚数单位常用符号"i"表示。
复数由实部和虚部组成，通常形式为a + bi，其中a和b为实数。
复数的引入主要是为了解决实数域无法解决的方程和问题。
在实数域中，有些方程无法求解，例如x²+1=0。
根据实数域的规则，这个方程无解，但引入复数后，可以得到x=±i。
复数的引入扩展了数域的范围，解决了一些实数无法解决的问题。
复数在许多数学分支和实际问题中都有广泛应用。
在电工和电子学中，复数常用于描述交流电信号和电路的特性。
在量子力学中，复数用于描述波函数的变化和量子态的叠加。
复数还被广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
总结：极坐标和复数的引入对数学的发展和应用起到了重要的作用。
极坐标的引入解决了平面上点的位置描述和表示问题，使得我们能更直观地解释和解决复杂问题。
复数的引入扩展了实数域，解决了一些实数无法解决的方程和问题，并在物理和工程等领域有广泛的应用。
极坐标和复数的引入丰富了数学的内容，为许多领域的研究和应用提供了有力的工具和方法。
初中数学教案复数的引入和计算
初中数学教案复数的引入和计算初中数学教案：复数的引入和计算一、引言在初中数学教学中，复数是一个重要的知识点。
复数的引入和计算是初步掌握复数概念与运算的基础。
本教案将通过引入复数的概念和计算方法，帮助学生理解复数的意义，掌握复数计算的方法和技巧。
二、引入复数的概念1.理解虚数单位i首先，我们引入虚数单位i，定义为i^2=-1。
虚数单位i是一种特殊的数，它具有平方为负数的性质。
通过引入虚数单位i，我们可以构建复数的集合。
2.复数的定义与表示复数由实数和虚数单位i组成，形如a+bi，其中a为实数部分，bi 为虚数部分。
实数部分可以为任意实数，虚数部分则依靠虚数单位i表示。
3.虚数与实数的对比与实数相比，虚数在数轴上无法表示。
在数轴上，实数可以用点表示，而虚数则需要使用平面直角坐标系表示。
4.实部与虚部的定义对于复数a+bi，a为实部，bi为虚部。
实部表示复数在实数轴上的投影，虚部表示复数在虚数轴上的投影。
实部和虚部都是实数。
三、复数的计算1.复数的加法复数的加法按照实部和虚部进行分别相加。
例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
通过实部和虚部的相加，可以得到复数的和。
2.复数的减法复数的减法按照实部和虚部进行分别相减。
例如，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
通过实部和虚部的相减，可以得到复数的差。
3.复数的乘法复数的乘法可以通过分配律展开计算。
例如，(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
通过展开计算，可以得到复数的乘积。
4.复数的除法复数的除法需要使用复数的共轭进行运算。
例如，(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
通过共轭的运算，可以得到复数的商。
四、实例演练为了帮助同学们更好地理解和应用复数的计算方法，我们进行一些实例演练。
复数的引入和基本运算
复数的引入和基本运算复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数组成的。
在许多数学和物理问题中，复数起着重要的作用。
本文将介绍复数的引入以及复数的基本运算。
一、复数的引入复数最早引入是为了解决某些无理数开方的问题。
一般来说，无论对一个正实数开什么次方，结果都是一个正实数。
但是对于负实数，开根号的结果就无法用实数表示了，于是人们引入了虚数单位i。
虚数单位i定义为：i^2 = -1。
基于虚数单位i的定义，人们将复数表示为“a+bi”的形式，其中a和b都是实数。
在这种表示方法中，a被称为复数的实部，b被称为复数的虚部。
二、复数的基本运算1. 复数的加法对于两个复数a+bi和c+di，它们的和可以用以下公式进行计算：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i即实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法对于两个复数a+bi和c+di，它们的差可以用以下公式进行计算：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i即实部相减，虚部相减。
3. 复数的乘法对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘积可以用以下公式进行计算：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i即根据分配律，先计算实部的乘积，再计算虚部的乘积。
4. 复数的除法对于两个复数a+bi和c+di，它们的商可以用以下公式进行计算：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i即根据分数的除法，先计算实部的商，再计算虚部的商。
三、复数的性质复数的引入和基本运算满足以下性质：1. 加法和乘法满足交换律和结合律。
2. 减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
3. 复数的乘法满足分配律。
四、应用举例复数在数学和物理中有广泛的应用，以下列举几个例子：1. 电路分析中，复数可以用来表示电压和电流的相位关系。
2. 信号处理中，复数可以用来表示傅里叶变换和频谱分析。
复数的引入数学史(二)2024
复数的引入数学史（二）引言概述:在我们的日常生活和数学领域中，复数的引入扮演着重要的角色。
本文将进一步探讨复数的历史背景和其在数学领域中的应用。
通过回顾数学史上的重要人物和例子，我们将探讨复数的引入对数学领域的影响。
正文:1. 复数的引入:- 提出负数的概念: 数学家们在解方程时首次遇到了无法用实数解释的情况，因此开始探索负数的概念。
这为复数的引入奠定了基础。
- 复数的定义: 数学家们开始思考在实数范围之外扩展数的定义方式，引入了虚数单位i。
这样可以表示形如a+bi的复数，其中a是实部，b是虚部。
2. 重要人物:- 卡尔丹尼·布朗凯尔: 布朗凯尔首次提出了复数的概念，并将其视为数学中一个有用的工具。
- 亚尔·亥朵根·冯·米泽斯: 米泽斯在其著作中深入研究并发展了复数的理论，证明了复数域上的代数基本定理。
3. 复数的应用:- 电路理论: 复数在电路理论中扮演着重要的角色，可以描述电流和电压的相位差。
- 物理学: 复数在量子力学中起着至关重要的作用，特别是在描述波函数和量子力学算符时。
- 应用数学: 复数可以用于解决实数范围内无法解决的问题，如求解高次多项式的根。
4. 重要概念:- 共轭复数: 共轭复数是指在实部相等而虚部符号相反的两个复数。
在求解方程和进行计算时，共轭复数起着重要的作用。
- 复平面: 复平面是将复数与二维平面上的点相对应的平面。
通过在复平面上绘制复数，可以更直观地理解复数的运算规则和性质。
5. 复数的发展和应用:- 非欧几里德几何: 复数的引入推动了非欧几里德几何的发展，这种几何体系超越了欧几里德几何中实数的限制。
- 控制论: 复数在控制论中起着关键作用，能够描述控制系统中的动态行为。
总结:复数的引入为数学领域带来了新的视角和解决问题的方法。
通过负数和虚数的引入，数学家们不仅能够解决实数范围内的问题，还能够在更广阔的数学领域中应用复数。
复数的发展和应用深刻地改变了数学和其他学科的研究方法和理论体系。
第三章_复数的引入
14.几个基本结论 几个基本结论: 几个基本结论
i = i 4n + 2 i =−1 4n + 3 i =−i 4n i = 1
4n + 1
指出下列复数的实部与虚部： 例1 指出下列复数的实部与虚部：
2 3 + 4i，6i，-5i, 3，0， i（i + 1）， , i3 . 1+ i
分析：熟悉复数的概念，代数形式，实部、虚部的概念。考察对i的理解。
复数z=a+bi 复数z=a+bi
一一对应 平面向量
uuu r OZ
OZ
6.复数的模 | z | = 复数的模: 复数的模
a +b
2
y b
2
Z(a,b)
a
o
x
7.复数的加法法则： =a+bi， (a、 7.复数的加法法则：设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、 复数的加法法则 d∈R)是任意两个复数 那么它们的和： 是任意两个复数， c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的和： （a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 实部与实部相加,虚部与虚部相加 即:实部与实部相加 虚部与虚部相加 所得 实部与实部相加 虚部与虚部相加,所得 结果仍是复数. 结果仍是复数 8.复数加法的几何意义 复数加法的几何意义: 复数加法的几何意义
uuur 设 OZ1 uuuu r 及 OZ 2
yZ
1
分别与复数
Z2
z1 = a + bi 及复数 c + di = z 2 对应，则 z1 − z 2 对应的向量 对应，
O
x
就是 OZ 1 − OZ 2
复数的引入与运算规则
复数的引入与运算规则引言：复数是数学中的一种数形式，可以表示实数系统中不存在的数。
它由实数与虚数部分组成，并在数学运算中有一定的规则。
本文将介绍复数的引入，及其与运算规则。
一、复数的引入复数是数学中的一种扩充形式，用于解决实数系统中无法解决的问题。
复数通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
引入复数的初衷是为了解决无解的方程，如x²+1=0。
二、复数的运算规则1. 复数的加法：复数的加法满足交换律和结合律。
给定两个复数a+bi和c+di，其和为(a+c)+(b+d)i。
2. 复数的减法：复数的减法满足交换律和结合律。
给定两个复数a+bi和c+di，其差为(a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法：复数的乘法满足交换律和结合律。
给定两个复数a+bi和c+di，其积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 复数的除法：除法的运算规则是基于乘法的倒数运算。
给定两个复数a+bi和c+di，其商为[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i。
5. 复数的共轭：对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
共轭复数具有以下性质： - 两个复数的和的共轭等于两个复数的共轭的和。
- 两个复数的差的共轭等于两个复数的共轭的差。
- 两个复数的乘积的共轭等于两个复数的共轭的乘积。
- 两个复数的商的共轭等于两个复数的共轭的商。
三、复数运算的示例下面通过几个示例来展示复数的运算规则。
示例一：求两个复数的和已知复数a=3+2i，b=1-4i，求a与b的和。
解：根据复数的加法规则，将实部和虚部分别相加可得：(3+1)+(2-4)i=4-2i。
示例二：求两个复数的乘积已知复数a=2+3i，b=-1+2i，求a与b的乘积。
解：根据复数的乘法规则，将实部和虚部分别相乘可得：(2*(-1)-3*2)+(2*2+3*(-1))i=-8+1i。
《数系的扩充与复数的引入》复习
背景知识
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数） 复数的一个几何意义
（形）
z=a+bi
y
Z(a,b)
b
复平面
a
ox
x轴------实轴 y轴------虚轴
01
复数z=a+bi 点Z(a,b）
3 复数相等的问题
4 转化
5 求方程组的解的 问题
6 一种重要的数学 思想—转化思想
变式练习
x 2 误点警示：虚数不能比较大小！
1
若方程
m +(m+2i)x+(2+2
mi)=0 至少有一 个实数根，试求实 数m的值.
2
m m 2
2
已知不等式 -
( -3m)i
3
<10+( 4m+3)i,试求实数 m的值.
(4)|zz1zz2|2a
回顾总结
1
两个复数相等的充 要条件是实现把复 数问题转化为实数 问题的重要途径， 也是我们解决有关 的方程、不等式问 题的重要依据。
2
在熟练进行复数运 算的同时，掌握一 些运算技巧方法， 以求快速准确地解 答问题。
回顾总结
复数的几何表示建立了复数与平面图形、 复数与向量沟通的桥梁，由此我们可以 方便地进行数形转换，寻找更为直观、 方便的解题方法与途径。
高考链接
i
(06年陕西卷)复数
(1 i) 2 等于 1 i
A.1－i
B.1+i
C.－1+ i D.－1－i
复数的引入与运算规则高中六年级数学教案
复数的引入与运算规则高中六年级数学教案复数的引入与运算规则一、复数的引入复数是为了解决开方运算中负数无实数解的问题而引入的一类数。
实数的平方根运算中，对于负数无法开方，比如√(-1)，没有实数解。
为了解决这个问题，数学家引入了虚单位i，定义为i²=-1。
根据虚单位i，我们可以构造出一类新的数，称为复数。
复数由实数部分和虚数部分组成，形如a+bi，其中a和b都是实数。
例如，2+3i就是一个复数，其中2是实数部分，3i是虚数部分。
二、复数的运算规则1. 复数的加法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的和定义为(a+c)+(b+d)i。
例如，(2+3i)+(4+5i)=(2+4)+(3+5)i=6+8i。
2. 复数的减法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的差定义为(a-c)+(b-d)i。
例如，(4+5i)-(2+3i)=(4-2)+(5-3)i=2+2i。
3. 复数的乘法：对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘积定义为(ac-bd)+(ad+bc)i。
例如，(2+3i)(4+5i)=(2*4-3*5)+(2*5+3*4)i=-7+22i。
4. 复数的除法：对于两个非零复数a+bi和c+di，它们的商定义为((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i。
例如，(2+3i)/(4+5i)=((2*4+3*5)/(4²+5²))+((3*4-2*5)/(4²+5²))i=(23/41)+(2/41)i。
三、高中六年级数学教案教学目标：了解复数的引入和运算规则，能够进行复数的加减乘除运算。
教学步骤：1. 复数的引入：- 引导学生思考实数的平方根运算中存在的问题，即负数无法开方的情况。
- 介绍虚单位i的定义及其运算规则i²=-1。
- 给出复数的定义，并解释其中实数部分和虚数部分的含义。
复变函数的起源与发展
复变函数的起源与发展复变函数是数学中的一个重要分支，它的起源和发展可以追溯到18世纪末至19世纪初。
1.复数的引入：复变函数的起点可以追溯到复数的引入。
在18世纪末，数学家们开始思考负数的平方根问题，这引发了对虚数单位i 的研究。
通过引入虚数单位i，可以将负数的平方根问题转化为复数的平方根问题。
2.庞加莱的贡献：法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在19世纪末对复变函数做出了重要贡献。
他研究了复数平面上的连续变换，并引入了庞加莱球面来描述复平面上的无穷远点。
3.韦尔斯特拉斯的全纯函数理论：19世纪中叶，德国数学家卡尔·韦尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了全纯函数的概念和理论。
他定义了全纯函数的导数，并研究了全纯函数的级数展开和收敛性。
韦尔斯特拉斯的工作奠定了复变函数理论的基础。
4.黎曼面和复析函数：德国数学家伯纳德·黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪中叶提出了黎曼面的概念，并将复变函数的研究推广到多复变量的情况。
他定义了复析函数，并研究了它们的性质和特征。
黎曼的工作开创了复变函数理论的新领域。
5.应用和发展：复变函数的理论和方法在数学和物理学的许多领域中得到了广泛应用和发展。
它在解析几何、调和分析、偏微分方程、概率论等领域中发挥着重要作用。
复变函数的研究也催生了许多重要的数学定理和概念，如黎曼曲面、黎曼积分、留数定理等。
综上所述，复变函数的起源和发展可以追溯到18世纪末至19世纪初，从复数的引入到全纯函数理论和黎曼面的提出，复变函数的研究为数学和物理学的发展做出了重要贡献，并在各个领域中得到了广泛应用。
复数的引入
探究以下问题：
1.什么是虚数单位？什么是复数， 复数的代数表达形式是什么？什么是复数集？ 2.什么是复数的实部和虚部？ 3.什么时候复数表示实数，虚数，纯虚数？ 4.复数相等的充要条的关系是怎样的呢？
N Z QRC
NZ Q R C
合作探究
要求：
（1）小组长首先安排任务先一对一分层讨论，再小组内集中讨 论，AA力争拓展提升，BB、CC解决好全部展示问题。
（2）讨论时，手不离笔、随时记录，争取在讨论时就能将错题 解决，未解决的问题，组长记录好，准备展示质疑。
（3）讨论结束时，将对各组讨论情况进行评价。
探究内容：探究一、二、变式训练1
展示点评
展示题目 探究一
探究二（1） 探究二（2）
变式训练1
展示小组 2组 4组 6组 8组
点评小组 1组 3组 5组 7组
【学习目标】
1.了解数系扩充的历史，体会学习复数的必要性
2.掌握复数有关概念、复数分类，初步掌握虚数单 位的概念和性质
问题的延伸——复数的概念
1.形如 a bi(a,的b 数叫R)做复数，通常用小写字母z表示，即
z a bi(a,b R)
实部 虚部 虚数单位
x 5 15 5 15 • 1 5 15i
课堂小结
1.复数的定义 2.复数的表示 3.复数的分类 4.复数相等
复数的引入与基本运算
复数的引入与基本运算复数是数学中的一个重要概念，用以描述实数范围之外的数。
它由实部和虚部组成，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数的引入解决了实数范围内无法解决的问题，例如开根号，以及在物理学和工程学等领域的应用。
一、复数的引入在古希腊时期，数学家们认为负数是不存在的，因为负数没有实际的意义。
然而，随着数学的发展，人们意识到负数在解决一些问题时是必要的，例如负债、负温度等。
但即使使用负数，仍然无法解决开根号的问题，因为负数的平方根是虚数。
为了解决这个问题，复数就被引入了。
二、复数的基本运算1. 复数的加法复数的加法可以通过实部和虚部的分别相加得到。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 复数的减法复数的减法可以通过实部和虚部的分别相减得到。
例如，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法复数的乘法可以通过展开并使用虚数单位i的平方等于-1进行计算。
例如，(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并使用虚数单位i的平方等于-1进行计算。
例如，(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
三、复数的应用复数在许多领域都有广泛的应用，例如：1. 电路分析：在交流电路分析中，复数可以用来描述电压和电流的相位和幅值。
2. 信号处理：在数字信号处理中，复数可以用来表示频域和时域之间的转换关系。
3. 控制系统：在控制系统中，复数可以用来描述系统的阻尼比、固有频率等性质。
4. 量子力学：在量子力学中，复数被用来描述波函数的形式和变化。
综上所述，复数的引入和基本运算解决了实数范围内无法解决的问题，并且在各个领域都有广泛的应用。
通过理解和掌握复数的概念和运算，我们可以更好地解决数学和科学领域中的问题，推动科学的进步和发展。
复数的引入
§1复数的引入一．课程说明1.教学目标：⑴知识与技能：①了解引进复数的必要性以及数的分类;②理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；③理解复数bi=是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.z+a⑵过程与方法：①经历数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用;②感知引进虚数单位i、虚数单位i与实数进行四则运算的合理性;2.教材分析：这部分内容较为简单，在考试中易拿分。
教材中要求学生理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)复数相等的有关概念、虚数单位与实数进行四则运算的规律。
3.学习者特征分析：辅导学生为高二年级学生，初次学习了复数的相关知识，基础知识掌握不够牢固，知识的运用能力较差，分析能力较弱，解题思路不清晰。
辅导过程中要重点夯实基础，帮助学生明确解题思路。
4．教学重点（1）了解引进复数的必要性以及认识数系（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；（3）理解复数bi=是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.az+5．教学难点复数概念的引入，虚数单位的理解.二．课前准备1.教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合。
2.时间分配：知识点讲解30分钟，精典例题解析30分钟。
三．课程设计（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x+=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x-=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x=有解，a>就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程2x a=(0)永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a<时，方程2x a=在实数范围内无解．为了a<有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．使方程2x a=(0)2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析a<有解，使实数的开方运算总可以进行，实数集的扩充就从1、为了使方程2x a=(0)引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i，叫做虚数单位．并作如下规定：①21i=-；②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i可以与实数b相乘，再同实数a相加得i b a⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi+(,a b R∈)的形式．2、复数概念及复数集C形如a bi+(,a b R∈)的数叫做复数。
复数的引入知识点总结
复数的引入知识点总结名词的复数形式构成规则在英语中，一般来说，在名词后加-s就可以构成复数形式，如book- books, cat- cats, dog- dogs等等。
但是也有一些其他的构成规则。
1. 名词以s, sh, ch, x或o结尾时，复数形式加-es，如bus- buses, brush- brushes, church- churches, box- boxes, tomato- tomatoes。
2. 名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y变成i, 再加-es，如city- cities, baby- babies。
3. 名词以f或fe结尾时，复数形式通常将f或fe变成v, 再加-es，如 leaf- leaves, knife- knives。
4. 一些名词的复数形式与单数形式完全相同，如sheep, deer, fish等。
不规则复数形式除了上述的规则形式外，英语中还有一些名词的复数形式是不规则的，需要记忆和掌握。
1. 名词的复数形式变化形式不规则，如man- men, woman- women, child- children, foot- feet, tooth- teeth, mouse- mice, goose- geese, louse- lice。
这些名词的复数形式需要特殊记忆，因为它们与单数形式没有规则的变化关系。
2. 一些外来词的复数形式也是不规则的，如cactus- cacti, syllabus- syllabi。
特殊情况在英语中，有一些特殊的情况需要特别注意。
1. 一些名词的单复数形式相同，例如sheep, deer, fish等。
2. 一些名词具有复数形式但是其意义不表示“多个物品、人或概念”，如trousers, scissors, glasses。
3. 一些名词在其复数形式中有不同的意义，如a means of transportation- means of transportation, a news- news, a mathematics- mathematics。
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复数的引入
一、课程说明
《复数的引入》是北师大版新课程标准实验教科书选修系列2的模块2中第五章第一节的内容，这节课的主要内容复数的引入、以及复数的有关概念。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。
对于高中生来说，学习一些复数的基础知识是十分必要的，这可以促使学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同是还为进一步学习高等数学打下一定的基础
二、课前准备
在上课之前对学生做了一个学情调查，学生情况有如下几个特征：（1）学生在从小学到高中的学习中已经掌握了整数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数这些概念，也掌握了相应的运算法则和运算律；(2)同时又从政治和历史课中了解到一些与数系扩充的有关的重要历史事件；(3)但是学生们对数的分类的掌握，主要依靠的是简单记忆，当然对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解。
三、教学目标
鉴于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件2、能力目标:通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力；3、情感目标：提高学生学习数学的兴趣；拓展数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。
四、课堂设计
设立了以上教学目标，我将本节课设计成以下五个环节：设置情境，演示数系扩充的过程；然后引入虚数，讲解复数的基本概念；接下来通过类比学习，掌握复数相等的充要条件；完成了以上新概念的学习环节之后，利用课堂小结巩固本节课主要内容。
最后进行课外引申，激发学生课外学习兴趣。
(1)第一环节:首先让学生回忆从小学到高中认识数的过程，然后结合人类发展史，通过幻灯片展示，用通俗易懂的语言向学生演示数系发展的过程。
展示过程如下：从远古围猎时期人类常用的“结绳”和“堆石”记数方法中，逐步产生了自然数的概念；在分配劳动成果的过程中，产生了“正分数”的概念；随着人类商品交换时代的来临，为了表示相反意义的量，又引入了“负数”的概念；至此人们认为所有的数都可以用两个互质整数的比值来表示；然而，随着人类种植活动的兴盛，在丈量土地、计算长度、计算产量过程中产生了经验几何学，其中在勾股弦定理使用中发现：在求两直角边长度都是“1”的直角三角形斜边的时候，其斜边长度不能用任何有理数来表示，于是引入了无理数，把数系扩充为实数。
在此，提出问题：数系发展的动力和原因是什么？由学生体会并回答。
这个过程中通过兴趣学习，让学生了解数系扩充的过程，让学生亲自体会到“数的产生和发展，是人类生产和生活的需要”。
之后，我还会指出数系的每一次扩充也是数学自身发展和完善的需要，并以解方程为例进行说明。
为了使方程理论更加完整数系一步步扩充到了实数。
(2) 第二环节：引入虚数，理解复数的基本概念。
通过第一环节的学习，学生已经了解了由自然数到实数的数系扩充过程。
但是人们发现在实数范围内仍然无法完全解决代数方程根的问题，例如在解方程x2+1=0时候，用任何实数都无法表达其方程的根，这就必须引入新的“数”。
这时，要鼓励学生积极思考和尝试创造，并肯定学生的思维结果。
由此自然地引入“虚数单位i”，规定i2=-1；接着要求学生尝试求解方程x2=-4和x2-2x+5=0的根，让学生逐步发现复数的代数表示形式z=a+bi。
指出这些原来在实数范围内无解的方程，现在可以借助虚数单位表示出根来，这些根都是虚数，与之对应，之前我们认识的数都是实数，实数和虚数统称为复数。
接下来，提出问题“形如z=a+bi的数是否一定是虚数？”在学生思考和讨论之后，总结结论并讲解实部虚部的概念，通过对实部虚部取值情况的分析，帮助学生掌握复数集的分类：当虚部b=0时复数z=a+bi表示的是实数，当虚部b≠0时复数z=a+bi表示的是虚数，特别的当b≠0且a=0时复数z=a+bi可写成z=bi，这样的数是纯虚数。
至此完成了“引导学生从实数系到复数系扩充”的教学任务。
结合学生认识数的过程，引导学生发现“每个人认识数字的历程都和人类发展史中数系扩充的过程是一致的”，让学生体会到数学体系、数学思维的发展会促进人类全面素质的提高，从而激发学生学习数学的兴趣和热情。
为了巩固学生对复数概念的理解，与学生一起分析例一，边启发边讲解，注重实部虚部概念
的表述，强调复数a+bi的实部是a，虚部是b，不是bi。
之后要求学生思考课后练习第一题，以此加强对复数概念和复数集分类的掌握。
最后通过提问的方式确认学生已经达到本环节教学目标的要求。
为了提高学生思维能力并加强学生对复数概念的理解，引导学生完成例1：
例1:当m为何实数时，复数z=m2+m-2+(m2-1)i是__
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0
在第四问中，通过复数Z等于0的题目设置引导学生向复数相等充要条件的教学目标过度。
(3)第三环节：进入到第三个教学环节，引导学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等并且虚部与虚部相等。
之后，详细讲解并板书例二，如幻灯片所示，起到教师的典范的作用。
例2:设xy∈R,并且(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i,求xy的值。
在观察学生反映，确认学生已经基本理解复数相等的充要条件之后，要求学生独立完成课后练习第二题。
经过巡视，挑出学生代表展示其解析过程，表扬书写比较工整的学生，以达到教育全班学生要规范严谨的教学目的。
为了引起学生重视并给学生提供思维能力升华的空间，鼓励学生积极思考例二变式：
已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求x和y.
这个题目要由学生在组内讨论完成，为了保证教学效果，教师积极参与到小组讨论中去，通过交流与观察，由完成较好的小组推举出代表为大家进行讲解，教师及时给予点评。
(4) 第四个环节课堂小结在完成了新知学习的环节之后，进入到课堂小结。
引导学生通读一遍课本的同时回顾本节课的主要内容，由学生自己总结出本节课的主要知识和方法。
并在多媒体上演示这些内容。
以此达到提高学生归纳总结能力的教学目标。
布置作业时，分两部分：1、书面作业：课后习题A组第1、2题，书面作业设置的目的，就是通过这些题目的训练，达到促使学生课下复习思考，加深对复数相关概念的理解和应用。
2、知识拓展作业：小组成员交流合作，写一篇与数系扩充和发展有关的小论文；以此促使学生对数学史进行研究，延伸了数学课堂，并达到提高学生语言组织能力、逻辑思考能力的教学目的。
(5) 第五个环节，课外引申，激发学生课外学习的兴趣最后一个环节，进行课外引申，激发学生课外学习数学的兴趣。
通过提出“数系发展到复数之后还能不能继续扩充？”这样的问题，引发学生思考，并鼓励学生了去解章末阅读材料中“四元数”的内容，再推荐一本书目《虚数的故事》给兴趣浓厚的学生提供课外拓展数学视野的平台。
五、教学设计反思
在设计之初，考虑到复数基本概念比较容易掌握，但如果要求学生简单硬性记忆，并不能达到新课程标准中三维目标的要求。
所以本节课中应把数系扩充过程的详细生动讲解作为一个亮点，以此吸引学生的注意力，提高学生学习兴趣，激发学生思考和创造的精神，并且期望能达到进一步提高学生数学素养的最高目标。
在课堂设计中，采用了教师示范、自学讨论、学生互评等多元化的教学方式，在教学过程中时刻注重学生的参与，每个环节都采用有效的方法来确认教学目标的达成，保证课堂的时效性，圆满完成本节课的教学任务。