九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第7课时 确定圆的条件
九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第4课时 圆的对称性(二)
第4课时圆的对称性(二)（附答案）一、选择题1．下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是( )A. ①②B．②③C．①③D．①②③2．弦MN把☉O分成两条弧，它们的度数比为4:5，如果T为MN的中点，那么∠MOT 的度数为( )A .1600B．800C．1000D．5003．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2 cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=900，则圆心O到弦AD的距离是( )A. B cm C．D．4．圆的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则弦AB、CD之间的距离是( )A. 7 cm B．17 cm C．12 cm D．7 cm或17 cm二、填空题5．在直径为10 cm的☉O中，弦AB的长为8 cm，则点O到弦AB的距离为_________cm．6．如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为___________．7．如图，AB是半圆☉O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D．已知BC=8 cm，DE=2 cm，则AB的长为________cm．8．如图，水平放置的油管的截面半径为13 cm，其中有油部分油面宽AB为24 cm，则截面上有油部分油面高CD为__________ cm．三、解答题9．如图，线段AB交☉O于点C、D，如果AC=BD，那么OA与OB相等吗?请证明你的结论．10．如图，CD是☉O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，且AB=24cm，CE=8 cm. 求☉O的半径．11．如图，点A、B是☉O上两点，AB=10，点P是☉O上的动点(点P与点A、B不重合)，连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F．试问EF的长会变化吗?若变化，有什么规律? 若不变，求EF的长．12．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?写出你的结论，并说明理由。
九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第6课时 圆周角(二)
第6课时 圆周角(二) （附答案）一、选择题1．下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．其中真命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是 ( )3．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC=200, D AC 上任意一点，则∠D 的度数为 ( )A ．1200B ．1100C ．1000D ．9004．如图，ABC 内接于☉O ，∠C=450，AB=4，☉O 的半径为 ( )A ．B ．4 C. D ．5二、填空题5．如图，AB 是☉O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=600,∠ADC=500，则∠AEC=__________.6. 如图，在☉O 中，弦AC BC ⊥，若AC=6cm ，BC=8cm ，则☉O 的半径为______cm.7. 如图，ABC 内接于☉O ，0120BAC ∠=， AB=AC, BD 为☉O 的直径，AD=6cm ，则BC=__________.8.已知AB是☉O的直径，AC、AD是弦，且AB=2，AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是_________.三、解答题9．如图，OA是☉O的半径，以OA为直径的☉C与☉O的弦AB相交于点D．求证：点D是AB的中点．10．如图，☉O是ABC的外接圆，CD是AB边上的高．求证：∠ACO=∠BCD。
11．如图，AB、AC是☉O中相等的两条弦，延长CA至D，使AD=AC，连接DB并萼长交☉O于点E，连接CE．求证：CE是☉O的直径．12．如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．(1)求证：AH·AB=AC2．(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与☉O相交于点F，则AE·AF=AC2是否成立?并说明你的理由．(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与☉O相交于点Q，则AP·AQ=AC2是否成立?(不必证明)参考答案1. B2. A 3．B 4．A5．806．57．68．150或10509．连接OD(图略)．AO为OC的直径，∴∠ADO=900．即OD⊥AB．∴AD=DB．即点D是AB的中点10．延长CO交☉O于点E，连接AE.∴∠CAE=900．∴∠ACE十∠AEC=900．又CD是AB边上的高，∴∠CDB=900．∴∠BCD+∠B=900．∠AEC=∠B，∴∠ACE=∠BCD．即∠ACO=∠BCD11．点拨：连接BC(图略)．可得∠DBC=900．即∠EBC=900．则CE是☉O的直径12．(1)连接CB(图略)．AB是☉O的直径, ∴∠ACB=900．又∠CAH=∠BAC，∴CAH BAC．∴AC AHAB AC=，即AH·AB=AC2(2)连接期(图略)．易证△AHE△AFB．∴AE·AF=AH·AB．∴AE·AF=AC2(3)结论AP·AQ=AC2成立。
苏科版数学九年级上册 第五章 中心对称图形(二)(§5.1～§5.3) 淮安市淮阴区开明中学专题复习(含答案)
【回顾与思考】1、_______________________________叫圆、2、平面内点与圆的位置关系有____种:__________，__________，__________、3、圆既是________对称图形，也是________对称图形，其对称中心是_______，对称轴是________、4、垂径定理:________________________________________________________、5、_________________________________________________________叫圆周角、6、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对的_____的一半、 【经典试题】 一、选择题1、下列命题正确的是()A 、平分弦的直径必垂直于弦B 、不都是直径的两弦不能互相平分C 、与直径不垂直的弦，不通被直径平分D 、弦所对的两条弧的中点的连线，不一定经过圆心2、如图，AC 是⊙O 直径，BD 是⊙O 的弦，EC ∥AB ，交⊙O 于点E ，则图中与12∠BOC相等的角共有 ( ) A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个第2题第3题第4题E第5题3、如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线，则图中相等的角有( )A、3对B、4对C、5对D、6对4、如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D=50°，则∠C的度数是( )A、50°B、40°C、30°D、25°5、正三角形ABC内接于⊙O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A、30°B、60°C、90°D、45°二、填空题(每题3分，共30分)6、已知⊙O的面积为36π、⑴若PO=6、5，则点P在_________; ⑵若PO=4，则点P在_________;⑶若PO=_________，则点P在⊙O上、7、一个点与定圆上最近点的距离为4cm，与最远点的距离为9cm，则圆的半径是_________、8、半径为10的圆中，垂直平分半径的弦长为_________、9、在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm，8cm，则这两条弦之间的距离为___________、10、已知⊙O的半径为10cm，弦AB=16cm，P为AB上一个动点，则点P到圆心O的最短距离为_____cm、11、已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=100°，则∠DAB=______、第11题三、解答题(每题10分，共40分)12、如图，BD，CE分别是△ABC中，AC，AB边上的高、求证:B，C，D，E四点在同一个圆上、13、已知M是⊙O中，弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=43cm、⑴求圆心O到弦MN的距离;⑵求∠ACM的大小、14、用尺规四等分已知弧AB、(不写作法，保留作图痕迹)15、如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AD相交于点E，线段AE与DE相等吗?为什么?探究学习某居民区一处圆形污水管破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部的距离为10cm，则维修人员应准备内径为多大的管道?参考答案一、1、B2、C3、C4、D5、B二、6、圆外，圆内，67、132cm 或52cm8、10 39、1cm 或7cm10、611、130°三、13、2cm ，60° 探究学习半径50cm。
九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第11课时 直线与圆的位置关系(四)
第11课时直线与圆的位置关系(四)（附答案）一、选择题1．如图，从☉O外一点P引☉O 的两条切线PA、PB，切点分别为A、B．如果∠APB=600，PA=8，那么弦AB的长是( )A．4 B．8 C．D．2. 如图，☉I为ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为☉I的切线，若△ABC的周长为24，BC边的长为9，则△ADE的周长为( ) A．15 B．9 C．7.5 D．63. 如图，梯形ABCD是☉O的外切梯形，AB CD，若该梯形的周长是20 cm，则该梯形的中位线长为( ) A．4 cm B．5 cm C．8 cm D．10 cm4. 如图PA、PB分别切☉O于点A、B，CD与☉O相切，分别交PA、PB于点D、C。
若∠P=300，则∠DOC的度数为( ) A．500B．600 C. 750D．800二、填空题5. 如图，△ABC内切于☉O，切点分别为D、E、F．若AE=4，CE=2，BF=1，则△ABC 的周长为_________ ．6．如图，PA、PB是☉O的切线，点A、B为切点，AC是☉O的直径，∠BAC=200，则∠P_______0。
7. 如图，从☉O外一点P引☉O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=8 cm，C是AB一上的一个动点(点C与A、B两点不重合)，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB 于点D、E，则△PED的周长是_________．8．如图，PA、PB切☉O于点A、B，∠P=500，点C是圆上异于A、B的一点，则∠ACB 等于_________.三、解答题9．如图，☉O是△ABC的内切圆，且∠ACB=900,BC、AC分别切☉O于点D、E。
若BD=2，AE=3．求☉O的半径．10．如图，PA、PB为☉O的切线，A、B为切点，∠P=600，求☉O的半径．11．如图，在梯形ABCD中，AB CD，☉O为内切圆，E为切点．(1)求∠AOD的度数．(2)若AO=8 cm，DO=6 cm，求OE的长．12．如图，在△ABC中，∠ABC=900，点E在AB上，以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D，若AE=2 cm，AD=4 cm．(1)求☉O的直径BE的长．(2)求△ABC的面积．参考答案1．B 2．D 3．B 4．C5．146．407．16 cm8．650或11509．☉O的半径为110．点拨：连接OA、OP(图略)．可得AABP是等边三角形．则AP=6 APO= 300．应用勾股定理可得OA=6．即☉O的半径为6．11．(1) 900(2)4.8 cm12．(1)连接OD(图略)．在Rt ADO中，AD2+DO2=AO2．设☉O的半径为R cm，则有16+R2=(2+R)2．解得R=3．即☉O的直径BE的长为6 cm(2)在Rt ABC中，AB2+BC2=AC2．设BC的长为x cm，则有64+x2=(4+x)2．解得x=6．即BC=6 cm，AB=8cm. 因此ABC的面积为24 cm2。
人教版数学九年级上学期课时练习-圆及有关概念(知识讲解)(人教版)
专题24.1 圆及有关概念（知识讲解）【学习目标】1．理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2．了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；【要点梳理】要点一、圆的定义第一定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．特别说明：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.第二定义：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 特别说明：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.特别说明：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.特别说明：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.特别说明：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.类型一、圆的定义1．如图，已知O 的圆心原点()0,0O ，半径长为(10,8),A a 是O 上的在第一象限的点，求a 的值．【答案】6【分析】根据圆的基本性质，可得OA =10，再由(),8A a ，可得AB =8，然后由勾股定理，求出OB =6，即可求解．解：如图，过点B 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，⊥O 的半径长为10，⊥OA =10，⊥(),8A a ，⊥AB =8，在Rt AOB 中，由勾股定理得：6OB = ，⊥(),8A a 在第一象限内，⊥0a > ，⊥6a =．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，点的坐标，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式1】 ABC 中，90C ∠=︒．求证：A B C ，，三点在同一个圆上．【分析】取AB 的中点O ，根据直角三角形的性质得到CO ＝AO ＝BO ，故可求解． 解：如图所示，取AB 的中点O ，连接CO在Rt ⊥ABC 中，⊥AO = BO ，⊥ACB = 90°，⊥CO ＝12AB ，即CO ＝AO ＝BO ．⊥A ，B ，C 三点在同一个圆上，圆心为点O ．【点拨】此题主要考查证明三点共圆，解题的关键是熟知圆的基本性质及直角三角形的特点．【变式2】如图，已知MN 为O 的直径，四边形ABCD ，EFGD 都是正方形，小正方形EFGD 的面积为16，求圆的半径．【答案】r =【分析】连接OC ，OF ，设O 的半径为r ，2AD x =，则12DO AD x ==，在Rt ⊥COD 和Rt ⊥FOG 中，分别根据勾股定理可得222(2)832x x x x +=++，解方程即可求解．解：如图，连接OC ，OF ，设O 的半径为r ，2AD x =，则12DO AD x ==， ⊥222DO CD CO +=，⊥222(2)x x r +=，⊥正方形EFGD 的面积为16，⊥4DG FG ==，⊥4OG x =+，又⊥222OF OG FG =+，⊥2222(4)4832r x x x =++=++，⊥222(2)832x x x x +=++， 解得14x =，22x =-（不合题意，舍去），⊥2224880r =+=，r =【点拨】本题考查勾股定理的应用圆的认识和性质，解题的关键是熟练掌握在一个直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．类型二、与圆有关的概念3．如图，在O 中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．【答案】OA，OB，OC，OD AB AB，BC AC，BC，BD，CD，AD ADC，BAC，BAD，ACD，DAC【分析】根据圆的基本概念，即可求解．解：在O中，半径有OA，OB，OC，OD；直径有AB；弦有AB，BC；劣弧有AC，BC，BD，CD，AD；优弧有ADC，BAC，BAD，ACD，DAC；故答案为：OA，OB，OC，OD；AB；AB，BC；AC，BC，BD，CD，AD；ADC，BAC，BAD，ACD，DAC．【点拨】本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键．举一反三：【变式1】小于半圆的弧（如图中的________）叫做______；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______ ．【注意】1）弧分为是优弧、劣弧、半圆．2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论．【答案】AC劣弧ABC优弧【变式2】如图，以点A为端点的优弧是____________，以点A为端点的劣弧是_____________．【答案】AEC，ADE AE，AC【分析】根据劣弧和优弧的定义求解．解：在⊥O中，以A为端点的优弧有AEC，ADE；以A为端点的劣弧有AE，AC；故答案为：AEC，ADE；AE，AC．【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，注意：大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧．类型三、点和圆的位置关系3．已知⊥O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3cm，在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊥O位置关系各是怎样的【答案】PD＝4cm，点P在⊥O上．QD＞4cm，点Q在⊥O外．RD＜4cm，点R在⊥O 内．【分析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．解：连接PO，QO，RO．⊥PD＝4cm，OD＝3cm，⊥PO5r==．⊥ 点P 在⊥O 上．5QO r ===，⊥ 点Q 在⊥O 外．5RO r ==，⊥ 点R 在⊥O 内．【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．举一反三：【变式1】已知：如图，△ABC 中，90,2cm,4cm AC C C B ∠==︒=，CM 是中线，以C长为半径画圆，则点A 、B 、M 与⊥C 的关系如何？【答案】点A 在⊥O 内；点B 在⊥C 外；M 点在⊥C 上【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d ，则当d =r 时，点在圆上；当d ＞r 时，点在圆外；当d ＜r 时，点在圆内．解：根据勾股定理，有AB =cm ）；⊥CA =2cm ，⊥点A 在⊥O 内，⊥BC =4cm ，⊥点B 在⊥C 外；由直角三角形的性质得：CM⊥M 点在⊥C 上．【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．【变式2】画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形.【答案】以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆.【分析】如图所示，当线段两个端点在O，F时，此时的的中点为B点，同理可知也可在A,G,H点，这些点在已知直线的交点为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆上；当线段两个端点在C，D时，其中点为E，根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半知CE=DE=OE，则E点在以O为圆心2.5 cm长为半径的一个圆上；综上即可画出图形.解：如图所示，以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆.【点拨】此题主要考查点与圆的关系，解题的关键是正确理解题意，再画出图形.类型四、圆中弦的问题4、已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）.【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求.解：如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【点拨】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.举一反三：【变式1】如图所示，AB 为O 的一条弦，点C 为O 上一动点，且30BCA ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与O 交于G ，H 两点，若O 的半径为7，求GE FH +的最大值.【答案】GE FH +的最大值为212. 【分析】由GE FH +和EF 组成O 的弦GH ，在O 中，弦GH 最长为直径14，而EF 可求，所以GE FH +的最大值可求.解：连结AO ，BO ，⊥30BCA ∠=︒ ⊥60BOA ∠=︒⊥AOB 为等边三角形，7AB =⊥点E ，F 分别是AC ，BC 的中点 ⊥1722EF AB ==，⊥ GH 为O 的一条弦 ⊥GH 最大值为直径14 ⊥GE FH +的最大值为7211422-=. 【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.【变式2】如图，已知等边⊥ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A 、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把⊥ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B '．当 PB ＝6 时，在直线 l 变化过程中，求⊥ACB'面积的最大值．【答案】【分析】如图，过点P 作PH AC ⊥，当B '，P ，H 共线时，ACB '△的面积最大，求出PH 的长即可解决问题．解：如图，过点P 作PH ⊥AC ，由题可得，B '在以P 为圆心，半径长为6的圆上运动，当HP 的延长线交圆P 于点B '时面积最大，在Rt APH 中，8AB =，6PB =，2PA ∴=， ABC 是等边三角形，60PAH ∴∠=︒，1AH ∴=，PH =6BH ∴=ACB S '∴的最大值为18(6242⨯⨯=． 【点拨】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键． 类型五、与圆周长和面积有关的问题5、如图所示，求如图正方形中阴影部分的周长．（结果可保留π）【答案】正方形中阴影部分的周长为()2060cm π+【分析】阴影部分的周长=半圆弧长+14圆弧长+正方形边长的3倍，依此计算即可求解． 解：根据题意得：1110(cm)2l d ππ==， 2210(cm 41)r l ππ=⋅=， ()1010602060cm C πππ=++=+．故正方形中阴影部分的周长为()2060cm π+．【点拨】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握圆的周长公式．举一反三：【变式1】如图，长方形的长为a ，宽为b ，在它的内部分别挖去以b 为半径的四分之一圆和以b 为直径的半圆．（1）用含a 、b 的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a ＝8，b ＝4时，求阴影部分的面积（π取3）．【答案】（1）阴影部分的面积＝ab ﹣38πb 2；（2）14．【分析】 （1）根据阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积，结合图形14圆的半径、半圆的半径和矩形的宽的关系，并利用它们的面积公式即可求解．（2）将a ，b 的值代入（1）中所求的代数式进行计算．解：（1）14圆的半径即为矩形的宽=b ，半圆的半径为矩形宽的12=12b ， 阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积即：阴影部分面积=2221113()4228ab b b ab b πππ--=- （2）因为π取3，将84a b ==，代入（1）所得的代数式得：原式=238434=148⨯-⨯⨯． 【点拨】本题考查求圆的面积的公式及根据题意列代数式，明确阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积是解题的关键． 【变式2】如图，长方形的长为a ，宽为2a ，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当2a =时阴影部分的面积（π取3.14）．【答案】2(2)4a π-，1.14 【分析】根据对称性用a 表示出阴影的面积，再将a=2代入求解即可．解：由题意可知：S 阴=211442222a a a π⎡⎤⎛⎫-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2(2)4a π-= 当2a =时，S 阴=(3.142)4 1.144-⨯=． 【点拨】本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式，解答的关键是找出面积之间的关系，利用基本图形的面积公式解决问题．类型六、坐标系中圆的问题6、如图，点P 是反比例函数(0)k y x x=<图象上一点，PA x ⊥轴于点A ，点M 在y 轴上，M 过点A ，与y 轴交于B 、D ，已知A 、B 两点的坐标分别为()()6,00,2A B -，，PB 的延长线交M 于另一点C ．(1)求M 的半径的长；(2)当45APB ∠=︒时，试求出k 的值；(3)在（2）的条件下，请求出线段PC 的长．【答案】(1) 10 (2) 48- (3) 【分析】（1）设()0,M m ，由题意知，22AM BM =，即()()()2226002m m --+-=-，求出满足要求的m ，求出MB 的长，进而可得半径；（2）由题意，设()6,P n -，设过P B ，的直线的解析式为y ax b =+，交x 轴于E ，将P B ，代入得62a b n b -+=⎧⎨=⎩，可得过P B ，的直线的解析式为226n y x -=+，将0y =代入，求得12,02E n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，由45APB ∠=︒ ，90PAB ∠=︒，可知AP PE =，则()1262n n -=---，求出满足要求的n 值，得到P 点坐标，然后代入反比例函数解析式求k 即可；（3）由（2）可知，过P B ，的直线的解析式为28226y x x -=+=-+，设(),2C a a -+，由题意知，10MC =，则()2222810a a +-++=，求出符合要求的a 值，进而可得C 的坐标，然后利用勾股定理求PC 的值即可．(1)解：设()0,M m ，由题意知，22AM BM =，即()()()2226002m m --+-=-，解得：8m =-，⊥()0,8M -，⊥()2810--=，⊥M 的半径的长为10．(2)解：由题意，设()6,P n -，设过P B ，的直线的解析式为y ax b =+，交x 轴于E ，如图，将P B ，代入得62a b n b -+=⎧⎨=⎩， 解得262n a b -⎧=⎪⎨⎪=⎩， ⊥过P B ，的直线的解析式为226n y x -=+， 将0y =代入得122x n-=-， ⊥12,02E n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭， ⊥45APB ∠=︒ ，90PAE ∠=︒，⊥45PEA ∠=︒，⊥AP AE =， ⊥()1262n n-=---， 整理得280n n -=，解得8n =，0n =（不合题意，舍去），⊥()6,8P -，将()6,8P -代入k y x =得，86k =-， 解得48k =-，⊥k 的值为48-．(3)解：由（2）可知，过P B ，的直线的解析式为28226y x x -=+=-+， 设(),2C a a -+，由题意知，10MC =，⊥()2222810a a +-++=，解得10a =， 0a =（不合题意，舍去），⊥()10,8C -，⊥PC =⊥PC 的长为【点拨】本题考查了圆的概念，反比例函数与一次函数的综合，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆，其中0a >，0b >．(1)请写出方程22(3)(4)25x y ++-=表示的圆的半径和圆心的坐标；(2)判断原点()0,0和第（1）问中圆的位置关系．【答案】(1)半径为5，圆心()3,4- (2)在圆上【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆”即可直接得出答案；（2）将原点()0,0的坐标代入22(3)(4)25x y ++-=，即可判断出点与圆的位置关系．(1)解：在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆，∴将22(3)(4)25x y ++-=化成()2223(4)5x y --+-=⎡⎤⎣⎦， ∴22(3)(4)25x y ++-=表示的圆的半径为5，圆心的坐标为()3,4-；(2)解：将原点()0,0代入22(3)(4)25x y ++-=，左边2222(03)(04)3491625=++-=+=+==右边，∴原点()0,0在22(3)(4)25x y ++-=表示的圆上．【点拨】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键．【变式2】阅读下列材料：平面上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）之间的距离表示为12PP =，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P （x ，y ）是圆心坐标为C （a ，b ）、半径为r 的圆上任意一点，则点P r =，变形可得：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，我们称其为圆心为C （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C （3，4），半径为2的圆的标准方程为： ；（2）若已知⊥C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22，圆心为C ，请判断点A （3，﹣1）与⊥C 的位置关系．【答案】（1）()()223425x y -+-=；（2）点A 在⊥C 的内部．【分析】（1）先设圆上任意一点的坐标（x ，y ），根据圆的标准方程公式求解即可；（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A 到圆心的距离d ，然后与半径r 相比较，d ＞r ，点在圆外，d =r ，点在圆上，d ＜r ，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系．解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x ，y ），⊥()()223425x y -+-=，故答案为()()223425x y -+-=；（2）⊥⊥C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22，⊥圆心坐标为C （2，0），⊥点A （3，﹣1），AC 2 ⊥点A 在⊥C 的内部．【点拨】本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．。
九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第10课时 直线与圆的位置关系(三)
第10课时直线与圆的位置关系(三)（附答案）一、选择题1．三角形的内心是三角形的( ) A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点2．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BOC=1260，则∠BAC的度数为( ) A．720B．540C．630D．3603．如图，☉O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=1000，∠C=300，则∠DFE 的度数为( )A．550B．600 C. 650D．7004．如图，☉I是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，则△DEF是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．它的形状不能确定二、填空题5．一个三角形的内心与外心重合，那么这个三角形是____________．6．在边长为3 cm、4 cm、5 cm的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，则此圆的半径为_________cm．7．三角形的面积为15，周长为30，则它的内切圆半径为__________．8．定义1：与四边形四边都相切的圆叫做四边形的内切圆．定义2：一组邻边相等，另两边也相等的凸四边形叫做筝形．探究：任意筝形是否一定存在内切圆?答案：________ (填“是”或“否”)．三、解答题9．如图是一块三角形木板余料．现要从中裁出一块圆形的木板，怎样裁剪才能使这块圆形木板的面积尽可能大?10．如图，在△ABC中，∠C=900，内切圆☉O与AB相切于点E，BO的延长线交AC于点D。
求证：BE·BD=BO·BC．11．等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为12 cm，求它的内切圆的半径．12．如图，AB是☉O的直径，AE平分∠BAC交☉O于点E，过E作☉O的切线ME交AC于点D．试判断△AED的形状，并说明理由．参考答案1. B 2．A 3．C 4．C5．等边三角形6．17．18．是9．作出这个三角形木板余料的内切圆即可10．点拔：连接EO(图略)．证明△BEO∽△BCD．11．3 cm12．∆AED为直角三角形连接BE(图略)．AB是直径，∴∠BEA= 900．∴∠B+∠BAE= 900。
人教版九年级数学上册《中心对称图形》教学课件
图2
探究新知
中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果旋转后的图形
能够与本来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
这个点就是它的对称中心.
图1
图 2
探究新知
视察与思考
下面的扑克牌中，哪些牌面图形是中心对称图形？
探究新知
视察与思考
下面的扑克牌中，哪些牌面图形是中心对称图形？
既是轴对称图形又是中心对称图形有： 线段
矩形
菱形
正方形和圆
探究新知
视察与思考
下列图形中哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？
哪些既是中心对称图形，又是轴对称图形？
图1
图2
图3
图4
图5
探究新知
视察与思考
轴对称图形：
图1
图2
图3
图4
探究新知
视察与思考
图5
等边三角形不是中心对称图形.
探究新知
视察与思考
O ′
′
′
引入新知
问题1
1 如图 1，把线段 绕它的中点 旋转 180°， 你有什么发
现？
图1
引入新知
()
O
()
结论
可以发现，把线段 绕它的中点 旋转 180°后与它本身重合.
引入新知
问题1
2 如图 2，将平行四边形 绕它的两条对角线的交点
旋转 180°，你有什么发现？
O
九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第12课时 圆与圆的位置关系(一)
第12课时 圆与圆的位置关系(一) （附答案）一、选择题1．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是 ( )A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3 cm 和2 cm ，圆心距O 1O 2=4 cm ，则两圆的位置关系是( )A ．相切B ．内含C ．外离D ．相交3．已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是 ( )A ．1cmB ．3 cmC ．10 cmD ．15 cm4．如图，以O 为圆心的两个同心圆的半径分别为11 cm 和9 cm ，若⊙P 与这两个圆都相切，则下列说法中：①⊙P 的半径可以为2 cm ；②⊙P 的半径可以为10 cm ；③符合条件的⊙P 有无数个且P 点运动的路线是曲线；④符合条件的⊙P 有无数个且P 点运动的路线是直线．其中正确的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题5．两圆内切，其中一个圆的半径为6，两圆的圆心距为3，则另一个圆的半径为________．6．两圆的半径分别为4 cm 和7 cm ，圆心距为3 cm ，则两圆的位置关系是___________．7．某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5 cm 的钢球，测得上面一个钢球顶部高．DC=16 cm(钢管的轴截面如图所示)，则钢管的内直径AD 长为__________cm ．8．已知两圆半径分别是R 和r(R>r)，圆心距为d ，且2222d dR R r +-=，则两圆的位置关系是_________.三、解答题9．两圆相切，圆心距为5 cm ，且两圆半径之比为3：2，求较小圆的半径．10．如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1的弦BC 交于⊙O 2点D ，过点A 的直线分别交⊙O 1和⊙O 2于点E 、F ．试判断直线CE 与直线DF 的位置关系，并说明你的理由．11．如图，⊙O1和⊙O2外切于点B，⊙O和⊙O1内切于点A，⊙O和⊙O2内切于点C．且⊙O的半径为3cm.求△O1 O2O的周长．12．如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线交⊙O1、⊙O2分别于点A、B．若⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为2 cm，AP的长为4 cm。
苏科版数学九年级上册 第五章 中心对称图形(二)(§5.5～§5.6) 淮安市淮阴区开明中学专题复习(含答案)
【回顾与思考】1.直线与圆的位置关系有_____种:____________，___________，____________.2.当直线与圆_________________时，叫直线与圆_______;当直线与圆_________________时，叫直线与圆_______;当直线与圆_________________时，叫直线与圆_______.3.已知圆半径为r，圆心到直线距离为d，则直线与圆_____<=>d___r;直线与圆_____<=>d___r;直线与圆_____<=>d___r;4.圆的切线垂直于经过______的半径.5.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，圆心叫做三角形的_____，它是三角形三条_________的交点.6.在平面内两个半径不等的圆的位置关系有___种:_______，_______，_______，_______，_______.7.两圆半径为R，r(R>r)，圆心距为d，写出两圆在各种位置关系下R，r，d之间的关系.⑴若两圆________，则______________;⑵若两圆________，则______________;⑶若两圆________，则______________;⑷若两圆________，则______________;⑸若两圆________，则______________;【经典试题】一、选择题1.已知⊙O的半径r=3cm，直线和点O的距离为d，如果直线与有公共点，那么( )A.d=3cmB.d≤3cmC.d>3cmD.d<3cm2.如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是 ( )A.0≤x≤ 2B.－2≤x≤ 2C.－1≤x≤1D.x> 23.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆 ( )A.有两个交点B.有一个交点C.没有交点D.交点个数不定4.△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，以B 为圆心，BC 为半径的⊙O 与边AC 的位置关系是()A.外离B.相切C.相交D.不能确定5.如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于 ( )A.40°B.55°C.65°D.70°第5题第8题6.已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是()A.相交B.内含C.内切D.外切7.已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距O 1O 2为9cm ，⊙O 1的半径为4cm ，则⊙O 2的半径()A.5cmB.13cmC.9cm 或13cmD.5cm 或13cm二、填空题8.如图，⊙O 半径为3cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB=OA ，动点P 从点A 出发，以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A ，立即停止.当点P 运动时间为________s 时，BP 与⊙O 相切.9.若⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm ，4cm ，圆心距为1cm ，则两圆的位置关系是__ __________.10.两圆半径之比为5:7，两圆外切时，圆心距为6cm，则两圆的半径为分别为___ _____和__________.三、解答题(每题10分，共40分)11.如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC.求证:DE是⊙O的切线.C 12.如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求△ABC内切圆的半径长.C13.已知一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，5cm，以各顶点为圆心的三个圆两两相切.求这三个圆的半径分别是多少?14.已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是⊙O1的直径，AP，BP的延长线分别交⊙O2于点C，D.求证:⑴CD是⊙O2的直径; ⑵CD∥AB.探究学习如图，⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，两圆外切.若⊙P的半径为3cm，且与⊙O1，⊙O2都相切，请画出⊙P，符合条件的⊙P有几个.参考答案一、1.B 2.A 3.C4.B5.B6.C7.D二、8.1或3 9.内切 10.2.5cm ，3.5cm三、12.3213.2cm ，3cm ，1cm 14.⑴证∠CPD=∠APB=90°;⑵连结O 1O 2，证∠D=∠B.5个探究学习。
苏科版九年级教材第五章《中心对称图形(二)-----圆》简介
苏科版九年级教材第五章《中心对称图形（二）-----圆》简介与三角形、四边形等图形一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。
本章将在学生前面学习了一些基本的直线形----三角形、四边形等图形的基础上，进行研究一种基本的曲线形------圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。
本章共安排了九个小节和一个数学活动内容，教学时间大约18课时，具体安排如下：5.1圆2课时5.2圆的对称性2课时5.3圆周角2课时5.4确定圆的条件1课时5.5直线与圆的位置关系4课时5.6圆与圆的位置关系1课时5.7正多边形与圆1课时5.8弧长及扇形的面积1课时5.9圆锥的侧面积和全面积1课时数学活动1课时小结与思考2课时一、本章知识结构框图二、课标要求1、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。
2、探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
3、了解三角形的内心和外心。
4、了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
5、了解正多边形的概念。
6、会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
三、本章设计思路本章是在学习了直线形图形的有关性质和判定的基础上，来探索一种特殊的曲线型图形------圆的有关性质。
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。
同时，圆还具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度都能与原来的图形重合。
圆的这些特征，是研究圆的有关性质的基础。
本章由4个单元组成。
第一单元是圆的有关性质。
课本在给出圆的概念后，首先研究了圆的对称性，并以此作为研究圆的有关性质的基础。
第二单元是直线和圆的位置关系。
课本通过操作、观察直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的三种位置关系，探索直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径之间的大小关系的联系，并突出研究了圆的切线的性质和判定。
九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第2课时 圆(二)
第2课时圆(二)（附答案）一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A．直径不是弦B．圆弧分为优弧和劣弧C. 半圆不是弧D．直径是最长的弦2．下列说法：①在同圆中，优弧一定比劣弧长；②等弧的长度一定相等；③同一条弦所对的两条弧一定是等弧；④周长相等的两个圆是等圆，其中正确的有( )A. 1个B．2个 C. 3个D．4个3．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是( )A. a>b>c B．a=b=c C．c>a>b D．6b>c>a4．如图，在直径为10的☉O 中，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及☉O上，∠POM=450，则正方形的边长AB为( )A B．2 C. D．4二、填空题5．如图，在☉O中，点A、C、B、E在☉O上，点A、O、B和点C、O、D以及点B、D、E分别在同一直线上，则图中是弦的有_________条．6．引圆的两条直径AC、BD，顺次连接A、B、C、D所得的四边形ABCD为_________ (填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”或“等腰梯形”)．7．某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，后来有人建议改为图②的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变．在计算砌喷水池的边沿所需要的材料时，三位同学有不同的看法．小伟说：“图①需要的材料多．”小颖说：“图②需要的材料多．”小刚说：“图①、图②需要的材料一样多．”则_________的说法是正确的．8．如图，AB是☉O的弦，OC是☉O的半径，OC AB于点D，AB=16 cm，OD=6 cm，那么☉O的半径是________ cm,三、解答题9．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，D是AC的中点．(1)求证：∠AOD=∠B．(2)若OD=4，求BC的长．10．如图，AB是☉O的弦，☉O的半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=B F．求证：OEF是等腰三角形．11．如图，两个等圆☉O1与☉O2相交于点A、B，且点O1在☉O2上．求∠O1AB的度数．12．如图，CD是☉O的直径，∠EOD=840,AE交☉O于点B，且AB=OC．求∠A的度数．参考答案1．D 2．C 3．B 4．C5．36．矩形7．小刚8．109．(1)AB是的☉O直径，∴点O为AB的中点．D是AC的中点，∴OD BC．∴∠AOD= ∠B(2)由(1)得OD是ABC的中位线．∴BC=2OD=810．分别连接AO、BO(图略)．∴AO=BO．∴∠A= ∠B．又AE=BF，∴△AOE≅△BOF．∴OE=OF．∴△OEF是等腰三角形11．分别连接O1B、O2B、O1 O2 (图略)．☉O与☉O2是两个等圆，1∴O1A= O2A= O1B= O2B= O1 O2．∴四边形A O1B O2是菱形，△A O1 O2是等边三角形．∴∠O1A O2=600，∠O1AB=30012．连接OB(图略)，AB=OC，OB=OC．∴OB=AB．∴∠A=∠BOA．OE=OB，∴∠OEA=∠OBE．又∠EOD=∠OEA+∠A，∴∠EOD=∠0BE+∠A-3 ∠A．则∠A=280。
苏科版九年级上册数学教学课件 第2章 对称图形—圆 确定圆的条件
2.3 确定圆的条件
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.确定圆的条件
2.三角形的外接圆与外心
新知导入
试一试：下图中是一个破碎的圆盘，试着确定它的尺寸（圆 盘的大小）.
课程讲授
1 确定圆的条件
问题1：如何过一个点A作一个圆？过可以作多少个圆？
v
A
在平面内任取一 点，以这点为圆 心，它到点A的 距离为半径作圆. 经过点A的圆可 以作无数个.
课程讲授
1 确定圆的条件
练一练：确定一个圆的条件有( C )
①已知圆心和半径；②已知直径的位置和大小；③不 在同一条直线上的三个点.
A.①② B.③ C.①②③ D.①
课程讲授
2 三角形的外接圆与外心
问题1：经过不在同一直线上的三点A、B、C作圆，如
何确定所作圆的圆心？
A B
因为所求的圆要经过三点A、B、
C，所以圆心到这个三点的距离要
相等 圆心在线段__A_B__、__C_A___、__B_C__
的垂直平分线上， C
即圆心为这三条线段垂直平分线的_交__点_
课程讲授
2 三角形的外接圆与外心
A
B
O
定义：三角形的三个顶点可
以作一个圆，这个圆叫做三角 形的外接圆.
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心, C
三角形外接圆的圆心叫做三角形 的外心,三角形的外接圆的圆心 是三边垂直平分线的交点.
课程讲授
1 确定圆的条件
问题2：如何过一个点A，点B作一个圆？过可以作多少
个圆？
圆心到点A，B的距离相 等，圆心应在线段AB的 垂直平分线上.
A
B
确定圆的条件(2种题型)-2023年新九年级数学(苏科版)(解析版)
确定圆的条件（2种题型）1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；一．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．二．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．一．确定圆的条件（共5小题）1．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等C．过三点可以画一个圆D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧【分析】根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．【解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2016秋•太仓市校级期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．3．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．4．（2022秋•江宁区校级月考）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、圆的有关定义及确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；③直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，正确，符合题意，正确的有2个，故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等弧的定义、圆周角定理、圆的有关定义及确定圆的条件，难度不大．5．（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置是解此题的关键．二．三角形的外接圆与外心（共20小题）6．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（）A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC 的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．7．（2023•姑苏区校级二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝°．【分析】连接BG，由折叠的性质得出BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠BCE＝∠BFE，由正方形的性质得出AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，证明Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），证出∠ABG＝∠FBG，求出∠GBE ＝∠ABC＝45°，则可得出答案．【解答】解：连接BG，∵将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，∴BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠＝∠BFE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AB＝BF，∵BG＝BG，∴Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），∴∠ABG＝∠FBG，∴∠ABG＝∠FBG，∴∠GBE＝∠ABC＝45°，∵四边形GBEO为圆内接四边形，∴∠EBG+∠EOG＝180°，∴∠EOG＝180°﹣∠EBG＝135°，故答案为：135．【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．8．（2022秋•江阴市校级月考）（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径；（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）在弧上任取三点A，C，C，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心P，于是得到结论．【解答】解：（1）如图（1）所示，点O即为所求；外接圆半径＝＝；故答案为：；（2）如图（2）所示：⊙P【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．9．（2023•无锡二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（）A．三条高的交点B．内心C．外心D．重心【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．即凳子应放在△ABC的外心上．故选：C．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答本题的关键．10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】由∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，求得∠BAE＝15°，则所对的圆心角等于30°，所以的度数为30°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∵已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，∵∠BAE是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于2×15°＝30°，∴的度数为30°，故选：D．【点评】此题重点考查正多边形与圆、正方形及等边三角形的性质、圆周角定理、弧的度数等知识，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解题的关键．11．（2022秋•太仓市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD为⊙O的直径，则AD的值为（）A．6B．C．3D．【分析】先根据“等边对等角”得出∠C的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠D的度数，从而得出直径BD的长度，最后根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，∴，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴BD＝2AB＝6，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：．故选：D．【点评】本题主要考查了“等边对等角”，“同弧所对的圆周角相等”，“直径所对的圆周角为直角”，“在直角三角形中，30°角所对的边为斜边的一半”，勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．12．（2022秋•梁溪区校级期中）三角形的外心具有的性质是（）A．外心在三角形外B．外心在三角形内C．外心到三角形三边距离相等D．外心到三角形三个顶点距离相等【分析】三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质即可确定．【解答】解：根据三角形外心的定义，可知三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．13．（2023•邗江区校级二模）如图，⊙O的直径为m，△ABC是⊙O的内接三角形，AB的长为x，AC的长为y，且x+y＝6，AD⊥BC于点D，AD＝1，则m的最大值为．【分析】过点A作⊙O的直径AE，连接CE，根据圆周角定理，可证得△ABD∽△AEC，根据相似三角形的性质，可得m＝xy，再由x+y＝6，即可得m＝﹣（x﹣3）2+9，根据二次函数的性质，即可求解．【解答】解：如图：过点A作⊙O的直径AE，连接CE，则AE＝m，∠ACE＝90°，∠ABD＝∠AEC，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°，∴△ABD∽△AEC，∴，∴，∴m＝xy，∵x+y＝6，∴y＝6﹣x，∴m＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴当x＝3时，m取最大值，最大值为9，故答案为：9．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得到m关于x或y的二次函数关系式是解决本题的关键．14．（2022秋•阜宁县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝4，则⊙O的半径是．【分析】作直径CD，如图，连接BD，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，如图，连接BD，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，∴BD＝BC＝×4＝4，∴CD＝2BD＝8，∴OC＝4，即⊙O的半径是4．故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．15．（2021秋•海州区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于．【分析】连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，得到∠BCD＝90°，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，根据含30°角直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠BCD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠D＝∠BAC＝30°，∵BC＝2，∴BD＝2BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．（2022•亭湖区校级模拟）如图1，它是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝4，AC＝2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O 重合时运动结束、在整个运动过程中，点C运动的路程是．【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC 保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3．【解答】解：如图3，连接OG．∵∠AOB是直角，G为AB中点，∴GO＝AB＝半径，∴原点O始终在⊙G上．∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝，连接OC，则∠AOC＝∠ABC，∴tan∠AOC＝，∴点C在与x轴夹角为∠AOC如图4，C1C2＝OC2﹣OC1＝4﹣2＝2；如图5，C2C3＝OC2﹣OC3＝；∴总路径为：C1C2+C2C3＝＝，【点评】此题主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．17．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O 是△ABC的外接圆．（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．【分析】（1）连接EM，DM，根据垂直定义可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，从而可得EM＝BM＝DM＝CM，即可解答；（2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，根据三角形的高是交于一点的可得AG⊥BC，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAH＝∠BCH＝90°，从而可得AG∥CH，AH∥CE，然后利用平行四边形的判定可得四边形AFCH是平行四边形，从而可得CF＝AH＝6，最后在Rt △BAH【解答】解：（1）点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，理由：连接EM，DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵M是BC的中点，∴EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，∴EM＝BM＝DM＝CM，∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上；（2）连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH，∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，∴AG⊥BC，∵BH是⊙O的直径，∴∠BAH＝∠BCH＝90°，∴BA⊥AH，BC⊥CH，∴AG∥CH，∵CE⊥AB，∴AH∥CE，∴四边形AFCH是平行四边形，∴CF＝AH＝6，在Rt△BAH中，AB＝8，∴BH＝＝＝10，∴△ABC外接圆的半径长为5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边上的中线，点与圆的位置关系，确定圆的条件，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2022秋•海州区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题．222222（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圆的半径．【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根据勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圆的半径为1．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程变形为（t﹣1）（t﹣4）＝5t（t﹣4），整理得，4t2﹣15t﹣4＝0，解得：t＝4或﹣，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝4，∴c＝＝2，∴Rt△ACB外接圆的半径为1．【点评】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．19．（2022秋•秦淮区期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（）A．8，8，8B．4，10，10C．4，8，10D．6，8，10【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．【解答】解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，∴BF＝CF＝4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，∴∠OBF＝∠ABC＝30°，∴OB＝＝＝，∴△ABC的外接圆的半径为；B、∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，∵AB＝AC＝10，∴＝，BD＝CD＝BC＝2，∴AE是⊙O的直径，AD＝＝＝4，∴∠ABE＝∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠EAB，∴△ADB∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴外接圆半径为；C、作AD⊥BC于点D，作直径AE，连接CE，在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即42﹣BD2＝82﹣（10﹣BD）2，解得BD＝，由勾股定理得，AD＝＝，∵AE为圆的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠ADB＝∠ACE，又∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，∴＝，即＝，解得AE＝，则外接圆半径＝，D、∵62+82＝102，∴此三角形是直角三角形，∴此三角形外接圆的半径为5，∴其外接圆半径最小的是A故选：A．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．（2023•秦淮区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为．【分析】连接OC，OB，OD，根据圆周角定理得到△OCB是等边三角形，根据旋转的性质得到∠COD＝90°，根据勾股定理得到．【解答】解：连接OC，OB，OD，CD，∵∠BOC＝2∠A＝60°，OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴，∵△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，∴∠COD＝90°，根据勾股定理．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．21．（2019秋•新北区校级期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD ＝°．【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．【解答】解：如图，连接BD，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心．22．（2022秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°（2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD ＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．【分析】（1）ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ABO ＝∠OBC，于是得到结论；（2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∵点O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，在△AOB与△COB中，，∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°；（2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝30°，∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO，∴∠FAO＝∠DBO，在△FAD与△DBO中，，∴△FAD≌△DBO（SAS），∴OF＝OD，同理，OF＝OE，∴OF＝OE＝OD，∴点O也是△DEF的外心．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．23．（2022秋•惠山区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB 外接圆的半径．【分析】（1）利用换元法解方程即可解决问题；（2）利用换元法解方程可得c＝，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半即可解决问题．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程可变为（t+3）（t﹣3）＝27，解得t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，即t2﹣4t﹣5＝0，解得t1＝5，t2＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c2＝5，∴c＝，∴Rt△ACB外接圆的半径为．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，代数式求值，高次方程，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心．24．（2023•建邺区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D交BC于点E．过点D作DF∥BC，分别交AC于点G，⊙O于点F．（1）求证AC＝DF；（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF ＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可得出平行四边形DBCF，继而得出BC＝DF，又由AC＝BC，即可得答案；（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可得出AF＝EF，再证△ACF≌△FDE（SAS），得出CF＝DE＝BD＝3，再证△ABC∽△EBD，得出＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形，∴BC＝DF，∵AC＝BC，∴AC＝DF；（2）解：连接AE，AF，DE，EF，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF，∵DF∥BC，∴∠DFE＝∠FEC，∵∠FAC＝∠FEC，∴∠FAC＝∠DFE，∵AC＝DF，∴△ACF≌△FDE（SAS），∴CF＝DE，∴DE＝BD＝3，∴∠B＝∠DEB，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB，∴∠B＝∠CAB＝∠DEB，∴△ABC∽△EBD，∴＝，∴＝，∴BE＝3.6．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25．（2022秋•溧阳市期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ABC的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB 外接圆的半径．【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根据勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圆的半径为1．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）设a2+b2＝t，则原方程变形为t（t﹣4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，解得：t＝5或﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c＝＝，∴Rt△ACB外接圆的半径为．【点评】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦【答案】B【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可．【详解】A、能够重合的弧是等弧，弧长相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理是解题的关键．【答案】A【分析】根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．【详解】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心【答案】D【分析】根据圆的确定，垂径定理，弦，圆心角的关系，逐一进行判断即可．【详解】解：A、同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦的弦心距相等，选项说法错误，不符合题意；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，选项说法错误，不符合题意；D、弦的垂直平分线必经过圆心，选项说法正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握圆的确定，垂径定理，弦，圆心角的关系，是解题的关键．在平面直角坐标系中，则ABC的外【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【详解】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．【点睛】此题主要考查三角形的外心的定义，解题的关键是根据题意作出垂直平分线求解．5．（2021秋·江苏泰州·九年级统考期中）下列命题中真命题的是（ ）A ．长度相等的弧是等弧B ．相等的圆心角所对的弦相等C ．任意三点确定一个圆D ．外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形【答案】D【分析】根据等弧、圆心角与弦的关系、确定圆的条件、直角三角形的外心等知识一一判断即可．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A 中命题是假命题，不符合题意；B 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B 中命题是假命题，不符合题意；C 、不共线的三点确定一个圆，故C 中命题是假命题，不符合题意；D 、外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，是真命题，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及等弧、圆心与弦的关系、确定圆的条件、直角三角形的外心等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键．6．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ） A ．8，8，8B ．4，10，10C ．4，8，10D ．6，8，10 【答案】A【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．【详解】A 、∵ABC 是等边三角形，设O 是外心，∴4,BF CF AF BC ==⊥，BE 平分ABC ∠，∴1302OBF ABC ∠=∠=︒， ∴cos30BF OB ==︒，∴ABC 的外接圆的半径为，。
九年级数学上册 第五章中心对称图形(二)教案 苏科版
第1课时（总第 课时）§5.1 圆(1)一、教学目标1． 理解圆的概念；2． 经历探索点与圆的位置关系，会判断点与圆的位置关系； 3． 培养学生分析问题、解决问题的能力. 二、教学重点:点与圆的位置关系.三、教学难点:圆的概念，点与圆的位置关系. 四、教学过程 一、创设情景 1． 欣赏下列图片2.上面的图案中，有你常见的什么图形？3.日常生活中，我们见到的汽车、摩托车、自行车等交通工具的车轮是什么形状的？4.为什么要做成这种形状？5.能改成其他形状（如正方形、三角形）会发生怎样的情况？6.操作①固定点O ；②将线段OP 绕点O 旋转一周； ③观察点P 所形成了怎样的图形. 二、探索活动 1． 圆的定义（1） 圆是怎么形成的？ （2） 如何画圆？（3） 圆周上的任一点P 与圆心O 之间是否存在某种关系？ （4） 圆可以看成什么的集合？OP· ·（5） 圆的表示方法：以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”. （6） 练习① 到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆. ② 正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上. （7）2.在平面内，点与圆有哪几种位置关系:（1） 比较圆内、圆上、圆外的点到圆心的距离与半径的大小，你能发现什么？ （2） 圆内、圆外的点可以看成什么的集合？ （3） 归纳、总结得出结论（4） 逆命题是否成立？符号“⇔”读作“等价于”，表示从左端可以推出右端，从右端可以推出左端.2． 应用举例如图，已知点P 、Q ，且PQ ＝4cm.(1)画出下列图形：到点P 的距离等于cm 2的点的集 合；到点Q 的距离等于cm 3的点的集合.如图所示是一个钉在方板上的圆形镖盘，x x 同学向镖盘上 投掷了3枚飞镖，落点为图上的点A 、B 、C.如果该同学又掷了一枚飞镖，你能让不在现场的同学知道 飞镖落点的大致位置吗？若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么 点P 在圆内 d r ⇔< 点P 在圆上 d r ⇔= 点P 在圆外 d r ⇔>Q·P·(2)在所画图中，到点P 的距离等于cm 2，且点Q 的距离等于cm 3的点有几个？请在图中将它们表示出来.(3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于cm 2，且到点Q 的距离大于或等于cm 3的点的集合是怎样的图形？把它画出来.三、例题教学例1 用图形表示到定点A 的距离小于或等于cm 2的点的集合.例2 如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E ，F 分别为AB ，AC 的中点.以B 为圆心，BC 为半径画圆，试判断点A ，C ，E ，F 与圆B 的位置关系.四、巩固练习 P 108 练习1.正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A .2.已知⊙O 的半径为5cm.(1)若OP=3cm ，那么点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ；(2)若OQ= cm ，那么点Q 与⊙O 的位置关系是：点Q 在⊙O 上；(3)若OR=7cm ，那么点R 与⊙O 的位置关系是：点R 在⊙O .3.⊙O 的半径10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与⊙O 的位置关系是：点A 在 ；点B 在 ；点C 在 .4.⊙O 的半径6cm ，当OP=6时，点P 在__________；当OP_________ 时点P 在圆； OP_________时，点P 不在圆内.5.到点P 的距离等于6厘米的点的集合是___________________________.6.已知AB 为⊙O 的直径，P 为⊙O 上任意一点，则点P 关于AB 的对称点P ′与⊙O 的位置为( ) A.在⊙O 内 B.在⊙O 外 C.在⊙O 上 D.不能确定7.如图,已知矩形ABCD 的边AB=3厘米，AD=4厘米（直接写出答案）（1）以点A 为圆心，3厘米为半径作⊙A ，则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？（2）以点A 为圆心，4厘米为半径作⊙A ，则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？ （3）以点A 为圆心，5厘米为半径作⊙A ，则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？8.已知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高，M 为BC 的中点．试说明点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上．FECBAA B C D· A BC D EM五、课堂小结（1）圆的定义；（2）确定一个圆的两个要素是和；（3）点与圆的位置关系.六、布置作业 P109习题5.1 1、2、3.七、课后反思第2课时（总第课时）5.1圆（2）教学目标1.认识圆的弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、圆心角等与其相关的概念；2.理解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它们解决相关的问题；重、难点及突破方法1.重点：圆的相关概念及体验圆与直线形的关系；2.难点：圆的相关概念的辨析；3.突破方法：让学生在辨析、比较中理解圆的相关概念.教学准备圆规、三角板.教学过程设计一、探索新知1、圆心不变，半径不相等的所有圆叫做同心圆.如图1所示：图1 图22、半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆. 同圆或等圆的半径相等.如图2.等圆与位置无关3、弧的相关概念（1）圆弧：圆上两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”，用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作AB，读作“弧AB”.如图3所示：（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆.（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧：如图4，ABC劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧：如图4，AC图3 图44、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（如图4中的∠COD）5、弦的概念连接圆上任意两点的线段叫做.。
九年级(上)第五章 中心对称图形(二) 课时练习 第1课时 圆(一)
第五章中心对称图形(二)第1课时圆(一)（附答案）一、选择题l. 已知☉O的半径为4，点A是线段OP的中点，如果线段OP=8，则点A与☉O的位置关系为( )A.点A在☉O内部B．点A在☉O上C.点A在☉O外部D-点A与☉O的位置关系不能确定2．在直角坐标系中，☉O的半径为5，圆心为坐标原点，则下列各点在☉O外部的是( ) A. (2，4) B．(3，4) C. (4，3) D．(5，4)3．下列四边形的各边中点一定能够在同一个圆上的是( ) A. 任意四边形B．等腰梯形 C. 矩形D．菱形4．已知点P到☉O上的点的最大距离是8 cm，最小距离是2 cm，则☉O的半径是( )A. 5 cm B．3 cm C．5 cm或3 cm D．10 cm或6 cm二、填空题5．下列四边形：①直角梯形；②平行四边形；③矩形；④菱形，其中四个顶点一定在同一个圆上的四边形是_______________(填序号)．6．已知线段AB=4 cm，那么到点A的距离等于2 cm且到点B的距离等于3 cm的点共有____________个．7．如图，在Rt△AB C中，∠ACB=900，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作☉O，设线段CD的中点为P，则点P在☉O____________．8．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，若B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为____________．三、解答题9．用图形表示到点A的距离大于1 cm且小于3 cm的点的集合．10．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=900．点A、B、C、D在同一个圆上吗?请证明你的结论．11．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AB=13，BC=12．CD AB，垂足为点D．以C为圆心、5为半径作☉C。
试确定点A、B、D与☉C的位置关系．12．如图，将矩形纸片ABCD放在圆上，使其一边BC过圆心O，量得AB=6 cm，BE=3 cm，AF=5 cm，求☉O的半径．13．如图，在△ABC中，∠C=900，AC=4 cm，BC=3 cm，以C为圆心，r cm为半径作☉C.(1)若A、B两点都不在☉C内，则r的取值范围是_________．(2)若A、B两点都在☉C内，则r的取值范围是___________．(3)若A、B两点只有一个点在☉C内，则r的取值范围是____________．参考答案1．B 2．D 3．D 4．C5．③6．27．内部8．(2，0)9．图略。
初中数学苏教版《九年级上》《第五章 中心对称图形(二)》精品
初中数学苏教版《九年级上》《第五章中心对称图形（二）》精品初中数学苏教版《九年级上》《第五章中心对称图形（二）》精品专题课后练习【5】(含答案考点及解析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1.顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（） A．平行四边形【答案】A．【考点】初中数学知识点》图形与证明》四边形【解析】试题分析：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．故选A．考点：1.平行四边形的判定2.三角形中位线定理．B．矩形 C．菱形 D．正方形2.已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x﹣10x+k=0的两根，则（） A．k=\C．k=﹣16或k=﹣25【答案】C.【考点】初中数学知识点》方程（组）与不等式（组）》一元二次方程【解析】试题分析：根据当BC是腰，则AB或AC有一个是8，进而得出k的值，再利用当BC是底，则AB和AC是腰，再利用根的判别式求出即可．当BC是腰，则AB或AC有一个是8，故8-10×8+k=0，解得：k=-16，当BC是底，则AB和AC是腰，则b-4ac=10-4×1×k=100-4k=0，解得：k=-25，综上所述：k=-16或k=-25．故选：C．考点: 一元二次方程的应用．2222B．k=25D．k=16或k=253.若关于的一元二次方程A．C．，且有实数根，则实数的取值范围（）B．D．，且【答案】A.【考点】初中数学知识点》方程（组）与不等式（组）》一元二次方程【解析】试题分析：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，∴解得，∴实数的取值范围为，且．故选A．考点：根的判别式．，且△==，4.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．()+1=2 S1=2、()+1=3 S2=2、（)+1=4 S3=2（1）推算出OA10的长；（2）求出S12+S22+S32+…+S102的值．【答案】(1)(2)【考点】初中数学知识点》数与式》二次根式【解析】试题分析：此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n 个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得．由同述OA2=值就是把面积的平方相加就可．解：（1）(Sn=)+1=n+1（1分）2，0A3=…可知OA10=．S12+S22+S22+…+S102的，OA3=，…（2）∵OA1=，OA2=∴OA10=（3）S12+S22+S32+…+S102 =()+(2)+(2)+…+(2)2= (1+2+3+…+10) =考点：勾股定理点评：此题属于找规律题，主要考察学生运用所学知识，对规律的观察与推导，此类题可以在平时的练习中加强。
苏科版九年级上5.4确定圆的条件
定理的证明
证明方法一
利用几何性质和公理证明。
证明方法二
通过反证法证明。
证明方法三
利用向量和向量的外积证明。
定理的应用
应用一
确定物体的位置。
应用二
确定物体的运动轨迹。
应用三
解决几何问题。
02
圆心和半径确定一个圆 的条件
圆心和半径确定一个圆的定理
定理
平面上，一个圆由其圆心和半径唯一 确定。
解释
这个定理表明，只要确定了圆心的位 置和半径的长度，就可以确定一个唯 一的圆。
给定一个直线和一个点，且该点到直线的距离为常数，则存在一个且仅存在一个 圆与该直线相切，且该点为圆的圆心。
证明
根据点到直线的距离公式和圆的性质，通过数学推导证明该定理。
定理的证明
证明过程
首先，根据点到直线的距离公式，确 定点与直线的距离。然后，根据圆的 性质，确定圆心和半径。最后，根据 圆的标准方程，写出该圆的方程。
定理的证明
证明方法
利用圆的性质和几何定理，通过反证法证明。假设通过圆外 一点与圆心的连线能确定两个不同的圆与原圆相切，则会产 生矛盾。
证明过程
首先，根据圆的性质，通过圆外一点只能作一个与给定圆相 切的圆。然后，假设存在两个这样的圆，则它们与原圆的交 点数量会超过一个，这与圆的性质相矛盾。因此，假设不成 立，定理得证。
证明方法
采用反证法，假设存在两个或多个圆 与直线相切，然后通过推理和计算得 出矛盾，从而证明定理的正确性。
定理的应用
应用场景
在实际生活中，当需要确定一个点到直线的距离时，可以利用该定理来求解。例如，在几何问题中， 可以利用该定理来确定一个点是否在直线上或与直线相切。
九年级数学上册 2.3 确定圆的条件课件 (新版)苏科版
2.3 确定圆的条件
例题：
哪一条弧的半径较大？
2、如图，在围成新月形的两条弧（AmB和AnB）中，
⌒ ⌒
课堂检测：
1、判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（
）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接
圆；（
）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接 三角形；（ ） ） ）
即时巩固：
1．三角形有 2．圆有 个外接圆； 个内接三角形； 交点，
3．三角形的外心是
它到
的距离相等。
2.3 确定圆的条件
课堂练习——尺规作图
分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外心；
观察外心的位置和三角形有何关系？
2.3 确定圆的条件
2.3 确定圆的条件
例题：
⌒，试找出AB ⌒所在圆的圆心。 1、如图，已知AB
初中数学 九年级(上册)
2.3
确定圆的条件
2.3 确定圆的条件
复习回顾
回忆：过一点可以作几条直线？ 无数条 过几点可确定一条直线？
两点确定一条直线．
学习目标：
探究：过几个点可以确定一个圆呢？
2.3 确定圆的条件
探索
·
经过一个已知点A能确定一 个圆吗?
A
·
·
经过一个已知点 能作无数个圆
· ·
2.3 确定圆的条件
A B
C B A C
（2）三个点不在同一直线上
不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.3 确定圆的条件
尺规作图：
已知△ABC，作⊙O，使⊙O经过△ABC的三个顶点；
A
如图，⊙O经过△ABC的三个顶点，
O
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第7课时确定圆的条件（附答案）
一、选择题
1．可以作圆，且只可以作一个圆的条件是( ) A．已知圆心的位置B．已知圆的半径大小
C．过三个点D．过不在同一条直线上的三个点
2．三角形的外心是( ) A．三条边高的交点B．三个角的平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点
3．A、B、C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是( ) A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆上
B．可以画一个圆，使A、B在圆上，C在圆外
C．可以画一个圆，使A、C在圆上，B在圆外
D．可以画一个圆，使B、C在圆上，A在圆内
4．△ABC内接于☉O，OD⊥AC于点D，如果∠COD=600，那么∠B的度数为( )
A. 300B．600C．600或1200D．300或1500
二、填空题
5．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是_______(填“锐角”、“直角”或“钝角”)三角形．
6．直角三角形的两边长分别为6 cm、8 cm，则这个三角形外接圆的半径为_________．7．如图，☉O是△ABC的外接圆，∠A=300，BC=2 cm，则☉O的半径为________cm．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标为(-3，5)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．
三、解答题
9．如图，A、B、C是三个居民小区的位置．现决定在三个居民小区建造一个购物超市，使这个购物超市到三个小区的距离相等．请你在图中确定这个超市的位置．
10．如图是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出该圆弧所在圆的圆心. (不写画法，但要保留作图痕迹)
11．已知平面直角坐标系内的三个点分别为A(1，-1)、B(-2，5)、C(4，-6)．试判断过点A、点B、点C这三点能否确定一个圆，并说明你的理由．
12．如图，△ABC内接于☉O，如果AB=AC=5 cm，BC=8 cm，求☉O的半径．
13．如图，☉O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD，交☉O于点E，连接BE，交AC于点F，连接CE．
(1) △ABE与△CDE全等吗?并说明你的理由．
(2)若AE=6，DE=9，求EF的长．
参考答案
1．D 2．C 3．B 4．C
5．锐角
6．5 cm 或4 cm
7．2
8．(-l ，0)
9．连接AB 、AC ，分别作出它们的垂直平分线．它们的交点即为所求的购物超市，作图略
10．如图所示点拨：过圆弧上任意三点作两条不同的弦，再分别作出这两条弦的垂直平分线，
且相交于点O. 则点O 即为该圆弧所在圆的圆心
11．设过点A 、点B 的直线解析式为y=kx+b ，
A(1，-1)、B(-2．5),
∴125k b k b +=-⎧⎨-+=⎩ 解得21
k b =-⎧⎨=⎩． 即y=-2x+1．
当x=4时，y=-7≠-6，∴点C 不在直线AB 上．
即点A 、点B 、点C 这三点不在同一直线上．
∴过点A 、点B 、点C 这三点能确定一个圆
12．☉O 的半径为
256cm 13．(1)全等 四边形ABCE 内接于☉O,
∴ ∠DEC= ∠ABC ，∠DCE= ∠BAE ．
AB=AC ．∴ ∠ABC= ∠ACB ． 又 ∠ACB= ∠AEB ，CD=AC ，∠AEB= ∠ABC ，AB=CD ．
∴ ∠AEB= ∠CED ．
△ABE ≅△CDE
(2)由△ABE ≅△CDE ，得
∠ABE=∠D ，BE=DE=9． 又CD=AC, ∴∠CAD=∠D ．∴∠CAD=∠ABE ． 又
∠AEF=∠BEA, ∴△AFE △BAE ．∴AE EF
BE AE = 又
BE=9，AE=6, ∴EF=4。