直角三角形全等的条件(HL)

B′ Rt△ABC≌ Rt△A′ C ′
斜边、直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
在Rt△ABC和Rt△ ABC 中

AB=AB
A
C B′
(2)求证：△ABC是等腰三角形。 (1)证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED与Rt△CFD中, DE＝DF（已知） BD＝CD（已知）
∴ △BED≌△CFD(H.L)
∵△BED≌△CFD (2)证明 ：
(第 1 题)
∴ ∠B=∠C ∴AB=AC
如图，∠ACB=∠BDA=90°。要说明 △ACB≌△BDA,需要再补充几个条件， 应补充什么条件？把它们分别写出来， 有几种不同的方法就写几种。
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=8cm;
N
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=8cm;
Step3:以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;
N B
M A
C
动动手 做一做
1:画∠MC ′N=90°;
2:在射线C ′M上截取C ′A′=8cm;
C △ABC的形状与大小是唯
一确定的吗?
10cm 8cm 8cm
A
45° B B′
探索边边角
C
10cm
8cm
8cm
45° A B B′
显然： △ABC与△AB’C不全等
SSA不存在
知识梳理:
A
A
B SSA不能 判定全等 A C
B
D
C
B
D
1.在两个三角形中,如果有三条边对应相 等,那么这两个三角形全等(可以简写成 “边边边”或“S.S.S”)
斜边和一条直角边对应相等→ 两个直角三角形全等
想一想
到现在为止，你能够用几种方法说明 两个直角三角形全等？
A B A' B' C'
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
答：有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL
议一议
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和 ∠DFE大小有什么关系？
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF A 全等 则△ABC与△DEF____ （填“全等”或“不全等”）,
D
SSS 根据_______ B C E F
动动手 做一做
尺规作图： 已知： Rt△ABC， ∠C=90°,
B
10cm
A
8cm
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
动动手 做一做
D
则 △ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 等”）
根据 ASA （用简写法）
（2）若 A= D，BC=EF， A 全等 （填“全等”或 则 △ABC与 △DEF AAS “不全等”）根据 （用简写法） B （3）若AB=DE，BC=EF， 则 △ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 SAS 等”）根据 （用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则 △ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 SSS 等”）根据 （用简写法）
随堂练习
1. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系 在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩 上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请 说明你的理由。 解：BD=CD ∵ ∠ADB=∠ADC=90°
∵AB=AC（已知） AD=AD（公共边）
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) ∴BD=CD
巩固练 习 1.如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF，求证： (1)△BED≌△CFD．
E
D
B
C
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ 分别是高,并AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF
分析： △ABC≌△DEF ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
B A
Rt△ABP≌Rt△DEQ AB=DE,AP=DQ
P D
C
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高 AB=DE, AP=DQ, ∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
直角三角形全等的判定
回 顾 与 思 考
SAS 。 1、判定两个三角形全等方法， SSS ， ASA ， AAS ， 2、如图，Rt△ABC中，直角边 BC 、AC A A C B ，斜边 AB 。
F C
E
B
3、如图，AB ⊥ BE于C，DE ⊥ BE,垂足为E， （1）若 A=D，AB=DE，
小结
P D
C
E
Q
F
探讨三角形全等的条件：
两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边 与这一个角的位置上有几种可能性呢？ A A
图一 在图一中， ∠A 是AB和AC的夹角， 符合图一的条件，它 可称为“两边夹角”。
B
C
B
图二
C
符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”
探索边边角
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? 已知：AC=10cm,BC=8cm, ∠A=45 °.
变式训练
如图∠C=∠D=Rt∠ ，要证明△ACB≌ △BDA ，
(1)补充一个条件______证得△ACB≌△BDA 。
(2)补充一个条件______,证得△ACB≌△BDA
(3)补充一个条件_______,证得△ACB≌△BDA
C D
A
B
如图 在△ABC中,已知BD⊥AC,CE ⊥AB， BD=CE。说明△EBC≌ △DCB的理由。 A
D O
C
证明： AC⊥BC，BD⊥AD ∴ ∠D=∠C=90°
在Rt△ACB和Rt△BDA中,则
A
B
AB=BA（共公边）
AC=BD.(已知） ∴ Rt△ACB≌Rt△BDA (HL). ∴BC=AD (全等三角形对应边相等).
2 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将 上述条件标注在图中，你能说 明BC C 与BD相等吗？
2.在两个三角形中,如果有两条边及它 们的夹角对应相等,那么这两个三角形 全等(可以简写成“边角边”或 “SAS”)
如图，两三角形能用SAS证明吗？
如图，两三角形能用SAS证明吗？
3.在两个三角形中,如果有两个角及它们 的夹边对应相等,那么这两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或”ASA”)
变式1：若把∠BAC＝∠EDF, 改为BC＝EF ，△ABC与△DEF 全等吗？请说明思路。
B
P D
C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 全等。试证明。
BC=BC
C′
B′(HL) A ′ ∴Rt△ABC≌ Rt△A′C′
想一想
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不 仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊 的判定方法——“HL”.
例题1：如图：AC⊥BC，BD⊥AD， AC=BD.求证：BC=AD.
解： BC=BD ∵∠C=∠D=90°(已知）
A D B
∵AB=AB(公共边） AC=AD.（已知） ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD(全等三角形对应边相等).
2.如图，AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF. 求证：AE=DF.
C
F D
E
A
B
3.已知 : AB BD, ED BD, C是BD上一点 且AC EC, AC EC 求证：BD AB ED
4.在两个三角形中,如果有两个角及其中 一个角的对边对应相等,那么这两个三角 形全等(可以简写成“角角边”或”AAS”)
判断：
满足下列条件的两个三角形是否全等?为 什么?
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等 的两个直角三角形.
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边 对应相等的两个直角三角形.
3.两直角边对应相等的两 个直角三角形.
F C
E
D
4、如图，AB⊥BC于B，DE ⊥EF于E，
（1）若 ∠A= ∠D，AB=DE，则 △ABC与 △DEF 全等 ______, ASA （填“全等”或“不全等”）根据________.
全等 （2）若 ∠A= ∠ D，BC=EF，则 △ABC与 △ DEF_____ AAS （填“全等”或“不全等”）根据_________. 全等 （填 （3）若 AB=DE，BC=EF，则 △ABC与△DEF SAS “全等”或“不全等”）根据________
A
E
B
C
D
舞台背景的形状是两个直角三角 形，工作人员想知道两个直角三角形是 否全等，但每个三角形都有一条直角边 被花盆遮住无法测量。 (1) 你能帮他想个办法吗？
SAS
ASA
AAS
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
3:以A′为圆心，10cm为半径画弧，交射线C ′N于B ′ 4:连结A′ B ′; △ A′ B ′ C ′即为所要画的三角形
N B′
M
A′
C′
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？
B
10cm 10cm
B′
A
8cm
C
A′
8cm
C′