周期性运动_简谐运动

[答案] (1) 5（1／s）；(2) 2.5（m／s2）；(3) 5（m／s2）；(4)
π 15 （s）
(1) ω＝
k m
＝
4 0.160
＝5（1／s）
(2)由簡諧運動之週期 T＝2π
m k
，則
T＝2π
0.16 4
＝0.4π（s）
簡諧運動之瞬時加速度 ax 與位置 x 之關係為
a x＝－ω 2 x
[答案] 10 cm 簡諧運動的最大加速度和振幅成正比，amax＝ω2R，代入 0.32 g＝5.62×R
0.32×9.8＝5.62×R，可解出 R＝0.1（m），亦即 10 公分。
某次地震時，建築物在水平面上沿一直線作簡諧運動，其振幅為 0.10 公 尺，週期為π／10。則： (1) 此建築物之加速度為何？ (2) 假設建築物結構體質量為三百公噸，當地重力加速度約為 10 m／s2，則此 建築物受力約為多少公斤重？ █答： (1) 40 m／s2；(2)1.2×106 kgw 。
關和擺錘質量 m 及擺角大小（小於 5°）均無關。
範例 4 SHM 之物理量計算
在光滑的水平面上，一力常數 k 為 4.0 牛頓／公尺的彈簧一端固定，另一端繫一質量 m 為 160 公克的物體，在兩端點間左右往返，作振幅 R 為 20 公分的簡諧運動。試求： (1) 角頻率為多少？ (2) 偏離平衡點為 10 公分之瞬間的加速度量值為何？ (3) 最大加速度量值為何？ (4) 由右端點運動至平衡點右方 10 公分處，所需之最短時間為何？
π 3×
3
4
2 ＝－ 3 3 πcm／s
範例 7 SHM 之應用
地震時如果地面運動的加速度太大，地面上的建築物會被破壞。某建築物可以承受的 最大地面水平加速度為 0.32 g（g 為重力加速度），假設地震時該建築物基地的運動可 視為水平簡諧運動，則角頻率為 5.6 弧度∕秒的地震發生時，此建築物可承受的最大 地面水平振幅為多少公分？
±Rω＝±
2π T
R
ax＝－a cosθ
＝－
4π2R T2
cosθ
＝－ω2 R cos ωt ＝－ω2 x
4π2 ＝－ T2 x
±Rω2＝±
4π2 T2
R
0
位移（以平衡點為原點）
函數 圖形
█註：
速度
加速度
3. 鉛直方向的簡諧運動：起始位置在平衡點 位移（以平衡點為原點）
速度
加速度
圖示
y＝R sinθ ＝R sin ωt
5-2
簡諧運動
1 简谐运动（Simple Harmonic Motion）简称为SHM
1. 定義：
運動質點若作直線週期性的往復運動，而離
平衡點之位置向量 與回復力 x 之關係滿足
虎克定律Fx＝－kx時，此種運動稱為簡諧運動，
簡稱為 SHM。即物體的加速度a＝－
k m
x與其偏
離平衡點的位移 x 成正比，兩者的方向相反之運動。
ω2＝
k m
即 ω＝
k m
(3) 振盪週期：
2π T＝ ω ＝2π
m k
可知彈簧振盪週期 T，只和物體質量 m 及彈簧力常數 k 有關。
2. 小角度（θ＜5°）擺動的單擺： 一單擺擺線長度為 L，擺錘質量為 m。若擺繩的質量可 以不計，且忽略所有摩擦力。最低點為原點 x＝0，當 擺角為θ之瞬間，擺錘水平位置為 x，則擺錘沿運動方 向所受的淨力 F 為
(1) 此質點的角頻率？
(2) 質點離開平衡位置 6 公分時的速度及加速度量值？
[答案]
(1)
1 2
（1／s）；(2)
0.015（m／s2）
(1)ω＝
2π T＝
2π 4π
＝
1 2
；
(2) v＝ω
R2－x2
＝
1 2
0.12－0.062
＝
1 2
×
s）
a＝ω2x＝(
1 2
)2×0.06＝0.015（m／s2）
0.082 ＝0.04（m／
一質點作 SHM，當其距平衡點 8 cm 時，速率為 6 cm／ s，當其距平衡點 6 cm 的時候， 速率為 8 cm／s，試求其振幅及週期。
█ 答： 振幅＝0.1（m）；週期＝2π（s） 。
（設角頻率ω，振幅 R 0.06＝ω R2－0.082 ……①
0.08＝ω R2－0.062 ……② 可解出ω＝1（1／s），R＝0.1（m） 2π 2π
＝
30° 360° 60° 360°
T1 T ＝2 。
範例 6 SHM 位移與時間之關係
一質點作簡諧運動，其位移 x 與時間 t 的關係如右圖 所示，在 t＝0 和 t＝6 秒時，質點具有最大位移 8 cm， 則： (1) 在 t＝6 秒時，質點的：
(A)速度為正的最大值，加速度為零 (B)速度為負 的最大值，加速度為零 (C)速度為零，加速度為 正的最大值 (D)速度為零，加速度為負的最大值 (2) 此質點的角頻率為多少 rad／s？
(1)簡諧運動是在一直線來回振盪的週期運動，速度與加速 度皆隨時間不斷改變。
(2)等速圓周運動在直徑方向的投影為 SHM，但若為變速率圓周運 動則非 SHM。
(3)重力恆指向下，不符合力和位移成正比且方向相反的特性，故 非 SHM。
2 简谐运动的位置、速度及加速度
1. 簡諧運動可以一個等速圓周運動在直徑方向的投影來模擬，而此圓周運動 稱為簡諧運動的參考圓，但是要特別注意，等速圓周運動本身並非簡諧運 動。 █ 例：如下圖所示，小球在水平面上作等速圓周運動，從其側面以平行光照 射之，則豎立在另一側的光屏上會顯示出小球的投影軌跡，此球影來回 往復運動的軌跡就是簡諧運動。
t＝
36600°°T，可得
t＝
1 6
×0.4π＝
π 15
（s）。
範例 5 SHM 之時間問題
一物作簡諧運動，振幅為
R。由平衡點移動
R 2
的距離與自端點移動
R 2
的距離
所需的最短時間比為：
(A) 1：1 (B) 1： 2 (C) 1：2 (D) 2：1 (E) 1：3
[答案] Ｃ
利用參考圓，得
t1 t2
∴此時質點 v＝0，a 為 max
又由a＝－ω2x可知，a 為負向最大值。
(2)
由圖可知，T＝6 秒
ω＝
2π
T
＝
π 3
（rad／s）
(3) 由 x（t）＝R cos ωt，v（t）＝－Rω sin ωt
x（t）＝8 cos（ωt）＝4
cos（ωt）＝
1 2
，sin（ωt）＝
3 2
v（t）＝－8 ×
4π2R （(1)加速度 a＝ω2R＝ T2 ＝4π2×0.10／( π／10 )2＝40（m／s2）
(2)F＝ma＝300×103×40＝1.2×107（N），約為 1.2×106 kgw，約為一百 二十萬公斤重的力量。）
(E)距平衡點
4
公分時速率為
4
3 5
公分／秒
[答案] ＢＣ
π
π
對照 x (t)＝R cos（ωt）＝8 cos（ 5 t）得 R＝8 公分，ω＝ 5
(A)振幅為 8 公分；
(B)由ω＝
2π T
＝π 5
T＝10
秒；
(C)由
v
(t)＝－
8 5
π πsin（ 5 t）vmax＝
8 5
π＝1.6π（cm／s）；
數學式
vy＝v cosθ 2πR
＝ T cosθ
＝Rω cos ωt
＝ω R2－y2
2π ＝T
R2－y2
ay＝－a sinθ 4π2
＝－ T2 R sinθ ＝－ω2 R sin ωt
＝－ω2 y 4π2
＝－ T2 y
上下 兩端點
±R
平衡點
0
函數 圖形
█註：
0 2π
±Rω＝± T R
±Rω2 0
4. 總結： (1) 不同位置物理量的比較：
π
3
1
(A) 6 (B) 3 (C) 3 (D) π (E) 6
(3) 當質點離平衡點 4 cm 時，質點之瞬時速率為多少 cm／s？
(A) 48
(B)
8 3
π
4 3π (C) 3
4π (D) 3
(E) 0
[答案] (1) Ｄ；(2) Ｃ；(3) Ｃ
(1) ∵ t＝6 秒時，質點有最大位移，即在端點（正向）
2. 水平方向的簡諧運動：起始位置在右端點 位移（以平衡點為原點）
速度
加速度
圖示
數學式
R 在直徑上的投影 x x＝R cosθ ＝R cos ωt
兩端點
±R
平衡點
0
v 在直徑上的投影 vx
vx＝－v sinθ
＝－
2πR T
sinθ
＝－ω R sin ωt
＝－ω R2－x2
＝－ 2π T
R2－x2
0
故 T＝ ω ＝ 1 ＝2π（s）。）
範例 3 SHM 之函數問題
π 某物體作簡諧運動，若其位置與時間的關係為 x (t)＝8 cos（ 5 t）公分，式 中 t 以秒計，則： (A)振幅為 16 公分 (B)週期為 10 秒 (C)最大速率為 1.6π公分／秒 (D)最
大加速度為 0.16π2 公分／秒 2
ห้องสมุดไป่ตู้F＝－mg
sinθ＝－（
mg L
）x＝－k x
若單擺作小角度（θ＜5°）擺動時，則擺錘可視為在一
直線作簡諧運動。
(1)
由
F＝－（
mg L
）x＝－k x 可得比例常數 k＝
mg L
(2) 單擺的簡諧運動週期：
2π 由 T＝ ω ＝2π
m k
＝2π
L g
可見在小角度擺動的條件下，單擺的擺動週期 T 只和擺線長度 L 及重力加速度 g 有
2. 名詞： (1) 平衡點：回復力為零之位置，亦為位移的量度起點。 (2) 端點：離開平衡點最遠的位置。
(3) 振幅 R：離開平衡點最遠的距離，即具有最大的位移量值。 若平衡點為 x＝0，令方向向右為正（向左為負），則兩端點為 x＝± R。
(4) 週期 T：完成一次往復運動所需的時間。 (5) 頻率 f：單位時間往復運動之次數。（f＝1／T） (6) 角頻率ω：即等速圓周運動的角速度ω＝2πf＝2π／T。
物理量 位置
位移
速度
平衡點
最大
0
2πR
vmax＝ωR＝ T
端點
最大 x＝R
0
一般位置
x
v＝ω R2－x2
加速度（受力）
0
最大 4π2R
amax＝ω2R＝ T2 a＝ω2x
※ SHM 任何物理量的最大值就等於圓周運動的數值※
(2) 簡諧運動物體所受合力的簡明表示法：
質量 m 的質點做簡諧運動時，由牛頓運動定律可知合力大小可寫成：
(D)由
a
(t)＝－
8 25
π πcos（ 5 t）amax＝
8 25
π2＝0.32π2（cm／s2）；
(E)由
x＝4＝8
cos（π5 t）cos（π5 t）＝
1 2
，sin（π5 t）＝
3 2
v
(t)＝－
8 5
πsin（π5 t）＝－
8 5
π×
3 ＝－ 4
2
5
3 π（cm／s）。
3 简谐运动的实例
1. 彈簧振盪運動： (1) 回復力：
F＝max＝－kx
ax＝－
k m
x
可知物體所受的淨力和其離平衡點的位移 x
成正比，但兩者的方向相反，所以物體作簡
諧運動。且回復力與加速度永遠朝向平衡點。
(2) 角速率（ω）： 由回復力 F ＝－k x ＝m a x＝－m（ω2x）
a
x＝－
k m
x ＝－ω2 x
得
(7) 角度與弧度之換算：360° ＝2πrad，即 弧度＝角度 × （π／180）。
範例 1 SHM 之基本概念
下列有關簡諧運動（SHM）的敘述，哪些正確？ (A) SHM 是一種週期運動 (B) SHM 是一種直線運動 (C) SHM 是 一種等加速運動 (D)圓周運動在直徑方向的投影皆為簡諧運動 (E)皮球在光滑地面鉛直上下往復彈跳也是 SHM [答案] ＡＢ
F＝max＝mω2x＝kx
其中 k＝mω2 為一常數
因此，簡諧運動物體所受合力大小是和位移 x 成正比。
(3) 簡諧運動的必要條件： 某質點在一直線上運動時，所受合力（或其加速度）和其位移成正 比，但方向相反，則該物體必做簡諧運動。
範例 2 用 x 求 v 及 a
某質點作簡諧運動，其振幅為 10 公分，週期為 4π秒，求：
⇒ ax＝(
2π T
)2 x＝(
2π 0.4π
)2×0.1＝2.5（m／s2）
(3)當 x＝R 時 a 最大 ⇒ amax＝ω2R＝52×0.2＝5（m／s2）
(4)如右圖所示，利用等速圓周運動的投影可以模擬簡諧運動的觀念，
當簡諧運動由右端點移動至平衡點右方 10 cm 處，
等速圓周運動相對圓心繞過的角度為 60°，故質點的運動時間