哈尔滨工业大学2020数学分析和高等代数考研真题

2020哈工大数分
1. 判断以下命题成立与否，并给出证明
（1） f (x )在x =0的任意领域上无界，则当x →0时，f (x )为无穷大。

（2） 数列{a n }的无穷多个子列都收敛于a ，是否可以断定lim n→∞
a n =a 。

（3） 设f (x )在有限闭区间[a,b ]上处处都可导，则f ′(x )有界。

（4） 非负数列{u n }满足u n =o (1
n )，则∑u n ∞
n=1收敛。

（5） 设f (x,y )在(0,0)上的偏导数都存在，则f (x,y )在(0,0)上连续。

2. 设lim n→∞
a n =a ，证明
lim n→∞
12
a 1+23a 2+⋯+n n +1n =a 3. 叙述闭区间连续函数的Cantor 定理，并证明。

4. 函数f (x )在(0,a ]上可导，则
（1） √xf ′(x )在(0,a ]上有界，求证f (x )在(0,a ]上一致连续； （2） lim x→0
+
√xf ′(x )在(0,a ]上存在，求证f (x )在(0,a ]上一致连续。

5. 函数f (x )在[a,b ]上具有连续的二阶导数，则存在c ∈[a,b ]，使得
∫f (x )dx b
a
=(b −a )f (a +b 2)+1
24(b −a )3f ′′(c ) 6. 讨论∑ln (1+
(−1)n n p )∞
n=1的收敛性和绝对收敛性(p >0)
7. （1） 数列的和∑u n ∞n=1在区间I 上一致收敛，求证其一般项u n 在I 上一致收敛于0；
（2） 讨论级数
∑2n sin 1
3n x
∞
n=1
在x >0上的一致收敛性。

8. （1） 方程：
x 2+2y +cos (xy )=0
在(0,0)的充分小领域上确定唯一的连续函数y =y (x )，使y =y (0) （2） 讨论y =y (x )在x =0处的可微性 （3） 求极限lim x→0y (x )x
9. 求极限
lim t→0+1
t4
∭sin√(x2+y2+z2)dxdydz x2+y2+z2≤t2
10.求
I=∬(x2+az2)dydz+(y2+ax2)dzdx+(z2+ay2)dxdy s
S为上半球z=√a2−x2−y2的上侧。

2020哈工大高代
1. 当正整数n 满足和条件时，多项式x 2n +x n +1在有理数域上不可约（需要给出理由）
2. 设多项式x 3−49x −120的根为a,b,c ，求行列式
|s 0s 1s 2s 1s 2s 3s 2s 3s 4| 的值，其中s k =a k +b k +c k 3. 设m 为实数，求矩阵
( 32m 000032m 000032m 01m 04001
m
4)
的秩
4. 判断下列说法是否正确，并给出证明：实数上n ×n 矩阵A ，满足A 2=−AA T ，则A =−A T
5. 判断下列说法是否正确，并给出证明：A 为实数域上的n ×n 矩阵，存在可逆矩阵P ，使得P T (AA T +A T +A )P =A T A +A +A T
6. 判断下列说法是否正确，并给出证明：A,B 为实正交矩阵，A 4=B 4，则A =B。