人教版数学高二选修4-1导学案第三讲圆锥曲线性质的探讨

1.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影.

2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).

3.能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念，进而掌握圆柱面的性质.

4.在一般截面的几何性质的探究中，体验使用焦球的意义，逐步培养对几何图形中不变量的研究意识.

5.用平面截圆锥面研究所得曲线的基本特征并加以证明，从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线．

1．一个圆所在的平面α与平面β平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？

答案圆．

2．一个圆所在的平面α与平面β不平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？

答案椭圆．

3．回想一下，椭圆是如何定义的？

答案平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．

4．用一个平面去截一个圆柱，截面将是怎样一个平面图形？

答案用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆，当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆，当平面与圆柱两底面垂直时，截面是一个矩形．

1．正射影的概念

给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′称为点A在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影的概念

设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过A点作平行于l的直线(称为投影线)必交于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．

3．两个定理

(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．

(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β (当π与l平行时，

记β＝0)，

则(ⅰ)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

(ⅱ)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

(ⅲ)β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.

要点一正射影的应用

例1P为△ABC外一点且P A＝PB＝PC.

求证：P在面ABC内的射影为△ABC的外心．

证明如图，过P作PO⊥面ABC于O，连接OA、OB、OC，

则O为P在面ABC内的射影．

∵P A＝PB，PO＝PO，

∴Rt△P AO≌Rt△PBO，

∴AO＝BO，

同理BO＝CO，

∴AO＝BO＝CO，

∴O为△ABC的外心，

即P在面ABC内的射影是△ABC的外心．

规律方法确定一个几何图形的正射影，其实质是确定其边界点的正射影的位置．在解决此类问题时，一定要全面考虑．

跟踪演练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的()

答案 A

解析 已知实物模型找其正射影，可先根据投影面确定投影光线，然后找到关键点的正射影．求阴影部分在平面ADD 1A 1上的正射影，则投影光线与面ADD 1A 1垂直，显然点D 的正射影为点D ，点N 的正射影为边AD 的中点，点M 的正射影为边A 1A 的中点，故选A. 要点二 平面与圆柱面交线性质的应用

例2 圆柱的底面半径为5，高为5，若一平行于轴的平面截圆柱得一正方形，求轴到截面的距离．

解 如图所示，ABCD 为边长为5的正方形，连接OC 、OD ，∴△OCD

为等边三角形．

设CD 的中点为E ，连接OE ，

则OE ⊥CD ，且OE ＝52

3， 又AD ⊥上底面，∴AD ⊥OE ，

故OE ⊥平面ABCD ，故OE 为轴到截面的距离，∴轴到截面的距离为52

3. 跟踪演练2 如图所示，圆柱面的母线长为2cm ，点O 、O ′分别是上、下底面的圆心．若OA ⊥O ′B ′，OA ＝1cm.求：

(1)OO ′与AB ′所成角的正切值；

(2)过AB ′与OO ′平行的截面面积；

(3)O 到截面的距离．

解 (1)设过A 的母线为AA ′，则OO ′∥AA ′，OO ′A ′A 是矩形．易知△O ′B ′A ′是

等腰直角三角形，∴A ′B ′＝ 2.

又AA ′＝2，OO ′与AB ′所成的角为∠B ′AA ′，

∴tan ∠B ′AA ′＝A ′B ′AA ′

＝22. (2)所求截面为矩形AA ′B ′B ，面积等于22cm 2.

(3)O 到截面的距离即OO ′到截面的距离，也是O ′到截面的距离为

22

cm. 要点三 利用Dandelin 双球研究圆锥曲线问题

例3 一个顶角为60°的圆锥面被一个平面π所截，如图所示，Dandelin 双球均在顶点S 的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其离心率是多少？

解 Dandelin 双球均在顶点的同侧，所以截线为椭圆．

设A 、B 分别是该椭圆的长轴的两个端点，F 1、F 2分别是其焦点，O 1、O 2分别为Dandelin 双球中小、大球的球心，C 、D 分别为截面圆与母线的切点．

∵∠CSO 1＝30°，O 1C ＝1，∴SC ＝ 3.

同理SD ＝53，则CD ＝4 3.

又∵BF 1＋BF 2＝BC ＋BD ＝CD ，

∴2a ＝BF 1＋BF 2＝43，即a ＝2 3.

再延长O 1F 1交O 2D 于点G ，过O 2作O 2F ⊥F 1G 交F 1G 于点F ，

则O 1F ＝r 1＋r 2＝6.

又∵CD ＝43，∠DSO 2＝30°，∴O 1O 2＝8，

在Rt △O 1O 2F 中，FO 2＝82－62＝27.

即2c ＝F 1F 2＝FO 2＝27，故c ＝7.

∴离心率e ＝c a ＝723＝216

. 规律方法 1.解答本题时，先在图形中找出长轴与焦点，然后再求值．