《证明不等式的基本方法》新课程高中理科数学第一轮专题复习课件
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高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_3基本不等式课件理新人教A版
[解析] (1)由 lg 2x＋lg 8y＝lg 2 得，lg 2x＋3y＝lg 2， ∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y) ＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时，等号成立.
(2)y＝1＋3x＋
1 x－1
＝3(x－1)＋
1 x－1
＋4.令x－1＝t，t≥1，∴y＝3t＋
跟踪训练 (1)(2018·湖南期末)函数y＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若
定点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，则3m＋n的最小值为( )
A．13
B．14
C．16
D．12
解析：由题意知A(1,3)，
点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，∴m1 ＋3n＝1.
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(4)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．
[三基自测]
1．(必修5·习题3.4A组改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有 最小 值是2 p(简记：
积定和最小 )． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有 最大值是p42(简记：
和定积最大 )．
4．几个常用的重要结论： (1)ba＋ab≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋1a≥2(a＞0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋1a≤－2(a＜0，当且仅当a＝－1时 取等号)．
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.4 基本不等式课件 理
充分利用基本不等式的三要素及公式的逆用.
考点多维探究
考点1 利用基本不等式求最值
回扣教材
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件__a_>_0_，__b_>_0_____. (2)等号成立的条件，当且仅当__a＝__b____时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a＋b
设a>0，b>0，则a、b的算术平均数为_____2____，几何平均数为____ab___，基本不等式可叙述为
考点多维探究
考点 2 基本不等式在实际中的应用
回扣教材 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅 读，从中提炼出有用信息，建立__数__学__模__型__，转化为数学问题求解； (2)经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 y＝ax＋bx(a>0，b>0) 等．解函数应用题中的_最__值____问题一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
P2 (2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当__x_＝__y_时，xy有最大值是__4____.(简记：和定积最大) 4．必记结论 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R) (2)ba＋ab≥2(a，b同号) (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)
(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R) 2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)
(5)a2＋2 b2≥a＋4 b2≥ab(a，b∈R)
(6)
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a1＋2 1b(a>0，b>0)
小题快做 1.思考辨析 (1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × ) (2)ab≤a＋2 b2 成立的条件是 ab>0.( × ) (3)函数 y＝cosx＋co4sx x∈0，π2的最小值等于 4.( × )
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.4基本不等式课件理
命题趋势
基本不等式：a＋2 b≥ ab 基本不等 (a≥0，b≥0) 式及其应 (1)了解基本不等式的证明
用 过程. (2)会用基本不等式解决简
单的最大(小)值问题.
对基本不等式的考查，主 要是利用不等式求最值， 5 年 22 考 且常与函数、数列、解析 几何等知识结合在一起 进行考查.
第四页，共33页。
2
基础自主梳理
第五页，共33页。
「基础知识填一填」
1．基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；(2)ab＋ba≥2(a，b 同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
对于 D，因为 ab>0， 所以ba＋ab≥2 ba·ab＝2. 答案：D
第十页，共33页。
2．(2017 届郑州模拟)设 a>0，b>0，若 a＋b＝1，则a1＋b1的最小值是( )
A．2
B．14
C．4
D．8
解析：由题意a1＋b1＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ba×ab＝4，当且仅当ab＝ba，
第二十七页，共33页。
(2)∵x>0，a>0， ∴f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a， 当且仅当 4x＝ax， 即 4x2＝a 时，f(x)取得最小值． 又∵f(x)在 x＝3 时取得最小值， ∴a＝4×32＝36. 答案：(1)－83，＋∞ (2)36
第二十八页，共33页。
求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值 范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不 等式，体现了主元与次元的转化．
新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件
ab.其中所有正确结论的序号是(
+
>2;③lg
a2>lg
)
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
(2)(多选)(202X山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式
中正确的是(
)
A.log2(ab)>log2b2
C. <1<
B.ac2>bc2
1 a 1 b
D.( ) >( )
所示,则下列式子中正确的是(
A.b-a<c+a
B.c2<ab
C.
D.|b|c<|a|c
>
)
(2)(2020 山西太原三模,理 3)已知 a>b>1,c<0,则(
A.
<
C.ac<bc
B.ca<cb
D.loga(b-c)>logb(a-c)
)
答案 (1)D
(2)C
解析 (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b,a<0,
<
1
2
2
<0.代入验证①(-1)
<(-2)
成立,代入②
5
>2 成立,代入③lg(-1)2=0<lg
2
2 错误,由此排除 B,C,D 三个选项,故选
(2)由 a>b>0,得 ab>b2,
所以 log2(ab)>log2b2,故 A 正确;
高考数学一轮复习 4-5.2证明不等式的基本方法精品课件 新人教版
不等式a2 b2 ≥a b2 成立.
mn
类型二 用综合法证明不等式 解题准备:利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不 等式有: (1)a2≥0; (2)|a|≥0; (3)a2+b2≥2ab;它的变形形式有 a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;
a
1 a
2
b
1 b
2
≥
25 2
.
[反思感悟] 综合法一般是分析法的逆过程,表述简单,条理清晰,所以在解决 具体问题时,常把分析法和综合法结合起来使用.
类型三 用分析法证明不等式 解题准备:用分析法证“若A则B”形式的命题的模式是:为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有……. 只需证明命题B2为真,从而有……. …… 只需证明命题A为真,而已知A为真,故B必真.
解 析 : x y bx ay . x a y b (x a )( y b)
由 1 1 0,得 b a 0,又 x y 0, ab
所 以 bx ay,所 以 bx ay 0, (x a )( y b)
所以 x y . xa yb
答案: x y xa yb
类型一 用比较法证明不等式 解题准备:比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是:①作差; ②变形;③判断差的符号;④下结论.其中“变形”是证明的关键,一般通过因式分解或 配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式,当差是二次三项式时,有 时亦可用判别式来判断符号.
类型四 用放缩法证明不等式 解题准备:放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性. 缩小分母､扩大分子,分式值增大;缩小分子､扩大分母,分式值减小;全量不少于部分; 每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放 缩不够或放缩过头,同时放缩有时需便于求和.
高考数学第一轮章节复习课件 第二节 不等式的证明 (2)
①
又∵(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，π－3＞0，
∴(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)＞0.
②
①式与②式矛盾，所以假设不成立，即a，b，c中至少
有一个大于0.
不等式的证明主要考查比较法与综合法.而比较法 多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的 性质，题目难度不大，属中档题，如2009年江苏高考 21题就考查了此内容.
已知，a，b，c∈(0，＋∞)，且ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥
利用分析法证明.
解：(1)要证明a＋b＋c≥ ，由于a，b，c∈(0，＋∞)，
因此只需证明(a＋b＋c)2≥3，
即证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，根据条件，
只需证明a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca.
二、分析法 从所要证明的结论 入手向已知条件 反推直至达到已
知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明 方 三法、.综合法 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不 等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法， 这种证明不等式的方法称为综合法.
综合法和分析法有何内在联系？ 提示：综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条 理清楚.当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起 来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表 达整个证明过程.
＝(x－1)2[2(x＋ 1 )2＋1 ]≥0， 22
∴1＋2x4≥2x3＋x2.
当a＝b时，
当a＞b＞0时
＞1.
当b＞a＞0时，
1．设a＞b＞0，求证： 证明：法一：∵a＞b＞0， ∴左边－右边
故原不等式成立．
法二： 知
证明不等式的基本方法高考复习课件和练习数学课件PPT
∵x>0,y>0,∴x2y2>0.
即证3x2+3y2>2xy,∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy,
1
1
∴3x2+3y2>2xy成立，∴x2y2 2 x3y3 3.
【拓展提升】1.综合法与分析法的逻辑关系 （1）用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等 式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法. （2）综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚， 所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤. （3）分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分 利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.
【变式训练】已知a,b∈R+,且a+b=1,求证：（a1）（b1） 25.
a
b4
【证明】方法一：∵a，b∈（0，+∞），且a+b=1,
ab(a当b)且2 仅1,当a=b时，等号成立.
24
( a 1 ）( b 1 ） b a a b 1
a b ab
ab
(b a ) ( 1 ab )2 2
【变式训练】用反证法证明下列结论：
已知0＜a＜1，则 1 4 9.
a 1a
【证明】假设 1 4 ＜9,
a 1a
通分得
1
a 1
3
a a
＜
9
.
∵0＜a＜1,∴1+3a＜9a(1-a).
整理得（3a-1）2＜0.
这与平方数不小于0矛盾.
∴假设不成立，则 1 4 9.
a 1a
71.今天有许多人不是不愿接受新观念，而是不愿抛弃旧观念。 53.用这生命中的每一秒，给自己一个不后悔的未来。 74.上苍不会给你快乐也不会给你痛苦，它只会给你真实的生活。有人忍受不了生活的平淡而死去，却不知道生命本身就是奇迹！ 10.没有错误的行为，就不会有失败的结果。如果你不能正确分析失败的原因，即使做再多的努力，也于事无补。 61.少年时要恢宏气度，青年时肯吃苦耐劳，壮年时不妄自菲薄，老年时能传递经验。人生给父母最好的礼物是争光，给儿女最好的礼物是榜样，给社会最好的礼物是奉献。 48.当你看到一个没有右手的人，就不会抱怨你右手上的哪个胎记了。 16.你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 16.外在压力增加时，就应增强内在的动力。 6.人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。 62.人生的路，难与易都得走。世间的情，冷与暖总会有。如果有些事无法回避，那我们能做的，就是把自己变得更强大，强大到能够应对这一次挑战。智慧的人不徘徊在过去，豁达的人不忧患 于未来，聪明的人懂得把握现在！
不等式选讲证明不等式的基本方法课件理ppt
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3
乘法可换性
如果`a>b`且`c>d`，那么`ac>bd`。
特殊不等式的性质
基本不等式
对于正数`a`和`b`，有`sqrt(ab)<=((a+b)/2)`，当且仅当 `a=b`时等号成立。
对数不等式
对于正数`a`和`b`，如果`log(a)<log(b)`，那么`a<b`。
不等式的变换规则
移项规则
在方程求解问题中的应用
线性方程
对于线性方程组，可以利用不等式理论中的线性规划方法求 解，通过不等式表示可行域，进而求解最优解。
非线性方程
对于非线性方程组，可以转化为单变量函数求极值的问题， 利用不等式可以找到极值点附近的局部最优解。
在数列和极限问题中的应用
数列极值
不等式可以用于求解数列的极值点，通过不等式可以找到数列中最大值和最 小值的所在点。
极限证明
不等式可以用于证明数列或函数的极限存在与否，以及求出极限的大小。如 利用Cauchy准则证明数列收敛的极限不等式。
05
总结与回顾
学习心得与体会
1
学生对不等式基本性质和证明方法的掌握程度 有所提高。
2
学生对不等式证明的思路和方法有更深入的理 解。
3
学生对用分析法证明不等式的技巧更加熟练。
课堂互动与表现
不等式选讲证明不等式的 基本方法课件
xx年xx月xx日
目录
• 不等式的性质 • 证明不等式的基本方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
不等式的性质
不等式的基本性质
1 2
传递性
高考数学(理科)一轮复习课件：不等式选讲 第2节 证明不等式的基本方法
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
3．设 a，b∈(0，＋∞)，且 ab－a－b＝1，则有( )
A．a＋b≥2( 2＋1) B．a＋b≤ 2＋1
C．a＋b< 2＋1
D．a＋b>2( 2＋1)
数学（人教A版 ·理科）Leabharlann AH)基础梳理考点突破
课时训练
解析：由已知得：a＋b＋1＝ab≤a＋2 b2， 故有(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0. 解得 a＋b≥2 2＋2 或 a＋b≤－2 2＋2(舍)， 即 a＋b≥2 2＋2.(当且仅当 a＝b＝ 2＋1 时取等号) 故选 A.
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
(1)一般地，当所证不等式的两边均为整 式(多项式)时，可考虑用作差比较法．
(2)步骤：作差、变形、判断符号、得出结论． (3)变形整理是关键，常用的变形方法有因式分解和配 方法．
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基础梳理
考点突破
课时训练
即时突破 1 已知 a>b>0，m>0，求证：ab>ab＋ ＋mm. 证明：ab－ab＋ ＋mm＝ba－ b＋bmm.
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基础梳理
考点突破
课时训练
(2)放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_放__大__ 或_缩__小__，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种 方法称为放缩法．
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基础梳理
考点突破
课时训练
1．要证明 29＋ 31<2 5，可选择的方法有以下几种，
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