因式分解公式法ppt课件
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人教版八年级数学上册《因式分解-公式法》第3课时课件
分析
设： + = ，
2
则原式= − 12 + 36
2
2
= −2 ∙ ∙ 6 + 6 .
探究新知
例
1
分解因式：
+
2
− 12 + + 36；
解：原式= +
2
2
−2∙ + ∙6+6
2
= ห้องสมุดไป่ตู้−6 .
探究新知
例
2
分解因式：
2
49 − 28 + + 4 + ；
2
+ 2 ∙ − 4 ∙ 4 + 4
= 2 − 4 + 4
2 2
2
2
探究新知
例
2
2
已知 − 4 + − 10 + 29 = 0，
2 2
求 + 2 + 1 的值.
2
2
2
− 4 + 2
2
− 10 + 5
2
= −2∙∙2 +2
2
−2∙∙+
2
2
2
− 2 ∙ − ∙ 5 + 5
2
= − − 5 .
2
探究新知
例
3
分解因式：
−
2
2
+ 10 − + 25 ；
解：原式= −
2
= −
2
方法二
+ 10 − + 25
2
+ 2 ∙ − ∙ 5 + 5
《公式法》因式分解PPT(第1课时)
B．-m ²-n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m ²+n ² 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m ²-tn ²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
合作探究
探究点三 问题1：把下列各式分解因式: （1）9（m+n）²－（m－n）²; （2）2x³－8x. （3）x 4-1 解：（1）9（m+n）²－（m－n）²
4.3 公式法
第1课时
八年级下册
-.
学习目标 1 掌握用平方差公式分解因式的方法. 2 能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
前置学习
1.填空
①25x²＝ (__5_x__)²
③0.49b²＝ (_0_._7_b_)²
⑤1
4
b²＝
(__12_b__)²
②36a4 ＝ (__6_a_²_)² ④64x²y²＝ (__8_x_y_)²
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形 式 2 .公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
课后作业
1．对于任意整数n，多项式(n＋7) ²－(n－3) ²的值都能( A )
随堂检测
1．判断正误 （1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘） （ ✔） （ ✘） （ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
沪科版七年级下第8章 8.4.2 因式分解 公式法课件(15张PPT)
满足上述条件就可以用平方差公式
小试牛刀
判断下列各多项式是否可以用平方差公式进 行因式分解，如果可以，指出对应公式中的 a，b分别是什么，如果不能请说明理由。
(1)、a²-2ab+b² (2)、a²+b² (3)、-a²-b² (4)、a²-b (5)、a²-1 (6)、4a²-25b²(7)-16m²+1
）
3、分解因式：
（1）、4x²+4x+1 （2）、(x-2y)²+8xy
（3）、 1 x2 1 y2 （4）、(x+1)(x-1)-35
16 25
布置作业 课堂小册子
魅力数学
1、用简便方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 ...1 1 4 9 16 25 10000
因式分解
引出概念
像这样运用公式进行因式分解的方法叫做公式 法
掌握运用
那么，我们如何运用公式法进行因式分解呢？ 观察刚才的等式
a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 等式左边的多项式具有什么特点？
特征： 项数 三项式 特点 两项能够写成完全平方数，另外 一项是它们底数积的2倍。 符号 完全平方数的两项符号相同
满足刚才三点要求就可以运用完全平方公式法来 因式分解了。
判断下列各多项式可以运用完全平方法进行分解 因式吗？
（1）x²-2x+1 （2）m²+2mn+n²（3）4a²+6ab+9b² （4）(a-b)²-2(a-b)+1（5）-a²+2ab-b²（6）2a²-b （7）x²-2xy-y ² （8）a²-ab+b²（9）m²+mn+n²
小试牛刀
判断下列各多项式是否可以用平方差公式进 行因式分解，如果可以，指出对应公式中的 a，b分别是什么，如果不能请说明理由。
(1)、a²-2ab+b² (2)、a²+b² (3)、-a²-b² (4)、a²-b (5)、a²-1 (6)、4a²-25b²(7)-16m²+1
）
3、分解因式：
（1）、4x²+4x+1 （2）、(x-2y)²+8xy
（3）、 1 x2 1 y2 （4）、(x+1)(x-1)-35
16 25
布置作业 课堂小册子
魅力数学
1、用简便方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 ...1 1 4 9 16 25 10000
因式分解
引出概念
像这样运用公式进行因式分解的方法叫做公式 法
掌握运用
那么，我们如何运用公式法进行因式分解呢？ 观察刚才的等式
a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 等式左边的多项式具有什么特点？
特征： 项数 三项式 特点 两项能够写成完全平方数，另外 一项是它们底数积的2倍。 符号 完全平方数的两项符号相同
满足刚才三点要求就可以运用完全平方公式法来 因式分解了。
判断下列各多项式可以运用完全平方法进行分解 因式吗？
（1）x²-2x+1 （2）m²+2mn+n²（3）4a²+6ab+9b² （4）(a-b)²-2(a-b)+1（5）-a²+2ab-b²（6）2a²-b （7）x²-2xy-y ² （8）a²-ab+b²（9）m²+mn+n²
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
8.因式分解-----公式法课件数学沪科版七年级下册
解：（1）原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)
（2）原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
分解后的结果中若出现公因 式，一定要再用提公因式法 继续分解.
2.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36；
（1）ab2-ac2;
(2)3ax2+24axy+48ay2. 48a=3a×16
(1)解：ab2-ac2 =a(b2-c2) （提取公因式） =a(b+c)(b-c).（用平方差公式）
(2)解：3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2) （提取公因式） =3a[x2+2·x·4y+(4y)2] =3a(x+4y)2. （用完全平方公式）
（2）原式=－ 3（x2 -2xy +y2） =－3(x－y )2.
3.分解因式： （3）5m2a4－5m2b4； （4）a2－4b2－a－2b.
解：（3）原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
（4）原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
整式乘法
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
类比平方差公式，把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
1.因式分解(公式法)PPT课件(华师大版)
(2) ( a2 y2 ) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
例4.分解因式
(1) x2＋14x＋49
(3)9a 2 6ab b2
（2）25x2＋10x＋1
(4) -x2-4y2＋4xy
解：原式 x2 2 x 7 72 原式=（5x)2+2×5x×1+12
【点拨】a2－4ab＋4b2－1 ＝(a－2b)2－1 ＝(a－2b＋1)(a－2b－1)。
例5.分解因式
(1)3ax2 6axy 3ay 2 (2)x4 18 x2 81
(3（) 2x y)2 （6 2x y) 9
解：(1)原式 3a(x2 2xy y 2 )
3a(x y)2
中的一个公式。
运用公式法
乘法公式 反过来 因式分解
(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 逆用乘法公式把某些多项式进行因式分解。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(3)112 392 6613
例7.若n是整数,试说明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。
解：原式=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n.2 =8n
∴ (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。
1因式分解第2课时公式法因式分解课件华东师大版数学八年级上册
试一试：
(a+2b)·(a-2b)=____a_2_-_4_b_2 __； (a+2)·(a-2)=_____a_2-_4_____.
视察上面两个等式，可以得到： a2-4b2=( a+2b)(a-2b )； a2-4 =( a+2 )( a-2 ).
想一想：根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你 对因式分解的方法有什么新的发现？
解： (1) 73.562-26.442 =(73.56+26.44)(73.56-26.44) =100×47.12 =4 712；
(2) 8002-2×800×799&知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：因为x-y=1，xy=2， 所以x3y-2x2y2+xy3 = xy(x2-2xy+y2) = xy(x-y)2 = 2×1 = 2．
➢ 完全平方公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以 代表单项式或多项式.
把乘法公式的等号两边互换位置， 就可以得到用于分解因式的公式， 用来把某些具有特殊情势的多项 式分解因式，这种因式分解的方 法叫做公式法.
例2 分解因式： (1) x2+4xy+4y2；
解: (1) x2+4xy+4y2 = x2+2·x ·2y + (2y)2 = (x+2y)2；
把整式乘法的平方差公式，反过来就得到因式分解 的公式：
(a+b)(a-b)
整式乘法 因式分解
a2-b2
根据a2-b2 = (a+b)(a-b)可知：
➢ 等式左边为两个数平方的差， 等式右边为两个数的和与这两个数的差的积. 即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的 差的积.
《公式法》因式分解PPT课件(第1课时)
(1)( + ) −( − )
解： (1)( + ) −( − )
= ( + )
− ( − )
多项式
= + + ( − ) + − ( − )
=( + + − )( + − + )
=( + )( + )
＝4×100×7=2800.
连接中考
( −)( −)
（2020•河北）若
则 =
= × × ，
.
解析：方程两边都乘以，
得 − − = × × ，
∴ + − + − = × × ，
）
平方差公
式因式分
解的步骤
一找 二套 三彻底
解： 4x2+8x+11
=4(x2+2x)+11
=4(x2+2x+1-1)+11
=4(x+1)2-4+11
=4(x+1)2+7
∵4(x+1)2≥0，
∴4(x+1)2+7>0
即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
课堂小结
公式
− = ( + )( − )
公式法
分解因式
（平方差公式
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
能力提升题
已知 = + ， = + ， ≠ ，则
+ + 的值为
16
.
解析：将 = + ， = + 相减，
2-4《因式分解法》课件(共35张PPT)
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
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“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是 完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个平方的“项”
3、有这两平方“项”底数的2倍或-2
53).原—12式==a([²=72(a4-a+a+22(bba)-²+5-1c5))((=a-3-4caa)+]([2a2b+(+a1+5)cb()a)--15()a-c)]
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
倍首2 2首尾尾2
下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
4
6 a2 2ab 4b2 否
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 __2_x__y__ y2
完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
因式分2) 4x²- 9y²
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4)
a² - b²= ( a + b)( a - b )
八年级数学（上册）
因式分解的基本方法2
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
(1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
2 4a2 9b2 ___1_2_a_b_
3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（ D ） A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、下列各式中，不能用完全平方公 式分解的是（ C ） A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
=(2x)²- (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)4解(：a + b)²- 25(a - c)=²2 x ( 2 y + 2 z) 3解)：41.a原³式-==4([x(a+xy++z)2+z()y(x+-zy))][(x+z)=-(4yx+z()y] + z ) 42解.)原(：x式=+[2y(a++b)z]²)-²[5-(a(-xc)]–² y – z )²
4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
例1.把下列各式分解因式
（1）16a²- 1
解：1）16a²-1=(4a)²- 1
( 2 ) 4x²- m²n²
=(4a+1)(4a-1)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4 解：2） 4x²- m²n²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
3、下列各式中，能用完全平方公式
分解的是（ D ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、1 x2 -2xy+y2 D、 1 x2 -xy+y2
4
4
4、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ D ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
请运用完全平方公式把下
列各式分解因式： 1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
4 3
xy（分解因A 式得）
A、
2 3
x
y
2
B、
4 3
x
y
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为
（10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
判别下列各式是不是 完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个平方的“项”
3、有这两平方“项”底数的2倍或-2
53).原—12式==a([²=72(a4-a+a+22(bba)-²+5-1c5))((=a-3-4caa)+]([2a2b+(+a1+5)cb()a)--15()a-c)]
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
倍首2 2首尾尾2
下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
4
6 a2 2ab 4b2 否
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 __2_x__y__ y2
完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
因式分2) 4x²- 9y²
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4)
a² - b²= ( a + b)( a - b )
八年级数学（上册）
因式分解的基本方法2
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
(1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
2 4a2 9b2 ___1_2_a_b_
3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式 分解的是（ D ） A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、下列各式中，不能用完全平方公 式分解的是（ C ） A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
=(2x)²- (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)4解(：a + b)²- 25(a - c)=²2 x ( 2 y + 2 z) 3解)：41.a原³式-==4([x(a+xy++z)2+z()y(x+-zy))][(x+z)=-(4yx+z()y] + z ) 42解.)原(：x式=+[2y(a++b)z]²)-²[5-(a(-xc)]–² y – z )²
4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
例1.把下列各式分解因式
（1）16a²- 1
解：1）16a²-1=(4a)²- 1
( 2 ) 4x²- m²n²
=(4a+1)(4a-1)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4 解：2） 4x²- m²n²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
3、下列各式中，能用完全平方公式
分解的是（ D ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、1 x2 -2xy+y2 D、 1 x2 -xy+y2
4
4
4、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ D ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
请运用完全平方公式把下
列各式分解因式： 1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
4 3
xy（分解因A 式得）
A、
2 3
x
y
2
B、
4 3
x
y
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为
（10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10