结构力学等效结点荷载
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q①
1(1,2,3)
2(2,3,4) FP ② 3(0,0,0)
q①
1(0,0,1)
e
Fe
FE F
FEe
T T
FE
e
T T
F
F
e
总码
总码
总码
ql
2(2,3,4) FP
② 3(0,0,0)
q①
FE (1)
1(0,0,1)
2
2
0 3
ql 2
12 ql
4
0
2
0
0
ql 2 12
3
2
F (2) E
FPl
8
0
FP 2
FP l
8
6 7 8 9
总码
ql 2
1
0
2
ql 2
3
12
ql 2
4
FE
FP 2
5
ql 2
12
FPl
8
0
6 7
FP 2
FP l
8 9
8
2(4,5,6) FP ② 3(7,8,9)
第九章 矩阵位移法
9.4 等效结点荷载
非结点荷载的处理
有限元分析的重要一步是把一个连续的结构看成是 由离散单元在结点处连接拼装而成。而把作用在结构上 的荷载统统考虑作用在结点上。然而无论是恒载还是活 载，常常是分布作用在单元上。
对这种非结点荷载的处理： 方法一：把分布荷载改用若干集中荷载代替，并把集 中荷载的作用点选作结点； 方法二：等效结点荷载法。
F3y
F4y
3(5,6) 4(7,8)
F3x
⑥
F1y② ③
⑤F4x ④ F2y
F1x ①
F2x
FR1x 1(1,2) FR1y
2(3,4) FR2y
F1
F1x FR1x F1x
F
0
F2 FFF543
FR1x
FR1
y
0 FR2 y
F1
y
FF22
x y
F3
1
F (2) E
0
FP
2
FP l 8
0
FP 2
FP l
8
2 3 4 0 0 0
ql 2
12 ql
1 2
FE
2 FP
3
2
ql 2 12
FP 8
l
4
3. 综合（自由）结点荷载列阵
F FD FE
综合结点 荷载列阵
直接结点 荷载列阵
等效结点 荷载列阵
x
FR1
y
＝FR
2
F2 x y F3x
F1y F2 y
F6
0
F3
y
F3 y
F7 0 F4x F4x
F8
F4 y F4 y
在后处理法中，结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵 与结构约束反力列阵之和。
※结构在实际荷载作用下的单元杆端力
M (A)
q
F
ql
2
0
4 5
1 0 0
0
2 ql 2 ql 2
FE
(1)
T T
F
F
(1)
0
0
1
0
1
0
12 0
12 ql
Fra Baidu bibliotek
6 1
0
1 0 0 2
0
0
1
ql 2
ql 2
12
0
ql 2 12
2 3
0
0
FP
FP
2 2
1. 等效结点荷载的概念
荷载等效的原则是不改变结构的结点位移情况， 即结构在等效结点荷载作用下的结点位移与实际荷载 作用下的结点位移相等。
M
q
结
点
E
F1
E
F2
位 移
等
效
1. 等效结点荷载的概念
M
q
(A)
F1F
M (B)
q
F2F
+=
E
F
F1 F1
(C)
E
F
F 2 F 2
内 力 相 等
结点位 移等效
F (1)
F 0
ql ql 2 2 12
0
ql 2
ql 2 T
12
F (2)
F 0
0
0
0
0
0T
F
F
(3)
0
FP
FPl
2
8
0
FP 2
FPl 8
T
2. 整体坐标系下单元等效结点荷载
1 2 90 , 3 0
0 1 0
1 0 0
0
FE
(1)
练习：用先处理法、后处理法分别计算结构的 综合结点荷载列阵。
M＝FPl FP
FP＝ql C
D
q
2(1,2,3)
3(4,5,6) 2(4,5,6)
3(7,8,9)
③ 4(4,5,7)
③
4(7,8,10)
①②
①②
A
B
1(0,0,0) 5(0,0,0) 1(1,2,3) 5(11,12,13)
解：1. 局部坐标系下单元固端力
e
F
F
e
e
k
e
+=
F1F
M (B)
对计算杆端位移而言，等效
q
F2F
结点荷载与原非结点荷载作用效 果等效，由此可以断定，在综合
结点荷载作用下求得的即是杆端
的实际位移。
E
F
F1 F1
(C)
E
F
F 2 F 2
有非结点荷载作用的单元杆 端力，可以由两部分叠加而得， 一部分是单元固端力，另一部分 是杆端位移产生的杆端力。
2. 等效结点荷载的计算
2(4,5,6) FP
FPl ql 2 8 12
q
② 3(7,8,9)
①
＝
ql 2
ql 2
1(1,2,3)
12
ql
2
FP l
FP l
2 FPl 2
8
+ 没有结 0
点位移
0
ql 2 0
12
ql
2
ql
ql 2
2
12 0
ql 2 FPl
FPl 2
FP l
FPl 2
在矩阵位移法分析过程中，可用综合结点荷载来 代替原来荷载进行计算。
F3y
F4y
3(2,3) 4(4,5)
F3x
⑥
F1y② ③
⑤F4x ④ F2y
F1x ①
F2x
FR1x 1(0,0) FR1y
2(1,0) FR2y
F1 F2x
F
FF32
FF33
x y
F4
F4
x
F5 F4 y
在先处理法中，结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵。
F (2) E
T T
F
F
(2)
FP l 8
FP l 8
0 0
FP
2 FP l
8
FP 2
FP l
8
总码 4 5 6 7 8 9
总码
总码
ql
2
4
0
4
0 5
FP
5
ql 2
FE (1)
12 ql
6 1
2
0
2
ql 2 12
F
F
(1)
12
0
ql 2
ql 2
12
(2)
0
F P
2
Fl P
F (2)
F
8
0
F P
2 Fl
P
8
局部坐标系下单元等效结点荷载：
e
Fe
FE F
整体坐标系下单元等效结点荷载：
FEe
T T
FE
e
T T
F
F
e
总码
0 1 0
0
ql
12 8
8
ql 2
只有结 0
ql
点位移
2
ql 2
12
0
FP l
FPl 2 8
0
FPl
FP l 2
8
0
局部坐标系下单元固端力列阵
2(4,5,6) FP ② 3(7,8,9)
q①
1(1,2,3)
F
F 1 F
e
F 2
F
F
e
F
F 3 F
F 4
F F
F 5 F 6
(1)
0
ql
2
ql 2
1(1,2,3)
2(2,3,4) FP ② 3(0,0,0)
q①
1(0,0,1)
e
Fe
FE F
FEe
T T
FE
e
T T
F
F
e
总码
总码
总码
ql
2(2,3,4) FP
② 3(0,0,0)
q①
FE (1)
1(0,0,1)
2
2
0 3
ql 2
12 ql
4
0
2
0
0
ql 2 12
3
2
F (2) E
FPl
8
0
FP 2
FP l
8
6 7 8 9
总码
ql 2
1
0
2
ql 2
3
12
ql 2
4
FE
FP 2
5
ql 2
12
FPl
8
0
6 7
FP 2
FP l
8 9
8
2(4,5,6) FP ② 3(7,8,9)
第九章 矩阵位移法
9.4 等效结点荷载
非结点荷载的处理
有限元分析的重要一步是把一个连续的结构看成是 由离散单元在结点处连接拼装而成。而把作用在结构上 的荷载统统考虑作用在结点上。然而无论是恒载还是活 载，常常是分布作用在单元上。
对这种非结点荷载的处理： 方法一：把分布荷载改用若干集中荷载代替，并把集 中荷载的作用点选作结点； 方法二：等效结点荷载法。
F3y
F4y
3(5,6) 4(7,8)
F3x
⑥
F1y② ③
⑤F4x ④ F2y
F1x ①
F2x
FR1x 1(1,2) FR1y
2(3,4) FR2y
F1
F1x FR1x F1x
F
0
F2 FFF543
FR1x
FR1
y
0 FR2 y
F1
y
FF22
x y
F3
1
F (2) E
0
FP
2
FP l 8
0
FP 2
FP l
8
2 3 4 0 0 0
ql 2
12 ql
1 2
FE
2 FP
3
2
ql 2 12
FP 8
l
4
3. 综合（自由）结点荷载列阵
F FD FE
综合结点 荷载列阵
直接结点 荷载列阵
等效结点 荷载列阵
x
FR1
y
＝FR
2
F2 x y F3x
F1y F2 y
F6
0
F3
y
F3 y
F7 0 F4x F4x
F8
F4 y F4 y
在后处理法中，结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵 与结构约束反力列阵之和。
※结构在实际荷载作用下的单元杆端力
M (A)
q
F
ql
2
0
4 5
1 0 0
0
2 ql 2 ql 2
FE
(1)
T T
F
F
(1)
0
0
1
0
1
0
12 0
12 ql
Fra Baidu bibliotek
6 1
0
1 0 0 2
0
0
1
ql 2
ql 2
12
0
ql 2 12
2 3
0
0
FP
FP
2 2
1. 等效结点荷载的概念
荷载等效的原则是不改变结构的结点位移情况， 即结构在等效结点荷载作用下的结点位移与实际荷载 作用下的结点位移相等。
M
q
结
点
E
F1
E
F2
位 移
等
效
1. 等效结点荷载的概念
M
q
(A)
F1F
M (B)
q
F2F
+=
E
F
F1 F1
(C)
E
F
F 2 F 2
内 力 相 等
结点位 移等效
F (1)
F 0
ql ql 2 2 12
0
ql 2
ql 2 T
12
F (2)
F 0
0
0
0
0
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F
F
(3)
0
FP
FPl
2
8
0
FP 2
FPl 8
T
2. 整体坐标系下单元等效结点荷载
1 2 90 , 3 0
0 1 0
1 0 0
0
FE
(1)
练习：用先处理法、后处理法分别计算结构的 综合结点荷载列阵。
M＝FPl FP
FP＝ql C
D
q
2(1,2,3)
3(4,5,6) 2(4,5,6)
3(7,8,9)
③ 4(4,5,7)
③
4(7,8,10)
①②
①②
A
B
1(0,0,0) 5(0,0,0) 1(1,2,3) 5(11,12,13)
解：1. 局部坐标系下单元固端力
e
F
F
e
e
k
e
+=
F1F
M (B)
对计算杆端位移而言，等效
q
F2F
结点荷载与原非结点荷载作用效 果等效，由此可以断定，在综合
结点荷载作用下求得的即是杆端
的实际位移。
E
F
F1 F1
(C)
E
F
F 2 F 2
有非结点荷载作用的单元杆 端力，可以由两部分叠加而得， 一部分是单元固端力，另一部分 是杆端位移产生的杆端力。
2. 等效结点荷载的计算
2(4,5,6) FP
FPl ql 2 8 12
q
② 3(7,8,9)
①
＝
ql 2
ql 2
1(1,2,3)
12
ql
2
FP l
FP l
2 FPl 2
8
+ 没有结 0
点位移
0
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12
ql
2
ql
ql 2
2
12 0
ql 2 FPl
FPl 2
FP l
FPl 2
在矩阵位移法分析过程中，可用综合结点荷载来 代替原来荷载进行计算。
F3y
F4y
3(2,3) 4(4,5)
F3x
⑥
F1y② ③
⑤F4x ④ F2y
F1x ①
F2x
FR1x 1(0,0) FR1y
2(1,0) FR2y
F1 F2x
F
FF32
FF33
x y
F4
F4
x
F5 F4 y
在先处理法中，结构的结点荷载列阵等于综合结点荷载列阵。
F (2) E
T T
F
F
(2)
FP l 8
FP l 8
0 0
FP
2 FP l
8
FP 2
FP l
8
总码 4 5 6 7 8 9
总码
总码
ql
2
4
0
4
0 5
FP
5
ql 2
FE (1)
12 ql
6 1
2
0
2
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F
F
(1)
12
0
ql 2
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12
(2)
0
F P
2
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F (2)
F
8
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2 Fl
P
8
局部坐标系下单元等效结点荷载：
e
Fe
FE F
整体坐标系下单元等效结点荷载：
FEe
T T
FE
e
T T
F
F
e
总码
0 1 0
0
ql
12 8
8
ql 2
只有结 0
ql
点位移
2
ql 2
12
0
FP l
FPl 2 8
0
FPl
FP l 2
8
0
局部坐标系下单元固端力列阵
2(4,5,6) FP ② 3(7,8,9)
q①
1(1,2,3)
F
F 1 F
e
F 2
F
F
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F 3 F
F 4
F F
F 5 F 6
(1)
0
ql
2
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