(完整)抛物线的性质归纳及证明,推荐文档

p
p2 (y1－y2)2
1
M2
43
R
OF
x
C
B
图4
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋ 4 － 4
p2 p y21 y22 p2 y21＋y22－2y1y2
＝ 4 ＋2(2p＋2p)＋ 4 －
4
p2 y1y2 p2 －p2 ＝ 2 ＋ 2 ＝ 2 ＋ 2 ＝0
3
M→A M→B ∴ ⊥ ，故∠AMB＝Rt∠.
x1 x2 p
AF
BF
AA1
BB1
x1
p 2
x2
p 2
x1x2
p 2
x1
x2
p2 4
p2 4
x1 x2 p
p 2
x1
x2
p2 4
x1 x2 p
p 2
x1
x2
p
2
.
p
3.求证： AC' B A' FB' Rt∠.
y
A'
A
C'
C
KO F
x
B' B
先证明：∠AMB＝Rt∠ 【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图
1.求证：①焦半径 |
AF
|
x1
p 2
p 1 cos
；②焦半径 |
BF
|
x2
p 2
p 1 cos
;
1
12
③|
AF
|＋|
BF
|＝p；
④弦长|
AB
2p |＝x1＋x2＋p= sin 2
；特别地，当 x1=x2(
=90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为 2p；⑤△AOB 的面积 S△OAB＝
p2 2sin .
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠
【证法二】取 AB 的中点 N，连结 MN，则
1
1
1
| MN |＝2(| AD |＋| BC |)＝2(| AF |＋| BF |)＝2| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |
∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB＝Rt∠.
p
p
p y1＋y2
y
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.
p
p
D
A
【证法四】由已知得 C(－2，y2)、D(－2，y1)，由此得 p y1＋y2
M(－2， 2 ).
∴M→A＝(x1＋p2，y1－2 y2)，M→B＝(x3＋p2，y2－2 y1)
∴M→A·M→B＝(x1＋p2)(x2＋p2)＋(y1－y2)4(y2－y1)
3，则 △ADM≌△ECM，
2 E
y D
A(x1，y1)
M
N
O
R
F
x
C
B(x2，y2)
图3
∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD |
∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |
∴△ABE 为等腰三角形，又 M 是 AE 的中点，
AF
|＋|
BF
|＝p.
当 AB⊥x 轴时，有
AF BF p，成立；
当
AB
与
x
轴不垂直时，设焦点弦
AB
的方程为：
y
k
x
p 2
.代入抛物线方程：
k2
x
p 2
2
2
px
.化简得：
k 2 x2
p
k2 2
x
p2 k2 0 4
1
∵方程（1）之二根为 x1，x2，∴ x 1
x2
k2 4
.
11 11 1 1
O
R
p
F( ，0)2
x
C
B(x2，y2)
图5
∴2(＋)＝180，即＋＝90，故
∠DFC＝90
p y1＋y2
【证法二】取 CD 的中点 M，即 M(－2， 2 ) －y2
p
p p －y2 p
＋＋
由前知 kAM＝y1，kCF＝ 2 2＝ p ＝y1
∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理， BM∥DF
y D1
∵y1y2＝－p2，则 y1、y2 异号，因此，| y1 |＋| y1 |＝| y1－y2 |
1
p
p
p
p2
∴S△OAB＝4| y1－y2 |＝4 (y1＋y2)2－4y1y2＝4 4m2p2＋4p2＝ 2 1＋m2＝ p2
2sin .
1
12
2.
求证：① x1x2
p2 4
；② y1y2 p2 ；③ |
| RF |＝| RC |，且∠DRF＝∠FRC＝90 ∴ △DRF∽△FRC
p
p
证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋2，| BF |＝| BC |＝x2＋2，
| AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p
如Hale Waihona Puke Baidu 2，过 A、B 引 x 轴的垂线 AA1、BB1，垂足为
y
A1、B1，那么| RF |＝| AD |－| FA1 |＝| AF |－| AF D
A(x1，y1)
|cos，
| RF |
p
∴| AF |＝1－cos＝1－cos
| RF |
p
同理，| BF |＝1＋cos＝1＋cos
p
p
∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝1－cos＋1＋cos＝
2p
B1
RO
F A1
x
C
B(x2，y2)
图2
sin2 .
1
1
1p
S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝2| OF || y1 |＋2| OF || y1 |＝2·2·(| y1 |＋| y1 |)
【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结 FM，则 FM＝DM.
又 AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图 4
∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 1
∴∠2＋∠3＝2×180＝90
∴∠AMB＝Rt∠.
y D
A(x1，y1)
接着证明：∠DFC＝Rt∠ 【证法一】如图 5，由于| AD |＝| AF |，AD∥RF， 故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝， 同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝， 而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180
【证法三】由已知得 C(－2，y2)、D(－2，y1)，由此得 M(－2， 2 ).
y1＋y2
y1－
y1－y2
2
p
y21
p(y1－y2) p(y1－\f(－p2,y1)) p
∴kAM＝
x1＋ 2
2· ＋p ＝ 2p ＝
y21＋p2
＝
y21＋p2
＝y1，同理
p
kBM＝y2
p p p2 p2
∴kAM·kBM＝y1·y2＝y1y2＝－p2＝－1
抛物线的常见性质及证明
概念
焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段； 焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.
性质及证明
过抛物线 y2＝2px（p＞0）焦点 F 的弦两端点为 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ,倾斜角为 ,中点
为 C(x0,y0), 分别过 A、B、C 作抛物线准线的垂线，垂足为 A’、B’、C’.
D
A(x1，y1)
G
M
O
R H
F
x
C
B(x2，y2)
∴∠DFC＝∠AMB＝90.
D→F
C→F
【证法三】∵ ＝(p，－y1)， ＝(p，－y2)，
D→F C→F ∴ · ＝p2＋y1y2＝0
D→F C→F ∴ ⊥ ，故∠DFC＝90.
图6
ly
M1
M
【证法四】由于| RF |2＝p2＝－y1y2＝| DR |·| RC |，即 | DR | | RF |