2022年人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解教案 整式的乘法(第3课时)

第十四章整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第3课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.
2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，理解整式除法运算的原理.
【过程与方法】
1.经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力.
2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.
【情感、态度与价值观】
感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时
四、教学重难点
【教学重点】
应用整式除法法则进行计算.
【教学难点】
根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.
五、课前准备
教师:课件、直尺、计算器等。

学生:练习本、钢笔或圆珠笔。

六、教学过程
（一）导入新课
木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）
木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.
想一想:上面的式子该如何计算?
（二）探索新知
1.师生互动，探究同底数幂的除法法则
教师问1:请完成下面的题目:(出示课件4)
(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.
学生回答:（1）28；（2）x10；（3）2m+n.
教师问2:本题是直接利用什么乘法法则计算的？
学生回答:同底数幂的乘法法则:底数不变，指数相加.
教师问3:思考下面的题该如何计算？
(1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10
(3)( )( )×2n=2m+n
学生回答:可以把乘法法则反过来利用.
教师问4:反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？
学生讨论后解答:（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？
教师问5:你是如何计算的呢？
学生回答:本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.
教师问6:能不能试着完成下列各题:
计算:(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n
学生回答:
(1) 28÷23=25；
(2) x10÷x6=x4；
(3) 2 m+n÷2n =2m
教师问7:观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）
(1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6；
(3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n
学生回答:底数不变，指数相减.
教师总结:同底数幂相除，底数不变，指数相减.
教师问8:以上法则能用字母表示吗？
学生总结:a m÷a n＝a m－n.
教师问9:对指数有何要求吗？
学生回答:m，n都是正整数，且m>n.
教师总结:a m ÷a n=a m–n(m，n都是正整数，且m>n)
教师问10:如何验证其正确性呢？
学生回答:验证:因为a m–n·a n=a m–n+n=a m，所以a m ÷a n=a m–n.
教师问11:对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？
学生回答:对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.
即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).
教师问12:计算:a m÷a m
学生计算a m÷a m时，可能会出现1或a0两个答案.
教师顺势归纳:从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定:a0＝1(a≠0).
教师问13:为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？
学生回答:因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.
总结点拨:（出示课件6）
同底数幂的除法
一般地，我们有
a m÷a n=a m–n(a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)
即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
规定:a0=1(a ≠0)
这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.
例1:计算:（出示课件7）
(1)x8÷x2；(2) (ab)5÷(ab)2.
师生共同解答如下:
解:(1)x8 ÷x2=x8–2=x6；
(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.
总结点拨:计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
例2:已知a m＝12，a n＝2，a＝3，求a m–n–1的值．（出示课件9）
师生共同解答如下:
解:∵a m＝12，a n＝2，a＝3，
∴a m–n–1＝a m÷a n÷a＝12÷2÷3＝2.
总结点拨:解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对a m–n–1进行变形，再代入数值进行计算．
2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则
教师问14:计算:4a2x3·3ab2
学生回答:4a2x3·3ab2=12a3b2x3
教师问15:计算:12a3b2x3÷ 3ab2
学生讨论回答:（出示课件11）
解法1: 12a3b2x3÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.
由(1)可知括号里应填4a2x3.
解法2:原式=4a2x3· 3ab2÷ 3ab2=4a2x3.
理解:上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数
0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.
教师问15:类比上述研究过程计算以下两题.
(1)－2x3÷(－x)；
(2)8m2n2÷2m2n.
学生回答:（1）2x2；（2）4n
教师问16:通过计算，你又发现什么规律？
学生回答:单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.
师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则:
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
总结点拨:（出示课件12）
单项式除以单项式的法则:
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
例3:计算:（出示课件13）
(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c ÷15a4b.
师生共同解答如下:
解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1
=4xy；
(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c
=- 1
ab2c.
3
总结点拨:单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.
3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则
教师问17:一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）
学生回答:面积为(a+b)m=ma+mb.
教师问18:若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？
学生回答:长为(ma+mb)÷m.
教师问19:如何计算(am+bm) ÷m?（出示课件17）
学生讨论后回答:计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，
教师问20:（）填什么呢？
学生回答:a+b
教师问21:am ÷m+bm ÷m=？
学生回答:a+b
教师问22:观察上边的问题，你发现了什么？
学生回答:(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m
教师问23:计算下列各式:
(1)(ax＋bx)÷x；(2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.
学生回答:
(1) a+b；(2) a+b；(3) 2x+y.
教师问24:说你是怎样计算的？
学生回答:多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.
教师问25:它们的项数之间有什么发现吗？
师生共同解答如下:在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征:商式与被除式的项数相同.
教师问26:你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）
学生归纳，教师点拨:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
教师问27:你能把这句话写成公式的形式吗？
学生回答:(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.
关键:
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
例4:计算:(12a3–6a2+3a) ÷3a. （出示课件19）
师生共同解答如下:
解: (12a3–6a2+3a) ÷3a
=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a
=4a2+(–2a)+1
=4a2–2a+1.
总结点拨:多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问
题.
例5:先化简，后求值:[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.（出示课件21）
师生共同解答如下:
解:原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，
＝x–y.
把x＝2015，y＝2014代入上式，得
原式＝x–y＝2015–2014＝1.
（三）课堂练习（出示课件24-29）
1．下列说法正确的是( )
A．(π–3.14)0没有意义
B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103
D．若(x＋4)0＝1，则x≠–4
2.下列算式中，不正确的是( )
A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4
B．9x m y n–1÷3x m–2y n–3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2
D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)
3.已知28a3b m÷28a n b2=b2，那么m，n的取值为( )
A．m=4，n=3 B．m=4，n=1
C．m=1，n=3 D．m=2，n=3
4.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.
5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.
6.计算: (1)6a3÷2a2；(2)24a2b3÷3ab；
(3)–21a2b3c÷3ab；(4)(14m3–7m2+14m)÷7m.
7. 先化简，再求值:(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.
8. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值；
（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值；
（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．
参考答案:
1.D
2.D
3.A
4.a+2
5. –3y3+4xy
6. 解:(1) 6a3÷2a2
=(6÷2)(a3÷a2)
=3a.
(2) 24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2–1b3–1
=8ab2.
(3)–21a2b3c÷3ab
=(–21÷3)a2–1b3–1c
= –7ab2c；
(4)(14m3–7m2+14m)÷7m
=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m
= 2m2–m+2.
7. 解:原式＝x2–y2–2x2＋4y2
＝–x2＋3y2.
当x＝1，y＝–3时，
原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.
8. 解:(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3；
(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．
(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．
4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)
a0＝1(a≠0)
(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.
（五）课前预习
预习下节课（14.2）的相关内容。

了解平方差公式
七、课后作业
1、教材104页练习1，2，3
2、某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料，且密度为9×102kg/m3，已知铝的密度为2.7×103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的多少倍?
八、板书设计:
九、教学反思:
1.本课的主要任务是通过教师引导探究同底数幂的除法法则，使学生通过类比，利用乘除互为逆运算的关系，自主探究完成单项式除以单项式，多项式除以单项式法则的推导.实践证明，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构基础上，建构整式的除法法则.同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率.
2.本节的内容是整式的除法，内容较多，分三部分，通过运算要求学生说出式子每一步变形的根据，并要求学生养成检验的好习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成一
定的计算能力，慢慢培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯.。