21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析

【高考地位】
平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】
方法一 利用基本不等式求平面向量的最值
使用情景：一般平面向量求最值问题
解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题
转化为相应的等式关系；
第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。

例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a b
a b b
+
++的最小值是___________ 【答案】2
22
例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与
,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小
值为( ）
A ．2
B ．13
C ．32
2
3
+ D ．34
【答案】C
【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）
A ．2
B ．13
C ．43
D ．34
【答案】C
M
N
A B
G
Q
考点：向量共线，基本不等式求最值
【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB AC
λμ
=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．
【答案】4
考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平
行四边形内一点,且22
AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大
值为 ． 6
【解析】
试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ
两边平方可得()()2
2
AP AB AD λμ=+可化为2
22
222AP
AB AB AD AD
λλμμ=+⋅⋅+,
据已知条件可得
221
22
λμ=+≥,即
λμ≤
，又
()
2
2212223
λλμ=++=
+≤，则λ+≤
. 考点：向量的数量积运算；基本不等式
方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围
使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题
解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向
量；
第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。

例3 已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ，(6,3)B -， 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=,点Q 是边AB 上一点，且0OQ AP ⋅=。

（1）求实数λ的值与点P 的坐标; （2）求点Q 的坐标；
（3）若R 为线段OQ （含端点)上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围。

【答案】（1)(14,7)P -（2）(4,3)Q (3）25[,0]2
-。

考点：向量的数量积，向量共线.
【点评】其解题思路为：（1）由OP PB λ=，根据向量共线，设出P 点坐标即可得；（2）设出Q 点坐标(),a b ，根据0OQ AP ⋅=可得一个方程,然后利用Q 在AB 上利用向量共线得另一个方程,解方程组可得Q 点坐标；（3）由R 在线段OQ 上可利用向量共线设R
坐标()4,3t t ，注意引入的变量t 范围,然后分别表示出向量RO ,RA,RB,，
利用数量积得出一个关于t 的二次函数，求这个关于t 的二次函数的最值即可得.
【变式演练4】已知向量,a b 不共线，t 为实数．
（Ⅰ)若OA a =，OB tb =，1()3
OC a b =+，当t 为何值时，,,A B C 三点共线；
（Ⅱ）若||||1a b ==,且a 与b 的夹角为120,实数1[1,]2
x ∈-，求
||a xb -的取
值范围．
【答案】（1）12
t =（2)37
[.
（Ⅱ）由1
||||cos120
2
a b a b ⋅=⋅⋅=-
，则22222||21a xb a x b xa b x x -=+⋅-⋅=++, 因为1[1,]2
x ∈-，当12
x =-时,||a xb -的最小值为32
当12
x =时，||a xb -7 所以||a xb -的取值范围是37[
] 考点：(1)平面向量数量积的运算(2）平行向量与共线向量. 【变式演练5】若直线10()ax y a a R +-+=∈与圆2
24x
y +=交于A 、B 两点
（其中O 为坐标原点），则AO AB ⋅的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．
方法三建立直角坐标系法
使用情景：一般向量求最值或取值范围类型
解题模板：第一步根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；
第二步将平面向量数量积的运算坐标化；
第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本
不等式的思想、三角函数思想等求解即
可。

例3. 在ABC
==, 2
∆中, 39
AB AC
∆所在平面内
AC AB AC
⋅=，点P是ABC
一点，则当222
⋅=( ）
PA PB PC
++取得最小值时, PA BC
D。

24
A。

24-B。

2 C. 9
2
【答案】D
【解析】2
⋅=
AC AB AC
以C 为坐标原点，直线CB,CA 分别为x,y 轴建立直角坐标系,则()()
0,3,62,0
A B ，设
(),,
P x y
222
PA PB PC
++
()()
()
()2
2
2
2
2222=362
322
3154x y x y x y x y +-+-+++=-+-+
当2
2,1x y ==时2
2
2
PA PB PC
++取得最小值， PA BC ⋅= ()()
2
2,262,024-⋅-=,
选D 。

【点评】：（1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题。

通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法。

例4 在Rt ABC ∆中,BC a =，若长为2a 的线段PQ 以A 点为中点,问PQ 与
BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值.
【答案】2-.
(cos ,sin ),(cos ,sin )
P a a Q a a ββββ--(cos cos ,sin ),(cos ,sin sin )BP a a a CQ a a a βαβββα∴=---=-
2222222
cos cos cos sin sin sin [1cos()]
BP CQ a a a a a βαββαβαβ∴⋅=---+=-++
∴当cos()1αβ+=-即αβπ
+=（PQ 与BC 同向）时,BP CQ ⋅的最大值为0.
【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.
【变式演练6】如图,在等腰直角三角形ABC 中,,D ，E 是
线段BC 上的点,且
,则
的取值范围是( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
考点：平面向量数量积的运算．
【变式演练7】在平面上，
121212,1,AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+．
若1
2
OP <，则OA 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
25,
0 B ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡27,25 C ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡2,25
D ．72⎝ 【答案】D
考点：平面向量的性质．
【高考再现】
1。

【2017全国II卷文，4】设非零向量a,b满足+=-
a a则
b b A。

a⊥b B. =b
a
a C。

a∥
b D。

b 【答案】A
2.【2017全国II卷理，12】已知ABC
∆是边长为2的等边三角形，
P为平面ABC内一点，则()
⋅+的最小是（)
PA PB PC
A。

2- B.3
- C. 43-
2
D.1-
【答案】B
3。

【2017浙江，10】如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB ＝BC＝AD＝2，CD＝3,AC与BD交于点O,记1·
I OAOB
＝，2·
I OB OC
＝，
3·
I OC OD ＝，则
A ．321
I I I << B ．231
I I I
<<
C ．213
I I I
<<
D ．312
I I I
<<
【答案】C 【解析】
【考点】 平面向量数量积运算
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算,易得90AOB COD ∠=∠>,由AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3,可求
OC OA <,OD OB <，进而解得213I I I <<．
4。

【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =—2,动点P ，M 满足AP
=1，PM =MC ,则2
BM 的最大值是( ）
（A ）434
(B)494 （C ）37634+ （D)372
33
4
+
【答案】B 【解析】
试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则
()()()2,0,1,3,1,3.
A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2
2
21
x y
-+=，又
13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫
-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()(
)2
2
2
133
4
x y BM +++∴=
，它表示圆()
2
221x y -+=上点(),x y 与点()
1,33
--距离平方的14
,(
)
()
2
2
2
2max
149
333144BM ⎛
⎫∴=+-+= ⎪⎝
⎭
,故选
B ．
考点：1。

向量的数量积运算；2。

向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形,本题中得出
120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===,因此我们采用解析法，
即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，
()
(
)2
2
2
1334
x y BM +++=
，因此可用圆的性质得出最值．
5.【2015高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t
⊥== ，若P 点是ABC ∆
所在平面内一点，且4AB AC AP AB
AC
=+
，则PB PC ⋅ 的最大值等于
（ )
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21 【答案】A
【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系,使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题,本题容易出错的地方是对AB AB
的理解不到位，从而导致解题失
败．
6.【2015高考湖南，理8】已知点A ,B ,C 在圆2
21x
y +=上运动，且
++的最大值为（）⊥，若点P的坐标为(2,0),则PA PB PC
AB BC
A。

6 B。

7 C。

8 D。

9
【答案】B.
【考点定位】1。

圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义。

【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算,向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中
档题,结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的
最值问题，即圆221
x y
+=上的动点到点)0,6(距离的最大值。

7。

【2017浙江，15】已知向量a，b满足1,2,
a b则++-
==
a b a b的
最小值是________，最大值是_______．
【答案】4，25
【解析】
试题分析：设向量,a b的夹角为θ，由余弦定理有：22
-=+-⨯⨯⨯=-
a bθθ
12212cos54cos
()
22
+=+-⨯⨯⨯-=+，则：
a bπθθ
12212cos54cos
++-=+-
54cos54cos
a b a bθθ
令θ
θcos 45cos 45-++=
y ，则[]2
21022516cos 16,20y
θ=+-∈，
据此可得：()
()
max
min
2025,164a b a b a b a b
++-==++-==，
即a b a b ++-的最小值是4,最大值是25． 【考点】平面向量模长运算
【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角θ,结合模长公式， 解得54cos 54cos a b a b θθ
++-=++-,再利用三角有界性求出最大、最小
值,属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要
求．
8.【2017北京文，12】已知点P 在圆2
2=1x y +上,点
A 的坐标为(—2，
0）,O 为原点,则AO AP ⋅的最大值为_________．
【答案】6
【解析】||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=所以最大值是6. 9.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆
2250
O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围
是 。

【答案】[5
2,1]-
【考点】直线与圆，线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区
域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
10.【2017全国I 卷理，13】已知向量a ，b 的夹角为60︒,2a =，1b =，则2a b +=________．
【答案】【解析】 ()
2
22
22(2)22cos602a b a b a a b b
+=+=+⋅⋅⋅︒+221
222222
=+⨯⨯⨯+444=++12
=
【解析】
∴212a b +=
11。

【2017全国I 卷文，13】已知向量a=（–1，2），b=（m ，1）．若向量a+b 与a 垂直，则m=________． 【答案】7 【解析】
试题分析：由题得(1,3)a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=,解得7m =
【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量
【名师点睛】如果a ＝（x 1，y 1）,b ＝（x 2，y 2)（b≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0．
12．【2017全国Ⅲ卷文,13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m= 。

【答案】2
【解析】由题意可得:2330,2m m -⨯+=∴=. 【考点】向量数量积
【名师点睛】(1)向量平行：12
21//a b x y
x y ⇒=，
//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ
=⇔=
+++ (2)向量垂直：12
1200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=,
(3)向量加减乘:
2
21212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>
13。

【2017山东理，12】已知1
2
,e e 是互相垂直的单位向量，若12
3-e e 与1
2
λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .
【答案】
3
3
0180θ︒≤≤︒.
2。

由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a b
θ=
,·0a b a b ⇔⊥＝，
因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
3。

本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立λ的方程。

14.【2017天津理，13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，
()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-,则λ的值为___________。

【答案】
3
11
15．【2016高考浙江理数】已知向量a 、b ， ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e |≤6
，则a ·b
的最大值是 ． 【答案】12
【解析】
试题分析：221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2
e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤
，即
最大值为12
考点:平面向量的数量积． 【易错点睛】在6a b +≤
两边同时平方，转化为2
2
26a b a b ++⋅≤的
6进行平方而导致错误．
16.【2015高考天津,理14】在等腰梯形
ABCD
中,已知
//,2,1,60
AB DC AB BC ABC ==∠= ，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且，1
,,9BE BC DF DC λλ
== 则AE AF ⋅的最小值为 。

【答案】2918
【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式. 【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式。

运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅,体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力。

是思维能力与计算能力的综合体现。

17.【2015高考浙江,理15】已知1
2
,e e 是空间单位向量,1
2
1
2
e e
⋅=
，若空间向量
b
满足
1252,2
b e b e ⋅=⋅=
，且对于任意
,x y R
∈，
12010200()()1(,)
b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0
x
=
,
0y =
，
b =
．
【答案】1,2，22.
【考点定位】1。

平面向量的模长；2。

函数的最值
【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数
最值的求解，属于较难题,分析题意可得问
题等价于1
2
()b xe ye -+当且仅当0
x x =,0
y y =时取到最小值1,这是解决
此题的关键突破口，也是最
小值的本质，两边平方后转化为一个关于x ，y 的二元二次函数
的最值求解，此类函数最值的求解对考生
来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利
用配方的方法求解,关于二元二次
函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问
题，在复习时应予以关注。

18.【2015高考上海，文13】已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 。

【答案】53+
【考点定位】平向量的模,向量垂直.
【名师点睛】本题考查分析转化能力。

设向量a、b、c的坐标，用坐标表示c
，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求+
a+
b
得|
a+
+的最大值。

b
|c
【反馈练习】
1．【江西省赣州市红色七校2017—2018届高三第一次联考数学（文）试题】已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内
（含边界）一动点,则·
MA MB的取值范围是( ）
A。

［-1，0］ B. [—1,2] C。

［—1，3] D。

[—1，4]
【答案】C
2．【全国名校大联考2018届高三第二次联考数学(理）试题】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-， ()
,60a c b c --=︒，则c
的最大值
等于（ ）
A. 4 B 。

2 C 。

2
D 。

1
【答案】A
【解析】
因为2a b
==， 2a b ⋅=-，所以1
cos ,2a b a b a b
⋅=
=-,,120a b =︒.
如图所以，设,,OA a OB b OC c ===，则CA a c =-,CB b c =-,120AOB ∠=︒。

所以60ACB ∠=︒,所以180AOB ACB ∠+∠=︒,所以,,,A O B C 四点共圆。

不妨设为圆M ，因为AB b a =-,所以222212AB a a b b =-+=.
所以
23AB =,由正弦定理可得
AOB 的外接圆即圆M 的直径为
2R 4AB sin AOB
=
=∠.
所以当OC 为圆M 的直径时, c
取得最大值4。

故选A 。

点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
3．【山东省德州市2017-2018学年高三年级上学期期中预测数学（文科)试题】已知向量a ， b 夹角为3
π，|b ｜=2,对任意x ∈R ，
有｜b +x a |≥|a —b ｜，则|t b -a ｜+|t b —2
a ｜（t ∈R ）的最小值
是（ ）
A 。

2
B 。

32
C 。

12
+
D 。

2
【答案】D
4．【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试（期中）数学（文）试题】已知ABC
是边长为4的等边三角形，
P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC
⋅+的最小值为 （ )
A 。

3-
B 。

6- C. 2- D.
83
- 【答案】B
【解析】
如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -,设(),P x y ，
则()
()(),2
3,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，
(
)()
()2232,22243PA PB PC x y x y x y y ∴⋅+=-⋅--=+-
(2
22366x y ⎡⎤=+-≥-⎢⎥⎣⎦
,
∴最小值为6-，故选B.
点睛：已知图形的向量问题采用坐标法,可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用。

坐标法后得到函数关系,求函数的最小值.向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法。

5．【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）试题】设a b ，为单位向量且相互垂直，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是（ ） A 。

22 B. 2 C. 2 D 。

1
【答案】A
6．【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考数学（理)试题】已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB =+(m ， n R ∈），则（ ）
A.
2m n +≤-
B. 21m n -≤+<-
C. 1m n +<-
D.
10m n -<+<
【答案】C
【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，
∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1， 又OC mOA nOB =+, ∴｜OC |=｜ mOA nOB +|，
可得2
OC =2
2
m
OA
+22
n OB +2mn OA ⋅
OB ,
而OA ⋅OB =｜OA |⋅|OB |cos∠A0B〈|OA ｜⋅｜OB ｜=1.
∴1=2
m +2
n +2mn OA ⋅
OB 〈22m n ++2mn ，
∴m n + <−1或m n + >1，如果m n + >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n + <−1，故选：C.
7．【江西省南昌市2018届上学期高三摸底考试文科数学试卷】已知,,A B C 是圆2
2:1O x
y +=上的动点，且AC BC ⊥，若点M 的坐标是
()1,1，则MA MB MC ++的最大值为
A. 3 B 。

4 C 。

321- D 。

321+
【答案】D
8．【浙江省名校协作体2017—2018学年高二上学期考试数学试题】已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足()()1,3,3,1
AC BD ==-,那
么AB CD ⋅的取值范围是( ）
A. (3- B 。

(]1,2- C 。

[)2,0- D 。

[]0,2 【答案】C
【解析】由题意可得AC BD ⊥， 2AC BD ==由于是凸四边形，所以
AC 与BD 相交于点O ，如下图，设OA=x,OB=y ，
(),0,2x y ∈
AB CD
⋅=
()()OB OA OD OC OB OD OA OC
--=⋅+⋅=
()()()()2
2
22112x x y y x y ⎡⎤--+-=-+--⎣⎦ [)2,0∈-,选
C.
9．【安徽省蒙城县2018届高三上学期“五校”联考数学（文)试题】在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且12
BC CD =,点O 在
线段CD 上(与点,C D 不重合），若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是__________． 【答案】()2,0-
10．【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学(文）试题】已知ABC ∆的三边垂直平分线交于点O ，
,,a b c 分别为内角
,,A B C 的对边，且()222c b b =-,则AO BC ⋅的取值范围是__________．
【答案】2,23
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
11．【河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学（理)试题】已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1， 6
B π
∠=
，则BA BC ⋅的取
值范围为__________．
【答案】3
3,32
⎛⎤
+
⎥⎝⎦
【解析】
如图，设,BA c BC a ==， ABC ∆的外接圆的半径为1，
6
B π
∠=。

12．【河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评(期中)数学（理）试题】已知两个不共线的向量,a b 满足
()1,3
a =， ()cos ,sin
b θθ=， R θ∈.
（1)若2a b -与7a b -垂直，求a b +的值；
(2）当0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，若存在两个不同的θ使得3a b ma
+
=成立,求正
数m 的取值范围。

【答案】（1）a b +
7=；（2）
1323
22
m +≤≤ 试题解析：解：（1）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，
所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=,所以1a b ⋅=.
所以2
2
2a b a +=+ 2
4217a b b ⋅+=++=,故a b
+ 7=
（2)由3a b ma
+
=,得
2
2
3a b ma
+=，
即2
2
2
2233a
a b b m a +⋅+=,
即242334a b m +⋅+=， )
2723cos 3sin 4m θθ+=,
所以23sin 476m πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭。

由0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
得2,6
6
3πππθ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
,又θ要有两解，结合三角函数图象可得，
2647m ≤-≤2134m ≤≤，又因为0m >,m ≤≤。