圆锥曲线综合问题

圆锥曲线综合问题(一)

主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师

开篇语

“圆锥曲线”与“二次曲线”

重难点易错点解析

题一：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线22

2:14

y C x -=有公共的焦点，

C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，

则( ) A ．2

132

a

=

B ．2

13a = C ．2

12

b

=

D ．2

2b

=

题二：设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足|PF 1|：| F 1F 2|：| PF 2|=4:3:2，则曲线r 的离心率等于( )

A ．12或3

2

B ．23或2

C ．12

或2 D ．23或3

2

金题精讲

题一：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半

轴为半径的圆与直线60x y -

+=相切．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q .

题二：如图，椭圆2

2

:1(01)y C x m m

+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的

任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．

(Ⅰ)若点P 的坐标为943,55⎛⎫

⎪⎝⎭

，求m 的值；

(Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ，使得OP ⊥OM ，求m 的取值范围．

满分冲刺

题一：已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为63．

(1)若原点到直线0x y b +

-=的距离为2，求椭圆的方程；

(2)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于A ，B 两点． i)当|

|3AB =时，求b 的值；

ii)对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB

λμ=+－－－－－－→

→→

，求实数,λμ满足的关系式．

思维拓展

题一：设点A (1,0)，B (2,1)，如果直线ax +by =1与线段AB 有一个公共点，那么a 2+b 2 ( )

A. 最小值为15

B. 最小值为55

C. 最大值为1

5

D. 最大值为

55

圆锥曲线综合问题(一)

讲义参考答案

重难点易错点解析

题一：C 题二：A

金题精讲

题一：(1)

22

143

x y += (2)定点Q 坐标(1,0) 题二：(Ⅰ)

4

7

m =

(Ⅱ) 13(0,]24-

满分冲刺

题一：(1) 22

1124

x y += (2) i)b =1 ii) 221λμ+=

思维拓展 题一：A

圆锥曲线综合问题(一)课后练习

主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师

题一：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为32. 双曲线22

1x y -=的渐近线

与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )

A ．22

182

x y += B ．

22

1126x y += C ．

22

1164x y += D ．

22

1205

x y +=

题二：以抛物线2

8y x =的顶点为中心，焦点为右焦点，且以3y x =±为渐近线的双曲线

方程是___________________

题三：过双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的左焦点(),0F c -作圆222

x y a +=的

切线，切点为E ，延长FE 交抛物线2

4y

cx =于点P ，O 为原点，

若1()2

OE OF OP =+－－－

－－－→

→→，则双曲线的离心率为

题四：过双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的左焦点F 引圆222

x y a +=的切线，切点

为A ，延长FA 交双曲线右支于点P ，若A 为线段PF 靠近F 的三等分点，则该双曲线的离心率为

题五：动圆P 过定点(),F 10且与直线x =-1相切，圆心P 的轨迹为曲线C ，过F 作曲线C 两条互相垂直的弦,AB CD ，设,AB CD 的中点分别为M 、N . (1)求曲线C 的方程；

(2)求证：直线MN 必过定点.

题六：已知抛物线2

8y x =与椭圆22

221x y a b

+=有公共焦点F ，且椭圆过点()

2,3D -.

(1)求椭圆方程；

(2)点A 、B 是椭圆的上下顶点，点C 为右顶点，记过点A 、B 、C 的圆为⊙M ，过点D 作⊙M 的切线l ，求直线l 的方程；

(3)过点A 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P 、Q ，则直线PQ 是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由.

题七：已知抛物线C ：2

2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中

A

B

C

x

y

O