《随机信号基础》练习题

《随机信号分析》练习题
一、 概念题
1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？
7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各
个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函
数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k
阶矩)(k X E 的公式。

11．
设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为
C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1
，则C Y (μ)=？
12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是
复数？
13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。

14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？
16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续
的条件是？
17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？
18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？
19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？
20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。

22． 何为线性系统？
23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。

25． 对正态过程而言，宽平稳和严平稳之间有何关系？
二、计算题
1．设随机变量(X,Y)的分布律为：
(1)填写阴影处的值；
(2)分别画出函数(),()X Y F x F y ；
(3)验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的。

2．己知随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧∞∈∈-∞∈=)
,4(,1]4,0(,4]0,(,0)(x x x x x F X
求X 的数学期望。

3．设随机变量X 具有概率密度
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤-+=else x x x x x f ,010,101,1)(
求X 的方差D(X)。

4．已知设一连续性随机变量X 在区间(-1,3)上服从均匀分布 (1)求X 的概率密度函数； (2)画出X 的分布函数；
(3)求X 的取值落在区间(-1,0.5)上的概率。

5．以下函数是某连续型随机变量的概率分布函数，确定其中的常数a 并求其概率密度函数。

⎪⎩⎪
⎨⎧≥-<=-
,0,0)(2x e a x x F x
6．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为 求：(1)常数A ；
(2)分布函数F XY (x,y)；
⎩⎨
⎧≥≥=+-其它,00
,0,),()2(y x Ae y x f y x
(3)P{X+Y<2}； (4)P{X ≤Y}。

7．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
212(,)0
y f x y ⎧=⎨
⎩ 01
y x ≤≤≤其他 求E(X)，E(Y)，E(XY)，22()E X Y +。

8．随机变量X 的数学期望为3，方差为2，定义新的随机变量Y=-6X+22，问随机变量X 与Y 是否正交、不相关？为什么？
9．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=else y x xy
y x f XY ,03
0,20,9
),( 问X 与Y 是否正交、不相关、独立？为什么？
10．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
⎩⎨
⎧≥≥=+-else
y x e y x f y x XY ,00
,0,),()( 求边缘分布)(),(y f x f Y X 。

11．已知二维随机变量(X 1, X 2)的概率密度函数为),(21x x f X ，求Y= X 1+X 2的概率密度函数)(y f Y 。

12．设X 为二维随机向量，其分量X 1和X 2互为独立的随机变量，且分别具有概率密度)(11x f X 与)(22x f X 。

令Y 为新的二维随机向量，其分量由下列变换定义Y 1=X 1，Y 2=X 1X 2，试求
(1)(Y 1,Y 2)的联合概率密度； (2)Y 2的边缘概率密度。

sin V A =Θ，其中A 是已知的正常数，相角Θ是一个随机变量，在区间(,)22
ππ
-
服从均匀分布，试求电压V 的概率密度。

14．一正弦波随机过程为t A t X 0cos )(ω⋅=，其中A 是均匀分布在(0,1)内的随机变量
(1)写出随机变量A 的概率密度函数；
(2)画出A 分别为0.5和1时的样本函数的图形；
(3)求0
00,43,4,0ωπ
ωπωπ=t 时)(t X 的一维概率密度；
(4)求0
2ωπ
=
t 时)(t X 的一维概率密度。

15．利用重复抛币试验定义一个随机过程
⎩⎨⎧=出现反面
出现正面,2,cos )(t t t X π
“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。

(1)求)(t X 的一维分布函数)2
1
,(x F X 和)1,(x F X ；
(2)求)(t X 的二维分布函数)1,2
1
;,(21x x F X 。

16．设随机振幅信号t V t X 0sin )(ω⋅=，其中0ω是常数，随机变量V 是标准正态随机变量，求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

17．设平稳过程)(t X 和)(t Y 的自协方差函数分别为
τ
τ
τττa a K e K Y a X sin )(,21)(||2==-
式中a 为正常数，求它们的相关系数和相关时间，并判断哪个过程的起伏速度快。

18．给定一个随机过程)(t X 和任一实数a ，定义另一个随机过程
⎩⎨
⎧>≤=a
t X a
t X t Y )(,0)(,1)( 已知)(t X 的一维分布函数和二维分布函数，求)(t Y 的数学期望和自相关函数。

19．已知某随机电报信号X(t)的相关函数为)1(4
1
)(||2τλτ-+=e R X ，求其功率谱密
度。

20．随机过程ΦΦ+⋅=),sin()(0t a t X ω为均匀分布于π2~0间的随机初始相位，求
)(t X 的功率谱密度。

21．某随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生 t e t X t e t X e t X cos ),(,sin ),(,1),(321===
(1)计算数学期望)(t m X 和自相关函数),(21t t R X ； (2)该随机过程是否平稳？
X(t)均值E[X(t)]=3，自相关函数|
|29)(ττ-+=e R X ，求随机变量⎰=2
)(dt t X Y 的
均值和方差。

23．已知随机过程)(t X 的功率谱密度为9104
)(2
42+++=ωωωωX G ，求其相关函数和均方值。

24．设复随机过程为： 其中ω为正常数，V 为实随机变量。

求复过程Z(t)的自相关函数。

25．已知RC 电路的冲激响应为)(2)(2t U e t h t -=，输入平稳过程)(t X 的自相关函数为||3)(ττ-=e R X ，求输出过程)(t Y 的自相关函数)(τY R 。

1
()1H j RC
ωω=+，求当输入均值为0，功率谱密度为0/2N 的白噪声时，输出过
程的功率谱密度和自相关函数。

()2cos(2)t t ξπθ=+，式中，θ是一个离散随机变量，且(0)1/2p θ==，(/2)1/2p θπ==；试求(1)E ξ及(0,1)R ξ。

28．设有限时间积分器的单位冲激响应)5.0()()(--=t u t u t h ，它的输入是功率谱密度为z H V /102的白噪声，试求系统输出的均值、均方值、方差和输入输出互相关函数。

29．设线性系统)(ωH 的输入为平稳过程)(t X ，其功率谱密度为)(ωX G ，输出为)(t Y 。

求误差过程)()()(t X t Y t E -=的功率谱密度)(ωE G 。

30．已知随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 满足
0)(=ωX G ，B >||ω
取常数B >>0
ω，构造一个新的随机过程t t X
t t X t Y 0
0sin )(ˆcos )()(ωω-=. 求)(t Y 的功率谱密度)(ωY G ，并画出)(ωX G 与)(ωY G 的关系。

31．设正态过程t V t U t X 00sin cos )(ωω+=，其中0ω为常数，V U ,是两个相互独立的正态随机变量。

已知222][][,0][][σ====V E U E V E U E ，求)(t X 的一维和二维概率密度函数。

32．设X(t)为零均值、窄带高斯随机信号，其方差为2
σ，求X(t)的包络和相位的一维概率密度函数。

三、证明题
1. 证明][][][22X E X D X E +=。

2. 设有随机过程)(t X 和)(t Y ，证明)()(),(),(212121t m t m t t R t t K Y X XY XY -=。

t
j e V t Z 0)(ω⋅=
3. 试证明宽平稳过程的方差是常数。

4. 设可微平稳随机过程)(t X 的功率谱密度为)(ωX G ，证明该过程的导数过程
)(t Y 的功率谱密度为)()(2ωωωX Y G G =。

5. 随机过程)(t X 的导数过程为)(t Y ，证明：2
2121)
,(),(t t t R t t R X XY ∂∂=。

6. 已知随机过程00()cos sin X t A t B t ωω=+，式中0ω为常数，互不相关的随机变量A 和B 具有不同的概率密度，但有相同的方差，均值都为零。

证明：X(t)是宽平稳而不是严平稳随机过程。

7. 随机过程定义为)()(ε+=t f t X ，其中)(t f 是具有周期T 的周期波形，随机变量ε服从区间(0,T)上的均匀分布。

证明)(t X 是宽平稳过程。

（注：若)(t f 是周期为T 的周期函数，则有
⎰⎰
=+T
t T t dt t f dt t f 0
)()(0
）
8. 设随机过程)cos()(Φ+Ω⋅=t a t X ，式中a 是常数，ΦΩ,是两个互相独立的随机变量，Ω具有概率密度)()(ωω-=ΩΩf f ，Φ服从在)2,0[π上的均匀分布。

试证：)(t X 的功率谱密度为)()(2ωπωΩ=f a S X 。

9. 一个线性系统当输入为)(t X 时，相应的输出为)(t Y 。

证明若该系统的输入为
)(t X 的希尔伯特变换)(ˆt X ，则相应的输出为)(t Y 的希尔伯特变换)(ˆt Y 。

10.设平稳随机过程)(t X 的希尔伯特变换为)(ˆt X
，它们的自相关函数分别为)(τX R 和)(ˆτX R 。

证明：)()(ˆττX X R R =。

11.已知某系统频率响应为)(2)(ωωU H =，证明当输入信号为)(t X 时，相应的输出是)(t X 的解析信号。

隔离与物种的形成
一、教材分析
《隔离与物种的形成》是必修2《遗传与进化》（人民教育出版社）第七章第二节第二个小节的内容。

现代生物进化理论认为，隔离是物种形成的必要条件。

教材中重点介绍了地理隔离导致生殖隔离从而产生新物种的过程。

教材中通过大量的实例使学生理解这一物种形成的抽象过程。

二、学情分析
上节课学生已经学习了种群，生物进化等知识，为此节课的学习打下了基础，但内容比较抽象，所以讲述这段知识的时候学生往往会出现理解困难思维不清的情况。

三、教学目标
1.知识目标
（1）举例说出物种、隔离的概念
（2）简述隔离在物种形成中的作用
2.技能目标
通过学生自主的观察分析课本当中的图片、文字等资料，培养学生观察、分析、判断的思维能力。

3.情感目标
感悟生物的进化是一个由量变到质变的过程，是一个长期的历史过程。

四、教学重点
1.物种和种群的区别
2.两种隔离
3.隔离在物种形成中的作用
五、教学难点
隔离在物种形成中的作用
六、教学方法
采用多媒体辅助教学模式，提供讨论的素材，组织引导学生讨论，以系列的问题推进教学进程，然后师生共同总结。

七、教具准备
多媒体课件
八、课时计划
1个课时
九、教学过程
十、板书设计
隔离与物种形成
物种的概念
生殖隔离
隔离
地理隔离
不同地雀物种形成过程。