高三数学解析几何习题及答案

数学试卷〔解析几何综合卷〕
时间：90分钟，满分：120分
一、选择题〔共60分，每小题5分，说明：选做题3选2〕
1. 从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程22
221x y m n +=中的m 和n,则能组成落在矩形区域
{(,)|||11,||9}B x y x y =<<且内的椭圆个数为
A.43
B. 72
C. 86
D. 90
2. 若抛物线px y 22
=的焦点与椭圆12
62
2=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
3. 短轴长为5，离心率3
2
=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周
长为〕
A ．3
B ．6
C ．12
D ．24
4. 以双曲线13
2
2
=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是
A ．4)2(22=+-y x
B ．2)2(22=-+y x
C ．2)2(22=+-y x
D ．4)2(22=-+y x
5. 抛物线2
4
1x y =
的焦点坐标是 A ．〔161，0〕B ．〔0，16
1〕C ．〔0，1〕D ．〔1，0〕
6. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且3
4
π
απ
<
<，则双
曲线的离心率的取值X 围是
A ．)2,1(
B ．)2,2(
C ．〔1，2〕
D ．)2,1(
7.〔选作〕设21,F F 分别是双曲线19
2
2
=-y x 的左右焦点．若点P 在双曲线上,且
021=•PF PF =+
A ．10
B ．102
C ．5
D ．52
8. 已知直线42
2
=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足
||||OB OA OB OA -=+，则实数a 的值是
A ．2
B ．－2
C ．6或－6
D ．2或－2
9. 直角坐标平面内，过点P 〔2，1〕且与圆 2
2
4x y +=相切的直线 A ．有两条 B ．有且仅有一条 C ．不存在 D ．不能确定
10. 双曲线24x -2
12
y =1的焦点到渐近线的距离为
A ．23
B ．2
C ．3
D ．1
11. 〔选作〕点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2
y x =于,A B 两点，且
|||PA AB =，则称点P 为“
点〞，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点〞 B ．直线l 上仅有有限个点是“点〞 C ．直线l 上的所有点都不是“
点〞
D ．直线l 上有无穷多个点〔点不是所有的点〕是“点〞
12. 6
A ．22124x y -=
B ．22142x y -=
C ．22146x y -=
D ．22
1410
x y -= 13. 经过圆:C 2
2
(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 A ．30x y -+=B ．30x y --= C ．10x y +-=D ．30x y ++=
二、填空题〔共30分，每小题5分，说明：选作题4选2，注明所选题号。

〕 14. 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是
()0,10，则双曲线的方程是__________.
15. 〔选作〕在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 顶点)0,2()0,2(C B 和-，顶点A 在椭圆
112
162
2=+y x 上，则
A
C
B sin sin sin +＝。

16. 〔选作〕已知F 〔C ，0〕是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点，以坐标原点O 为圆心，A 为半径作
圆P ，过F 垂直于x 轴的直线与圆P 交于A ，B 两点，过点A 作圆P 的切线交x 轴于点M 。

若直线l 过点M
且垂直于x 轴，则直线l 的方程为；若|OA |=|A M|，则椭圆的离心率等于。

17. 过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点.若
3CB BF =，则直线l 的斜率为_________.
18. 已知动直线l 平分圆22
:(2)(1)1C x y -+-=，则直线l 与圆3cos ,
:(3sin x O y θθθ=⎧⎨=⎩
为参数〕的位置关系
是_________.
19. 〔选作〕若经过点P 〔－1，0〕的直线与圆22
4230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是
_____.
20. 已知过点(2,0)P -的双曲线C 与椭圆
22
1259x y +=有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程是 21. 〔选做〕以知F 是双曲线
22
1412
x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点PF PA +的最小值为。

三、解答题〔共30分，每小题15分，说明解答题6选2〕
22. 已知ABC ∆的三边长||,||,||CB AB CA 成等差数列，若点,A B 的坐标分别为(1,0),(1,0)-． 〔Ⅰ〕求顶点C 的轨迹W 的方程；
〔Ⅱ〕若线段CA 的延长线交轨迹W 于点D ，当5
2||2
CB <≤ 时，求线段CD 的垂直平分线l 与x 轴交点的横坐标的取值X 围．
23. 已知点(x, y) 在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程
228x y +=；定点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两
个不同点.
〔1〕求曲线C 的方程； 〔2〕求m 的取值X 围.
24. 已知两点M 〔2，0〕、N 〔-2，0〕，平面上动点P 满足0=⋅+⋅NP MN MP MN 〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程。

〔2〕如果直线)(04R m my x ∈=++与曲线C 交于A 、B 两点，那么在曲线C 上是否存 在点D,使得ABC ∆是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在， 请说明理由
25. 如图，过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点A 和点B 分别为椭
圆的右顶点和上顶点，OP ∥AB ．
〔1〕求椭圆的离心率e ；
〔2〕过右焦点2F 作一条弦QR ，使QR ⊥AB ．若△1F QR 的面积为203
26. 以知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，过点2
(,0)a E c
的直
线与椭圆相交与,A B 两点，且1212//,2F A F B F A F B =。

〔1〕求椭圆的离心率；
〔2〕求直线AB 的斜率；
〔3〕设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点(,)(0)H m n m ≠在∆1AF C 的外接圆上，求n m
的值。

27. 已知，椭圆C 以过点A 〔1，
2
3〕，两个焦点为〔—1，0〕〔1，0〕。

〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

.
一、选择题 1. B
2. D
3. B
4. D
5. C
6. B
7. B
8. D 9.A
10. A
11 A
12. B
13. A
二、填空题
14. 19
2
2
=-y x
15. 2
16. 2
2,2c a x =
17. k =±
18. 相交
19. 1 20.
30x y ±=
21. 9
三、解答题
22. 解：〔Ⅰ〕因为||,||,||CB AB CA 成等差数列，点,A B 的坐标分别为(1,0),(1,0)-
所以||||2||4CB CA AB +==且4||AB >
由椭圆的定义可知点C 的轨迹是以,A B 为焦点长轴为4的椭圆〔去掉长轴的端点〕， 所以2,1,3a c b ===
．
故顶点C 的轨迹W 方程为22
1(0)43
x y y +=≠ 〔Ⅱ〕由题意可知直线AC 的斜率存在，设直线AC 方程为(1)y k x =+．
由22(1),
1,4
3y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得
2222(34)84120k x k x k +++-=，
设,C D 两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
则2122834k x x k -+=+，12122
6(2)34k
y y k x x k +=++=+， 所以线段CD 中点E 的坐标为222
43(
,)3434k k
k k -++,
故CD 垂直平分线l 的方程为2
22
314()3434k k y x k k k -
=-+++， 令0y =，得l 与x 轴交点的横坐标为22
21
3344k x k k
=-=-++，
由52||2
CB ≤<
得115
2(4)22x ≤-<，解得110x -<≤，
又因为222
1122
11123(1)4(1)y x k x x -==++，所以2
131
312()2(1)x k x --'=+． 当110x -<≤时，有2
131312()02(1)x k x --'=<+，此时函数22
12
11234(1)x k x -=+递减，
所以2
3k ≥．所以，2
1113454k -
<-≤-+．
故直线l 与x 轴交点的横坐标的X 围是11
(,]45
--．
23. 解：〔1〕在曲线C 上任取一个动点P(x, y), 则点(x,2y)在圆2
2
8x y +=上.
所以有2
2
(2)8x y +=. 整理得曲线C 的方程为12
82
2=+y x . 〔2〕∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m,又2
1
=OM K , ∴直线l 的方程为m x y +=
2
1
. 由22
1
,2 1.82
y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ , 得 222240x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点， ∴2
2
(2)4(24)0,m m ∆=--> 解得220m m -<<≠且.
∴m 的取值X 围是2002m m -<<<<或.
24. 解：〔1〕
x
y C P x y x y x MP MN MP MN y x P 8,80
)84(240
,,2222=∴==--++-=⋅+⋅→
→→→的方程为的轨迹点化简得）（得由）（设
〔2〕
()()11222222
1222
12
12121222140,,408320864432
0,2
.,8,32
88
,80
8x my C A x y B x y x my y my y x
y y m m y y x x y y m y y t D D t ABD AB DA DB t x ++=++=⎧++=⎨=⎩∴∆=-⨯==+=-=⎛⎫
⎪
⎝⎭
∆∴⋅=⎛⎫- ⎝设直线与曲线交于点、由得次方程有两个不等实根：、，即若存在点满足条件，可设是以为斜边的直角三角形，即()()()()()(
)22222122121221212220
88888,,640,8960644960,6
2,6226y y t t t x y t y t y t y t y t y t y t y t t mt m m m m m m D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+--=--+--= ⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≠≠∴+++=∴-+=∴∆=-⨯≥∴
≥∴≤≥∆∴-
-2
次方程有实根，当D 使得ABD 是以AB 为斜边的直角三角形又m 当，或时，满足条件的点不存在
25. 解：〔1〕∵1(,0)
F c -，∴2
(,
)b P c a
-．∵OP ∥AB ，∴OP
AB k k =，∴2
b b
a c a
=，
解得：b =c ．∴a =
，故e =
〔2〕由〔1〕知椭圆方程可化简为
2
2
2
22x y b
+=．①
易求直线QR QR 的方程为：)y x b =
-．②
由①②消去y 得：2
2
5820x bx b -+=
．∴1285
b
x
x +=，
21225b
x x =．
于是△1F QR 的面积S=1212c y y x x ⋅-=
⋅-=2
5
b ==5b =．
因此椭圆的方程为22
250x y +=，即22
15025x y +=．
26. 解：〔1〕由1F A //2F B 且12FA 2F B =，得2211EF F B 1EF FA 2==，从而2
2a 1a 2c c c c
-=+ 整理，得223a c =
，故离心率3
c e a == 〔2〕解：由〔1〕得22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可写为222236x y c +=
设直线AB 的方程为2a y k x c ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，即(3)y k x c =-. 由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组222(3)236y k x c x y c
=-⎧⎨+=⎩ 消去y 整理，得222222(23)182760k x k cx k c c +-+-=
依题意，2248(13)033
c k k ∆=->-<<，得 而 21221823k c x x k
+=+① 2
2
222132627k c c k x x +-=② 由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以
1232x c x +=③ 联立①③解得2129223k c c x k -=+，222
9223k c c x k +=+ 将12,x x
代入②中，解得3
k =±. 〔3〕解法一：由〔II 〕可知1230,2c x x ==
当3
k =-
时，得)A
，由已知得(0,)C .
线段1AF 的垂直平分线l
的方程为2c y x ⎫=+⎪⎝⎭
直线l 与x 轴的交点 ,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AF C ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 直线2F B
的方程为)y x c =-，于是点H 〔m ，n 〕的坐标满足方程组
222924)c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩， 由0,m ≠
解得53m c n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故5n m =
当3
k =
时，同理可得5n m =-. 解法二：由〔II 〕可知1230,2c x x ==
当3
k =-
时，得)A ,
由已知得(0,)C 由椭圆的对称性可知B ，2F ，C 三点共线，因为点H 〔m ，n 〕在1AF C ∆的外接圆上， 且12//F A F B ，所以四边形1AF CH 为等腰梯形.
由直线2F B
的方程为)y x c =-,知点H
的坐标为()m -. 因为1AH CF =
，所以
222)m a +-=，解得m=c 〔舍〕，或53m c =.
则3n =
，所以5
n m =.
当k =
时，同理可得n m =
27. 解：〔Ⅰ〕由题意，c=1,可设椭圆方程为112
2
22=++b y b x 因为A 在椭圆上，所以22
19114b b +=+，解得23b =，234b =-〔舍去〕 所以椭圆方程为22
143
x y +=。

〔Ⅱ〕设直线AE 方程为：3(1)2
y k x =-+，代入22143x y +=得 2223(34)4(32)4()1202
k x k k x k ++-+--= 设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2
A 在椭圆上，所以 224312
)2
3(4k
k x E +--= 32
E E y kx k =+- 又直线A
F 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
2234()12
2
x 34F k k
+-=+ k kx y F F ++-=2
3 所以直线EF 的斜率()212
F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++===-- 即直线EF 的斜率为定值，其值为
12。