几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)
高中数学外接球解题技巧
高中数学外接球解题技巧高中数学外接球解题技巧在高中数学中，外接球是一道常见的几何题，其目的是求出几何体 (如正方体、长方体等) 的外接球半径或直径，进而求解几何体的体积或表面积。
下面将介绍一些外接球解题技巧。
1. 熟悉常见几何体的外接球公式对于正方体、长方体等常见几何体的外接球，可以使用以下公式计算其半径或直径:正方体外接球半径 = √3/3 ×正方体边长长方体外接球半径 = √3/3 ×长方体边长×√2球体外接球半径 = 圆周率×球体直径其中，√表示开根号运算，√2 表示圆周率乘以 2。
2. 利用对称性求解外接球半径在某些情况下，几何体的外接球半径可以通过对称性得到求解。
例如，对于正方体，可以利用其对称性求解外接球半径。
正方体有六个等效面，每个面都是一个等边三角形，这些等效面都是正方体的外接球球面的一部分。
因此，可以利用对称性计算出正方体的外接球半径，进而求解其他几何体外接球半径。
3. 利用三角函数求解外接球半径对于一些较为复杂的几何体，可以利用三角函数求解外接球半径。
例如，对于正八面体，其外接球是一个正十二面体，可以利用正弦定理求解外接球半径。
具体而言，正八面体的每个面都是一个等腰三角形，相邻面的夹角为 30 度，正十二面体的每个面都是一个等边三角形，相邻面的夹角为 60 度。
因此，可以利用正弦定理计算正十二面体的外接球半径。
拓展:除了上述技巧外，还有一些其他的技巧可以用来求解外接球半径，例如用极坐标方程求解、用向量法求解等。
此外，外接球问题也与物理学中的牛顿第二定律、圆周运动等问题密切相关。
因此，对于外接球问题，需要从不同角度进行思考，灵活运用各种技巧和方法，以达到求解的目的。
几何体外接球常用结论及方法
几何体外接球常用结论及方法几何体的外接球是指能够将该几何体完全包围的球。
在三维空间中，我们常见的几何体有球、正方体、长方体、圆锥体、圆柱体、四面体等。
下面将介绍几何体外接球的常用结论及求解方法：1.球的外接球：球本身就是一个外接球，其半径即为球的半径。
2.正方体的外接球：正方体的外接球是一个球心位于正方体空间对角线中点处的球。
对角线在空间中的长度可以通过勾股定理求得，即对角线长度等于正方体一条边的平方根乘以根号3、因此，外接球的半径等于对角线长度的一半。
3.长方体的外接球：长方体的外接球是一个球心位于长方体空间对角线中点处的球。
同样，对角线长度可以通过勾股定理求得，即对角线长度等于长方体的长、宽、高的平方和的开方。
因此，外接球的半径等于对角线长度的一半。
4.圆锥体的外接球：圆锥体的外接球是一个球心位于圆锥体顶点与底面圆心连线的中点处的球。
外接球的半径等于该连线的长度。
5.圆柱体的外接球：圆柱体的外接球是一个球心位于圆柱体两个底面圆心连线的中点处的球。
外接球的半径等于该连线的长度。
6.四面体的外接球：四面体的外接球是一个球心位于四面体四个顶点的外接圆圆心的球。
外接球的半径等于外接圆的半径。
以上是几何体外接球的常用结论。
接下来我们介绍一种求解几何体外接球半径的常用方法，即通过计算几何体的顶点坐标来求解。
首先，根据几何体的类型和已知信息，确定几何体的顶点坐标。
对于球、正方体、长方体等简单的几何体，可以通过已知的半径、边长等信息得到；对于复杂的几何体，可以通过已知的顶点坐标及其它辅助信息求解。
然后，根据顶点坐标计算几何体的外接球的球心坐标。
球心位于几何体顶点的外接圆的圆心处。
对于球、正方体、长方体等几何体，直接取顶点坐标的平均值作为球心坐标；对于其它几何体，可以通过求解外接圆的圆心坐标来得到球心坐标。
最后，根据球心坐标和几何体顶点坐标，计算几何体的外接球半径。
外接球半径就是几何体顶点与球心之间的距离的最大值。
几何体的外接球
几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。
二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长） （2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。
（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
由图可得：22)2()(a r h r +-=思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。
外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。
从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。
简单几何体的外接球半径求解技巧
简单几何体的外接球半径求解技巧外接球是指能够完全包围一个几何体的球，它的半径对于很多几何题目的求解都是十分重要的。
在解决几何问题时，如果涉及到外接球的半径，我们可以通过几何关系和一些数学工具来求解。
下面，我将介绍一些简单几何体的外接球半径求解技巧。
1.球的外接圆半径：对于平面上的一个圆，它的外接圆半径等于原圆半径的根号2倍。
这是由勾股定理和三角形内接圆半径的关系推导而来的。
当给定一个平面上的圆时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。
2.三角形的外接圆半径：对于一个三角形，它的外接圆半径可以通过三角形的边长来求解。
三角形的外接圆半径等于三角形的任意一条边的一半除以三角形的外接圆周角的正弦值。
这个公式可以通过三角形的面积公式、三角形的边长和正弦定理推导而来。
当给定一个三角形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。
3.四边形的外接圆半径：对于一个四边形，它的外接圆半径可以通过四边形的对角线和角度来求解。
四边形的外接圆半径等于四边形两对对角线的交点之间的距离的一半除以四边形内角的正弦值。
这个公式可以通过四边形的面积公式、四边形的对角线、四边形两对对角线的交点之间的距离和正弦定理推导而来。
当给定一个四边形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。
4.正多边形的外接圆半径：对于一个正n边形，它的外接圆半径可以通过边长来求解。
正n边形的外接圆半径等于边长的一半乘以正n边形的中心角的余弦值的倒数。
这个公式可以通过正多边形的面积公式、正多边形的边长、正n边形的外接圆的半径和正n边形的中心角的三角函数关系推导而来。
当给定一个正n边形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。
需要注意的是，这些公式都是在已知几何体的一些参数的前提下求解外接球半径的。
因此，在实际解题时，首先需要明确已知条件，并应用相关的几何定理和公式来求解。
此外，还可以通过数学软件、计算机模拟等工具来求解几何体的外接球半径。
这些工具一般会通过几何关系和数值计算的方法来求解。
几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)
几何体外接球常用结论及方法（如何求几何体的外接球半径）一、在涉及球的问题中，经常用到结论：（1）在三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，则该三棱锥外接球半径2R =（2倍． （3）直角三角形的三角形外接圆的半径等于斜边的一半．（4）一般的三角形ABC 可由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===（R 为外接圆半径）求得外接圆半径，内切圆的半径通过：12S C r =⋅多边形多边形的周长（r 为内切圆的半径）求得． （5）已知三棱锥P ABC -，PA ⊥面ABC ，若PA a =，ABC △的外接圆半径为r ，则该三棱锥P ABC -的外接球半径为()()22222R r a =+．（6）正方体的外接球、内切球、棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R =、棱长2R a =、面对角线长2R =．（7）在四面体P ABC -，若90APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，则四面体P ABC -的外接球的直径是AC ．（8）对于正棱锥的外接球的半径计算，也可借用几何法求出.如针对正三棱锥V ABC -，可根据平面几何中射影定理22VA VO VH Rh '=⋅=（h 为正三棱锥的高，VA 为侧棱长，即正棱锥侧棱长的平方等于正棱锥的高与外接球直径的乘积．（9）正四面体的高、外接球的半径与内切球的半径之间关系： ①高：a h 36=；②球心把高分成3：1；③内切球半径：a 126；外接球半径：a 46. （10）有内切球的多面体的内切球的半径计算方法：13V S r =全． （11）三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情形：已知三棱锥A BCD -中，面ABD ⊥面BCD ，且ABD ∆，BCD ∆的外接圆半径分别记为12,r r ，公共棱BD a =，则该三棱锥的外接球半径满足：()()()222212222R r r a =+- 证明：分别在ABD ∆，BCD ∆所在的圆面上调整这两个三角形的开关，如图在ABD ∆的外接圆周上调整A 点的位置到G 点，使GD BD ⊥，在BCD ∆的外接圆周上调整其形状，将B 调整到E ，C 调整到F ，使得EDF ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，从而得到新的三棱锥G EDF -，则GD DE ⊥，GD DF ⊥，DE DF ⊥，2214GD r a =-22DE DF r ==，三棱锥G EDF -的外接球与A BCD -的三棱锥外接球是重合的，因此所求得外接球半径满足()()()222212222R r r a =+-． （12）三棱锥给出两个侧面的夹角大小（夹角），及其相应两个侧面的三角形外接圆半径和公共弦长的情形：P ABC -，已知面PAC 与ABC 所形成二面角为()090θθ<≤︒，且已知PAC ∆和ABC ∆的外接圆的半径分别为1r ，2r ，AC a =，则该棱锥P ABC -的外接球半径R 满足： ()()()2222222222212121222cos 22cos 244a a a R R r R r r r r r ⎛⎫⎛⎫+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭证明：如图，取PAC ∆，ABC ∆的外接圆圆心分别为12,O O ，分别过12,O O 作面PAC ，ABC 垂线，两条垂线必交于一点O ，该O 即为该三棱锥外接球球心．再取公共棱AC 的中点为K ，连接1O K ，2O K ，则四点12,,,O O K O 共圆且12O KO θ∠=，12O OO πθ∠=-在直角三角形1AOO 中，根据勾股定理得：2211OO R r =-，同理可得2222OO R r =-222211124a a O K r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭222222224a a O K r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在12O KO ∆和12O OO ∆中，根据12O KO θ∠=，12O OO πθ∠=-，结合余弦定理可得到：12,,,R r r a 之间的等量关系 ()()()2222222222212121222cos 22cos 244a a a R R r R r r r r r ⎛⎫⎛⎫+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （13）计算球的表面积或体积，必须求出球的半径，一般方法有（核心：补体定心）①根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心，然后求出半径；（当涉及的多面体较多垂直时，考虑此法，充分利用直角三角形斜边的中点，找出小圆圆心或球心位置，进而求出球的半径.）②考虑补体法，求出多面体的外接球的直径.当三棱锥S ABC -中，三对对棱分别相等时，可构造一个长方体；当三棱锥S ABC -有三条（可不相邻）两两垂直的线段时，也可构造一个长方体，正四面体可将其补成正方体，有侧棱垂直底面棱锥可构造直棱柱．③有时可借用球性质（球心与小圆圆心相连垂直小圆所在的平面），根据几何关系求出球半径.。
谈谈求解几何体外接球半径问题的两种措施
备考指南若一个几何体的所有顶点都在同一个球面上，则称这个球是这个几何体的外接球，这个球的半径为几何体的外接球的半径.求几何体外接球的半径问题侧重于考查简单几何体的特征以及球的定义，对同学们的空间想象和观察能力有较高的要求.接下来，结合几个例题，详细介绍一下求几何体外接球半径的两种措施.一、利用转化法在求几何体外接球的半径时，我们经常要用到转化法.首先要仔细观察几何体的特征，以确定球心的位置；然后过球心和几何体的一个顶点作几何体底面的垂线；再根据几何体的特征添加辅助线，将问题转化为平面图形中的线段问题，利用平面几何中的勾股定理、正余弦定理、相似三角形的性质、平行四边形的性质、圆的定义等来求得各条线段的长，进而求得球的半径.例1.已知一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面的周长为3，试求这个球的半径.解：设该六棱柱的高为h ,底面边长为x ，由于六棱柱的底面是正六边形，且周长为3，则6x =3，①因为该六棱柱的体积为98，所以98=62h ，②由①②得：x =12，h =3，由正六边形的性质可得正六棱柱的底面圆的半径r =12,由勾股定理可得球心到底面的距离d =，由勾股定理得外接球的半径R =r 2+d 2=1.解答本题，需运用转化法.将空间几何问题转化为平面几何问题，利用正六边形的性质、勾股定理即可求得六棱柱外接球的半径.例2.正四棱锥P -ABCD 底面的边长和各条侧棱长都为2，点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，求该球的半径.解：设正四棱锥的底面ABCD 的中心为O 1，外接球的球心为O ,如图所示.由正四棱锥的性质可得：OO 1⊥平面ABCD ，PO 1⊥平面ABCD ，所以球心O 必在PO 1所在的直线上，那么∆APC 的外接圆就是正四棱锥外接球的一个轴截面，所以正四棱锥外接球的半径就是∆APC 的外接圆的半径，在∆APC 中，PA =PC =2,AC =2，由勾股定理可得PA 2+PC 2=AC 2,则∆APC 是以AC 为斜边的直角三角形，所以∆APC 的外接圆的半径为AC 2=1，所以外接球的半径是1.解答本题，需先根据正四棱锥和球的性质确定球心的位置；然后添加辅助线，构造∆APC 的外接圆、直角三角形∆APC .这样便可利用转化法，将问题转化为平面几何问题，根据圆的性质以及勾股定理求得外接球的半径.二、补形有时我们很难根据题意和图形确定几何体外接球的球心的位置，就无法快速求出外接球的半径.此时，可将球内几何体进行适当的分割、填补，使其成为规则的简单几何体，如正三棱柱、正四棱锥、正三棱台等，这样就可以根据简单几何体的性质，快速确定外接球球心的位置，进而求得几何体外接球的半径.例3.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，求这个三棱锥的外接球的半径.解：由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，所以可以将这个三棱锥补成一个边长为3的正方体，那么该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，此时长方体的体对角线长就是该三棱锥外接球的直径.设三棱锥的外接球的半径为R ，则(2R )2=(3)2+(3)2+(3)2=9，解得R 2=94，故三棱锥的外接球的半径R =32.一般地，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长度分别为a 、b 、c ，就可以将这个三棱锥补成棱长分别为a 、b 、c 的长方体；若四个面均为直角三角形，则可以将其补为长方体；若棱锥的一条侧棱垂直于底面，则可以将其补为直棱柱.虽然求几何体外接球的半径较为复杂，但是只要仔细研究几何体的结构特征，添加合适的辅助线，进行合理的割补，即可使复杂的问题简单化，快速求得问题的答案.（作者单位：江苏省沭阳如东中学）李金山56。
简单几何体的外接球和内切球的半径的求法
简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ，则其外接球半径为 ，内切球半径为 ，棱切球半径为 球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．解：该球是正方体的外接球，球心到正方体各顶点的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ，a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。
例：将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积。
解：这个最大的球体是正方体的内切球，球心到正方体各个面的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ，则2R =6，得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
内切球的球心到多面体各面的距离均相等。
⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a ，则a3a2a右图，红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例：有一个球与长方体的面相切，这个球的最大直径是多少？长方体的长、宽、高中的最小者例：一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
空间几何体的外接球
空间几何体的外接球本文介绍了几种利用几何体的特殊性质来求解外接球半径的方法。
其中第一种方法是针对长方体模型一的，只需要找到三条两两垂直的线段，就可以直接使用公式2R=a+b+c或2R=a²+b²+c²来求解半径R。
接着，文章给出了几个例题，让读者更好地理解和应用这种方法。
第二种方法是针对长方体模型二的，题设为一条直线垂直于一个平面，解题步骤包括将三角形画在小圆面上，连接直线与圆心，最后利用勾股定理求解外接球半径R。
同样，文章给出了几个例题供读者练。
最后，文章介绍了对棱相等模型的长方体模型三，这种方法需要求出补形为长方体的几何体的体积，并将其除以4π/3，就可以得到外接球的半径R。
文章提供了一个例题，让读者更好地掌握这种方法。
总的来说，本文通过多种方法介绍了如何求解几何体的外接球半径，对于需要进行相关计算的读者来说，是一份不错的参考资料。
三棱锥（即四面体）中已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）的方法如下：第一步，画出一个长方体，并标出三组互为异面直线的对棱。
第二步，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列出方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2然后，根据墙角模型，2R=a+b+c=√(x^2+y^2+z^2)，求出外接球半径R。
补充：V(A-BCD)=abc/3，V(ABCD)=abc/3×4=4abc/3例如，正四面体的外接球半径也可以用此法求解。
题例3：1.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。
2.如图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。
3.正四面体的各条棱长都为2，则该正四面体外接球的体积为。
类型二：圆锥模型题设：如图6、7、8，P的射影是△ABC的外心，当且仅当三棱锥P-ABC的三条侧棱相等，或者三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底面上，且顶点P点也是圆锥的顶点。
几何体外接球和内接球半径几种求法教程文件
几何体外接球和内接球半径几种求法教程文件几何体是指具有三维形状的图形，而几何体的外接球和内接球是指可以完全包围几何体的最小球体和最大球体。
下面将介绍几种求解几何体外接球和内接球半径的方法。
一、求解几何体外接球半径的方法：1.立体几何体求解：对于简单的几何体，我们可以采用直观的方法来求解其外接球半径。
例如，对于正方体，我们可以通过连接正方体的对角线来构成直角三角形，并利用勾股定理来求解外接球半径。
同理，对于圆柱体、圆锥体等简单几何体，我们可以根据其特点来求解外接球半径。
2.公式求解：对于一些特定的几何体，我们可以利用已知的公式来求解外接球半径。
例如，对于正六面体，其外接球半径等于正六面体边长的一半。
对于正四面体，其外接球半径等于等边四面体边长的一半乘以根号23.数学模型求解：对于复杂的几何体或无法直接求解的几何体，我们可以利用数学模型来进行求解。
例如，对于一个任意形状的几何体，可以通过将其进行离散化处理，将其划分为许多小球体，然后求取这些小球体的最远距离得到外接球半径。
二、求解几何体内接球半径的方法：1.几何体特性求解：对于一些简单的几何体，我们可以利用其特性来求解内接球半径。
例如，对于正八面体，其内接球半径等于其顶点到底面中心的距离。
2.近似值求解：对于一些难以直接求解的几何体，我们可以利用数值方法来进行近似求解。
例如，可以通过不断迭代计算来逼近内接球半径的值，直至满足一定的精度要求。
3.数学模型求解：对于一些复杂的几何体，我们可以利用数学建模的方法来求解内接球半径。
例如，可以将几何体进行离散化处理，划分为许多小球体，然后求解这些小球体的最近距离得到内接球半径。
总结起来，求解几何体外接球和内接球半径的方法有很多种，可以根据具体几何体的形状和特性选择合适的方法。
在实际应用中，根据几何体的特点来选择合适的求解方法，可以更加高效地求解几何体外接球和内接球半径。
几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)
几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)几何体的外接球是一个常见的问题，其中有一些常用的结论和方法：1.对于三棱锥P-ABC，如果PA垂直于PB和PC，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=PA²+PB²+PC²求得。
2.对于等边三角形，其外接圆的半径等于连长的1/3倍。
3.直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。
4.对于一般的三角形ABC，可以用正弦定理求得外接圆半径R，而内切圆的半径r可以用海龙公式S=Cr求得。
5.如果已知三棱锥P-ABC中PA=a，且△ABC的外接圆半径为r，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=2r+a²求得。
6.正方体的外接球、内切球和棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R=3a、棱长2R=a和面对角线长2R=2√2a。
7.对于四面体P-ABC，如果∠APC=90°且∠ABC=90°，则该四面体的外接球直径为AC。
8.对于正三棱锥V-ABC，可以用射影定理求得其外接球半径，即VA²=h(2R-h)。
9.对于正四面体，其高h=2/3√2a，外接球半径和内切球半径均为a。
10.对于有内切球的多面体，其内切球半径可以用公式V=Sr/3求得。
11.如果三棱锥A-BCD中的面ABD和面BCD互相垂直且其外接圆半径分别为r1和r2，公共棱BD的长度为a，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=2r1+2r2-a²/2√(r1²+r2²)求得。
的公共弦AD和BC的垂线，分别交于点E和F。
连接OE和OF，则OE=OF=R，且OE和OF分别是三棱锥P-ABC 和A-BCD的外接球的直径。
由于三棱锥P-ABC和A-BCD的外接球是重合的，因此它们的直径相等，即2R=2r1+2r2-a。
对于三棱锥P-ABC，已知面PAC与ABC所形成的二面角为θ（θ<θ≤90°），且已知ΔPAC和ΔABC的外接圆的半径分别为r1，r2，AC=a，则该棱锥的外接球半径R满足：left(2R+2\cos\theta\right)\left(R-r_1\right)\left(R-r_2\right)=2\left(r_1+r_2\right)^2-4\left(r_1-r_2\right)^2\cos^2\frac{\theta}{2}$这个公式可以通过对三棱锥P-ABC和A-BCD的共面直角投影，推导出它们的公共弦长等于$\sqrt{a^2+\left(r_1+r_2\right)^2-2r_1r_2\cos\theta}$。
几何体外接球常用结论及方法
几何体外接球常用结论及方法在讨论几何体外接球的常用结论和方法之前，我们需要先了解一些几何体的基本概念。
1.点：没有尺寸的几何体，只有位置。
2.线段：两个端点间的直线部分，有长度。
3.多边形：由多个线段边界的封闭几何体，如三角形、四边形、五边形等。
4.圆：由一个固定点到平面内所有点的距离都相等的几何体。
5.球体：由一个固定点到空间内所有点的距离都相等的几何体。
现在我们来讨论一些几何体外接球的常用结论和方法。
1.三角形外接球的性质：-三角形外接球的圆心是三角形三边中垂直平分线的交点。
-三角形外接球的半径等于三角形三边的中垂线之间的距离的一半。
2.四边形外接球的性质：-平面四边形只有当它是一个正方形或是一个菱形时，才存在外接球。
-正方形的外接球的圆心是正方形对角线的交点。
-菱形的外接球的圆心是菱形的对角线的交点。
3.圆柱体外接球的性质：-圆柱体的外接球与它的底面圆和侧面矩形的外接圆相切。
-圆柱体外接球的半径等于底面圆的半径加上圆柱体的高。
4.立方体外接球的性质：-立方体外接球的半径等于立方体对角线的一半。
以上是一些常见几何体外接球的性质和方法，但不限于这些。
根据具体的几何体形状和条件，还可以使用其他方法来确定其外接球的半径和圆心。
确定几何体外接球的常用方法包括：1.基于几何体的性质和定义，使用相关定理和公式来计算外接球的半径和圆心。
2.使用向量和解析几何的方法，通过计算几何体的边界点的坐标来确定外接球的参数。
3.使用计算机辅助设计和计算几何软件来自动化计算几何体外接球的参数。
需要注意的是，有些几何体可能不存在外接球，如非正方形的平面四边形和非菱形的平面四边形等。
此外，有时外接球可能无法唯一确定，需要根据具体的条件和定义来确定合适的参数。
综上所述，讨论几何体外接球的常用结论和方法需要基于几何体的性质和定义，使用定理和公式来计算外接球的参数，或使用向量和解析几何的方法来确定其位置和尺寸。
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)
高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)球的性质回顾：球心O和小圆O'的连线OO'垂直于圆O'所在平面。
外接球半径的求法是利用直角三角形的勾股定理，在Rt△OAO'中，OA^2=OO'^2+O'A^2.常见平面几何图形的外接圆半径（r）的求法：1.三角形：1) 等边三角形：内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解：r=a*(2/3)^(1/2) （其中a为等边三角形的边长）。
2) 直角三角形：外接圆圆心位于斜边的中点处，r=斜边/2.3) 等腰三角形：外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。
r=a/(2sin(A/2)) （其中A为顶角）。
4) 非特殊三角形：可使用正弦定理求解，XXX)。
2.四边形：常见具有外接圆的四边形有正方形、矩形、等腰梯形。
其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形。
几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，即球心落在过底面外心的垂线上。
练：2.半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC，则三棱锥的高为3.1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=4，则此三棱柱外接球的表面积为8π。
本文介绍了三棱锥的外接球的求解方法，其中包括侧棱垂直底面的三棱锥、正三棱锥和侧面垂直于底面的三棱锥三种类型。
对于侧棱垂直底面的三棱锥，可以采用补形法或通过确定底面三角形的外心来求解外接球的半径。
补形法是指将该几何体转化为原三棱柱的外接球，从而求出外接球的半径。
而通过确定底面三角形的外心，则可以通过勾股定理求解外接球的半径。
对于正三棱锥，可以通过底面正三角形的边长来求解内切球的半径，然后再利用勾股定理求解外接球的半径。
对于侧面垂直于底面的三棱锥，则需要确定△ABC和△PAB的外心分别为O’和O’’，并通过勾股定理求解OO’的长度，从而求解外接球的半径。
几何体外接球和内接球半径几种求法课件
目录
CONTENTS
• 几何体外接球和内接球的基本概念 • 几何体外接球的求法 • 几何体内接球的求法 • 几何体外接球和内接球的典型例题解析 • 几何体外接球和内接球的注意事项
01
CHAPTER
几何体外接球和内接球的基 本概念
定义与性质
外接球
对于一个多面体，外接球是指包 含该多面体的所有顶点的球体。
单位要统一
在计算过程中，所有的长度单位必须 统一，否则会导致计算错误。
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题， 以避免舍入误差导致的结果偏差。可 以使用高精度的数学库或工具进行计 算，以确保结果的准确性。
THANKS
谢谢
详细描述
首先，设长方体的三个边分别为a、b、c，然后利用勾股定理 计算其对角线的长度。这个对角线的长度就是外接球的直径 ，因此，通过除以2即可得到外接球的半径。
利用向量求外接球半径
总结词
利用向量求外接球半径是一种基于向量的方法。通过向量的运算和性质，结合几 何体的特征，可以求出外接球的半径。
详细描述
几何体外接球和内接球的半径公式
对于正四面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{6}}{4}a$，其中 $a$ 是正四面体的边长；内接球
的半径 $r = frac{sqrt{6}}{12}a$。
对于正六面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$，其中 $a$ 是正六面体的边长；内接球 的半径 $r = frac{a}{2sqrt{3}}$
05
CHAPTER
几何体外接球和内接球的注 意事项
确定几何体的外心和内心
确定外心
外心是外接圆的圆心，也是三条垂直平分线 的交点。对于三角形，外心是三条垂直平分 线的交点；对于矩形，外心是两条对角线中 点连线的交点；对于正四面体，外心是三条 高线与底面交点的连线的交点。
高中数学常见题型解法归纳 几何体外接球的半径的求法
高中数学常见题型解法归纳几何体外接球的半径的求法高中数学常见题型解法归纳：几何体外接球的半径求法知识要点】求几何体外接球的半径通常有两种方法：模型法和解三角形法。
模型法是将几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合。
这样，几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球半径r=1/2√(2a²+b²+c²)。
如果已知中有多个垂直关系，可以考虑使用此方法。
解三角形法是找到球心O和截面圆的圆心O'，然后找到OO'、球的半径OA、截面圆的半径O'A确定的Rt△OO'A，再解Rt△OO'A求出球的半径OA。
方法讲评】方法一：模型法解题情景：已知中有多个垂直关系，可以考虑使用此方法。
解题步骤：将几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，然后使用长方体的外接球半径公式r=1/2√(2a²+b²+c²)求解几何体的外接球半径。
例1】已知四面体PA、PB、PC两两垂直，则四面体外接球的表面积为__．点评：本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型，但是通过推理分析得到了PA、PB、PC两两垂直，所以可以采用模型法来求几何体外接球的半径。
使用模型法解答时，一定要保证几何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这样才能保证几何体的外接球和长方体的外接球是同一个外接球，才能使用长方体的外接球半径公式r=1/2√(2a²+b²+c²)，如果有一个点不是长方体的顶点，就不行。
反馈检测1】已知棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为__。
方法二：解三角形法解题情景：几何体不能放到长方体模型中。
解题步骤：找到球心O和截面圆的圆心O'，然后找到OO'、球的半径OA、截面圆的半径O'A确定的Rt△OO'A，再解Rt△OO'A求出球的半径OA。
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
高三微专题：外接球一、由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）．二、球体公式1.球表面积S=4π2R 2.球体积公式V=334Rπ三、球体几个结论：（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直四、外接球几个常见模型 1.长方体（正方体）模型O例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）答案：14练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 答案：12π2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是____. 【解析】正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，，，，在中，，由勾股定理得．所以，球的表面积.练习2．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解析：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==R ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V 3. 侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）(1) 侧棱与底面垂直：球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）半径公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)(2) 直棱柱(圆柱)球心位置：上下底面外心连线中点处公式公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例3.在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解析：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴310,)2(2222=+=R SA r R ，340π=S ，选D 练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
求外接球的半径的八种模型
求外接球的半径的八种模型介绍在几何学中，求解外接球的半径是一个常见的问题。
外接球是指完全包含一个立体形状的球，这个球的半径与这个形状的属性有关。
在这篇文章中，我们将讨论求解外接球半径的八种模型。
模型1：立方体立方体是指所有边长相等的长方体。
通过立方体的对角线长度可以求得外接球的半径。
半径 R = d / 2，其中 d 为立方体的对角线长度。
这公式也适用于正四面体。
模型2：正六面体正六面体的外接球半径 R 可以通过下列公式计算：R = √3s/2，其中 s 为正六面体边长。
这个公式也同样适用于正八面体和正十二面体。
模型3：正方体十二面体正方体十二面体可以看作是一个立方体的扩展形态。
可以使用下列公式计算外接球的半径：R = s√2/2，其中 s 为正方体十二面体的边长。
同样的公式也可以用于正八面体。
模型4：跨踞立方体所谓跨踞立方体是指一个立方体围绕着对角线进行了旋转。
这个形状的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √3s，其中 s 为跨踞立方体的边长。
模型5：圆锥圆锥的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √(h² + r²)，其中 h 是圆锥的高度，r 是底面的半径。
这个公式也适用于棱锥。
模型6：圆柱圆柱的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √(h² + r²)，其中 h 为圆柱的高度，r 是底面的半径。
这个公式同样适用于棱柱。
模型7：三棱锥三棱锥是一个底面为三角形，侧面为三角形和三条棱的多面体。
外接球半径可以使用下列公式计算：R = abc/√(a＋b＋c)×(b＋c−a)×(c＋a−b)×(a＋b−c)其中 a、b、c 分别为三角形各边的边长。
模型8：平面多边形平面多边形的外接球半径可以使用下列公式计算：R = abc / 4 K，其中 a、b、c 分别为多边形的各边的边长，K 为多边形的面积。
总结通过这八种模型，我们可以求解出不同形状下的外接球半径。
高一外接球知识点梳理数学
高一外接球知识点梳理数学别看外接球只是一条短短的线段，但其实它背后蕴含着很多数学知识。
在高一数学课堂上，我们学习了很多与外接球相关的概念和定理，下面就来进行一次外接球知识点的梳理。
一、外接球的定义外接球是指一个几何体与一个多面体的所有顶点都在球的表面上的球。
也就是说，对于一个几何体，如果它的所有顶点都在一个球的表面上，那么这个球就是这个几何体的外接球。
二、外接球半径的计算方法对于一个几何体，如果我们知道了它的外接球半径，那么我们就可以进一步计算它的体积、表面积等信息。
下面分别介绍几个常见几何体外接球半径的计算方法。
1. 正方体的外接球半径正方体是一个非常常见的几何体，它的六个顶点都在一个球的表面上。
假设正方体的边长为a，则根据勾股定理可知，正方体的对角线长为a√3。
而外接球的直径就等于正方体的对角线长，所以正方体的外接球半径r等于a√3/2。
2. 正六面体的外接球半径正六面体是另一个常见的几何体，它的八个顶点也都在一个球的表面上。
假设正六面体的边长为a，则正六面体的外接球直径等于a√2。
所以正六面体的外接球半径r等于a√2/2。
3. 正八面体的外接球半径正八面体的外接球半径是一个比较复杂的计算过程，但我们可以通过数学推导得到它的表达式。
假设正八面体的边长为a，则正八面体的外接球半径r等于a/√2。
三、外接球定理在几何学中，还有一个重要的定理与外接球相关，那就是外接球定理。
外接球定理表明，如果一个四面体的四个顶点都在一个球的表面上，那么这个球就是这个四面体的外接球。
四、外接球定理的推论外接球定理不仅仅是一个独立的定理，还可以引出一些重要的推论。
1. 三角形的外接圆根据外接球定理，我们可以知道，如果一个三角形的三个顶点都在一个圆的周上，那么这个圆就是这个三角形的外接圆。
而外接圆的半径等于三角形边长的一半。
2. 正六边形的外接圆同样地，我们可以推论出，一个正六边形的六个顶点都在一个圆的周上，那么这个圆就是这个正六边形的外接圆。
简单几何体的外接球半径求解技巧
（1）若底面为直角三角形，r
1 2
斜边;
（2）若底面为等边三角形，r
3 3
a
;
（3）若底面是任意三角形,根据
a sin A
b sin B
c sin C
2r。
【变式 2】（2018•广州模拟）已知在正三棱锥 P﹣ABC 中
侧棱长为 2，底面边长为 3，则该正三棱锥的外接球
的表面积为
．
P
C
A
O1
B O
a
b
cc
b
.
a
a
c
b
c
b
a
.
方法一：将几何体补成正方体或长方体。
（2）三条侧棱（或三个侧面）两两垂直时，若棱长都相 等则补成正方体，若棱长不都相等则补成长方体。
C p
A
C
P
B
.
A
B
【变式 1】（2017•龙岩一模）已知三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点 均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，PA⊥平面 ABC，
方法二：确定球心位置，构造直角三角形。
2、球心在多面体的高上时，底面外接圆半径为 r ，体 高为h ，则R r 2 (h R)2 .
P
P
D
H A
C B
R
O D h-R
R C
r
H
A
B
【思考】如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，
PA=PD=AD=2，AB＝4，则四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的表
5
ABCD 的外接球的表面积．
简单几何体的外接球半径 解题技巧
一.球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面，截线是圆。 大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球
第7讲外接球与内切球知识与方法1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法.（1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算外接球半径.（2）构建平面截球模型：寻找截面圆心以及球心到截面的距离，通过222R r d =+计算外接球半径.2.设球的半径为R ，有5个常用计算公式.（1）正方体外接球半径：R =，其中a 为正方体棱长，如图1.（2）长方体外接球半径：R =a ，b ，c 分别为长方体的长、宽、高，如图2.（3）正四面体外接球半径，4R a =，其中a 为正四面体棱长，如图3.（4）直三棱柱外接球半径：R =，其中r 为底面外接圆半径，h 为直三棱柱的高，如图4.（5）圆柱外接球半径：R =，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的母线长，如图5.提醒：①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式，需结合图形将其记住，还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理；②一些不能通过简单补形求解的模型，如球内接正棱锥，球内接圆锥等，可以通过分析几何关系，转化为平面截球模型计算外接球的半径.题组一1.（★★）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______.【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，故a =3322R a ==，其体积34932V R ππ==.【答案】92π2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球【提炼】正方体棱长a 与其外接球半径R 之间的关系为32R =.2.（★★★）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60DAB ∠=︒，E 为AB 中点，将ADE 与BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使点A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（）【解析】由题意，可将平面图形等腰梯形ABCD 补全为正三角形FAB ，如图，那么在完成题干所描述的翻折后，还可将CDF △沿着CD 翻折，使得点F 也与点P 重合，显然此时得到的是一个棱长为1的正四面体，即三棱锥P DCE -是棱长为1的正四面体，其外接球半径R =343V R π==.【答案】C【提炼】正四面体的棱长为a ，则其外接球半径为64a ，内切球半径为612a ，证明方法可参考附赠的小册子《高考数学常用二级结论》.3.（★★）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.【解析】长方体的外接球半径R =，其中a ，b ，c 分别为长、宽、高，故R =O 的表面积2414S R ππ==.【答案】14π【提炼】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其外接球半径2R =4.（★★）已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.323π B.4π C.2π D.43π【解析】首先得知道什么是正四棱柱，它指的是底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱，也是一种特殊的长方体，高考这种名词都是直接给，必须清楚其结构特征.外接球半径1R ==，故该球的体积34433V R ππ==.【答案】D5.（★★）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】设正四棱柱底面边长为a ，则2416a =，即2a =，其外接球的半径2242R ==，故所求球的表面积2424S R ππ==.【答案】C 6.（★★★）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______cm 2.【解析】设正四棱柱的高为h cm ，则1112=，故h =，即该棱柱的表面积(2S =+cm 2.【答案】2+题组二7.（★★★）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）B. C.132D.【解析】这道题可能不少同学会有这么一个困惑，就是题干没给出三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，是不是题干有问题呢？当然不是，事实上，斜棱柱是没有外接球的，所以题干的说法本身就隐含了三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱这一条件.本题的直三棱柱可通过补形为长方体来计算外接球半径，如图，三棱柱111ABC A B C -与长方体有相同的外接球，该球的半径为34121322R ==.【答案】C 8.（★★★）3______.【解析】本模型一般称为墙角三棱锥，可补形为正方体（或长方体）来处理．如图，将三棱锥B ACD -补全为正方体，并放到了球体之中，可以看到二者有相同的外接球，正方体棱332R =，故外接球表面积249S R ππ==.【答案】9π【提炼】三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角三棱锥）可补形为长方体或正方体来计算外接球半径.题组三9.（★★★）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π【解析】如图，设G 为ABC △的中心，ABC △外接圆半径233323r AG ==⨯=，1122a OG AA ==，球的半径22712R r OG a =+，故球的表面积22743S R a ππ==.【答案】B【提炼】①设直三棱柱底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②关键是计算底面三角形外接圆半径，对于直角三角形，外接圆半径等于斜边长的一半，若是倍，等于高的23倍；若是普通的三角形，则可利用正弦定理计算外接圆半径.10.（★★★）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA -==，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______.【解析】如图，在ABC △中，由余弦定理得222122222122BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得BC =.由正弦定理得42sin BC r BAC ==∠，解得2r =，故1112OG AA ==，所以球的半径R ==，故球的表面积2420S R ππ==.【答案】20π题组四11.（★★★）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A. B. C. D.【解析】如图，先计算ABC △外接圆的半径r ，设ABC △边长为a .则2122a ⋅⋅=，解得6a =，所以62sin 60r =︒，解得r =，所以2OG ==，当D 点位于GO 延长线上时，三棱锥D ABC -的高最大，底面积不变，此时体积最大，最大值为()1243V =⨯+=【答案】B【提炼】本题三棱锥D ABC -的体积最大时，D ABC -是正三棱锥，正三棱锥外接球的计算问题，解题的关键是构建AOG △，在这个三角形中，满足222OA AG OG =+，即222R r d =+，其实这就是前一小节的平面截球模型，只要是正棱锥，都可以采用这个办法处理.12.（★★★）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A.814πB.16πC.9πD.274π【解析】如图，由题意，得14PO =，1AO =设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，故14OO R =-.在1OO A △中，22211AO OO AO +=，即()2224R R +-=，解得94R =，故该球的表面积28144S R ππ==.【答案】A【提炼】正四棱锥外接球的有关计算，关键是构建1AOO ，在这个三角形中，利用22211OA AO OO =+建立等量关系，其实就是平面截球模型的处理方法.13.（★★★）正四棱锥S ABCD -点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_____.【解析】解法1：如图1，设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO =.设正四棱锥外接球球心为O ，半径为R ，则OA R =，11OO R =-，在1AOO 中，22211OO AO AO +=，故()2211R R -+=，解得1R =，即外接球体积为34433V R ππ==.解法2：设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO ==，因为11SO AO =，所以1O 即为球心，球的半径为1，体积34433V R ππ==，本题实际的图形是图2.【答案】43π14.（2021·全国甲卷·理·11·★★★）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC BC ⊥，1AC BC ==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212B.312C.24D.34【解析】如图，由题意，2AB =，设D 为ABC △的外心，则1222AD AB ==，2222OD OA AD =-=，所以1112211332212O ABC ABC V S OD -=⋅=⨯⨯⨯⨯ .【答案】A题组五15.（★★）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.34πC.2π D.4π【解析】如图，由题意得1OA =，112OO =，故132O A =，圆柱体积233124V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】B【提炼】圆柱外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的高.16.（★★★★）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2224h r R rh +=≥，当且仅当2h r =时等号成立，故圆柱的侧面积2S rh π=的最大值为22R π，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422R R R πππ-=.【答案】22R π题组六17.（★★）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. B.1:3C.1:D.1:9【解析】设正方体的棱长为a ，则其内切球、外接球的半径分别为12aR =，2R =，故正方体的内切球与其外接球的体积之比3113224343R V V R ππ==.【答案】C【提炼】设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径2a R =.18.（★★）如图，圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是______.【解析】如图，设球的半径为R ，则213223423V R R V R ππ⋅==.【答案】3219.（2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______.【解析】如图，该圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为R ，则OB OG R ==，1AB AG ==.由题意得PG =OP R =-，2PB PA AB =-=.在POB 中，222OB PB OP =+，故()224R R +=，解得22R =，即球的体积3433V R π==.【答案】2320.（★★★★）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）A.4π B.92π C.6π D.323π【解析】要解决这道题，得先搞清楚一件事，那就是最大的球到底是和棱柱的侧面相切，还是与底面相切？如图，可求得底面直角三角形的斜边10AC =，将底面Rt ABC △单独拿出来分析其内切圆半径r ，图中BP NQ r ==，故8PC r =-，即8CM PC r ==-，PN BQ r ==，故6AQ r =-，即6AM AQ r ==-，所以8614210AC CM AM r r r =+=-+-=-=，解得2r =，由123r AA >=知最大球的半径为32，体积3439322V ππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.【答案】B题组七21.（★★★）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC-体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】设球O的半径为R，当点C位于如图所示位置（OC⊥平面AOB）时，三棱锥O ABC-的体积最大，最大值为321136326RR R⨯⨯==，即6R=，故球O的表面积24144S Rππ==.【答案】C22.（★★★）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为________.【解析】如图，由题意知，SAC△，SBC△都是以SC为斜边的等腰直角三角形，设球O的半径为R，故31129323S ABCRV R R R-=⋅⋅⋅⋅==，即3R=，故球O的表面积2436S Rππ==.【答案】36π第8讲经典模型之对棱相等知识与方法四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.如图，设长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则222222222a b t b c n a c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得2222222m n t a b c ++++=，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R ++=，所以R =.典型例题【例题】四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，5AD BC ==，则该四面体外接球的体积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型3464233R V R π⇒===.【答案】3变式1三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥外接球表面积为（）C.432π D.43π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型24432R S R ππ⇒====.【答案】D 变式2A 、B 、C 、D四点在半径为2的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】由题意，四面体ABCD 是对棱相等模型，设AB CD x ==，则R x ==ABCD补全为如图所示的长方体，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222222413425a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：453a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体ABCD 的体积1134543452032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.【答案】20强化训练1.（★★★）四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.25πB.45πC.50πD.100π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2524502R S R ππ====.【答案】C2.（★★★）半径为1的球面上有不共面的A 、B 、C 、D 四点，且AB CD x ==，BC AD y ==，AC BD z ==，则222x y z ++=（）A.16B.8C.4D.2【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，22218R x y z =⇒++=【答案】B3.（★★★）四面体ABCD 中，5AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==接球的半径为（）A.2B. C.132 D.13【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，132R =【答案】C4.（★★★）在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ====接球的表面积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2144R S R ππ==⇒==【答案】4π5.（★★★★）在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，PB AC =，PC AB =，且4PB PC ⋅=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为________.【解析】设PB AC x ==，PC AB y ==，则4xy =，所以三棱锥P ABC -的外接球半径62R =≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为246ππ⨯=⎝⎭.【答案】6π6.（★★★★）四面体ABCD 的顶点都在球O 的表面上，4AB BC CD DA ====，AC BD ==，E 为AC 中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值之比为（）A.5:42D.5:2【解析】四面体ABCD是对棱相等模型，所以R =，将四面体ABCD 放入长方体如图，截面面积的最大值为215S R ππ==，当截面面积最小时，截面与OE 垂直，其中O 为球心，设FA a =，FB b =，FC c =，则222222216182216a a b a c b OE b r c b c =⎧⎧+=⎪⎪+=⇒=⇒=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，即截面面积的最小值为222S r ππ==，故12:5:2S S =.【答案】D。
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几何体外接球常用结论及方法（如何求几何体的外接球半径）
一、在涉及球的问题中，经常用到结论：
（1）在三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，则该三棱锥的外接球的半径
2R =
（2倍． （3）直角三角形的三角形外接圆的半径等于斜边的一半．
（4）一般的三角形ABC 可由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C
===（R 为外接圆半径）求得外接圆半径，内切圆的半径通过：12
S C r =⋅多边形多边形的周长（r 为内切圆的半径）求得． （5）已知三棱锥P ABC -，PA ⊥面ABC ，若PA a =，ABC △的外接圆半径为r ，则该三棱锥
P ABC -的外接球半径为()()22222R r a =+．
（6）正方体的外接球、内切球、棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R =、棱长2R a =、
面对角线长2R =．
（7）在四面体P ABC -，若90APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，则四面体P ABC -的外接球的直径是
AC ．
（8）对于正棱锥的外接球的半径计算，也可借用几何法求出.如针对正三棱锥V ABC -，可根据平
面几何中的射影定理22VA VO VH Rh '=⋅=（h 为正三棱锥的高，VA 为侧棱长，即正棱锥侧棱长的平方等于正棱锥的高与外接球直径的乘积．
（9）正四面体的高、外接球的半径与内切球的半径之间的关系： ①高：a h 36=；②球心把高分成3：1；③内切球半径：a 126；外接球半径：a 4
6. （10）有内切球的多面体的内切球的半径计算方法：13V S r =全
． （11）三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情
形：已知三棱锥A BCD -中，面ABD ⊥面BCD ，且ABD ∆，BCD ∆的外接圆半径分别记为12,r r ，公共棱BD a =，则该三棱锥的外接球半径满足：()()()222
212222R r r a =+- 证明：分别在ABD ∆，BCD ∆所在的圆面上调整这两个三角形的开关，如图
在ABD ∆的外接圆周上调整A 点的位置到G 点，使GD BD ⊥，在BCD ∆的外接圆周上调整其形状，将B 调整到E ，C 调整到F ，使得EDF ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，从而得到新的三棱锥G EDF -，则GD DE ⊥，GD DF ⊥，DE DF ⊥，2214GD r a =-22DE DF r ==，三棱锥G EDF -的外接球与A BCD -的三棱锥的外接球是重合的，因此所求得外接球半径满足()()()222
212222R r r a =+-． （12）三棱锥给出两个侧面的夹角大小（夹角），及其相应两个侧面的三角形的外接圆半径和公共弦
长的情形：
P ABC -，已知面PAC 与ABC 所形成的二面角为()090θθ<≤︒，且已知PAC ∆和ABC ∆的外接圆的半径分别为1r ，2r ，AC a =，则该棱锥P ABC -的外接球半径R 满足： ()()()2222222222
212121222cos 22cos 244a a a R R r R r r r r r ⎛⎫⎛⎫+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭证明：如图，取PAC ∆，ABC ∆的外接圆圆心分别为12,O O ，分别过12,O O 作面PAC ，ABC 的垂线，两条垂线必交于一点O ，该O 即为该三棱锥的外接球的球心．
再取公共棱AC 的中点为K ，连接1O K ，2O K ，则四点12,,,O O K O 共圆
且12O KO θ∠=，12O OO πθ∠=-
在直角三角形1AOO 中，根据勾股定理得：2211OO R r =
-，同理可得2222OO R r =-2
22
211124a a O K r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭222222224a a O K r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
在12O KO ∆和12O OO ∆中，根据12O KO θ∠=，12O OO πθ∠=-，结合余弦定理可得到：12,,,R r r a 之间的等量关系 ()()()2222222222
212121222cos 22cos 244a a a R R r R r r r r r ⎛⎫⎛⎫+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （13）计算球的表面积或体积，必须求出球的半径，一般方法有（核心：补体定心）
①根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心，然后求出半径；（当涉及的多面体较多垂直时，考虑此法，充分利用直角三角形斜边的中点，找出小圆圆心或球心位置，进而求出球的半径.）
②考虑补体法，求出多面体的外接球的直径.当三棱锥S ABC -中，三对对棱分别相等时，可构造一个长方体；当三棱锥S ABC -有三条（可不相邻）两两垂直的线段时，也可构造一个长方体，正四面体可将其补成正方体，有侧棱垂直底面的棱锥可构造直棱柱．
③有时可借用球的性质（球心与小圆圆心相连垂直小圆所在的平面），根据几何关系求出球的半径.。