数值分析课程设计--三次样条插值

《数值分析》课程设计

三次样条插值算法

院（系）名称信息工程学院

专业班级09普本信计1班

学号

学生姓名

指导教师

数值分析课程设计评阅书

课程设计任务书

2008—2009学年第二学期

专业班级：09普本信计1班学号：姓名：

课程设计名称：数值分析

设计题目：三次样条插值

完成期限：自2012 年 6 月8 日至2012 年 6 月13 日共 1 周

设计依据、要求及主要内容：

一、设计目的

熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab软件函数库软件。

二、设计要求

(1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。

(2)使用所用的方法编写Matlab程序求解,对数值结果进行分析。

(3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。

三、设计内容

首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析,并总结

四、参考文献

[1] 黄明游,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]马东升,雷勇军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2006.

[3] 石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社.2005.

[4]郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001

[5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004

[6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005

计划答辩时间：2012年6月18日

指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月

三次样条插值

摘 要

分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。故给出分段三次样条插值的构造过程、算法步骤，利用MATLAB 软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。

关键字:三次样条 插值函数 MATLAB 编程 收敛性 算法步骤

一 三次样条函数定义及特征

定义1：若函数2

()[,]

S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤

⎦⎣

上是三次多项式，其中

01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称

()s x 是节点01,,,n x x x ⋯上的三次样

条函数。若节点

j

x 上 给定函数值

()j j y f x =(0,1,)

j n ⋯= ,且

()j j

s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1）

成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。 从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间

1[,]

j j x x + 上确定4个待定系数，共有

n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点

()1,2,3,,1

j x j n ⋯=-处应满足连续性条件

(0)(0),

j j s x s x -=+

''(0)(0),

j j s x s x -=+

''''(0)(0)

j j s x s x -=+ （1.2）

共有 3n-3个条件，再加上

()s x 满足插值条件（1.1）

，共有4n-2个条件，因此还

需要2个条件才能确定()s x 。通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称

边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。常见的三种：

(1) 已知两端的一节导数值，即

{

''

00''

()()n n s x f s x f == （1.3）

(2)两端的二阶导数已知，即

{

''''00''''

()()n n s x f s x f == （1.4）

特殊情况下的边界条件

''''0()()0n s x s x == （1.4）’ 称为自然边界条件

（3）当()f x 是以0n

x x - 为周期函数时，则要求()s x 也是周期函数，这时边界

条件应满足

而此时式中

, 这样确定的样条函数

称为周期函数。

二 函数推导原理及构造

我们采用待定一阶导数的方法即设S(Xj)=Mj,j=0,1,...,n,因为分段三次Hermite

插值多项式已经至少是一阶连续可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！

1

,,1),0()0(-=+''=-''n i x S x S i i

第一类三次样条插值问题方程组由于已知：

基本方程组化为n-1阶方程组

化为矩阵形式

1,,1,0,],,[11-=-=∈++n i

x x h x x x i i i i i 2

12)1()(,)1)(12()(-=-+=x x x x x x ϕϕ并整理后得求二阶导数对,)(x S i 个未知量

个方程共个1,1+-n n 00)(m x S ='n

n m x S =')(n n n n n n f g m m '

-=+-----111212μλ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧