高等量子力学复习综述

高等量子力学复习

主讲老师：张盈

记录整理：王宏辉

开始第一节课我们告诉大家了，什么是高等量子学，它和普通量子学的一个区别。其实按理说这门课学完，我们应该回过头来想一想，为什么？至少你可以通过描述一个问题来回答清楚，比如说量子力学适用于研究怎样的对象？

这个问题并不是那么好回答，不能简单的说低速的就可以，微观的就行，不是这么简单。那么它有几个层次。

一个就是量子力学和薛定谔方程实际上是不一样，不能把薛定谔方程适用的对象看成是量子力学的对象。这个我给大家说过吧，因为你像狄拉克方程啊，克莱因-戈登方程都属于量子力学。所以量子力学适用于研究的对象是量子力学搭建的这个理论构架所适用研究的对象。这是我们说的第一个层次，你要区分量子力学和薛定谔方程。

第二个层次，你要从量子力学的基本原理，或者说薛定谔方程里面，其他的方面看出来，它适用研究的对象，为什么具有这个特点。也就是说，你说它适用于微观，我们从薛定谔方程或者狄拉克方程里面，怎么能看出来它适用微观。你说它适用于也就是这种粒子数不变的体系，你要能说明这一点，这个方程的体系里面，要能把这些东西对应上。这是第二个层次。

所以回答这个问题的时候应该是站在高等量子的高度，从你们学过的这个课程的基础之上来回答，不再是像以前那个量子力学低速微观OK。简单是这样子。所以这个问题有时候蛮复杂的。

首先我们说这门课的时候，你要理清几个大块，也就是我们这几章。

在第一个大章里面，我们给大家介绍的是量子力学的一个理论的构架。在这个理论构架里面，我们先给大家讲了三条基本假设，大家还能举起来吗？第一条：态，就是关于希尔伯特空间的。第二条：厄米算符是力学量的候选者，第三条：统计解释。

那么我们一个一个来回顾一下。

第一条假设，物理的状态对应希尔伯特空间中的一个矢量，更准确的说，实

质上是希尔伯特空间中的一个射线。因为它与长短无关，长短可以约化掉。那么怎样的空间是一个希尔伯特空间？希尔伯特空间，首先它是一个线性空间；然后它是一个复数空间；其次，在这个线性空间里要求定义了内积（希尔伯特空间：定义了内积的线性复数空间）。所谓定义了内积，就是这内积是一个有意义的量。你以某种方式定义了你的内机，要满足一些要求。如果我们把它退缩到我们的波函数来说的话，其实就是要求波函数平方可积。如果它不是平方可积的，那么你没有一个很好内积定义。比如这个体系里面必须所有波函数都可以归一化。

为什么这个体系是复数的，为什么是线性的，为什么要定义内积？

为什么是线性的？

这跟态叠加原理是有关系的。实质上是波动性与粒子性的结合。当你允许它有叠加原理的时候，实质上就承认了它的一个波动性的存在，而且是一个状态和另一个状态的叠加。两个状态之间是有干涉的，这就是一种波动的体现，不是一个确定的路径。

为什么是一种复数空间呢？

从物理的要求上说它为什么是复空间？你也可以有不同的层次回答这个问题。比如我们可以说从薛定谔方程看，一个叠加实质上是带复系数的叠加。那么你撇开薛定谔方程看的话，实际上我们的内积这样一个量，它可以是实的可以是复的。内积不一定实的，内积是振幅，内机的模方才是物理量。所以只要保证内积的模方是实的，内积有可能是实的，有可能是复的。所以α和β的内积，也可以等于β和α的内积。也可以是a倍α和β的内积，这都是可以的。从这个角度讲，它这个空间应该是复。

为什么要定义内积呢？

因为波函数或者说我们的态实质上是没有一个物理对应，我们要给它找一个物理对应，就必须找一个具有观测量性质的量。这个量应该在我们这个体系里至少实的，所以我们定义了内积，这样才可以把波函数跟物理的观测联系起来。

这是我们的几个理解。

第二条基本假设：希尔伯特空间中，物理量是厄米的，或者说厄米算符是物理量的一个候选者。那么厄米算符是什么？厄米算符的定义：A=A+。也就是厄米算符作用在左矢上和作用在右矢上效果是一样的。换一种表述，每一个算符其

实都有一个对应的厄米共轭算数。这两部分可以不相等，算符作用在左矢上就等于厄米共轭算符作用在右矢上。或者反过来，算符作用在右矢等于厄米共轭算符作用在左矢上。这时候我们就能定义算符的厄米共轭算符。如果厄米共轭算符和算符相等的时候，算符作用在左矢和右矢上是一样的。这个就叫厄米算符。厄米算符有一些基本性质。厄米算符的本征值都是实数，对应不同本征值的本征态是正交的，所有本征态的集合是完备的。这和我们的物理观测、跟实验测量值、物理量性质是一一对应的。这个大家一定要理解。这是我们给大家说的厄米算符。

我们从哪些角度来研究厄米算符呢？我们怎么去找到厄米算符？

我给大家其实是花了很大的精力去讲这个变换。物理上经常有一种变换之后是体系不变的，存在的对称性。这种对称性按照我们之前大家介绍的魏格纳定理：这个变换对应在数学上对应成一个线性幺正算符，或者反线性反幺正算符。这些线性幺正的算符，如果对于连续变换，升到指数上，那个肩膀上的提出一个i因子那个量，就是一个物理量的候选者。也就是物理量在变换中所承担的角色，其实是一个变换的生成元。这个算符的作用方式决定了变换的变换方式。我们把前前后后的东西统一起来来说。物理上只研究两种算符：幺正算符、厄米算符。它们的关系：幺正算符是一个变换，厄米算符是变换的生成元。

我们再往下给大家介绍内积。统计解释：从波函数的角度，波函数的模方代表几率密度。这个是最初的一种版本。那么如果撇开了我们的坐标表象的时候，我们可以用狄拉克符号下的内积的定义。一个抽象的物理态，如果处在α状态，那么我们说这种α状态有怎样的观测值呢？当你去做一个物理量的观测，这个物理量是物理可观测量A。这个A有一个完备集：A的本征态。那么你去看看α态里面每一个A的测量值的比重有多大，你就需要把它分解到A的表象下去。这是一个分解系数，它相当于A的i态占多少。也就是说，当我们插入这个完备性关

系时，那我们把这部分插进去，这一部分是系数C

i 。这个C

i

就表达了α这样一个

抽象的态里面,观测A物理量,出现i这个物理观测值的几率有多大。所以这个系

数C

i

的模方就代表了i在我们体系中占了多大的几率。这是最一般性的。比如说

A物理量是一个位置，那么i就是位置本征态，C

i

就表达在i位置本征态的几率有多大。因为这个i现在是连续的，所以当把它记成函数的性质，继承下标的形式，它其实就是我们说的波函数，波函数的模方代表几率密度，α态里面处在位