三角形中的角平分线
三角形角平分线、中线、高线
三角形角平分线线、中线和高线知识点：1、三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．2、三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．3、三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。
知识点梳理与典型例题讲解知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题1、作出下列三角形三边上的高：2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = °3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心（外心）。
.4、如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）．A CB A CB知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题1、 作出下列三角形三边上的中线2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = =21 ， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的重心。
高中几何知识解析三角形的角平分线定理与高定理
高中几何知识解析三角形的角平分线定理与高定理在高中几何学中，三角形是一种基本的几何形状。
对于三角形的角平分线定理与高定理的理解，对于解决与三角形相关的问题非常重要。
本文将对这两个理论进行解析，并探讨它们的应用。
一、角平分线定理角平分线定理是指如果在三角形的一边上有一条线段，该线段将对角划分成两个相等的角，那么这条线段被称为角平分线。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线将对边分成相等的线段。
2. 三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形的高。
3. 构造角平分线时，可以利用尺规作图法或使用圆心角平分线的性质进行构造。
例如在三角形ABC中，如果角B的平分线AD与边AC相交于点D，那么AD是三角形ABC角B的平分线。
根据角平分线定理可知，AB/BD = AC/CD。
二、高定理高定理是指垂直于底边的直线段，称为高。
三角形的高具有以下性质：1. 在等腰三角形中，高是底边的中线、角平分线和垂直平分线。
2. 在直角三角形中，高是斜边上的线段，可以将三角形分成两个相似的三角形。
3. 对于一般三角形，高与底边的关系可以通过正弦定理、余弦定理和面积公式等进行计算。
例如在三角形ABC中，从顶点A到对边BC所画的垂线AD被称为三角形ABC的高。
根据高定理可知，三角形ABC的面积S等于底边BC乘以高AD的一半，即S = 1/2 * BC * AD。
三、应用角平分线定理和高定理在解决与三角形相关的问题中具有广泛的应用，例如：1. 求三角形内角的度数：根据角平分线定理，可以利用角平分线将角划分成相等的角，从而计算出角的度数。
2. 求三角形边长或高的长度：利用角平分线定理和高定理，可以根据已知条件计算出三角形的边长或高的长度。
3. 求三角形的面积：通过高定理，可以利用底边和高的长度计算三角形的面积，进而解决涉及到三角形面积的问题。
4. 解决与三角形相似和全等关系有关的问题：利用角平分线和高的性质，可以推导出三角形的相似性和全等性质，从而解决相关问题。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。
一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。
下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。
1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。
则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。
（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。
这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。
（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。
外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。
2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这一性质是角平分线的定义性质，同前述。
（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。
这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。
（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。
内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。
这一性质可通过几何证明来得到。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。
在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。
下面将讨论垂直平分线的性质。
三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的一个外角平分线与这个角的对边所在直线相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形外角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。
三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线内分对边成两条线段，那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形外角平分线的性质定理：三角形的外角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。
设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的外角平分线都在三角形外。
2、三角形的一条内角的平分线与不相邻的两个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。
3、三角形角平分线有个有趣的性质：三角形ABC中角A的平分线为AD，则AB:AC=BD:CD。
(可用面积法证明)4、三角形的角平分线都在三角形内。
5、设三角形ABC，∠A平分线AD，AB=c,AC=b,BC=a,半周长p=(a+b+c)/2,三条角平分线为ta,tb,tc,AD=ta,BE=tb,CF=tc,根据角平分线性质，BD/CD=c/b,(角平分对边二部分之比为其邻边之比），(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,（合比）CD=ab/(b+c),在△ADC中，根据余弦定理，AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c),根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c)AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,T a=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c)=[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].同理可证，tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)].tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].6、三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。
三角形内角平分线长定理
三角形内角平分线长定理三角形内角平分线长定理是数学中的一个重要定理，它揭示了三角形内角平分线的性质。
在本文中，我们将从几何角度出发，详细解析这个定理，并阐述它的应用。
一、三角形内角平分线的定义和性质三角形内角平分线是指从某个顶点出发将内角平分为两个相等角的线段。
根据三角形内角平分线的定义，我们可以得出以下性质：1. 三角形内角平分线将对边分成两个相等的线段。
2. 三角形内角平分线所在的点到对边的距离相等。
3. 三角形内角平分线相交于三角形的内心。
三角形内角平分线长定理表明：三角形内角平分线所分对边的线段之比等于与这两条对边所夹角的正弦值之比。
具体表述为：在三角形ABC中，内角A的平分线AD将边BC分成两个线段BD和CD，且有BD/CD=AB/AC=sinBAD/sinCAD。
下面我们通过几何证明来证明这个定理。
证明：根据正弦定理，我们可以得到AB/sinBAD=BD/sinABD，AC/sinCAD=CD/sinACD。
又因为内角A的平分线AD将角BAD和角CAD平分为两个相等角，所以sinBAD=sinCAD。
将上述等式代入，得到AB/sinBAD=BD/sinABD=AC/sinCAD=CD/sinACD。
即BD/CD=AB/AC=sinBAD/sinCAD。
定理得证。
三、三角形内角平分线长定理的应用三角形内角平分线长定理有很多应用，下面我们将介绍其中的两个应用。
1. 判断三角形内心的位置由于三角形内角平分线相交于三角形的内心，因此通过内角平分线可以判断三角形内心的位置。
我们可以通过测量三角形内角平分线的长度，来判断三角形的形状和角度的大小。
2. 求解三角形的边长和角度在已知三角形内角平分线长度和其中一个角度的情况下，可以利用三角形内角平分线长定理求解三角形的边长和其他角度。
通过求解三角形内角平分线所分对边的线段之比，可以得到其他边长的比值。
再利用三角形的角度之和为180°的性质，可以求解其他角度的大小。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
三角形的角平分线、中线和高
4. 如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，且
BD与CE相交于点O，如果 BO C135 ，那么 A = （ B ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
A
D
P
B
CE
FQ
R
钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形外 部，另一条高在三角形内部，三条高的延长线也 交于一点,交点在三角形外部。
例1：如图，AE是在△ABC的角平分线。已 知∠B=45°,∠C=60°,求下列角的大小：
（1）∠BAE
（2）∠AEB
C
E
A
B
1、如图，AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线, 若 DE=3,则BD=_____,BE=_____,BC=_____.
A
B
D EC
2、如图，在△ABC中, BE是边AC上的中 线,已知AB=4cm,AC=3cm,BE=5cm。求 △ABE的周长.
A
E
B
C
例2. 如图在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求
∠DAE的大小。
解： ∵ AD是△ABC的高
A
∴∠ＡＤＣ＝９０°
••
•
点为中点
点•为四• 等分• 点•
• •
点为中点
•• •
点为中点
你还能分？
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°
∴ ∠DAC=180°-(∠ADC+∠C)
三角形角平分线公式
三角形角平分线公式
三角形ABC角平分线AD，D在CB上．设AB=kBD，AC=kCD，BD=p，CD=q．则AD²=(k²-1)pq。
角平分线的三个基本公式如下：
1、三角形ABC角平分线AD，D在CB上．设AB=kBD，AC=kCD，BD=p，CD=q．则AD²=(k²-1)pq。
2、角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。
3、角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
三角形的角平分线怎么画
三角形的角平分线怎么画在几何学中，三角形是一个有着三条边和三个角的多边形。
角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线。
如何画三角形的角平分线是一个常见的几何学问题。
在本文中，我们将讨论如何画三角形的角平分线。
首先，我们先来了解一下角平分线的定义和性质。
在一个三角形ABC中，如果从顶点A以一条线段AD切割角BAC，且使得角DAB与角DAC的度数相等，则线段AD被称为角BAC的角平分线。
角平分线的一个重要性质是，它将角BAC分为两个相等的角，即角DAB和角DAC。
根据这个性质，我们可以使用一些简单的几何方法来画三角形的角平分线。
为了画出三角形的角平分线，我们可以按照以下步骤进行：Step 1：画出给定的三角形ABC。
先使用直尺和铅笔画出三条边AB、BC和CA。
确保三条边的长度和相对位置符合给定的条件。
Step 2：选择一个角，例如角BAC，作为我们要画角平分线的角。
在顶点A处放置一个指南针，并以A为中心绘制一个合适的弧，穿过边AB和边AC。
Step 3：记弧与边AB和边AC的交点分别为D和E。
使用直尺将点D和点E连接起来，得到一条线段DE。
这条线段将角BAC分为两个相等的角。
Step 4：通过将C点与线段DE的延长线相交，找到交点F。
连接顶点B和点F，得到线段BF。
Step 5：此时，线段BF即为三角形ABC中角BAC的角平分线。
你也可以验证一下，角DAB和角DAC的度数是相等的。
需要注意的是，以上步骤是一种常见的画三角形的角平分线的方法。
还有其他一些方法可以用来画角平分线，根据不同的题目和条件，可能需要使用不同的几何工具和技巧。
在实际应用中，角平分线有着重要的几何意义。
它被广泛应用于解决各种几何问题，如证明三角形的相似性、证明两个三角形的等价等。
同时，角平分线在切分和角度测量中也有重要的应用。
在本文中，我们讨论了如何画三角形的角平分线。
通过按照一定的步骤和使用适当的几何工具，你可以很容易地画出三角形的角平分线。
直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理是指：在一个直角三角形中，从直角顶点引出一条直线，将直角分为两个角度相等的角，则该直线被称为直角三角形的角平分线。
这个定理是数学中基础的定理之一，在数学中经常应用。
一、角平分线的性质
1. 角平分线把对边分为相等的两部分。
2. 角平分线上的点，到对边两点的距离相等。
3. 对于同一条角平分线，可以作出两条垂直于这条角平分线的直线，这两条直线相交于直角。
二、角平分线的应用
1. 海伦公式：用于计算任意三角形的面积。
海伦公式中需要用到三条边的长度，以及半周长。
而角平分线可以将三角形分成两个相似的三角形，其中一个边长为三角形斜边的一半，而另一个边长可以通过勾股定理计算得出。
这样，我们就可以轻松地计算半周长和三条边的长度。
2. 证明两条直线垂直：假设我们有两条直线交于一点，现在需要证明它们垂直。
我们可以在这个交点处引出一条角平分线，将两条直线分为两个相等的角度。
然后，我们再作两条垂直于角平分线的直线，这两条直线将交于直角。
3. 证明三角形相似：如果我们有两个三角形，需要证明它们相似。
我们可以找到它们的一个顶点，然后从该顶点引出两条角平分线，将这两个三角形分成两个相似的三角形。
如果另外两个顶点所在的线段比例相等，则这两个三角形相似。
总之，角平分线定理是数学学习中非常重要的一条定理，它广泛应用于几何分析、数学证明等领域，具有非常高的实用性和普适性。
三角形的角平分线与中线
三角形的角平分线与中线在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而三角形的角平分线和中线是研究三角形性质时非常重要的概念。
本文将介绍三角形的角平分线和中线的定义、性质以及它们在三角形中的应用。
一、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个大小相等的角，并且这条线段还是这两个角的公共边的一部分。
具体定义如下：定义：在三角形ABC中，角ACB的角平分线是从顶点C出发，把角ACB平分成两个大小相等的角的线段CD。
其中D是位于角ACB的内部的点，且满足∠ACD = ∠BCD。
接下来，我们来探讨角平分线的一些性质：性质1：三角形的角平分线上的点到对边的距离相等。
即在三角形ABC中，如果AD是∠ACB的角平分线，那么点D到边AB的距离等于点D到边AC的距离，即AD = BD。
性质2：角平分线相交于三角形的内心。
内心是三角形内部离三个边的距离之和最短的点，用I表示。
在三角形ABC中，角平分线AD、BD和CD交于点I，即∠ACD = ∠BCD，∠CDB = ∠ADB，∠BDA = ∠CDA。
性质3：由角平分线和三角形边上的中点构成的四边形是一个平行四边形。
在三角形ABC中，设角ACB的角平分线为CD，AB的中点为E，BC的中点为F，则四边形CEFD是一个平行四边形，即CE∥FD且CF∥ED。
以上是角平分线的定义和一些常见的性质，下面我们将来介绍三角形的中线及其相关性质。
二、中线的定义和性质中线是指从三角形的一个顶点出发，与对边的中点相连的线段。
具体定义如下：定义：在三角形ABC中，以顶点A为起点，把对边BC的中点D相连的线段AD称为三角形ABC的中线。
接下来，我们来探讨中线的一些性质：性质1：三角形的三条中线交于一点。
在三角形ABC中，三条中线AE、BF和CD交于点G，即AD = DB，BE = EC，CF = FA。
性质2：三角形中线上的点到顶点的距离是顶边的一半。
即在三角形ABC中，点D是边BC的中点，则AD = 1/2BC。
直角三角形角平分线的性质
直角三角形角平分线的性质
第一点是平分线把角分成一对相等的角，第二点是平分线上的点离角的两边是等距的。
三角形的三条平分线相交于一点，到各边的距离相等，称为心；从一个角的顶点画一条射线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
性质定理
1.在直角三角形中，两个锐角是互补的。
2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
3.直角三角形的两个直角的乘积等于斜边和斜边高的乘积。
4.30度的锐角对着斜边一半的直角边。
5.直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。
判定定理
1.在一个角内，如果一条射线的端点与该角的顶点重合，并且一个角被分成两个相等的角，那么这条射线就是该角的平分线。
2.在一个角内，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3.两个角有一条公共边，并且相等。
三角形中的角平分线与垂直线
三角形中的角平分线与垂直线三角形是几何学中的基础概念之一，其中角平分线和垂直线则是与三角形有着密切关系的重要元素。
本文将探讨三角形中的角平分线和垂直线的性质和应用。
一、角平分线的性质和作用在三角形中，角平分线是指将一个角等分成两个相等角的线段。
角平分线具有以下性质和作用：角平分线平分角：考虑任意三角形ABC，假设点D为∠BAC的角平分线的交点，那么∠BAD = ∠DAC，且∠CAD = ∠DAB。
也就是说，角平分线将∠BAC分成了两个相等的角。
角平分线与边的关系：设角平分线AD交边BC于点E，那么BE/EC=BA/AC。
这个关系被称为角平分线定理。
通过角平分线定理，我们可以根据已知条件求解三角形的边长。
角平分线的垂直性质：角平分线从顶点出发的线段与对边为垂直的。
即∠BED = 90°。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用。
角平分线的应用实例：在三角形中，角平分线可以用于确定三角形的外接圆等特征。
此外，在平面几何证明中，角平分线也经常被使用。
二、垂直线的性质和作用垂直线是指与另一条线段或平面相交成90度的直线。
在三角形中，垂直线有以下性质和作用：垂直线与边的关系：设直角三角形ABC中，角∠C是直角，垂直于边AB的线段CD被称为高，那么AD × DB = HD × HE=CD²。
这一性质在解决三角形的面积和边的关系问题时十分有用。
垂直线的定位：在解决三角形的位置问题时，可以利用垂直线来确定三角形的顶点和边。
例如，在给定两个垂直高之后，可以利用这些信息来确定三角形的形状和大小。
垂直线的应用实例：在建筑和工程设计中，垂直线被广泛应用。
例如，在测量中，垂直线可用于确定墙壁、柱子等垂直的部分。
此外，在道路规划中，垂直线可用于确定路网的高度和陡坡的位置。
总结：角平分线和垂直线在三角形中具有重要的作用和性质。
角平分线不仅能够将一个角等分成两个相等的角，并且与其他边有着特殊的关系，可以帮助我们求解一些几何问题。
三角形的角平分线的定义
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
定义
1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线
叫做这个角的角平分线。
2.角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
性质
1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
2.角平分线上的点到角的两边的距离相等。
三角形
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的
封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不
等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
三角形的应用
三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳定、坚固、耐压的特点。
三角形的结构在工程上有着广泛的应用。
许多建筑都是三角形的结构，如：埃
菲尔铁塔，埃及金字塔等等。
角平分线的三个定理
角平分线的三个定理
第一性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
第一性质定理逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
定理：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，与夹这个角的两边，对应成比例。
角平分线就是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
性质：
1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
（定义）
2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。
1。
三角形角平分线与角度的关系
在一个三角形中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。 下面是角平分线与角度的关系：
1. 角平分线将角分成两个相等的角：角平分线将一个角分成两个相等的角。这意味着如果 一条线段是三角形中某个角的角平分线，那么这条线段将该角分成两个相等的角。
2. 角平分线与对边的关系：角平分线与三角形的对边（即与该角不相邻的边）有一个重要 的关系。具体来说，角平分线将对边分成两个部分，其长度与相应的角的正切值成正比。也 就是说，如果一条线段是三角形中某个角的角平分线，那么这条线段将对边分成两个部分， 其长度与相应角的正切值成正比。
三角形角平分线与角度的关系
3. 角平分线的交点：在一个三角形中，三条角平分线的交点被称为内心。内心是三角形的 一个重要的几何中心，它到三角形的三个顶点的距离相等，也就是说，内心到三个顶点的距 离相等。此外，内心还具有一些特殊性质，如与三角形的边垂直相交等。
总结起来，角平分线将一个角分成两个相等的角，并且与对边有一定的关系。角平分线的 交点是三角形的内心，具有一些特殊性质。
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1.4.2三角形的角平分线学案
一.自主复习
（1）做一个角的角平分线。
（会的举手，叫一生板书边做边说过程）
（2）角平分线的性质定理和判定定理。
(叫生填空)
（3）组织者总结角平分线的性质定理和判定定理都需要三个条件，性质定理是由一个平分两个垂直得到相等，判定定理是由两个垂直一个相等得到平分，大家一定要牢记，下面请老师上课。
二.明确目标
（1）理解并掌握三角形的角平分线的性质定理. （男齐读）
（2）灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题. （女齐读）
（3）提高运用所学知识解决问题的能力. （男女齐读）
三.探究新知
1.小组合作选折叠或尺规作图得到三角形的角平分线相交于一点。
（组长组织大家先讨论做学具角平分线的方案，小组成员分工操作做锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的角平分线，组长对操作有困难的及时的帮助。
）
2.两个小组展示，一组展示折叠，一组展示。
（组长组织展示，并做总结，每一组展示完鼓掌。
）
3. 老师几何画板验证（老师操作）
4.填写黑板出示的三角形角平分线定理
5.证明三角形的角平分线相较于一点。
(几何证明和三角形垂直平分线对比学习)
已知：如图，在△ABC中．角平分线BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠B AC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么附带的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.（完善黑板定理）6.文字语言翻译成符号语言（叫生说先说漏说垂直，一生补充）
四.对比学习（叫生填空）
五.活学活用。
[例2]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
DC⊥A C，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
A
D B
E
C
1/ 2
2 / 2
∴∠B=1
2
×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中
BD= .= cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=( )cm ． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL 定理) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD ，
∴AB=AE+BE=AC+CD． 六.巧思妙想
已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD 是Rt △ABC 的角平分线. 求证: BD=2CD.
七.学以致用。
如图.三条公路两两相交，计划在交叉区域内修建一个油库.
如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置? (从学完三角形的垂直平分线建学校到三个村庄的距离相等做对比学习)
八：畅谈收获
1. 小组长组织学生在小组内畅谈收获。
（声音要大）
2. 反馈。
生1.本节课学习了三角形角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.（全班举手）
生2.通过本节课的学习学会了运用学习过的性质定理和判定定理解决问题.在解决问题的过程中还用到了以前学习过的等边对等角，勾股定理，全等三角形的等判定定理。
我们在学习的过程中要对所学的知识牢记，才能灵活的应用。
（全班举手）
生3.在出现角平分线或者证明是角平分的过程中重要的方法是过点作边的垂线段。
（一半举手） 生4.通过本节课的学习我尺规作图的能力有很大提升。
（三分之一举手）
生5.我们拿到实际问题解决时要学会把实际问题抽象为几何问题，比如今天学习的三角形区域内建油库的问题可以抽象为在三角形内部找一个点到三边的距离相等（一个举手）
九．组代表对本节课点评.
本节课大家都能认真听讲，对老师提出的问题都能积极的思考，同学们都能听从组长的安排，高效有序的进行小组合作学习，这些好的习惯希望大家以后保持，个别同学比较差，建议组长在课后及时的帮助。
老师用几何画板演示三角形的角平分线的性质，让我们很直观的对知识进行理解，我代表我们小组对大家的表现点评到此结束，谢谢大家。
十.作业布置
1.习题1.10第1，2，3题
2.小组合作完成建油库问题去掉在三角形区域内这个条件满足条件的点有几个？。