变量间的相互关系复习 通用

所以，该研究所得到的2回归方程是可靠的。
题型训练
1.某考察团对全国10个城市的职工人均工资水平x（千元）与居
民人均消费水平y（千元）进行统计调查，y与x具有相关关系，
回归方程为 yˆ =0.66x+1.562，若某城市居民人均消费水平为
7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约
为（
12
8
发芽数
23
25
30
26
16
y(颗)
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用 剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检 验. （1）求选取的2组数据恰好是不相邻2 （2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月
2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 yˆ bˆx aˆ
4.回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析. 通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定 性.
（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方 法.两个变量具有相关关系是回归分析的前提. （2）散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性 质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系， 关系的密切程度，然后再进行相关回归分析. （3）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线 性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直 线方程毫无意义.
解析： (1)散点图如下图：
(2) n xi yi 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5 i 1
x 3 4 5 6 4.5 4
y 2.5 3 4 4.5 3.5 4
n
x
2 i
32
42
52
62
86
i 1
所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
4
bˆ i1
月份的日期数.
每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种.
所以P（A）=6/10=3/5.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数
据的概率是3/5.
（2）由数据，求得 x12, y 27
由公式，求得 bˆ5,aˆybˆx3
2 所以y关于x的线性回归方程为
yˆ
5
x
3.
（3）当x=10时，y ˆ5103222,22232
点评：利用回归直线方程可以进行预测估计总体，回归直线方 程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关 关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预 报因变量的基础和依据，有广泛的应用.
变式探究
3.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y和房屋的面积x的数
据：
房屋面积(m2) 115
110
80
135 105
销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22
（1 （2 （3）据（2）的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格.
解析：（1）数据对应的散点图如下图所示：
（ 2）x
1 5
5 i 1
xi
109,
y
23.2,
lxx
1 5
5 i 1
( xi
x)2
1570, lxy
n
n
(xi x)(yi y)
xi yi nxy
bˆ i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2
2
nx
i1
i1
x1 n
n i1
xi,
y1 n
n i1
yi
b ˆ 叫做回归方程的斜率，aˆ 是纵截距
基础自测
1.（2009年宁夏海南卷）对变量x,y有观测数据（xi,yi） （i=1,2,…,10），得散点图1；对变量u、v有观测数据（ui,vi） （i=1,2,…,10）得散点图2.由这两个散点图可以判断（ ）
1 5
5 i 1
( xi
x)( yi
y)
308
设 所 求 回 归 直 线 方 程 为 yˆ bx a.
则 b lxy 308 0.1962, lxx 1580
a y bx 23.2 109 308 1.8166. 1570
故 直 线 方 程 为 y 0.1962 x 1.8166.
i1
5
x
2 i
2
5x
10 20
0.5
i1
aˆ y b x 0 .4
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为
yˆ0.5x0.4
回归方程的应用
（2009年威海模拟）某车间为了规定工时定额，需 要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数
零件的个数x(个）
2
3
加工的时间y(小时） 2.5
3
4
5
6
y
2.5 3
4
4.5
(1) (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回
yˆ bˆx aˆ (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根 据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗 比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
第十三章 概率与统计 第十节 变量间的相互关系
课前自主学案
知识梳理
1.相关关系 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量 之间的关系称为相关关系. 2.散点图 将两个变量所对应的点描在直角坐标系中，这些点组成了变量 之间的一个图，称为变量之间的散点图.如果变量之间存在某种 关系，这些点会有一个集中趋势，这种趋势通常可以用一条光 滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合. 3. 若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动， 则称变量间是线性相关的.若所有点看上去都在某条曲线(不是直 线)附近波动，则称此相关为非线性相关的.如果所有的点在散点 图中没有任何关系，则称变量间是不相关的.
A.直线l1和l2有交点（s,t B.直线l1和l2相关，但是交点未必是点（s,t C.直线l1和l2 D.直线l1和l2
解析：由 yˆbˆxa ˆ,a ˆybˆx可知， 当 x x, yˆ y ，故回 归方程过定点 ( x , y ) ，甲同学得回归直线l1过点（s,t），乙同
学得回归直线l2也过（s,t），所以l1与l2有交点（s,t）. 答案： A
解析：1）x 100 12 17 17 8 8 12 100,
变式探究
2.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额如下 表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年 3
5
6
7
9
推销金额y/万元 2
3
3
4
5
求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程
解析：
n i1
xi yi
112, x
6,
y
17 5
,
5 i1
x
2 i
200,
n
b
xi yi 5x y
（2009年聊城一模）某农科所对冬季昼夜温差大 小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究， 他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室 每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
温差x(℃) 10
11
13
解析：（1）散点图如右图
（2）由表中数据得
4
xi yi n
i 1 4
x 3.5, y 3.5, xi2 54, i 1
bˆ 0.7, aˆ 1.05 yˆ 0.7 x 1.05.回归直线如图中所示
将x=10代入回归直线方程，得 y =0.7×10+1.05=8.05（小
时），∴预测加工10个零件需要8.05小时.
变式探究
1. （1 （2 （3 （4）城镇居民的消费水平与平均工资之间的关系. 其中，具有相关关系的是_______（写出你认为正确的题序号）
答案是：（1）（3）（4）
求回归直线方程
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品
过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几
组对应数据. x
A.83%
B.72%
C.67%
D.66%
解析：当 =7.675时，x≈9.262, ∴7.675/9.262≈82.9%，约为83% . 答案： A
2.为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提 供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行 分析.下面是该生7次考试的成绩.
A.变量x与y正相关，u与v B.变量x与y正相关，u与v C.变量x与y负相关，u与v D.变量x与y负相关，u与v负相关
解析：由图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图2 可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关. 答案： C
2.
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题
转化为确定性问题进行研究.
5. 回归直线
（1）最小二乘法：使样本数据的点到回归直线的距离的平方
和最小的方法，叫做最小二乘法.
（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)，其回归方为 yˆ bˆx aˆ ，其中
是待定系数.则 aˆ , bˆ 是待定系统。则
（3）据（2），当x=150(m2) ，销售价格的估计值为：
y 0 . 1 9 6 2 1 5 0 1 . 8 1 6 6 3 1 . 2 4 6 6 ( 万 元 ）
题型展示台
为了考察两个变量x和y之间的线性相关关系，甲、 乙两同学各自独立地做了10次和15次试验，并利用线性回归方 法，求得回归直线为l 1和l 2，已知在两个人的试验中发现对 变量x的观察数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观察数 据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法中正确的是（ ）
4
4
回 归 方 程 为 yˆ 7 x 2 3 44
答案：yˆ 7 x 23
44
课堂互动探究
相关关系的判断
下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ）
A. B. C. D.
解析：A、B、D中两个变量的关系是确定的，所以是函数关 系，C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻， 仍可以有不同的亩产量.故选C . 答案： C
xiyi 4x.y
4
xi2
2
4x
66.8564444.5.523.50.7
i1
aˆ ybˆx3.50.74.50.35
故线性回归方程为： y0.7x0.35
（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准 煤的数量为0.7×100+0.35=70.35
故耗能减少了90-70.35=19.65(吨标准煤).
解析：回归直线斜率为80，所以x每增加1， yˆ 增加80，即劳动
生产率提高1千元时，工资提高80元. B
3
源自文库
3
解析：
xiyi 434, x 7, y 18,
x
2 i
179
i1
i1
3
bˆ
xiyi 3x y
i1 3
x
2 i
3
x
2
7. 4
i1
aˆ y bˆ x 1 8 7 7 2 3 .
数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106
（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（2）已知该学生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若 该学生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是 多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在 学习数学、物理上的合理建议.
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据 的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的， 试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？
解析：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，因为从5组数据
中选取2组数据共有10种情况：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）
（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）,其中数据为12
其中正确的命题为( )
A.①③④
B.
C.③④⑤
D.②③⑤
解析：有些变量不具有相关关系，①错误；圆的周长与半径是 函数关系，②错误. 答案： C
3.工人工资y（元）依劳动生产率x（千元）变化的回归方程为 yˆ
=50+80x，下列判断正确的（ A.劳动生产率为1000元时，工资为130 B.劳动生产率提高1000元时，工资提高80 C.劳动生产率提高1000元时，工资提高130 D.当月工资250元时，劳动生产率为2000元
3
4
5
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图
（2）求出y关于x的线性回归方程 yˆ bx aˆ ，并在坐标系
中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多长时间？
n
xi yi nxy
(注：bˆ
i1 n
xi2
2
nx
,aˆ ybx)
i1
分析：（1）将表中的各对数据在平面直角坐标系中的描点，得 到散点图. （2）按求回归直线方程的步骤和公式，写出回归直线方程. （3）利用回归直线方程分析.