简谐振动与阻尼振动

x02

02 2
初相位： tg0

0 x0
郑殊
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11
4.2 谐振子
三、弹簧振子——竖直放置
挂下重物m后，弹簧伸长为 b
mg kb
k
在O点，合力为零，该位置为
平衡位置(equilibrium position)。
b Om
取平衡位置为坐标原点，向下为 轴正向： 当重物向下拉离 时
简谐振动
x (t) —— 振动质点相对 平衡位置的位移
T 1 —— 振动的周期


2π

2π
T
—— 振动的角频率
简谐振动的 三个特征量:
A 振幅 (amplitude) —米；
角频率(angular Frequency) —弧度/秒； 初相位 (initial phase angle) —弧度。

m 2 x
恢复力(Restoring force)
——合外力与位移成正比而反向
这里：k m 2 弹簧的倔强系数
d2 dt
x
2


2
x

0
简谐振动的微分方程
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9
4.2 谐振子
二、弹簧振子 (Spring-body system)---水平放置 k
m
0x
m
0
由
tg 0

0 0
1
和初速度为负值，知：
0


4
2) (t ) A cos( t ) 0.07 cos(4 t 40) (m )
3) E kA2 2 0.039 (J )
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4.3 阻尼振动
( Damped Oscillations)
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5
4.1 简谐振动
旋转矢量图表示
x
x
A1(t) A2(t )
A1
A2 同相
t
x
x

A1
A1(t) A2(t )
A2反相
t
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6
例题1
4.1 简谐振动
一质点沿 x 轴作简谐运动，振幅 A =0.12 m ,周期 T =2s , 当 t = 0 时， 质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06m ,此时刻质点向 x 正方向运动。 求：1) 此简谐运动的表达式；
(Waves) 第6章 相对论 (Theory of Relativity)

(Oscillations)
4.1 简谐振动 (Simple Harmonic Motion) 4.2 谐振子 (Harmonic Oscillator) 4.3 阻尼振动 (Damped Oscillation) 4.4 受迫振动 (Forced Oscillation) 4.5 同方向简谐振动的合成 (Combination of Horizontal SHMs) 4.6 相互垂直简谐振动的合成 (Combination of Vertical SHMs)
机械振动：物体在某一位置附近往复运动
振动中最简单、最基本的振动 —— 简谐振动； 其它复杂的振动都可以认为是许多简谐振动的合成。
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1
4.1 简谐振动
一、振动函数 (Function of oscillations)
物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述。
x(t) Acos( t )

2x

0
阻尼振动的微分方程
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4.3 阻尼振动
一、小阻尼、过阻尼和临界阻尼
(under damping, over damping and critical damping)
① 小阻尼 ( 0 ) x Ae t cos(t )
x d2 x dt2
解： x Acos( t ) 0.12cos(t / 3) (m)
3) 解析法求解： 通过平衡位置时，x = 0 ; 由位移公式可得：
0 0.12cos( t / 3)
解得：(t / 3) (2k 1) 2 t (k ) / (k 1, 2, 3...)
x
A(0)


t+ 相位
A(t )
x
A
O
x(t) Acos( t )
t
振幅矢量
绕O点以角速度 逆时针旋转的矢量 A(t) 在
x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
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4
4.1 简谐振动
旋转矢量法演示
http://phyedu.dlut.edu.cn/phy/files/20090429090306.swf
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2
4.1 简谐振动 二、振动的速度和加速度 (Velocity and acceleration of oscillations)
x(t) Acos( t )
(t) d x A sin( t )
dt
(t) Acos( t 2)

2
dx dt

2x

0
02 2
仍近似 “周期” 振动
t
0
准周期运动
——振幅不断变小
② 过阻尼 ( 0 )
T
2π
02 2 T0
阻尼非常大，不等接近平衡点能量已很小
③ 临界阻尼 ( 0 )
阻尼很大，刚好到平衡位置能量为零，回到平衡状态
x0 =A/2 A x
/ 3
2）在 t =T/4 = 0.5 s 时质点的位置、速度和加速度分别为：
x 0.12cos( / 2 / 3) 0.12cos / 6 0.06 3 0.104 (m)
Acos( t / 2) 0.12 cos( / 2 / 3 / 2) 0.06 0.188(m/s) a 2 Acos(t ) 0.12 2 cos( / 2 / 3 ) -0.06 2 3 1.03 (m/s2 )
第1章 质点运动学 (Particle Kinematics) 第2章 质点和质点系动力学 (Dynamics of Particle and
Particle System ) 第3章 刚体力学 (Dynamics of Rigid Body)
第4章 振动 (Oscillations) 第5章 波动
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例题1
4.1 简谐振动
一质点沿 x 轴作简谐运动，振幅 A =0.12 m ,周期 T =2s , 当 t = 0 时， 质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06m ,此时刻质点向 x 正方向运动。 求：1) 此简谐运动的表达式；
2) t =T/4 时，质点的位置、速度和加速度； 3) 从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。
sin2 (
t

)
EP
(t)

1 2
kA2
cos2 (
t
)
随时间变化 E
随空间变化
E E
Ek
Ep t
x
Ep Ek
Ep
A 0 xA x
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例题1
4.2 谐振子
某谐振子，其倔强系数 k = 15.8 N/m ,重物质量 m = 0.1kg ,铅直放置；
t = 0 时弹簧伸长(相对弹簧原长) x0 = 0.112 m , 0 = - 0.628 m/s ,
6 k 1时，t 5 / 6 0.83(s)
旋转矢量法求解： 从起始到第一次通 过原点，矢量转过 的角度为：
3 2 5 6
Ax
/ 3
由： t 可得：t 5 6 , t 5 / 6 0.83(s)

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x
弹性力： F kx
牛顿定律：
F

m
d2 x dt2
比较：
d2 dt
பைடு நூலகம்
x
2

k m
x

0
d2 dt
x
2


2
x

0
固有角频率
k
m
方程的解为简谐函数：
只由系统自身的性质决定； 振幅A 和初相 由初始条件决定。
x Acos(t )
简谐振动函数
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8
4.2 谐振子
( Harmonic Oscillator)
一、简谐振动的动力学方程 (Dynamic equation of SHM)
x(t) Acos( t ) a(t) 2Acos( t )
a 2 x
根据牛顿第二定律：
F kx
F

ma

m
dx2 dt 2
10
4.2 谐振子
二、弹簧振子 (Spring-body system) ---水平放置
k
x Acos(t )
m
角频率 ：系统自身的性质决定； 0
x
x
振幅A 和初相 ：初始条件决定。
谐振子的角频率: k
m
已知初始条件：
x0 Acos 0 A sin
振幅： A

l
m
ft mg
13
4.2 谐振子
五、简谐振动的能量(Energy of oscillations)
1. 弹簧振子的能量表示式
k
m
k m
m 2 k
x(t) Acos( t ) 0
x
x
势能
Ep

1 kx2 2

1 2
kA2
cos2( t
)
动能
Ek

1 2
m
2
1 mk 2 A2 sin2( t )
求：1) 振动的频率、振幅 和初位相；
2) 振动的表达式；
3) 振动的总能量E。
解： 1) 2 1 k 2(Hz)
k
2 m
4 (rad/s)
由： A
02


2 0
2
和已知条件：
0

x0

b

x0

mg k

0.05
(m)
可得：A 0.07 (m)
b O x0
2
E

Ek

Ep

1 kA2 2
1 m 2 A2
2
（m惯性质量）
简谐振动总能量：
E

1 2
kA2
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4.2 谐振子
五、简谐振动的能量(Energy of oscillation)
2. 弹簧振子的能量曲线
E(t) 1 kA2 2
E
EK
(t)

1 2
kA2
0
f
(即相对平衡位置的位移)
物体所受的合力：

mg
F mg k( b) mg k kb k
F k (恢复力） (t) Acos(t )
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12
4.2 谐振子
四、单摆(Simple Pendulum)
约 1. 细线质量不计
2) t =T/4 时，质点的位置、速度和加速度； 3) 从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。
解： 1）由题可知简谐振动三个基本特征量：
A＝0. 12m, =2/T = (rad/s) 由旋转矢量图可知：初位相为 ＝－/3
可得简谐运动表达式为：
x Acos( t ) 0.12cos( t / 3) (m)
定 2. <5 以保证sin
3. 阻力忽略不计
准弹性力： ft mg sin mg
牛顿定律：
ft
mat
ml

ml
d2
dt 2
d2 x g
dt2
x0 l
摆角 ： 0 cos t 0
固有角频率 g
l
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a(t) 2Acos( t )
x
a

a(t)

d2 x dt2

A 2
cos(
t
)
简谐振动的速度和加 速度也都作简谐振动
A 2
A
A
t
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简谐振动曲线
3
4.1 简谐振动
三、简谐振动描述——旋转矢量法(The phasor method )
4.1 简谐振动
(Simple Harmonic Motion-SHM)
振动 —— 物理量在某一定值附近做往复运动； 简谐振动 —— 振动随时间按余弦（正弦）规律变化。
周期性变化 x(t ) x(t T )
振动频率v (Frequency) 单位时间内振动的次数
1
T
周期T (Period) 振动一次所需要的时间
一、阻尼振动方程
阻尼力使能量损失
物体所受的阻力
f阻x

x


dx dt
动力学方程:
E 1 kA2 2
k
减幅振动
m
0x
x
处在空气或液体中的振动系统
m d2 x kx dx
dt 2
dt
令 2 k
0m
(固有圆频率)
(阻尼系数)
2m
d2 x dt2

2
dx dt