距离之和最小值

利用轴对称求距离之和最小值

1．(1)观察发现

如题26(a)图，若点A ，B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP+BP 的值最小． 做法如下：作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '，与直线l 的交点就是所求的点P

再如题26(b)图，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小． 做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这 点就是所求的点P ，故BP+PE

的最小值为 ．

题26(a)图 题26(b)图

(2)实践运用 如题26(c)图，已知⊙O 的直径CD 为4，AD 的度数为60°，点B 是AD

⌒ 的中点，在直径CD 上找一点P ，

使BP+AP 的值最小，并求

BP+AP 的最小值．

题26(c)图 题26(d)图

(3)拓展延伸 如题26(d)图，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB=∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．

2．如图9，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0）， B （－1, －3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为y 轴上任意一点，当点△ABM D 的周长最小时，求此时点M 的坐标和周长的最小值；

x

y

C

B

_ D

_ A

O

图9

3．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半

轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）求点A 、E 的坐标； （2）若y=c bx x 7

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++-

过点A 、E ，求抛物线的解析式。 （3）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当

L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最小值，并判断此时点P 是

否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

4.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离

为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

A

B C

O D E

y